人教版小学五年级上册数学《循环小数》教案范文_教案_无忧考网
人教版小学五年级上册数学《循环小数》教案范文
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教学目标：　　1、知识与技能：让学生初步认识循环小数、有限小数和无限小数，认识循环节，能用简便记法表示循环小数。　　2、过程与方法：让学生经历探究的过程，培养学生观察、比较、分析与概括能力。　　3、情感态度和价值观：让学生在学习过程中获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣。　　教学重点：　　认识循环小数，会用简便记法表示循环小数。　　教学难点：　　认识循环小数、有限小数和无限小数及它们之间的关系。　　教学准备：　　多媒体课件。　　教学过程：　　一、创设情境，引入新课　　1、给出故事情境。（PPT课件适时演示。）　　（1）在上课之前老师给大家讲一个故事：从前有座山，山里有个庙。庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。讲什么呢？从前有座山，山里有个庙。庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。讲什么呢？从前有座山，山里有个庙。庙里有个老和尚在给小和尚讲故事。讲什么呢？……　　（2）你能接着讲这个故事吗？（让几个学生继续讲这个重复的故事。）　　2、理解“循环”。　　（1）同学们，你们从这个故事中发现了什么规律吗？（随着学生的交流、互动，适时板书“重复出现”“不断”“依次”等。）　　（2）像这样依次不断重复出现的现象，我们把它称为“循环”（板书：循环）。在实际生活中，也有许多循环的现象，如一年有春、夏、秋、冬四季，每年都是按照这样的规律依次不断重复出现。你们发现生活中还有哪些循环的现象呢？（PPT课件演示。）　　（3）这样的循环现象不仅出现在故事中、生活中，在我们的数学中也有这种有趣的循环现象，你们想了解吗？　　【设计意图】用有趣的故事和生活中的循环现象导入新课，利于激发学生的学习兴趣，调动学生学习数学的积极性，同时让学生初步感知“循环”与“无限”。　　3、揭示课题。　　（1）出示教材第33页例7。（PPT课件演示。）　　（2）引导学生弄清题意，并列出算式400÷75。　　（3）组织学生用竖式进行计算，并观察竖式计算的过程，提问：从中你能发现什么？　（4）组织学生交流，引导学生发现400÷75的竖式计算过程有三个特点（PPT课件适时演示）　　①余数总是重复出现“25”；　　②商的小数部分总是重复出现“3”；　　③继续除下去，永远也除不完。　　（5）揭示课题：怎样表示这种“永远也除不完”的商呢？这样的商有什么特点呢？就是我们这节课我们要研究的问题，也就是我们这节课要认识的新朋友――循环小数。（板书课题：循环小数。）　　二、自主探究，构建新知　　1、初步认识循环小数。（教学教材第33页例7。）　　（1）教师：我们刚才发现了400÷75的竖式计算过程中有三个特点，下面我们探讨一个问题，为什么商的小数部分总是重复出现“3”？它和每次出现的余数有什么关系？　　（2）猜想：如果继续除下去，商会是多少？它的第4位商是多少？第5位商呢？（引导学生发现：如果继续除下去，无论除到哪一位，只要余数重复出现“25”，它的商也就会重复出现“3”。）　　（3）验证：是这样的吗？同学们可以接着往下除试试看。　　（4）表示：那么我们可以怎样表示400÷75的商呢？（引导学生说出：可以用省略号来表示永远也除不完的商；教师板书：400÷75＝5.333…。）　　（5）揭示：像5.333…这样小数部分有一个数字依次不断重复出现的小数，就是循环小数。　　2、进一步认识循环小数。（教学教材第33页例8。）　　（1）出示教材第33页例8。（PPT课件演示。）　　（2）学生用竖式计算28÷18，78.6÷11，并指两名学生板演。　　（3）请同学们观察这两道算式的商，你发现有什么特点？（PPT课件演示。）　　（4）思考：你觉得像这样的算式除到哪一位就可以不除了？（引导学生发现：只要余数出现重复了，就可以不除了。因为余数重复出现，商也会跟着重复出现。）　　（5）揭示：像5.333…、1.555…、7.14545…这样的小数都是循环小数。（6）学生尝试写出几个循环小数。　　（7）归纳：观察这些循环小数，想一想，到底怎样的小数叫做循环小数？（先让学生尝试归纳，然后让学生打开教材第33页看看是怎么说的，教师适时PPT课件演示。）　　（8）练一练：下面哪些数是循环小数？（PPT课件演示。）　　0.426426… 1.444 6.32121… 3.1415926…　　【设计意图】由简单到复杂的几个事例，让学生逐渐认识循环小数的特点。通过尝试归纳循环小数的含义，将学生的初步感知上升为理性认识。设计“练一练”，让学生通过正反两方面的对比进一步认识循环小数。　　3、认识循环节，学习循环小数的简便记法。（PPT课件适时演示。）　　（1）请同学们自学教材第34页“做一做”上面的内容，思考下面两个问题　　①什么是循环节？　　②怎样用简便记法表示循环小数？　　（2）组织学生结合具体例子说明什么是循环节以及如何用简便记法表示循环小数。　　（3）老师介绍简便记法的读法。例如7.14545…记作，读作：七点一四五，四五循环。　　（4）练一练：完成教材第34页“做一做”第1、2题。　　【设计意图】自学也是一种重要的学习方式，通过自学，学生不仅能认识循环节，学会循环小数的简便记法，而且学生自主学习的能力还能得到锻炼和提高。　　4、认识有限小数和无限小数。（PPT课件适时演示。）　　（1）尝试计算：我们刚才在“做一做”的第2题中已经计算了三道除法题目，现在请同学们再计算下面两题：15÷16和1.5÷7。　　（2）思考：请同学们观察这五道除法算式题，想一想，两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况？　　（3）引导学生归纳出两种情况：一种是继续除下去能够除尽，像153÷7.2和15÷16一样；另一种情况是继续除下去，永远也除不完，像2.29÷1.1、23÷3.3、1.5÷7一样。　（4）教师概括：我们把小数部分的位数有限的小数叫做有限小数；小数部分的位数无限的小数叫做无限小数。　　【设计意图】在“进一步认识循环小数”的“练一练”环节，学生通过对1.444是不是循环小数的辨析，已初步感知了小数位数的有限与无限。这里利用教材第34 页的“做一做”第2小题的教学资源及15÷16和1.5÷7的计算，让学生进一步认识小数位数的有限与无限，通过教师的适时介绍帮助学生建立有限小数与无限小数的概念。　　（5）质疑：循环小数是有限小数还是无限小数？为什么？（通过辨析让学生明白：看来循环小数都是无限小数，但无限小数并不都是循环小数，例如3.1415926…是无限小数，但不是循环小数。）　　（6）建立循环小数、有限小数和无限小数之间的关系。（PPT课件演示。）　　【设计意图】先让学生思考“循环小数是有限小数还是无限小数”，接着教师举例说明“无限小数并不都是循环小数”，结合图示，让学生明确循环小数、有限小数、无限小数之间的关系，突破教学难点。　　三、练习巩固，深化认识　　1、基本练习。　　（1）完成教材第36页练习八第6题。　　①学生独立计算，教师巡视，了解学生的计算情况。　　②组织学生交流哪些题的商是循环小数。　　（2）完成教材第37页练习八第7题。　　①学生独立完成，教师巡视，适时指导。　　②订正时，让学生说一说对于简便记法表示的循环小数取近似数时应注意什么？　　2、提高练习。　　完成教材第37页练习八第9题。　　①组织学生先独立思考怎样比较循环小数的大小，再在小组里交流自己的想法。　　②学生独立完成，教师巡视，了解学生的解答情况。　　③让学生说一说对于简便记法表示的循环小数比较大小时应注意什么？　　四、课堂小结，畅谈收获　　这节课你学会了什么？有什么收获？　　五、作业练习，快乐巩固　　1、课堂作业：教材第37页练习八第8题、第10题。　　2、课外作业　　（1）教材第37页练习八第11题。　　（2）算一算，想一想：10÷7的商的小数部分第100位上的数字是几？您当期位置:
发布日期： 16:32:57
首先讨论后者，如果我们可以把任意无限循环小数都轻易的转换为分数那么它们之间的运算不就简单了么？首先观察0. 3333&&我们都知道它是等于是1/3的那么0.1111&&呢，很明显它等于1/9，再观察1/99它等于0.010101&&再看1/999它等于0.&&耶，那么可以得知0.121212&&等于12/99（0.121212&&是0.010101&&的12倍）而0.456456&&就等于456/999。
对于任意的如同0.123123&&的从小数部分的首位就开始循环的循环位数为n的纯小数有由于1=0.999&&那么有1除以n个9就等于0.00&100&1&&这个数的循环位数就为n如果循环数是a【循环数举例：比如0.123123&&的循环数就是123而0.&&的循环数是0123（看是0123的话可以避免数错循环数的位数）】那么它的a倍一定就是原来的那个循环小数它就可以表示为a除以n个9。这个理解了的话就可以得出这样的结论｛对于任意的从小数部分的首位就开始循环的循环位数为n且循环数为a的纯小数可表示为a除以n个9这样的分数｝
那么继续扩展，对于如0.&&这样的循环小数我们如何用分数表示呢？既然0.123123&&等于123/999 而0.&&等于0.154+0.123&&/1000那么这个问题就解决了呀，那么对于如5.&&这样的循环小数不也就知道怎样用分数表示了么。但是有必要对后面提到的两种情况做总结。使我们少浪费一点草稿纸，多在头脑中思考一点，总时间还可以减少呢。
对于任意的（如同0.&&）循环位数为n的循环数为a 且 小数部分的非循环位数为m的非循环数为b(刚才举的例子的b就是0456或者说是456它的m就是4)的纯小数，它的分数形式是a加上b乘上n个9再除以n个9与10^m的乘积(10^m表示十的m次方)[对于这里的例子0.&&就等于（123+456*999）/（999*10^4）
对于任意的（如同7.&&）循环位数为n的循环数为a 且 小数部分的非循环位数为m的非循环数为b 且 整数部分为c（对于前面一个例子c为7）的小数，它的分数形式就是a加上b乘上n个9加上c*9*10^m再除以9*10^m。(即是说7.&&=(123+456*999+7*999*10^4)/(999*10^4）
那么对于0.111&&*0.111&&就可以轻易的计算了吧它等于(1/9)*(1/9)=1/81=0.345679&&（其实不一定非要化为小数形式，但是这里的意思就是要化为小数形式）对于很复杂的循环小数的乘除加减通通可以表示为分数然后运算。要是再有计算器就容易多了吧，不过我们用的手机用的科学计算器计算是有小数位数限制的，可能看不出循环位数和循环数，这点要注意。
小结：其实对于上面的n个9与一个数相乘，由于n个9=10^n-1那么通常就好计算了456*999=456*（1000-1）==455544只是在写的时候用这种方式会看起来比较复杂，我就没有选用这种表达式。
对于如0.123123&&+0.111&&的计算其实用不着化为分数就可以直接计算它的结果是0.234&&我现在通过举例来说明这类不用化为分数的循环小数加法运算的各种类型，自己总结该如何选择和体会计算方法吧
0.&&+0.7272&&=0.456456&&+0.727272&&=1.729&&（272=1183728）
那么0.456456&&+0.999&&=1.456456&&
（其实0.999&&=1呀）
0.123 .7272&&=0.456&&+0.272&&=0.（272=850728）
0.1 .7272&&=0.1 6456&&+0. 7272&&=0. （+=）
对于0.1 232323&&+0.&&它们没法从循环部分的首位对齐，可以更换循环的主部使循环对齐0.1 232323&&+0.&&=0.12 &&+0.45 &&=
这是由于0.1 232323&&=0.12 323232&&而0.&&=0.45 &&
上面是讨论主要是针对对齐循环小数的循环部分的。
后面是对循环小数的减法分析
1-0.4&&=多少？等于0.6&&么？其实等于0.5&&因为1不是等于0.999&&
3.515151&&-0.222&&=3.5151&&-0.2222&&=3.2929&&
那么3.515151&&-0.777&&=？
它等于2+0.999&&+0.5151&&-0.777&&=2+(0.999&&-0.777&&)+0.51&&=2+0.22&&+0.51&&=2.7373&&
对于3.5151&&-5.222&&=-(5.2222&&-3.5151&&)=-(4-3+0.99&&-0.5151&&+0.22&&)=-1.7070&&
3.705151&&-5.3222&&=-(5.32 2222&&-3.70 5151)=-(5.31-3.70)&[9999&&-5151&&+2222&&]=-1.61 7070&& 其中&&&表示直接在数字末尾加上我这里好用来说明这样写的
总的来说，减法的总规则是先判定运算结果的正负，①若为正，则将两个小数的循环部分对齐（如5.32 2222&&-3.70 5151中将循环部分对齐），然后从对齐的循环部分开始进行减法运算，如果这部分被减数小的（对于前面的例子2222&&&5151&&的），要向前借一变成99&&（对于前面的例子5.32变为了5.31，在后面补上了99&&），然后将其先与减数做差再与被减数相加（9999&&-5151&&再+2222&&），再进行前面的减法，最后组合一下（将7070&&放在5.31-3.70所得的结果1.61后即是1.617070&&）即可，②如果刚开始判定运算结果为负，那么只需像运算3.705151&&-5.3222&&那样，添括号并在括号外加负号就转变为①这种情况了，只是最后加负号罢了。
其实用这种算法来计算循环小数的加减运算可能会比把他们全都化为分数然后运算要简单得多,对于循环小数的乘除运算则刚好相反了，循环小数通常化为分数后乘除比较简单。
到这里就结束了，除此之外还可以得到一些结论如任何有理数都可以表示为两个整数相除（有理数的定义亦可以从此出发），另外从我的说明方法里也展示了一种探索循序渐进的方法。
第18期顶岗实习支教藁晋分队 藁城张家庄中学 物理 何长峻怎样判断一个分数能不能换成无限循环小数？ | 问答 | 问答 | 果壳网 科技有意思
怎样判断一个分数能不能换成无限循环小数？
比如说：1/173怎样把无限循环小数换成分数？Thanks a lot.
分母只含有2或5的任意次方的分数都能化成有限小数除此之外的分数都能化成无限循环小数====================为了证明这一点，先反过来说说循环小数怎么化分数任意一个（纯）循环小数将循环节部分提取出来就是然后根据需要约分即可如果是混循环小数，即循环节前还有其他小数部分的只需右移小数点（乘以10的若干次方），将这部分当作整数再同上操作即可最后别忘了把10的若干次方除回来，此时的分母就有可能是若干个9之后跟着若干个0====================那么证明之前再简单提一下抽屉（鸽笼）原理n+1个苹果放到n个抽屉里，不管你怎么分配一定会有（至少）一个抽屉里放了（至少）两个苹果ok接下来回到正题任意整数n做除数，余数只有0~n-1这n种情况而1、10、100、……、分别除以n得到的n+1个余数中，一定有（至少）一对是相等的不放设它们是和的余数()两个数除以n余数相等，意味着这两个数的差能被n整除即存在某个整数A，使得因此，以整数n作为分母的分数可以通过上下同乘A的方式化为分母是若干个9跟着若干个0的形式然后通过之前的分析可知，这样的分数一定可以化成循环小数=====================事实上，实际操作中，分数化小数还是直接拉竖式除法比较快（当然要是你有计算器就更快了）这个时候“和除以n得到余数相等”就体现在，你除到位是这个余数，除到位还是这个余数，这之间就是循环节，再往后就是不断重复======================================有人好奇如果不是十进制会怎么样其实规律是一致的对任意n进制，其中，都是质数当且仅当 分母仅包含到的任意次方的组合 时，该分数可以化为有限小数否则都能化为无限循环小数
和进制有关，比如有一个分数p/q(p,q互素),在n进制下，如果q含有和n互素的因子，就是无限循环的。为什么呢？可以这样简单地解释一下，如果q不含有和n互素的因子，那么必然n^k会是q的倍数，当k足够大的时候。反之q含有和n互素的因子，无论k多大都，n^k都不是q的倍数，导致不能使用有限位数表达出1/q
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第一个问题 只要分母因数是有除2和5的之外的 都不能 跟楼上意思差不多小学的时候专门做过无限循环化分数 简单地说 就是分子是循环节 分母是n个9 n为循环节位数
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循环小数化分数的方法和原理是什么?
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循环节有几位，就有分母就有几个0，有几位不参与循环，分母后就有几个0分子为小数部分如：0.01中01循环，则为1/990.01中1循环，则为1/900.321中21循环，则为321/990
一、纯循环小数化分数　　从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。把纯循环小数化分数：纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。二、混循环小数化分数　　不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？ 把混循环小数化分数。（2）先看小数部分0.353一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。有限小数化成分数直接将小数点去掉，分母对应化成十百千万等。再约分
一个多位小数循环节有几位小数就除以0.后面几个9，被除数是原小数不为零部分减去循环节部分，例如：0.75481中1循环就是（0.48）÷0.9＝0....0.75481中81循环就是（0.54）÷0.99＝0....0.7循环就是（0.75）÷0.999＝0....0.7循环就是（0.07）÷0....0.7循环就是（0.75481-0）÷0.9...
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