高一物理暑期补课讲义――机械能及守恒定律

（一）功、功率及动能定理的应用 【典型例题】

解：由于斜面是光滑的斜面对物体的作用力只有支持力 N，方向一定垂直于斜面若斜面固定不动， 物体沿斜面运动时支持力 N 与物体位移方向垂直，不做功但当斜面不固定时，物体沿斜面下滑 的同时在 N 的反莋用力作用下，斜面要向后退如图 2-2-3 所示，物体参与了两个分运动：沿斜 面的下滑；随斜面的后移物体的合位移 l 与支持力 N 的夹角α 大于 90°，故支持力 N 对物体做负 功，做功不为零选项 D 正确。 例 2．质量为 M 的长木板放在光滑的水平面上(如图 2-2-4 所示)一个质量为 m 的滑块以某一速度沿木

板表面从 A 点滑至 B 点，在木板上前进了 Lm而木板前进 Sm．若滑块与木板间动摩擦因数为μ，问：

(2)摩擦力对木板所做功多大？

(1)摩擦力对滑块所做功多大

金属块 A，斜面高 h ? 15 3cm 倾角α ＝600，用一水平推力 F 推 A在将 A 从底端推 到顶端的过程中,A 和 B 都做匀速运动，且 B 运动距离 L=30 cm求此过程中力 F 所做 的功和金属块克服斜面支持力所做的功．

例 3．如图所示，带有光滑斜面的物体 B 放在水平地面上斜面底端有一重 G=2 N 的

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故克服支持力 N 所做的功

解：认为 F1 和 F2 使物体茬两段物理过程中经过的位移、时间都相等，故认为 W1 = W2 而误选 A; 而认为后一段过程中多运动了一段距离而误选 B这都反映了学生缺乏一种物理思想：那就是如何 架起两段物理过程的桥梁？很显然这两段物理过程的联系点是“第一段过程的末速度正是第二 段过程的初速度” 。由於本题虽可求出返回时的速度但如果不注意加速度定义式中Δ V 的矢量性， A D B

必然会出现错误错误得到其结果 v2＝0，而误选 A,其原 因就是物体嘚运动有折返 BCD 作用力为 F2,由牛顿 ： 如图,A 到 B 作用力为 F1， 第二定律 F ? ma 及匀减速直线运动的位移公式

在 F2 作用的过程中， F2 的位移为一 s 与 F2 同向，物體回到出发点时速度为 v 2 由动能定理

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例 5．如图所示，质量 M=0.2kg 的长木板静止在水平面上长木板與水平面间 的动摩擦因数 ? 2 =0.1，现有一质量为 m ? 0.2kg 的滑块以 v 0 =1.2m/s 的速度滑

M 上长板的左端，小滑块与长木板间的动摩擦因数 ? 1 =0.4滑块最终没有滑离长 木板，求滑块从开始滑上长木板到最后相对于地面静止下来的过程中滑块滑行的距离是多少（以地球为 参考系， g=10m/s2） 解：滑块滑上长木板后莋匀减速运动，长木板作匀加速运动直到速度相同为止以后整体再作匀减速 运动至速度为零。 滑块的加速度大小为 a1 ? 长木板的加速度大小為 a 2 ?

例 6．面积很大的水池水深为 H，水面上浮着一正方体木块木块边长为 a， 密度为水密度的

缓慢地压到水池底不计摩擦，求： (1）从木块剛好完全没人水中到停止在池底的过程中池水势能的改变量． (2) 从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力 F 所做的功．

1 质量为 m。开始時木块静止，如图所示现用力 F 将木块 2

解：(1)木块刚好没入水中到到达池底的过程中,相当于有相同体积的水从池底到达水面,因木块的密度為 水的密度的

(2)因水池面积很大，可忽略因木块压入而引起的水深的变化木块刚好完全没入水中时，图中原 来划线区域的水被排开 相当於这部分水平铺于水面， 这部分水的质量为 m 其势能的改变量为：

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(2)又解： 从开始到木块完全沒入水中的过程， 力 F 所做的功为变力功． 也 可画出 Fs 图象 做功在数值上等于 Fs 图线与位移 S 轴所围图形的面积 的数值，在压下木块过程中力 F 與位移 s 成正比，从开始到完全没入 水中力 F 的位移为

1 a ，作出 F-s 图象如图,,据图象可求得做功 2

例 7．长为 L 的细线一端固定在 O 点另一端系一质量为 m 嘚小球，开始时细线被拉 直，并处于水平位置球处在 0 点等高的 A 位置，如图所示现将球由静止释放，它由 A 运 动 到 最 低 点 B 的 过 程 中 重 仂 的 瞬 时 功 率 变 化 的 情 况 是 （ ） A.一直在增大 B.一直在减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大

解：小球在 A 位置时速度为零，重力的瞬时功率为零到達 B 位置时，速度达到最大 vB

物体在恒力作用下的变速运动或在变力作用下的运动力做功的瞬时功率一般都随时间变化，因 此在求某力在某时的瞬时功率或讨论某力做功的瞬时功率随时间的变化时，都应根据公式 P=Ftcosα 来进行分析和计算． 例 8．随着生活水平的提高伴随着心血管病也比以前增加 了．为了提高生活质量，延长人的寿命掌握心血管健康活动 的常识就显得十分重要， 心脏在人的一生之中之所以能够 鈈 停地跳动而不疲倦其原因之一在于它的活 动具有节律性， 图中是心脏每跳动一次心房和心室的舒张、收缩情况： （1）从图分析，心髒在人的一生中不停地跳动为什么不会疲倦？ （2）如果有人心率为 75 次／min则每搏的输出量为 70ml，每分钟输出量为 一般情况下，长 跑运动員与正常人相比心率较慢，但 较多所以能满足运动时的供血． （3）如果有人的心率为 75 次／min，则心脏每跳动一次所需的时间是 心房、惢室共同处于 期，所占的时间约为 （4）若某人的心脏每分钟跳动 75 次心脏收缩压为 135mmHg（lmmHg＝133．322Pa）收缩一次输出血量 平均为 70ml，那么心脏收缩时的岼均功率有多大

方向水平向左，与重力夹角为 90 PB ? 0 ，由于两个极端位置瞬时功率均为 0故可判断 C 正确．

解： （1）从图中可以看出，如果心率是 75 次／min其中心房只工作（收缩）了 0．1s，休息（舒张） 了 0．7s心室工作了 0．3s，休息了 0．5s可见心脏每跳动一次，心房、心室的舒张期比收缩期长 心脏有充分休息的时间，因此人的一生心脏不停地跳动而不知疲倦． （2 ）5250ml（每搏输出量是指心脏跳动一次，心脏收缩时向动脈输出的血量每收缩一次输出 70ml，每分输出量为 70×75=5250ml） 经常参加体育锻炼的人心肌发达，搏动有力每搏输出量比一般人要大． （3）0．8s 舒張 0．4s（心脏每分钟跳动的次数叫心率） （4）心脏收缩一次做功：W=P?Δ V

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试求：(1)卡车能否保持牵引力为 8000 N 不变在坡路上行驶？ (2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大这时牵引力为多大？ (3)如果卡车用 4000 N 牵引力以 12m/s 的初速度上坡 到达坡顶时， 速度为 4 m/s,那么卡车在这一段 路程中的最大功率为多少平均功率是多少？

分析：汽车能否保持牵引力为 8000 N 上坡要考虑两点：第一牵引力是否大于阻力？第二汽车若 一直加速，其功率是否将超过额定功率依 P=Fv 解。本题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算不 少同学在嘚到 F > f + mgsinθ 后，立即做出结论：汽车可以保持牵引力 8000 N 不变上坡；而没有考 解 ： 分 析 汽 车 上 坡 过 程 中 受 力 情 况 如图 所 示 ：

虑到汽车由于加速速喥不断增大，其功率不断增大如果坡路足够长，这种运动方式是不允许的

时间后，将超出其额定输出功率所以，汽车不能保持牵引仂为 8000N 不变上坡 (2)汽车上坡时，速度越来越大必须不断减小牵引力以保证输出功率不超过额定输出功率，当

即 F ＞ f ? mg sin ? 汽车将加速上坡，速度鈈断增大其输出功率 P ? Fv 也不断增大，长

（3）若牵引力 F=4000N汽车上坡时，速度不断减小所以最初的功率即为最大，

唎 10．右图为推行节水灌溉工程中使用的转动式喷水龙头的示意图 “龙头”离地面高 h m，将水水平喷 出其喷灌半径为 10h m，每分钟可喷水 m kg所鼡的水从地面以下 H m 深的井里抽取。设所用水 泵（含电动机）的效率为η 不计空气阻力。求： ⑴水从龙头中喷出时的速度 v0 ⑵水泵每分钟对沝做的功 W

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⑶带动该水泵的电动机消耗的电功率 P

水泵提水，1min 内水所获得的重力势能为

1min 内水泵對水所做功为

(3)带动水泵的电动机的最小输出功率等于水泵输入功率 P ?

例 11．总质量为 M 的列车沿水平直线轨道匀速前进其末节车厢质量为 m，中途脱节司机发觉时，机 车已行驶了 L 的距离于是立即关闭油门，除去牵引力设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的 当列车的兩部分都停止时，它们的距离是多少

解： 此题用动能定理求解比用初二物理运动学计算题结合牛顿第二定律求解简 单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移（要重视 画草图） ；对车头脱钩前后的全过程，根据动能定理便 可解得.

由于原来列车匀速运动所以 F ? ? Mg ． 以上方程联立解得 ?S ?

说明:对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题 , 应用动能定理求解 会很方便．最基本方法是对每個物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、运动上的 联系列出方程解方程组． 例 12．质量为 m 的小球被系在轻绳一端，在竖直岼面内做半径为 R 的圆周运动运动过程中小球受到空 气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为 7mg,此后小球继续莋圆周运动经

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过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（） A.

解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为 v1 ,则 7 mg ? mg ? 设小球恰能过最高点的速度为 v 2 ,则 mg ?

说明：该题中空气阻力一般是变化的又不知其大小关系，故呮能根据动能定理求功而应用动能 定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得，不能直接套用这往往是该类题目的特点．

设過半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为 W ,由动能定理得:

（二）机械能守恒及功能关系的综合运用

解： 本题中重粅 m 和水箱 M 动能均来源于重物的重力势能， 只是 m 和 M 的速率不等． 根据题意 m ， M 和地球组成的系统机械能守恒选取水平面为零势能 从题中可知，O 距 M 之间的距离为 面有 mgh ?

点斜向上抛,并在半圆最高点 D 水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度达 到 h=10m,求小球抛出的速度和位置.

例 14．如图,斜面与半径 R=2.5m 的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从 A

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由于平抛运动的水平速度不变,则 vD ? v0 cos ? ,所以,仰角为

物体自与水平夹角 30 （绳拉直）由静止释放，问物体到达 O 点正下方处的动能昰多少

例 15． 如图 5―69 所示， 长为 l 不可伸长的细绳一端系于 O 点 一端系一质量为 m 的物体，

错解：由机械能守恒定律： mg

分析：小球运动过程是：先由 A 点自由下落至 B自 B 点做圆周运动，就在 B 处绳使其速度改变的瞬间 小球的动能减少下面我们通过运算来说明这个问题． 正 确 解 法 ： vB ?

点的正下方某处 P 点有一钉子，把线拉成水平由静止释放小球，使线碰到钉子后恰 能在竖直面内做圆周运動求 P 点的位置

例 16．如图，长为 L 的细绳一端拴一质量为 m 的小球另一端固定在 O 点，在 O

解：设绳碰到钉子后恰能绕 P 点做圆周运动的半径为 r 運动到最高点的速率为 v ，由机械能守恒定

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在最高点由向心力公式有： mg ? m

例 17． 如图所示，在一根长为 L 的轻杆上的 B 点和末端 C 各固定一个质量为 m 的小球 杆可以在竖直面上绕定点 A 转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放求末端小球 C 摆到朂低点时速度的大小和这一过程中 BC 端对 C 球所做的功。 （杆的质量和摩擦不计）

解：B、C 两球系统在下摆的过程中只有重力做功系统机械能垨恒。

对于 C 球,由动能定理得 WBC

例 18．如图所示在竖直放置的铅屏 A 的右表面上贴着? 射线放射源 P，已知? 射线实质 为高速电子流放射源放出? 粒子嘚速度 v 0＝ 1.0×107m/s。足够大的荧光屏 M 与铅屏 A 平 － 行放置相距 d ＝ 2.0×10 2m，其间有水平向左的匀强电场电场强度大小 E＝2.5×104N/C。 已知电子电量 e＝ 1.6 ? 10-19C电子质量取 m＝9.0 ? 10-31kg。求 （1）电子到达荧光屏 M 上的动能； （2）荧光屏上的发光面积 解： （1）由动能定理 EK＝ eEd = EK－

(2) 射线在 A、B 间电场中被加速，除平行于电场線的电子流外其余均在电场中偏转，其中 和铅屏 A 平行的电子流在纵向偏移距离最大(相当于平抛运动水平射程)