持续学习：数学分析之微分与导数_【快资讯】
持续学习：数学分析之微分与导数
在数学史上，微积分的创立是继Euclid几何之后的最伟大的创造之一。微积分首先解决了当时17世纪的四类科学问题：1.已知加速度-时间函数，求物体的速度和移动距离；2.求曲线的切线；3.求函数的最值；4.求曲线弧长，曲线围成的面积等。今天，我们就来学习微积分中的微分与导数。第1节，讲微分和导数的概念：设f(x)在邻域U(x0)中有定义，当给一个增量Δx，满足Δx+x0 ∈U(x0)时，可以得到函数的增量Δy=f(Δx+x0)-f(x0)，如果存在与Δx无关的常数A ,使得可以表示为Δy=A*Δx + o(Δx)，那么就说f(x)在点x0可微，A*Δx是函数在x0的微分，记作dy|x=x0 = A*Δx。我们可以看出，微分是一个增量的线性函数，微分dy 与增量Δy 与高阶无穷小o(Δx)存在关系：Δy = dy + o(Δx)。注意这里可微是点态的可微-连续定理：若f(x)在x0可微，则函数在x0连续。设f(x)在邻域U(x0)中有定义，若极限 lim [(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx] Δx->0 存在，则称f(x)在点x0可导，该极限值称为函数在x0的 导数，记作f`(x0)。这里的定义也是点态的。可以看出，极限，沟通了可导与可微，lim Δy/Δx Δx->0 = lim {A*Δx + o(Δx))/Δx =A Δx->0导数是是通过极限来描述的，极限分左极限和右极限，不难得出，导数分为左导数和右导数，左右导数统称为单侧导数导数存在定理：导数f`(x0)存在
该点的左右导数都存在且相等，即 f`-(x0) = f`+(x0)可微-可导定理：f(x)在x0可微
f(x）在x0可导，且 A=f`(x0)；即是 Δy=f`(x0)Δx + o(Δx), 有限增量公式根据可微-连续定理 和 可微-可导，得出：若f在x0可导，则在x0处连续。反映了可微，可导，连续的关系。导函数，简称导数：若函数f 在区间I每一点都可导，则称f在I上的可导函数。提醒，每一点可导，可以推出每一点连续，可以得出一致连续，即在I上的可导函数，是I上的一致连续函数，注意与之前的知识连续，连续性与导数，微分关系密切。第2节，讲求导方法和导数公式：定义法求导：lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x->x0导数的四则运算，与函数极限的四则运算类似。加减法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)±v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)±v`(x0)乘法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)v(x0)+u(x0)v`(x0)推论：若函数v(x)都在x0可导，C为常数，则函数Cv(x) 在x0 处可导，且(Cv(x0))`=Cv`(x0)除法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，且v(x0)≠0，则函数f(x)=u(x)/v(x) 在x0 处可导，且 f`(x0)=[u`(x0)v(x0)-u(x0)v`(x0)]/(v(x0))^2反函数求导定理：设y=f(x) 为 x=φ(y)的反函数，若φ(y)在点y0的某邻域内连续，严格单调，且φ`(y0)≠0，则f(x)在x0上可导，且f`(x0)=1/φ`(y0)复合求导定理：y=f(u)在u0可导，u=g(x)在x0可导，u0=g(x0)，则复合函数fOg在x0处可导，且(fOg)`(x0)=f`(u0)·g'(x0)=f'(g(x0))·g`(x0)，这也称为链式法则。第3节，讲微分的计算与应用：根据导数法则，dy=f`(x)dx x∈I，不难推出微分运算法则d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)d[u(x)·v(x)] =v(x)·du(x)+u(x)·dv(x)d[u(x)/v(x)]=(v(x)du(x)-u(x)dv(x))/v^2(x)d[fOg(x)]=f`(u)g'(x)dx，其中u=g(x)，du=g`(x)dx，这个称为一阶微分形式不变性，可用于推导积分换元公式。应用：工程上的近似计算，取x0=0,Δx=x，在x0=0 附近，f(x)≈f(0)+f`(0)x,当|x|充分小，sinx≈x,tanx≈x,ln(1+x)≈x,1/(1+x) ≈ 1-x,e^x ≈ 1+x ；也用在测量误差第4节，高阶导数与高阶微分，之前讲的微分与导数都是一阶的，这里学习高阶的：一阶导数的导数是二阶导数，定义与一阶导数类似，这里只讲形式：lim (f`(x)-f`(x0)/（x-x0）=f``(x0)，同理有三阶导数，。。。，n阶导数高阶导数公式：y^(n) = [y^(n-1)]`高阶导数运算法则：1）[Cu(x)]^(n) = C u^(n)(x) C是常数2）[u(x)±v(x)]^(n) = [u(x)]^(n)±[v(x)]^(n)3)[u(x)v(x)]^(n) = ∑Cn^k u^(n-k)(x)v^(n)(x)，莱布尼兹公式二阶微分：d(dy) = d(f`(x)dx)=(f``(x)dx)·dx=f``(x)(dx)^2，记作d^2y=f``(x)dx^2n阶微分：d^ny=f^(n)(x) dx^n，从二阶微分开始，丧失微分形式不变性第5节，参数方程与导数，偏向于应用参数方程的定义：通过辅助变量t，来表示x,y的关系用参数方程表示函数的导数--摆线方程用极坐标方程表示曲线的切线--对数螺线切线方程参数方程表示函数的高阶导数--摆线方程本章最重要的是导数微分的概念和公式，后面两节偏向于实用方向。数学分析的发展
数学分析的发展&
第三节 数学分析的发展
一、复变函数论
　　复变函数(主要是单复变函数)是19世纪数学最独特、最富有成果的创造．M．克莱因指出，复变函数“统治了19世纪，几乎像微积分的直接扩展统治了18世纪那样．”在这个领域，数学家们进行了深刻而富有成效的研究，使得复变函数发展成了一门完善的学科．
　　直到18世纪，人们才较为全面地掌握了复数，并开始广泛运用复数．复变函数则由于用部分分式积分法求解积分、确定负数与复数的对数、保形映射等问题而进入数学领域．
　　如果函数的自变量是复数z＝x+iy，那么函数w=f(z)叫做复变函数．
　　f(z)也可以写成关于实函数P(x，y)，Q(x，y)的w＝f(z)＝P(x，y)＋iQ(x，y)的形式．如果f(z)在区域D内处处有导数(有限个点除外)，则称f(z)为D内的解析函数，而没有导数的点称为奇点．复变函数主要讨论解析函数的一系列性质．
　　达朗贝尔在1752年、欧拉在1777年分别得到了w=f(z)为解析函数的条件是
　　这个条件被人称为达朗贝尔―欧拉条件．后来柯西、黎曼进行过更为详细的研究，因而今天又被称之为“柯西―黎曼条件”，简称C―R条件．
　　18世纪拉普拉斯也研究过复变函数．他们主要是利用复变函数进行积分．
　　进入19世纪后，高斯进行了大量的工作．在威塞尔(C．Wessel，1745―1818)、阿尔冈(J．R．Argand，1768―1822)等人工作的基础，他系统地引入了复数a＋bi的几何表示、向量表示及其运算，是在，1811年左右，他引进了有关单复变函数的一些基本概念，对于复函数及复变函数积分已有很明确的概念．
　　泊松(S．D．B．Poisson，1781―1840)在1815年讨论了沿复平面的路径所取的复函数的积分，他是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人．
　　19世纪复变函数论的全面发展，主要是柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等人的贡献．
　　柯西研究复变函数的动机之一，是为了找到定积分的统一计算方法．1814年他在巴黎科学院宣读了《关于定积分理论的报告》(M&moire
Sur la th&orie des int&grales
d&fi-nies)一文(该论文发表于1825年)，处理了复函数的积分问题．1825年，他写了《关于积分限为虚数的定积分的报告》(M&moire
Sur les int&grales d&finies
prises ent-re des limites imaginaires)(发表于1874年)，在这篇重要的论文中，详细讨论了复变函数的积分
　　其中z=x+iy．他定义这个积分为
　　的极限，其中x0，x1，…，X及y0，y1，…，Y是沿着从(x0，y0)到(X，Y)的路径的分划点．他叙述并证明了：若f(x+iy)对于x0≤
　　1826年左右，柯西提出并发展了留数的概念．他开始时把f(z1)称
　　在z1的留数也是f(z)展为z-z1的幂级数展开式中(z-z1)-1项的系数．1841年，他给出了在一个极点的留数的公式
　　1846年，他得到了关于沿着一条任意闭曲线的积分∫f(z)dz的一个新结果：若曲线包围着一些极点，那么积分的值就是函数在这些极点上的留数之和的2πi倍，即489∫f(z)dz=2πiE[f(z)]E[f(z)]是柯西发明的代表留数之和的符号．
　　1831年，柯西推出了著名的积分公式
　　其中c是区域D的边界，而z是D内任一点．
　　1831年，他还得到了这样的重要结论：函数f(z)可以按照马克劳林公式展开成为一个幂级数，它对所有这样的z收敛――z的绝对值小于使函数或其导数不为有穷或不连续的z．
　　以解析式表示的函数的导数和积分为基础，从1821年开始，在长达25年的年代里，柯西建立了一整套复变微分和积分的理论．
　　在高斯的指导下，黎曼于1851年11月以论文《单复变函数的一般理论的基础》(Grundlagen
f&r eine allegemeineTheorie der Functionen
极高评价的博士论文奠定了复变函数论的基础．
　　黎曼将单值解析函数推广到多值解析函数，在这个过程中，他引入了黎曼曲面这一重要概念，从而建立了复变函数的几何理论基础．如w2＝z是一个多值函数，对每一个z的值，有w的两个值与之相对应．为
　　给每一个分支引进一个z值平面，并且在每一个平面上引进一个点对应于z=∞．这样两个z平面(两叶)就可以按一定方式在z=0和z=∞处连接起来，由此就组成黎曼面．
　　多值函数越复杂，则黎曼面越复杂．一个n值函数需要一个n叶(即n个z值平面)黎曼面．黎曼面不仅是描绘多值函数的一个十分有效的办法，而且能有效地使多值函数在曲面上单值，与z平面上的情形相对应．这样一来，许多关于单值函数的定理可以推广到多值函数．
　　在研究多值函数方面，有许多重要的概念困惑了不少数学家．直到1850年以后，皮瑟(V．Puiseux，
1820―1883)才第一次弄清了极点与支点的区别，而在这之前柯西几乎没有察觉到二者之间的区别．皮瑟还引入了本性奇点的概念．柯西引入了切支分割的概念．在这些工作的基础上，黎曼建立了黎曼面的连通数和支点数之间的关系．
　　1859年，黎曼在其著名论文《论不超过一个给定值的素数个数》中，将素数分布问题归结为一个复函数
　　即著名的“黎曼ζ函数”．他提出了这样的黎曼猜想：ζ(z)位于0≤x
　　猜想至今仍未解决．这样，黎曼就在数论研究中使用了解析数论这一工具，促进了解析函数论和数论的发展．
　　与柯西、黎曼不同，魏尔斯特拉斯开辟了一条新的途径探讨复变函数论．他完全摆脱了几何直观，以从他老师古德曼(C．Gudermann，
1798―1852)那里学来的幂级数为工具，在幂级数的基础上建立起解析函数的理论，并建立起了解析开拓的方法．
　　魏尔斯特拉斯定义解析函数是可以展开为幂级数的函数，然后围绕着奇点研究函数的性质．他解决了这样的问题：从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其他区域内定义同一函数的另一些幂级数．
　　一个在以α为圆心以r为半径的圆C内收敛的z－α的幂级数，代表一个在圆C内的每一个z值上解析的函数，在圆C内选择一点b并利用原始级数所给出的函数及其各阶导数的值，可以得到z－b的一个新的幂级数，它的收敛圆C′与第一个收敛圆C交迭．在两个圆的公共点上，这两个级数给出函数的同一个值．但是，对于C′的处在C外部的点，第二个级数的值是第一个级数定义的函数的一个解析开拓．尽可能这样继续下去，从C′接连地开拓到其它的圆，就得到f(z)的全部解析开拓，完全的f(z)就是在所有的圆中、在所有点上的值的集合，每一个级数称为函数的一个元素．
　　在这样的解析开拓的过程中，可能出现的奇点必定位于幂级数的收敛圆的边界上．魏尔斯特拉斯还由解析开拓研究了多值函数及复变函数的其它性质．
　　在保形映射方面，19世纪取得了相当出色的成果．1825年，高斯已经解决了从一个平面到另一个平面的保形映射问题．黎曼清楚地知道，一个解析函数建立了从z平面到w平面的保形映射．1851年黎曼得到了这样的结论：两个给定的单连通平面可以一对一地并且保形地相互映射，一曲面的一个内点和一个边界点可以对应到另一个曲面上的任意选取的一个内点和一个边界点．1869年，施瓦兹(H．A．Schwarz，1843―1921)和克里斯托费尔给出了把z平面上的一个多边形及其内部保形映射到w平面上半部的公式：
　　1870年，施瓦兹等人还证明了可以将一个单连通平面区域映射到一个圆．
　　19世纪还开始了整函数、亚纯函数理论的研究．刘维尔、魏尔斯特拉斯等人做了许多有意义的工作．
　　与复变函数论的研究相关，19世纪还对椭圆函数、阿贝尔函数与积分进行了广泛深入的探讨．阿贝尔、雅可比等人做了大量有价值的工作．应该指出的是，狄利克雷为19世纪复变函数论的发展做出了巨大的贡献．以19世纪的巨大成就为基础，20世纪在复变函数方面取得了重大的进展．
　　值得指出的是，俄国物理学家茹科夫斯基(H．E．Жуков-ский，1847―1921)利用复变函数理论解决飞机机翼的流形结构问题，从而在流体力学和航空动力学方面做出了贡献，为纯粹数学理论的实际应用写下了极有价值的一页．
二、傅里叶级数
　　傅里叶(J．Fourier，1768―1830)是法国著名的数学家、物理学家．他坚信“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉．”受物理问题的推动，1807年他向巴黎科学院呈交了一篇关于热传导的论文，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德的审查后而被拒绝了，为此他愤愤不平．1811年他再次呈交了经修改后的论文，终于获得了1812年的巴黎科学院的高额奖金．以获奖论文为基础，1822年，他终于发表了著名的数学经典文献《热的解析理论》(Th&orie
analytique delachaleur)．该书推导出了热传导方程、得出了在不同边界下的积分法，还提出了变量分离法．
　　这篇著作最主要的贡献是详细研究了傅里叶级数，使三角级数、无穷级数的研究进入了一个新的阶段．在讨论热传导问题时，他研究了均匀和各向同性的物体，把物质的温度T看作是空间和时间的函数，根据物理原理证明了T必须满足下述方程：
　　这个方程叫做三维空间的热传导方程，(x，y，z)是物体在空间的位置，t是时间，k是常数，其值依赖于物体的质料．以此为出发点，他建立了傅里叶级数．
　　他的工作过程可以简化如下．对两端保持温度0度，侧面绝热而无热流通过的柱轴，则三维热传导方程就变成了一维空间的热传导方程，再附以边界条件和初始条件，就得到偏微分方程：
　　为解出这个方程，他运用变量分离法，令
　　当t＝0时，有
　　于是，傅里叶就不得不回答这样的问题：f(x)能表示成三角级数吗？b，能确定吗？
　　对此，傅里叶给出了肯定的回答．
　　傅里叶令l＝π，得到
　　然后把每个正弦函数按马克劳林定理展开为幂级数，
　　经过不严格的变换求和次序的运算，他得到：
　　然后得到
　　在这一过程中，有许多地方是不严密的，但傅里叶在当时却作了一些很有意义的考察．他注意到每一个bn可以解释为当0≤x≤π时，曲线y
义的，当然这种函数也不必是连续的，或者只要能够从图形上知道就可以了．
　　傅里叶得出这样的结论：每一个函数都可以表示为
　　这一结论在18世纪曾有人提到，但却被丹尼尔?贝努利之外的几乎所有名家否定了．然而，前人的意见并没有能吓倒傅里叶，他选取了大量的函数，对每个函数计算前几个bn，并对每个函数作出其正弦级数头几项和的图形，他得出的结论是，不管在0＜x＜π外怎样，这个级数在0＜x＜π上总是表示f(x)．
　　那么为什么18世纪的数学家不能接受任意一个函数可展开为三角级数的结论呢？正如《热的解析理论》所指出的那样，他们没有认识到，两个函数可以在一给定的区间上相合，但不一定在此区间外相合．在这种情况下，级数真正给出的是0～π区间上的值，在区间外则周期地重复着．
以应用于表达式
　　他接着考虑任何f(x)在区间(－π，π)上的表达式．利用任何函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和这一事实，对于任何f(x)在区间(-π，π)上，可以表示为：
　　这就是傅里叶级数，其系数an，bn由下式确定
　　对于任意的函数可以展开成傅里叶级数这一结论，傅里叶从未给出过任何完全的证明．他所依赖的是几何证据，他说：“为了证实新结果的真实性，为了明白地给出分析学常用的表达形式，没有什么比几何图形对我们更适宜了．”同时，他也没有指出一个函数可以展开为三角级数应该满足的条件．
　　傅里叶的工作标志着人们从解析函数或可展开成泰勒级数的函数中解放了出来，使函数概念产生了新的突破．以前人们坚持函数必须是可用单个式子表示的，傅里叶级数却可以表示在区间(0，π)或(－π，π)的不同部分有不同解析式的函数．一个博里叶级数在一个整段区间上表示一个函数，而一个泰勒级数仅在函数是解析的点附近表示该函数．
　　傅里叶的工作揭示出，任意函数可以展开为如三角级数、贝塞尔函数、勒让德多项式这样一些函数的级数．
　　傅里叶级数极大地促进了偏微分方程的发展．被称为19世纪偏微分方程的第一步，泊松吸收了傅里叶的方法，解决了许多热传导问题，在这些过程中使用了按三角函数、勒让德多项式、拉普拉斯曲面调和函数的展开式．
　　在1822年的著作中，傅里叶还提出了今天的“傅里叶积分”：
　　傅里叶级数、傅里叶积分等内容后来经过傅里叶本人、泊松等人的努力，发展成了一门内容十分丰富的分析分支――傅里叶分析．
　　傅里叶的工作表明，有相当广泛的一类函数可以用三角级数来表示．随后人们开始讨论傅里叶级数的收敛性、唯一性等问题．
　　狄利克雷于1829年发表《关于三角级数的收敛性》(SurlaConvergence
des S&ries trigonom&triques)一文，给出了代表一个给定f(x)的傅里叶级数是收敛的并且收敛到f(x)的条件：
　　(a)f(x)是单值、有界的；
　　(b)f(x)是分段连续的，即在(闭的)周期内只有有限多个间断点；
　　(c)f(x)是分段单调的，即在一个周期内只有有限多个最大值和最小值．
　　黎曼在1854年首次提出了三角级数表示一个函数的唯一性问题．随后，许多人对此进行了深入的研究．
　　傅里叶级数的唯一性问题引起了康托尔的兴趣．康托尔是从寻找函数的三角级数表示的唯一性的判别准则开始研究工作的．1870年，他证明了，当f(x)用一个对一切x都收敛的三角级数表示时，就不存在同一形式的另一级数，它也对每个x收敛并且代表同一函数f(x)．1871年，康托尔证明了，即使在有限个x值上不收敛，上述结论依然成立．这是康托尔论述x的例外值集合(Setof
exceptional valuse)系列论文中的第一篇．后来他又把使上述结论依然成立的不收敛的x值推广到无穷集的情形．为了区分哪些无穷集上x值不收敛时结论依然成立，康托尔开始了无穷点集合论的研究．
　　围绕着傅里叶级数，19世纪的数学取得了巨大进展．
三、微分方程
　　在19世纪的微分方程研究中，偏微分方程是数学家、物理学家关注的核心．这有两方面的原因，一方面是因为偏微分方程在物理学研究中有广泛的应用，另一方面则是由于偏微分方程的研究促进了函数论、变分法、无穷级数、常微分方程、代数、微分几何等数学分支的发展，从而在很大程度上推动了数学的进步．19世纪的常微分方程则主要集中在解的存在性、稳定性等方面的研究．
　　19世纪在解偏微分方程方面迈出第一步的是傅里叶．1807年，他向巴黎科学院提交了关于热传导方程
的论文．1822年又发表《热的解析理论》一书，其中推导出热传导方程，提出解偏微分方程的变量分离法，得到了傅里叶级数，形成了求解偏微分方程的傅里叶级数法．
　　在拉普拉斯工作的基础上，傅里叶、柯西、泊松在寻求偏微分方程封闭形式的解――即用初等函数及其积分表示的解方面也取得了重要成果，其中之一是得到了重要的傅里叶积分：
　　傅里叶积分是傅里叶、柯西、泊松分别独立得到的．
　　在求解位势方程
方面，19世纪的工作是由格林(G．Green，1793―1841)开始的．1828年，格林出版了一本私人印刷的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》(An
Essay on the Appl－ication of Mathematical
Analysis to the Theoriesof Electricity and Magnetism)，在这本小册子中，引入了位势概念，并且把位势函数的概念移用到电磁学中．他求解位势方程解的方法与用特殊函数的级数方法相反，称为奇异点方法．1833年，格林开始研究变密度椭球体的引力位势问题，并给出了超球面函数的重要结果．同时，还研究了泊松方程：
　　在19世纪中叶，为求解位势方程还引入了复函数论的技术．
　　在求解热传导方程的过程中，拉梅(G．Lam&，1795―1870)引入了另外一个解方程技巧――使用曲线坐标系．这种技巧适用于多种类型的方程．他的想法是引入新的坐标系和相应的坐标面．这一思想实际上是平面直角坐标系、球面坐标系以及坐标系变换思想的推广与普遍化．
　　拉梅引入了几个新的坐标系，其中的主要坐标系是三族曲面，由下列方程给出：
　　其中λ2＞c2＞μ2＞b2＞v2．这三族曲面是椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面，它们的焦点是相同的．
　　诸如此类的新坐标系和坐标曲面具有双重意义：(1)在直角坐标系中，一个偏微分方程可能不能分离成这坐标系中的常微分方程，但在另一个坐标系中可能是可分离的；(2)物理问题可能需要一个边界条件(如椭球上的边界条件)，这样的边界条件在有一族以诸如椭球面组成坐标面的坐标系中可以简明地表示出来，而在坐标系中却必须用相当复杂的方程，不仅如此，在所采用的适当的坐标系中经变量分离后，这个边界条件恰好可应用于所得微分方程中的一个方程．
　　波动方程是19世纪最重要的偏微分方程，其基本形式是
　　在变量可分离的情况下，该方程求解过程与傅里叶求解热传导方程相似．黎曼在研究有限振幅声波传播的过程中，提出了一种十分有价值的解波动方程初值问题的方法．在讨论稳态问题的过程中，极大地促进了解波动方程的进展．对于人们感兴趣的简单谐波，有u=w(x，y，t)eikt，把它代入波动方程，得到
　　这就是简化波动方程，又称赫尔姆霍茨(H．V．Helmholtz，1821―1894)方程．赫尔姆霍茨给出了关于这个方程的解的第一个普遍的研究．以此为基础，基尔霍夫(G．R．Kirchhoff，1824―1887)给出了波动方程初值问题的一种解．
　　19世纪，在偏微分方程组方面也取得了重大进展．1821年，纳维尔(C．L．M．H．Navier，1785―1836)得到了粘性介质的流体动力方程：
　　1828年左右，柯西等人得到了弹性介质方程组
　　1864年麦克斯韦(J．C．Maxwell，1831―1879)在研究电磁现象时建立了电磁理论方程组(麦克斯韦方程组)．
　　这些方程组都不存在普遍解法，当时数学家、物理学家的工作是解决这些方程特殊化的许多初值和边界问题．正是基于对电磁理论方程组的研究，麦克斯韦大胆地预言：电磁波以光速通过空间，两速度基本相同，光是电磁现象．为此，电磁方程组被欢呼是科学的最伟大、最壮观的胜利之一．
　　在常微分方程方面，具体的求解主要是借助于引进一些特殊函数来实现的，如高斯引进的超几何函数，等等．
　　天文学方面的工作激起了人们对二阶常微分方程的兴趣．由于n体问题不可能明显地解出，因此不得不求助于复杂的级数，同时又由于讨论行星或卫星轨道的稳定性问题，于是数学家去寻求周期解．美国数学家希尔(G．W．Hill，1838―1914)创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论．在1877年的论文中，他求出了对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解．他还证明了二阶微分方程有周期解，从而证明了月球近地点的运动是周期性的．庞加莱证明了希尔所进行的工作的严密性，这使得希尔的工作终于为数学界承认了．
　　在研究线性微分方程的过程中，庞加莱和F．克莱因引入了自守函数(Automorphic
functions)．他们的自守函数包括圆函数、双曲函数、椭圆函数，以及那些在变换群
　　或这个群的某些子群作用下不变的函数，其中a，b，c，d可以是实数或复数，而ad－bc＝1．在研究二阶线性微分方程
时还引进了更一般的自守函数．利用这些新引入的自守函数(它们大都是超越函数)，可以求解很多类型的线性微分方程．
　　19世纪早期，人们在求解微分方程的过程中毫无根据地假设了通解的存在．在19世纪20年代，柯西率先提出，应把解的存在问题放在首位，于是从1820年开始，柯西最先研究解的存在问题，1820―1830年给出了第一个存在性定理，这个定理所提供的方法可以应用于y′=f(x，y)，这一结果在1869年由李普希茨(R．Lipschitz，1832―1903)所改进，成了今天熟知的关于微分方程解的存在的柯西―李普希茨定理．1839―1842年，柯西给出了第二个存在性定理．1838年刘维尔给出了第三个存在性定理，这一结果在1890由皮卡(E．Picard，1856―1941)加以改进，而形成了今天著名的“皮卡逐次逼近法”，柯西也知道这一方法．不仅如此，柯西还给出了常微分方程组在复数域内解的存在定理．
　　19世纪中期，布里奥(C．A．A．Briot，
1817―1882)和布凯(J．C．Bouquet)开始研究由常微分方程定义的函数的奇点，从而使常微分方程走上了用函数论方法进行研究的新的历程．1857年，黎曼提出了用关于单值群的理论导出微分方程所定义的函数的思想，在这种思想的指导下，富克斯(L．Fuchs，1833―1902)于1865年左右创立了复数域中的常微分方程论，并且为之奠定了理论基础．
　　对于偏微分方程来说，若求出了显解，则解的存在性不证自明．求不出显解时数学家们则需要证明解的存在．柯西在1842年的论文中证明，任何阶数大于1的偏微分方程都可以化归为偏微分方程组，他证明了方程组的解的存在性，为此，他给出了判定存在性的优势函数法．
　　1875年，魏尔斯特拉斯的著名女学生、俄国数学家柯瓦列夫斯卡娅(C．B．Ковалевская，1850―1891)发表了关于偏微分方程组的解的存在性定理，这个定理在今天被称为Cauchy―Ковалевская存在定理．
　　许多数学家还用直接方法或狄利克雷原理的方法讨论了狄利克雷问题Δv＝0的解的存在性．1870年，施瓦兹给出了关于二维狄利克雷问题的第一个存在性证明．同年，诺伊曼(C．G．Neu－mann，1832―1925)用算术平均法给出了三维狄利克雷问题的存在性证明．后来，庞加莱于1890年，希尔伯特于1899年用不同的方法也对狄利克雷问题解的存在性给出了证明．
　　1888年，皮卡对充分小的区域证明了某些椭圆型方程如拉普拉斯方程加Δv=0的解的存在性，此后人们又将这些结论作了推广．19世纪人们还讨论了偏微分方程的初值问题和边值问题，施瓦兹、庞加莱得到了一些成果．
　　19世纪下半叶，非线性方程也引起了人们的关注．18世纪人们讨论过的摆动方程、变分法中的欧拉方程，等等，都是非线性微分方程，人们还没有能找出这些方程的一般解法．
　　对非线性微分方程的研究之所以引人注目，是因为当时需要解决“三体问题”――太阳、月球、地球在万有引力场中的相对运动，这些问题不仅具有重大的理论意义，而且对于航海也有意义．但人们却发现，三体问题的运动方程不可能用已知函数明显地解出，于是，庞加莱就开始了非线性常微分方程的定性研究．
　　既然诸如三体问题的运动方程不可能用已知函数明显地解出，因此稳定性问题就不可能通过考察解的性态而得到解决．于是，庞加莱就寻求通过考察微分方程本身就可以回答问题的方法，他称他所创立的这个理论为微分方程的定性理论．
　　庞加莱从形如
　　的非线性方程出发，以起关键性作用的奇点为核心，在1881年、1882年、1885年、1886年表述在四篇本质上是同一标题的论文《关于由微分方程确定的曲线的报告》(M&moire
Sur lescourbes d&finies par une &quation
diff&ren－tielle)中，系统地阐述了他的定性理论．他讨论了以下几个方面的问题：(1)奇点附近积分曲线的几何拓扑结构；(2)奇点的指数及奇点在大范围和全局的分布；(3)极限环问题即孤立的周期解；(4)环面上的积分曲线；(5)空间周期解的存在及其在附近曲线的几何拓扑结构．在1890年的《论三体问题和动力学方程》(Sur
le probl&me de trois corps et les &quations
de la dynamique)一文中，他还讨论了微分方程组
　　引入了渐近级数的概念．
　　微分方程定性理论的另一位创始人是李雅普诺夫(A．M．Ля-пунов，1857―1918)．1892年，他发表了题为《运动稳定性的一般问题》(Общая
задача Об
устойчивости движения)的论文，在稳定性问题方面进行了大量的研究．与庞加莱依赖几何拓扑直观不同，李雅普诺夫应用了十分严密的分析证明，其中主要工具是特征方程，今天这些内容已进入了一般的微分方程教科书．
四、概率论与统计学
　　概率论的起源可以追溯到17世纪帕斯卡与费马在通信中对赌博问题的讨论．1657年惠更斯的《论赌博中的计算》一书是概率论中最早的论著．1713年，詹姆士?贝努利发表《猜度术》(ArsConjectandi)一书，提出了著名的“贝努利随机变数”和“贝努利大数定律”．1718年棣莫弗出版《机会的学说》(Doctrineof
chances)一书，提出了著名的“棣莫弗―拉普拉斯定理”：
　　其中m(n)是在n次试验中成功的次数．他还第一次引入了正态
　　贝叶斯(T．Bayes，1702―1761)首先引入了条件概率的贝叶斯公式：
　　1777年，布丰(C．D．Buffon，1707―1788)的《或然算术试验》(Essai
d′arithmatique morale)一书刊行．其中提出了著名的“布丰投针问题”：将一根长2l的针任意投在画有很多平行线的平面上，每
　　18世纪，蒙莫尔(P．R．de
Montmort，1678―1719)，丹尼尔?贝努利、辛普森(T．Simpson，1710―1761)以及棣莫弗都力主将概率论应用于人文、社会科学中．
　　19世纪早期，拉普拉斯完善了古典概率论．1812年，他出版了《概率的分析理论》(Th&orie
analytique des probabilit-es)，1814年又出版了《关于概率的哲学探讨》(Essai
Philosop－Rique Sur le Probabilites)，宣称世界的一切(包括最难以预料的偶然事件)完全由它的过去决定，人们只要掌握了世界在一给定时刻的状态的数学初始条件，就能预测未来．他给出了古典概率的定义，并通过数学研究指出巴黎地区男、女婴出生比例失调，后来人们调查这一情况，发现其原因是这一地区有遗弃女婴的习俗．
　　拉普拉斯首先引入了“动距离函数”(moment generatingfunction)．令x为离散的随机函数，则称
　　为x的动距母函数．
　　他给出了数学期望的公式
　　他还求出了当n很大时，n次重复实验中出现m次成功的概率(其中p为成功的概率)：
　　高斯、泊松为19世纪概率论做出了不可磨灭的贡献．高斯、勒让德分别提出了“最小二乘法”．高斯导出了误差分布函数
　　泊松在1837年的一篇论文中最先给出了“大数定律”这个名称，并导出了大数法则：
　　还给出了泊松分布：
　　俄国数学家在19世纪后半叶在概率论方面也取得了卓越成就．切比雪夫(П.Л.Чебьшев，1821―1894)证明了著名的“切比雪夫不等式”：
　　并得到了大数定理：
　　马尔科夫(A．A．Mарков，1856―1922)得到了
　　还提出了著名的马尔科夫链．李亚普诺夫引进了随机变数X的特征函数，并由此证明了极限定理．
　　统计学在19世纪也得到了发展，虽然在17―18世纪也进行过各种统计研究，并且在1797年的《大英百科全书》中第一次出现了统计(statistics)这个词．但是，我们却不能不看到，在现代科学意义下的统计学却是在19世纪才诞生的．1840年左右，比利时天文学家、统计学家奎特勒(L．A．J．Quetelet，1796―1874)把正态曲线从观察误差推广到各种数据，将概率理论应用到人口学、社会科学及保险业等，为在人文科学、社会科学中进行开发统计研究迈开了一大步．他在这方面的著名成就是道德统计学(moral
statistics)和普通人论(theory of avera-ge
man)．1856―1863年，孟德尔(G．H．Mendel，1822-1884)发现了著名的遗传学统计规律，从而建立了孟德尔遗传学基础．1880年左右，达尔文的表兄高尔顿(F．Galton，1822―1899)，第一个使用了相关和回归这两个非常重要的统计概念，利用统计方法研究遗传因果关系，创立了著名的“祖先遗传律”和“子女超中律”，对生物计量学(biometry)作出了巨大贡献．
　　统计学之父是英国统计学家皮尔逊(K．Pearson，1857―1936)．1885年左右，他将统计与概率理论结合起来，研究基本的统计问题，求出了能通用的用来描述研究群体的数学公式，形成了较为系统的数学理论．1901年，他还与高尔顿一起首创“生物计量学”(biometry)一词，使生物统计成了统计学的重要内容．
　　吉布斯(J．W．Gibbs，1839―1903)于1870年左右提出了经典统计力学基础的系统理论，从而也成为统计学的奠基人之一．他将概率理论应用于化学，创立了重要的相律(the
phaserule)．而在1864年，麦克斯韦已经将概率、统计理论应用于物理学，开创了统计物理学．1877年，波尔茨曼(L．E．Boltz－man，1844―1906)运用统计数学从事分子能量研究，提出了分子动能的常态分布，从而创立了气体分子运动论．统计学进入物理研究，使得物理学研究在20世纪出现了量子力学等重要理论，从而出现了与决定论抗衡的非决定论，在数学、科学乃至人类思想史上具有重要意义．
　　概率、统计学的发展与应用的日益广泛，促进了纯粹数学与应用数学的分化，也促进了数学向其他人文科学、社会科学的渗透．