双曲正弦余弦乘积6与双曲余弦的无穷乘积怎么证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-24 12:23 标签： 正弦余弦正切函数图像6
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虚数的故事
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虚数的故事 内容简介
他们“就像那些站在高耸入云的峰顶上出神凝望的人，下面平地上的物体已从视野中消失；他们观察到的景象只是他们自己的思想，他们意识到的对象只是他们所攀登的高度，在那个高度上，恐怕一般人都无法适应，也无法呼吸[那种稀薄的空气]！在本书中，绝大部分是在讲一段历史，但这并不意味着其中的数学内容可以让你轻松过关，不过在阅读时对这两方面都不要过于深究，这不是一本打算只给某种神奇的精英群体阅读的学术著作。
虚数的故事 目录
致读者致谢前言引子第1章 虚数之谜
1.1 三次方程
1.2 对负数的负面态度
1.3 一场不自量力的挑战
1.4 秘密不胫而走
1.5 复数怎么能表示实数解
1.6 不用虚数来计算实根
1.7 一次令人咋舌的重复发现
1.8 怎样用一把直尺来求出复根第2章 √-1几何意义之初探
2.1 笛卡儿
2.2 沃利斯第3章 迷雾渐开
3.1 韦塞尔慧眼识途
3.2 用棣莫弗定理推导三角恒等式
3.3 复数与指数
3.4 阿尔冈
3.6 回头再发现
3.7 高斯第4章 使用复数
4.1 作为向量的复数
4.2 用复向量代数做几何
4.3 伽莫夫的问题
4.4 求解莱奥纳尔多的递归方程
4.5 时空物理中的虚时间第5章 复数的进一步应用
5.1 用复值函数取一条穿过超空间的捷径
5.2 复平面上的zui大行走距离
5.3 开普勒定律与卫星轨道
5.4 为什么其他行星有时看上去在倒退以及什么时候会这样
5.5 电工学中的复数
5.6 一个因√-1而产生作用的著名电路第6章 魔幻般的数学
6.2 欧拉恒等式
6.3 欧拉名扬天下
6.4 一个悬而未决的问题
6.5 欧拉关于正弦函数的无穷乘积
6.6 伯努利的圆
6.7 计算ii的伯爵
6.8 科茨与一次错失的机会
6.9 多值函数
6.10 双曲函数
6.11 用√-1算π
6.12 用复数做实数的事
6.13 关于Γ（n）的欧拉反射公式和关于ζ（n）的函数方程第7章 19世纪――柯西与复变函数论的肇始
7.3 解析函数与柯西一黎曼方程组
7.4 柯西的diyi个结果
7.5 柯西diyi积分定理
7.6 格林定理
7.7 柯西第二积分定理
7.8 开普勒第三定律：zui后的计算
7.9 尾声：接下来是什么附录A 代数基本定理附录B 一个超越方程的复根附录C 到第135位小数的厅√-1以及它是怎样算出来的附录D 克劳森难题的解答附录E 关于相移振荡器的微分方程的推导附录F 伽马函数在临界线上的绝对值附录G 平装本前言注释关于本书
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双曲函数的反函数的推导过程RT,求双曲正弦和双曲余弦函数到反双曲正弦和反双曲余弦的相互推导过程
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双曲余弦函数在实数范围内不是单调函数,没有反函数.对于双曲正弦,y=(exp(x)-exp(-x))/2,令x,y互换,得到x=(exp(y)-exp(-y))/2,设t=exp(y),则有x=(t-1/t)/2,即t^2-2xt-1,由于t>0,故t=x+(x^2+1)^0.5,y=ln(t)=ln(x+(x^2+1)^0.5).在复数范围内sinh(z)=(exp(z)-exp(-z))/2,cosh(z)=(exp(z)+exp(-z)),asinh(z)=ln(z+(z^2+1)^0.5),acosh(z)=ln(z+(z^2-1)^0.5),推导方法为：w=asinh(z),则z=sinh(w)=(exp(w)-exp(-w))/2,和实数范围内的相似,但注意此时它们是多值函数,性质很复杂,大学中有专门的课程《复变函数》,会详细的讲解的.
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双曲函数证明有没有方法可以只用 e^x=cosh(x)+sinh(x)证明 cosh(2x)=cosh^2 (x)+sinh^2 (x) 而不用cosh(x)=(e^x+e^-x)/2 和sinh(x)的定义
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不可能有!离开coshx 、sinhx的定义,cosh(2x）、sinh(x)你知道是什么?!本题cosh^2 (x)+sinh^2 (x) =(cosh(x)+sinh(x))^2-2cosh(x)sinh(x)=e^(2x)-[e^(2x)-e^(-2x)]/2=cosh(2x)后面必须要用到定义.
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&求教几个无穷乘积的计算
求教几个无穷乘积的计算
作者 i维数
如图。这里贴出一些常见的无穷乘积，能否由它们推出这四个？谢谢各位！
无穷乘积1.jpg
无穷乘积2.jpg
无穷乘积3.png
无穷乘积4.png
Gamma函数无穷乘积.jpg
双曲余弦无穷乘积.jpg
双曲正弦无穷函数.jpg
余弦函数无穷乘积.jpg
正弦函数无穷乘积.jpg
除了复变里面的Weierstrass factorization Thm, 我别无他法。
可以用留数定理推导出
引用回帖:: Originally posted by 001gqs at
除了复变里面的Weierstrass factorization Thm, 我别无他法。 好吧，那只能以后再来弄了。。。谢了
引用回帖:: Originally posted by maxman at
可以用留数定理推导出 留数还没学，你还有其他方法吗？
你看看能否把用对数把乘法化为加法再求
由 Wallis 无限乘积 [latex]\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac{\pi}{2}[/latex]&&（也可以由 Out[34]中 [latex]x=\frac{1}{2}[/latex] 一眼看出）
[latex]\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})\prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2-1}{4k^2}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{\frac{1+x}{4}}{k^2})[/latex], 再次利用 Out[34], 于是
[latex]\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x}{4k^2-1})=\frac{\pi}{2}\cdot \frac{\sin{\frac{\pi}{2}\sqrt{1+x}}}{\pi\cdot \frac{\sqrt{1+x}}{2}}[/latex]
我得到的是[latex]\frac{\sin{\frac{\pi\sqrt{1+x}}{2}}}{\sqrt{1+x}}[/latex], 和楼主 @ 的Out[28] 不相同&&，
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如题 感谢各位好人解答
。。。书上有
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