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多变量微积分笔记3——二元函数的极值
什么是极值
　　极值不同于最值，极值的定义如下：
　　若函数f(x)在x0的一个邻域D有定义，且对D中除x0的所有点，都有f(x)&f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值。同理，若对D的所有点，都有f(x)&f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小　值。极大值和极小值也称为局部最大值和局部最小值。
　　如果用图形解释，那么：当我们在极大值点上，向任何方向移动输入点都会减小函数值；当我们在极小值点上，向任何方向移动输入点都会增加函数值。
　　极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点上取得。
　　极值定律：当函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数时，存在c属于[a,b]，d属于[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。
　　可以看出，极值是一个局部概念，我们可以说极大值是函数在某个区间内的最大值。一个函数可能有多个极值，如下图所示，B,C,D,E均为极值点：
　　对于一元函数，求得极值和最值较为容易，但是对于多元函数，情况就复杂的多。这里主要介绍如何求解二元函数的极值（对于更多元函数的极值，在后续章节学习梯度后将继续阐述），在此之前还需要弄清楚另外两个点——临界点和鞍点。
临界点（驻点）
　　对于一个多元函数f，如果有一个点满足f所有自变量的偏导都同时为0，那么这个点被称为f的临界点，也称为驻点。
　　对于二元函数f(x, y)来说，临界点(x0, y0)满足：
　　示例：求f(x, y) = x2 – 2xy + 3y2 + 2x – 2y的临界点
　　f(x)只有一个临界点(-1, 0)
　　由于极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点上取得，所以临界点成为求解极值点的关键。现在的问题是，上面的叙述反过来并不成立，也就是临界点未必是极值点；另一个问题是，当临界点是极值点时，如何判断极值是极大值还是极小值？
　　在此之前先来认识一下鞍点。
　　既不是极大值点也不是极小值点的临界点，叫做鞍点。
　　鞍点这词来自于不定二次型z=y2-x2的图形，像马鞍：x-轴方向往上曲，在y-轴方向往下曲。
　　在z=y2-x2鞍点处，沿y轴方向向两边移动，函数值会减小；沿x轴方向向两边移动，函数值会增大：
求得极值点
　　现在回到最初的问题——如何寻找极值。
通过作图寻找
　　最直观的办法是通过作图寻找，在图中很容易找到极值：
　　很明显，凹凸处就是极值。
　　等高线图同样容易寻找极值：
　　在等高线图中，极大值和极小值看起来是一样的，需要读出函数的数值：极小值周围，函数值向外递增；极大值周围，函数值向外递减。
通过二阶偏导判定
　　虽然作图法最直观，但二元函数通常很难作图，更多元的函数甚至无法作图，幸而数学家们找到了一种更为通用的办法，这就是里利用二阶导数判断。
　　f(x, y)的一个临界点是(x0, y0)，即fx(x0, y0) = 0 && fy(x0, y0) = 0，f的二阶导数是fxx,fxy,fyy现在，
　　该临界点有如下结论：
　　求函数f(x,y) = x3 – 3xy + y3 的极值
计算临界点
　　临界点是(0, 0)或(1, 1)
计算二阶偏导
判断临界点类型
　　在(0, 0)处，AC – B2 = -9 & 0，(0, 0)是鞍点；
　　在(1, 1)处，AC – B2 = 27 & 0，A = 6 & 0，(1, 1)是极小值点，此处的极值是f(1, 1) = -1
　　做一个2体积单位的长方体有盖木箱，长宽高怎样取值才能最省料？
　　设木箱的长宽分别为x和y，则高是4/xy，用料的面积
　　计算偏导：
　　找到临界点：
　　此时先不要急于寻找极值点，极值点可能是局部最小或最大点，我们要寻找的是全局最小点。最值可能出现在几个点上，临界点、函数边界或无穷远处。在用料面积A来说，如果x或y趋近于∞，则xy→∞，A→∞；如果x→0或y→0，则(2/x)→∞或(2/y)→∞，A→∞。因为我们确定，在体积一定的情况下一定存在最小用料，所以临界点是极小点，同时也使全局极小点，即最小点。从这个例子中也看出，在体积一定的长方体中，以正方体的表面积最小。
　　作者：我是8位的
　　出处：
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8.设二元函数f（x,y）=(1/2)x^2+x+(1/3)y^3-y,求该函数的极值
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设二元函数f（x,y）=(1/2)x^2+x+(1/3)y^3-yfx=x＋1=0fy=y²-1=0x=-1,y=1或-1所以驻点为（-1,-1）（-1,1）fxx=1,fxy=0,fyy=2y1.（-1,-1）A=1,B=0,C=-2AC-B²＜0,不是极值点2.（-1,1）A=1,B=0,C=2AC-B²＞0,且A＞0所以该点取极小值f（-1,1）=1/2-1＋1/3-1=-7/6
fxx=1，fxy=0，fyy=2y
1.（-1，-1）
A=1，B=0，C=-2这个的具体过程能说下嘛？不太懂谢谢
fy=y²-1
代入点（-1,-1），即得
A=1，B=0，C=-2
哦我明白了，谢谢那个x，xx其实是在f的右下角，刚翻了下书，谢谢了
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二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。(2)二元函数取得极值的必要条件： 设 在点 处可微分且),(yxfz?),(0y在点 处有极值，则 ， ，即 是驻点。),(0yx 0),('0yxf'0yx(3) 二元函数取得极值的充分条件：设 在 的某个领域内),(xfz),0y有连续上二阶偏导数，且 ，令 ，?),('0yxf,('0yf Axf?('， ，则Byxf?),('0 Cfy,'0当 且 A0，f 为极小值；时， 不是极值点。02?B),(0yx注意： 当 B2－AC = 0 时，函数 z = f (x, y)在点 可能有极值，也可能没),(0有极值，需另行讨论例 1 求函数 z = x3 + y2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：， ． , , ．yxz23???xz2???xz62??2??yz2?yz再求函数的驻点．令 = 0， = 0，得方程组y???.0,3x求得驻点(0 ，0) 、 ．），（ 32利用定理 2 对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于 A = 0, B =－2， C = 2， B2－AC 0,故(0, 0)不是函?数 z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点 ，由于 A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4 0, 且 A 0,则），（ 3 ?为函数的一个极小值．2743??），（f例 2：（2004 数学一）设 z=z(x,y)是由 确定的 ?????zyxy函数，求 的极值点和极值.),(yxz【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。【解】 因为 ，所以 ?????zyxy，?z.02206yzyx令 得 ??????0,yzx??????,013zyx故 ?.,3zx将上式代入 ，可得 ?????zyxy或 ?????3,9zyx?????.3,9z由于 ，02)(2????xxz,62???yzyzy，0)(220 22????zz所以 ， ， ，61)3,9(2??xzA21)3,9(2???yxzB35),9(2??yzC故 ，又 ，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为0??BC0?Az(9,3)=3.类似地，由， ， ，61)3,9(2?????xzA21)3,9(2???yxzB35),39(2????yzC可知 ，又 ，从而点(-9, -3)是 z(x,y)的极大值点，极0?BC0?A大值为z(-9, -3)= -3.【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程。2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设 某领域内有连续偏导数，引入辅助函数在 点),(,yxf?),(0y)(),(yxF???解联立方程组 ?????????0),( 0),(',' ,'),('yxyxfFx???得 可能是 在条件 下的极值点),(0),(yxfz0),(?yx例 3 经过点 的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的1,(体积最小．并求此最小体积．【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。【解】设所求平面方程为．)0,(,1???cbaczbyax因为平面过点 ，所以该点坐标满足此平面方程，即有)1,( ． (1)1??cba设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为 V， 则．　　　　　　　　　　　 (2)V6原问题化为求目标函数（2）在约束条件（1）下的最小值．作拉格朗日函数．)1(1),( ???cbacbaL?求函数 L 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：??????.061,22cabc?由此方程组和（9）解得 a = b = c = 3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故 a = b = c = 3 为所求．即平面x + y + z = 3．与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为 .29613min??V例 4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入 万元与电视广告费R万元及报纸广告费 万元之间的关系为：xy．yxxR???⑴ 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；⑵ 若提供的广告费用为总额 1．5 万元，求相应最佳广告策略．【解】⑴ 利润函数为，)(),(yxRyxL??? 21083yxyx??求函数 L 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：????????.2831,4yxyL解得 ， ．则 为 惟一的驻点．75.0?x2.1y)25.1,70(),(yxL又由题意， 可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点),(xL处达到．所以最大利润为 万元．.39).,(?因此，当电视广告费与报纸广告费分别为 万元和 万元时，最大7502.1利润为 万元，此即为最佳广告策略．25.39⑵ 求广告费用为 1．5 万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件下， 求 的最大值．作拉格朗日函数.1??yx),(yxL),(, yxF????．)5.1(???yx?求函数 的各个偏导数，并令它们为 0，得方程组：),(yx?????????.02831,4?yxyF并和条件 联立解得 ， ．这是惟一的驻点，又由题意，5.1??yx05.一定存在最大值，故 万元为最大值．),(L39).1,(?L【评注】 本题也可由 ，解得 ，代入目标函数转换成一元函.yxxy?.数求解。3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。例 5:（2007 数学一）求函数 在区域 D 上的最大值和最22(,)fxyxy???小值，其中： 。2{(,)40}Dxy???【分析】 由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】 因为 ， ，解方程：2(,)xfyxy???2(,)4fyx??? 得开区域内的可能极值点为 .20,4xyfy??????? (2,1)?其对应函数值为 (,1).f?又当 y=0 时， 在 上的最大值为 4，最小值为 0.2xy?x??当 ，构造拉格朗日函数24,0xy???222(,)(4)Fxy???解方程组 得可能极值点： ，其20,4,xy?????????? 53(0,2),)?对应函数值为 537(0,)8(,).24ff???比较函数值 ，知 f(x, y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0.72,4【评注】当 ， 代入目标函数转换成一元函,0xy????22x??数求解更简单。例 3:（2005 数学二）已知函数 z=f(x,y) 的全微分 ，并且 f(1,1,)yddz=2. 求 f(x,y)在椭圆域 上的最大值和最小值 .}14),{(2???yxD【解】 由题设，知 ， ，f?yf?于是 ，且 ，从而 ，)(),(2Cxyf??2)(?? Cy???2)(再由 f(1,1)=2，得 C=2, 故 .,??yxf（下略）
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