求求一阶微分方程的通解解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-03 02:42 标签： 二阶微分方程的通解
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二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y??+py?+qy=0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.
能否适当选取r, 使y=erx
满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入方程
y??+py?+qy=0
(r 2+pr+q)erx =0.
由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=erx就是微分方程的解.
特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y??+py?+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时, 函数、是方程的两个线性无关的解.
函数、是方程的解, 又不是常数.
因此方程的通解为
(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
这是因为, 是方程的解, 又
所以也是方程的解, 且不是常数.
因此方程的通解为
(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a?ib时, 函数y=e(a+ib)x、y=e(a?ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数y1?e(a+ib)x和y2?e(a?ib)x都是方程的解? 而由欧拉公式? 得
y1?e(a+ib)x?e?x(cos?x?isin?x)?
y2?e(a?ib)x?e?x(cos?x?isin?x)?
y1?y2?2e?xcos?x? ?
y1?y2?2ie?xsin?x? ?
故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解. 可以验证, y1=eaxcosbxy2=eaxsinbx是方程的线性无关解.
y=eax(C1cosbx+C2sinbx ).
求二阶常系数齐次线性微分方程y??+py?+qy=0的通解的步骤为:
写出微分方程的特征方程
求出特征方程的两个根r1、r2.
根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.
例1 求微分方程y??-2y?-3y=0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r2-2r-3=0, 即(r?1)(r?3)?0?
其根r1=-1, r2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为
y=C1e-x+C2e3x.
例2 求方程y??+2y?+y=0满足初始条件y|x=0=4、y?| x=0=-2的特解.
解 所给方程的特征方程为
r2+2r+1=0, 即(r?1)2?0?
其根r1=r2=?1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为
y=(C1+C2x)e-x.
将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而
y=(4+C2x)e-x.
将上式对x求导, 得
y?=(C2-4-C2x)e-x.
再把条件y?|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为
x=(4+2x)e-x.
例 3 求微分方程y??-2y?+5y= 0的通解.
解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0?
特征方程的根为r1=1?2i? r2=1?2i? 是一对共轭复根?
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
n 阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + ? ? ? + pn-1y?+pny=0,
称为n 阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p1,
p2 , ? ? ? , pn-1, pn都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所
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常微分方程的通解与全部解的关系
　　【摘要】本文针对常微分方程只重视研究通解，而忽视全部解的现象，讨论了通解与全部解的关系：微分方程的全部解应由通解与特解、常数解构成；当特解与常数解都能包含于通解时，通解才是全部解；而对全微分方程、线性方程（组），它们的通解就是全部解.由此可以改进常微分方程的教学体系. 中国论文网 /9/view-4586964.htm　　【关键词】常微分方程；通解；全部解 　　一、通解与特解、常数解构成全部解 　　根据常微分方程解的定义，下面的结论显而易见. 　　定理1一个常微分方程的全部解通常包括通解以及不能包含在通解内的特解或常数解. 　　求解常微分方程，应该求出它的满足条件的全部解，即使有时只要求初值问题的解，但是为了避免漏解，仍然必须讨论原方程的全部解.有关于此的例子，散见于所有《常微分方程》教材中“初等积分法”的“变量可分离方程”、“齐次方程”等章节，然而这些教材却没有介绍定理1，有些例题的解答默认了定理1，显然有失严密性.下面谨以常用的实例略加说明. 　　教材在解答类似问题时缺省了表出全部解的步骤，这样容易导致两个问题，一是初值问题的解为什么要借助通解来研究，二是用这样的方法求初值问题的解会不会造成漏解. 　　本例给出的解答很好地避免或解决了上述问题，因为根据定理1，本题的特解只能从通解和常数解中探求. 　　虽然本题只要求初值问题的解，但是讨论原方程的全部解却是解答此类问题必不可少的重要内容. 　　二、通解是全部解的条件 　　三、线性方程（组）的通解就是全部解 　　【参考文献】 　　[1]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005. 　　[2]王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004. 　　[3]钱明忠，陈友朋.常微分方程的通解[J].高等数学研究，）.
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求微分方程的通解，要详细步骤谢谢
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由dy/dx+xy=0得dy/y=-xdx,∴lny=-x^2/2+c,y=e^(-x^2/2+c),设y=e^[-x^2/2+c(x)],则y'=[-x+c'(x)]e^[-x^2/2+c(x)],代入y'+xy=xe^(-x^2)①得[-x+c'(x)]e^[-x^2/2+c(x)]+xe^[-x^2/2+c(x)]=xe^(-x^2),化简得e^c(x)*c'(x)=xe^(-x^2/2),积分得e^c(x)=-e^(-x^2/2),无解。仅供参考。
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微分方程求通解一定是一样的吗？收藏
微分方程求通解一定是一样的吗？我和答案用的方法不一样，答案都不一样，是我做错了吗？
不一定，你把求出来的求下导，一样的就对了
方法没错就行，有的结果不一样但其实相差一个常数。
把你自己的结果带进去看看
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