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甲乙两地相距60千米,快慢两辆汽车分别从甲乙两地同时出发相向而行,30分钟后两车相遇,相遇后两车继续前进,又经过20分钟快成到达乙地.此时慢车距甲地还有多少千米?（要分析过程,谢谢）
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20km,计算过程如下,你可以根据情况合并计算步骤.设甲车速度为A,乙车速度为B,则：甲车的速度为：A=60÷（30+20）=1.2km/min乙车前30分钟前进的距离为与甲车后20分钟的距离相等,为1.2×20=24km乙车的速度为B=24÷30=0.8km/min乙车总行驶距离为0.8×（30+20）=40km所以乙车距离甲地的距离为60-40=20km
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快车用了50分钟走了60km，速度是1.2km/min，那么相遇时慢车走了60-1.2*30=24km，则慢车速度是0.8km/min,60-0.8*50=20km
假设快车速度a千米/小时，慢车速度b千米/小时所以列2个方程式为：1/2a+1/2b=60，1/2a+1/3a=60解得：a=72千米/小时，b=48千米/小时所以60-48*(1/2+1/3)=20千米即慢车距甲地还有20千米
快车的速度是:60/[(30+20)/60]=72千米/时.二车的速度和是:60/(30/60)=120千米/时那么慢车的速度是:120-72=48千米/时.所以,此时慢车离甲地还有:60-48*5/6=20千米.
1/3*v1=1/2*v2v1=1.5v2 1/2(v1+v2)=601/2*2.5v2=60v2=48s2=48*1/3=16千米又s1=48*1/2=24千米所以s0=60-16-24=20千米
两车的速度之和v1+v2=60km/0.5h=120km/hv1=60km/[(20+30)/60]h=72km/hv2=120km/h-72km/h=48km/hs=60km-48km/h*[(20+30)/60]h=20km
扫描下载二维码两车同时从甲乙两地相向而行，轿车的速度是6万米每时卡车的速度是48000米每时，两车相遇时叫车比卡_百度知道
两车同时从甲乙两地相向而行，轿车的速度是6万米每时卡车的速度是48000米每时，两车相遇时叫车比卡
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两车同时从甲乙两地相向而行,轿车的速度是60千米/每小时,卡车的速度是48千米/每小时,两车相遇是时轿车比卡车多行30千米.甲乙两地相距多少千米?（60+48）×【30÷（60-48）】=108×【30÷12】=108×2.5=270千米
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两车同时从甲乙两地相行,一辆小车的速度每小时60千米,一辆卡车的速度是每小时48千米,两车相遇时小汽车比卡车多行30千米.求两车开出后几小时相遇?甲乙两地相距多少千米?请说明基本原理及其公式好吗谢谢了
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小汽车每小时比卡车多行60-48=12千米小汽车比卡车多行30千米用时=30/12=2.5小时两地相距=2.5*（60+48）=270千米
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相对速度的原理
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小学奥数1至6
小学数学奥数1--6年级培优讲座计数问题排列组合讲义1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？ 分析：从5个元素中取3个的排列：P（5、3）=5×4×3=602、从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？ 分析：个位数字是0：P（5、4）=120；个位数字是5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除0在首位的排列）合计120＋96 =216另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。 f3、用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？分析：由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始，易知第19个是7245，第20个7254。4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等于12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第24个这样的四位数是多少？分析：首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11，共有P（3、3）=6个；⑵2＋4＋5=11，共有P（3、3）=6个；首位是2：剩下3个数的和是10有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有P（3、3）=6个；⑵1＋4＋5=10，共有P（3、3）=6个；以上正好24个，最大的易知是2631。5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如等，求全体这样的四位数之和。分析：这样的四位数共有P（4、1）×P（4、3）=96个1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）×000；
1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；
1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；
1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；总和为000＋99806、计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、……、10000时，不幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x， 问其中被错误打印的共有多少个数？
1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？ 分析：从5个元素中取3个的排列：P（5、3）=5×4×3=602、从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？分析：个位数字是0：P（5、4）=120；个位数字是5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除0在首位的排列）合计120＋96=216另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。3、用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？分析：由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始，易知第19个是7245，第20个7254。4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等于12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第24个这样的四位数是多少？分析：首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11，共有P（3、3）=6个；⑵2＋4＋5=11，共有P（3、3）=6个；首位是2：剩下3个数的和是10有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有P（3、3）=6个；⑵1＋4＋5=10，共有P（3、3）=6个；以上正好24个，最大的易知是2631。5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如等，求全体这样的四位数之和。分析：这样的四位数共有P（4、1）×P（4、3）=96个1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）×000；1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；
1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；
1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；总和为000＋99806、计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、??、10000时，不幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x，问其中被错误打印的共有多少个数？
分析：共有10000个数，其中不含数字3的有：五位数1个，四位数共8×9×9×9=5832个，三位数共8×9×9=648个，二位数共8×9=72个，一位数共8个，不含数字3的共有1＋＋72＋8=6561所求为1=3439个7、在之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，并且4个数字各不相同的四位数有多少个？分析：1□3□结构：8×7=56，3□1□同样56个，计112个；2□4□结构：8×7=56，4□2□同样56个，计112个；3□5□结构：8×7=56，5□3□同样56个，计112个；4□6□结构：8×7=56，6□4□同样56个，计112个；5□7□结构：8×7=56，7□5□同样56个，计112个；6□8□结构：8×7=56，8□6□同样56个，计112个；7□9□结构：8×7=56，9□7□同样56个，计112个；2□0□结构：8×7=56，以上共112×7×56=840个8、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？分析：因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=479、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有P（7、2）=42张，（相当于从7个元素中取2个的排列），现在有P（10、2）=90，所以增加90－42=48张不同车票。方法二：1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张，3、起点、终点均为新站有3×2=6张，以上共有21＋21＋6=48张10、7个相同的球放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？ 分析：因为7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从6个加号中取3个的组合，C（6、3）=20种11、从19、20、21、22、??、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？分析：76个数中，奇数38个，偶数38个偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703种，奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703种，以上共有703＋703=1406种12、用两个3，一个1，一个2可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？ 分析：因为有两个3，所以共有P（4、4）÷2=12个13、有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？分析：第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴，共有C（5、3）=10，第二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴方法，所以可能情况共有10×2=20种。分析：共有10000个数，其中不含数字3的有：五位数1个，四位数共8×9×9×9=5832个，三位数共8×9×9=648个，二位数共8×9=72个，一位数共8个，不含数字3的共有1＋＋72＋8=6561所求为1=3439个7、在之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，并且4个数字各不相同的四位数有多少个？分析：1□3□结构：8×7=56，3□1□同样56个，计112个；2□4□结构：8×7=56，4□2□同样56个，计112个；3□5□结构：8×7=56，5□3□同样56个，计112个；4□6□结构：8×7=56，6□4□同样56个，计112个；5□7□结构：8×7=56，7□5□同样56个，计112个；6□8□结构：8×7=56，8□6□同样56个，计112个；7□9□结构：8×7=56，9□7□同样56个，计112个；2□0□结构：8×7=56，以上共112×7×56=840个8、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？分析：因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=479、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有P（7、2）=42张，（相当于从7个元素中取2个的排列），现在有P（10、2）=90，所以增加90－42=48张不同车票。方法二：1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张，3、起点、终点均为新站有3×2=6张，以上共有21＋21＋6=48张10、7个相同的球放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？ 分析：因为7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从6个加号中取3个的组合，C（6、3）=20种11、从19、20、21、22、??、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？分析：76个数中，奇数38个，偶数38个偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703种，奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703种，以上共有703＋703=1406种12、用两个3，一个1，一个2可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？ 分析：因为有两个3，所以共有P（4、4）÷2=12个13、有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？分析：第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴，共有C（5、3）=10，第二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴方法，所以可能情况共有10×2=20种。
14、有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张，标有数码“2”的有2张，标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的有3张，把这9张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？分析：⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构：在剩下的6个位置中，3个“4”必须隔开，共有奇、偶位2种放法，在剩下的3个位置上“1”有3种放法（同时也确定了“2”的放法）。由乘法原理得共有2×3=6种不同的放法。⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：结构一： 3个“3”和3个“4”共有2种放法，再加上2和1可以交换位置，所以共有2×2=4种；结构二：3个“4”有奇、偶位2种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有的“3”，加上2和3可以交换，所以共有2×2=4种；14、有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张，标有数码“2”的有2张，标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的有3张，把这9张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？分析：⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构：在剩下的6个位置中，3个“4”必须隔开，共有奇、偶位2种放法，在剩下的3个位置上“1”有3种放法（同时也确定了“2”的放法）。由乘法原理得共有2×3=6种不同的放法。⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：结构一： 3个“3”和3个“4”共有2种放法，再加上2和1可以交换位置，所以共有2×2=4种；结构二：3个“4”有奇、偶位2种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有的“3”，加上2和3可以交换，所以共有2×2=4种；
结构三：3个“3”有奇、偶位2种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的“4”，加上2和4可以交换位置，所以共有2×2=4种，以上共有4＋4＋4=12种不同的放法。15、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？分析：⑴4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和6个演唱共有7个节目，全排列7！，加上4个舞蹈本身也有全排4！，所以共有7！×4！=120960种。⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱包括头尾共有7个空档，7个空档取出4个放舞蹈共有P（7、4），加上6个演唱的全排6！，共有P（7、4）×6！=604800种。
行程问题讲义1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？分析：解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟解法2：设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40分钟结构三：3个“3”有奇、偶位2种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的“4”，加上2和4可以交换位置，所以共有2×2=4种，以上共有4＋4＋4=12种不同的放法。15、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？分析：⑴4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和6个演唱共有7个节目，全排列7！，加上4个舞蹈本身也有全排4！，所以共有7！×4！=120960种。⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱包括头尾共有7个空档，7个空档取出4个放舞蹈共有P（7、4），加上6个演唱的全排6！，共有P（7、4）×6！=604800种。行程问题讲义1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？分析：解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟解法2：设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40分钟因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟答：他走后一半路程用了42.5分钟。2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：解法1：设路程为180，则上坡和下坡均是90。设走平路的速度是2，则下坡速度是3。走下坡用时间90/3=30，走平路一共用时间180/2=90，所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。解法2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75解法3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75答：上坡的速度是平路的0.75倍。3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？分析：解法１，第二小时比第一小时多走6千米，说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。顺水走1小时比逆水多走8千米，说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同，这段时间里的路程差是5-3=2千米，等于1小时路程差的1/4，所以顺水速度是每小时5*4=20千米（或者说逆水速度是3*4=12千米）。甲、乙两地距离是12*1+3=15千米解法２，顺水每小时比逆水多行驶8千米，实际第二小时比第一小时多行驶6千米，顺水行驶时间=6/8=3/4小时，逆水行驶时间=2-3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=8*5/（5-3）=20千米/小时，两地距离=20*3/4=15千米。答：甲、乙两地距离之间的距离是15千米。4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？分析：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5*8=40（分钟）。答：他从乙站到甲站用了40分钟。5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。问：甲现在离起点多少米？分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20=59（米）因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟答：他走后一半路程用了42.5分钟。2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：解法1：设路程为180，则上坡和下坡均是90。设走平路的速度是2，则下坡速度是3。走下坡用时间90/3=30，走平路一共用时间180/2=90，所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。解法2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75解法3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75答：上坡的速度是平路的0.75倍。3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？分析：解法１，第二小时比第一小时多走6千米，说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。顺水走1小时比逆水多走8千米，说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同，这段时间里的路程差是5-3=2千米，等于1小时路程差的1/4，所以顺水速度是每小时5*4=20千米（或者说逆水速度是3*4=12千米）。甲、乙两地距离是12*1+3=15千米解法２，顺水每小时比逆水多行驶8千米，实际第二小时比第一小时多行驶6千米，顺水行驶时间=6/8=3/4小时，逆水行驶时间=2-3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=8*5/（5-3）=20千米/小时，两地距离=20*3/4=15千米。答：甲、乙两地距离之间的距离是15千米。4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？分析：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5*8=40（分钟）。答：他从乙站到甲站用了40分钟。5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。问：甲现在离起点多少米？分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20=59（米）
答：甲现在离起点59米。6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？分析：解法1：甲比乙1小时多走8千米，一共多走32*2=64千米，用了64/8=8小时，所以距离是8*（56+48）=832（千米）解法2：设东西两地距离的一半是X千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32），解得X=416，距离是2*416=832（千米）解法3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离=2*32/（1/13）=832千米。答：东西两地间的距离是832千米。7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校4*（0.5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）答：骑车人每小时行驶20千米。8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？分析：解法１，快车5小时行过的距离是慢车12.5-5=7.5小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行1个单程用5小时，如果不停，再次相遇需要5*2=10小时，如果两车都停0.5小时，则需要10.5小时再次相遇。快车多停30分钟，这段路程快车与慢车一起走，需要30/（1+2/3）=18（分钟）所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟解法2：回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了0.5/12.5=1/25全程，两车合起来少开1/25，节省时间=5*1/25=0.2小时，所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小时。答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分钟。9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？解：汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相遇时间是2：20，2点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？分析：两人相向而行，路程之和是AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是AB，AB=速度差*追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速度差=1.4-1=0.4。所以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时）答：甲现在离起点59米。6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？分析：解法1：甲比乙1小时多走8千米，一共多走32*2=64千米，用了64/8=8小时，所以距离是8*（56+48）=832（千米）解法2：设东西两地距离的一半是X千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32），解得X=416，距离是2*416=832（千米）解法3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离=2*32/（1/13）=832千米。答：东西两地间的距离是832千米。7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校4*（0.5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）答：骑车人每小时行驶20千米。8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？分析：解法１，快车5小时行过的距离是慢车12.5-5=7.5小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行1个单程用5小时，如果不停，再次相遇需要5*2=10小时，如果两车都停0.5小时，则需要10.5小时再次相遇。快车多停30分钟，这段路程快车与慢车一起走，需要30/（1+2/3）=18（分钟）所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟解法2：回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了0.5/12.5=1/25全程，两车合起来少开1/25，节省时间=5*1/25=0.2小时，所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小时。答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分钟。9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？解：汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相遇时间是2：20，2点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？分析：两人相向而行，路程之和是AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是AB，AB=速度差*追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速度差=1.4-1=0.4。所以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时）
答：甲追上乙需要3小时。11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？分析：狗跑2步时间里兔跑3步，则狗跑6步时间里兔跑9步，兔走了狗5步的距离，距离缩小1步。狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米）答：狗追上兔时，共跑了60米。12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快4千米，张比李早到20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张又前进了8千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？分析：解法1，张速度每小时8/（20/60）=24（千米），李速度每小时24-4=20（千米），张到乙时超过李距离是20*（20/60）=20/3（千米）所以甲乙距离=24*（20/3/4）=40（千米）解法2：张比李每小时快4千米，现共多前进了8千米，即共骑了8/4=2小时，张从甲到乙用了2*60-20=100分钟，所以甲乙两地距离=（100/20）*8=40千米。答：甲、乙两地之间的距离是40千米。13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。问这时是几时几分？ 分析：爸爸第一次追上小明离家4千米，如果等8分钟，再追上时应该离家8千米，说明爸爸8分钟行8千米，爸爸一共行了8+8=16分钟，时间是8点8分+8分+16分=8点32分。答：这时8点32分。14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？分析：兔子跑了00米，这段时间里乌龟跑了=1980米，兔子睡觉时乌龟跑了=8020米答：兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。分析：解法1，大车如果中间不停车，要比小车多费17-5+4=16分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即1/0.8=5/4，所以大车行驶时间是16/（5-4）*5=80分钟，小车行驶时间是80-16=64分钟，走到中间分别用了40和32分钟。大车10点出发，到中间点是10点40分，离开中点是10点45分，到达终点是11点25分。小车10点17分出发，到中间点是10点49分，比大车晚4分；到终点是11点21分，比大车早4分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11点5分。答：甲追上乙需要3小时。11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？分析：狗跑2步时间里兔跑3步，则狗跑6步时间里兔跑9步，兔走了狗5步的距离，距离缩小1步。狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米）答：狗追上兔时，共跑了60米。12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快4千米，张比李早到20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张又前进了8千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？分析：解法1，张速度每小时8/（20/60）=24（千米），李速度每小时24-4=20（千米），张到乙时超过李距离是20*（20/60）=20/3（千米）所以甲乙距离=24*（20/3/4）=40（千米）解法2：张比李每小时快4千米，现共多前进了8千米，即共骑了8/4=2小时，张从甲到乙用了2*60-20=100分钟，所以甲乙两地距离=（100/20）*8=40千米。答：甲、乙两地之间的距离是40千米。13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。问这时是几时几分？ 分析：爸爸第一次追上小明离家4千米，如果等8分钟，再追上时应该离家8千米，说明爸爸8分钟行8千米，爸爸一共行了8+8=16分钟，时间是8点8分+8分+16分=8点32分。答：这时8点32分。14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？分析：兔子跑了00米，这段时间里乌龟跑了=1980米，兔子睡觉时乌龟跑了=8020米答：兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。分析：解法1，大车如果中间不停车，要比小车多费17-5+4=16分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即1/0.8=5/4，所以大车行驶时间是16/（5-4）*5=80分钟，小车行驶时间是80-16=64分钟，走到中间分别用了40和32分钟。大车10点出发，到中间点是10点40分，离开中点是10点45分，到达终点是11点25分。小车10点17分出发，到中间点是10点49分，比大车晚4分；到终点是11点21分，比大车早4分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11点5分。
解法2：大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍，大轿车的用时是小轿车用时的1/0.8=1.25倍，大轿车比小轿车多用时17-5+4=16分钟，大轿车行驶时间=16*（1.25/0.25）=80分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64分钟，小轿车比大轿车实际晚开17-5=12分钟，追上需要=12*0.8/（1-0.8）=48分钟，48+17=65分=1小时5分，所以，小轿车追上大轿车的时间是11时5分答：小轿车追上大轿车的时间是11点5分。
第二讲义1、某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？分析：从排尾到排头用的时间是450/（3-1.5）=300秒，从排头回排尾用的时间是450/（3+1.5）=100秒，一共用了300+100=400秒答：需要400秒。2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是多少米？分析：设火车速度是每秒X米。行人速度是每秒3.6*=1（米），骑车人速度是每秒1.8*=3（米）根据已知条件列方程：（X-1）*22=（X-3）*26，解得：X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米） 分析２，骑车人速度是行人速度的10。8/3。6=3倍，22秒时火车通过行人（设行人这22秒所走的路程为1），车尾距骑车人还有2倍行人22秒所走的路程，即距离2；26秒（即又过4秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11，火车行2+6/11=28/11，火车与骑车人的速度比为28/11：6/11=14：3；火车速度=14*10.8/3=504千米/小时；火车车长=（）*22/米。答：这列火车的车身总长是286米。3、一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与华车从相遇到离开所用的时间。分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，车身长=20*23-210=250米 客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）答：客车与火车从相遇到离开的时间是190秒。4、铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去。14小时10分钟追上向北行走的一位工人，15秒种后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？分析：解法1：工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟14时16分+24分=14时40分解法2：（车速-工速）*15=车长=（车速+学速）*12,那么工速+学速=（车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）*车长解法2：大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍，大轿车的用时是小轿车用时的1/0.8=1.25倍，大轿车比小轿车多用时17-5+4=16分钟，大轿车行驶时间=16*（1.25/0.25）=80分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64分钟，小轿车比大轿车实际晚开17-5=12分钟，追上需要=12*0.8/（1-0.8）=48分钟，48+17=65分=1小时5分，所以，小轿车追上大轿车的时间是11时5分答：小轿车追上大轿车的时间是11点5分。第二讲义1、某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？分析：从排尾到排头用的时间是450/（3-1.5）=300秒，从排头回排尾用的时间是450/（3+1.5）=100秒，一共用了300+100=400秒答：需要400秒。2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是多少米？分析：设火车速度是每秒X米。行人速度是每秒3.6*=1（米），骑车人速度是每秒1.8*=3（米）根据已知条件列方程：（X-1）*22=（X-3）*26，解得：X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米） 分析２，骑车人速度是行人速度的10。8/3。6=3倍，22秒时火车通过行人（设行人这22秒所走的路程为1），车尾距骑车人还有2倍行人22秒所走的路程，即距离2；26秒（即又过4秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11，火车行2+6/11=28/11，火车与骑车人的速度比为28/11：6/11=14：3；火车速度=14*10.8/3=504千米/小时；火车车长=（）*22/米。答：这列火车的车身总长是286米。3、一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与华车从相遇到离开所用的时间。分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，车身长=20*23-210=250米 客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）答：客车与火车从相遇到离开的时间是190秒。4、铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去。14小时10分钟追上向北行走的一位工人，15秒种后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？分析：解法1：工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟 14时16分+24分=14时40分解法2：（车速-工速）*15=车长=（车速+学速）*12,那么工速+学速=（车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）*车长
而14点10分火车追上工人，14点16分遇到学生时，工人与学生距离恰好是（车速-工速）*6=6/15*车长这样，从此时到工人学生相遇用时（6/15*车长）/[（1/12-1/15）*车长]=（6/15）/（1/12-1/15）=24分答：工人与学生将在14时40分相遇。5、东、西两城相距75千米。小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15千米。3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到3人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？分析：3人相遇时间即明与强相遇时间，为75/（6.5+6）=6小时，小辉骑了15*6=90千米 答：小辉共骑了90千米。6、设有甲、乙、两3人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。现甲从A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。问：3人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？分析：如图，甲与乙在M点相遇，甲走了AM，同时乙也走了同样距离BN。当甲与乙在P点相遇时，乙一共走了BP，甲还要走PB，而丙只走了MA。所以3人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到。分析２，由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。将整个路程分成4份，甲丙最先相遇，丙骑行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行2*3/4=3/2份，总步行4-3/2=5/2份；乙步行1+（2-3/2）=3/2，骑行4-3/2=5/2份，所以，丙最先到，甲最后到。 答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。而14点10分火车追上工人，14点16分遇到学生时，工人与学生距离恰好是（车速-工速）*6=6/15*车长这样，从此时到工人学生相遇用时（6/15*车长）/[（1/12-1/15）*车长]=（6/15）/（1/12-1/15）=24分答：工人与学生将在14时40分相遇。5、东、西两城相距75千米。小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15千米。3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到3人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？分析：3人相遇时间即明与强相遇时间，为75/（6.5+6）=6小时，小辉骑了15*6=90千米 答：小辉共骑了90千米。6、设有甲、乙、两3人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。现甲从A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。问：3人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？分析：如图，甲与乙在M点相遇，甲走了AM，同时乙也走了同样距离BN。当甲与乙在P点相遇时，乙一共走了BP，甲还要走PB，而丙只走了MA。所以3人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。甲最远，最后到；丙最短，最先到。分析２，由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。将整个路程分成4份，甲丙最先相遇，丙骑行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行2*3/4=3/2份，总步行4-3/2=5/2份；乙步行1+（2-3/2）=3/2，骑行4-3/2=5/2份，所以，丙最先到，甲最后到。 答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。
7、有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇后6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？分析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙6分钟的路程之和=（100+75）*6，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此甲、乙相遇时走了：[（100+75）*6/（80-75）]分钟，两村的距离是（100+80）*[（100+75）*6/（80-75）]=37800（米）答：东、西两村之间的距离是37800米。8、甲、乙、丙3人进行200米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。）分析：乙跑200-20=180米比丙多跑25-20=5米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑200/180*5=5（5/9）=5.56（米）答：当乙到达终点时，丙离终点还有5.56米。9、张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米。赵上午8时从甲地出发。傍晚6时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？分析：甲、乙距离是5*12=60（千米），赵的速度是60/10=6（千米），赵追上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间是8+4=12（点）分析２，赵晚走2小时，此时张已走出5*2=10千米，李走出4*2=8千米，从上午8时到下午18：00时，共10个小时，赵、张同时到达乙地，赵每小时比张多走10/10=1千米，那么赵比李每小时多走1+1=2千米，追上需要8/2=4小时，即追上为12：00时。答：赵追上李的时间是12时。10、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？分析：快车6分钟行24*=2400（米），中车10分钟行20*=）（米）骑车人速度每分钟行（）-2400）/（10-6）=700/3（米）慢车12分钟行*6+700/3*12=3800（米），每小时行=190000（米）=19（千米）分析２，6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6*（24-20）/60=0.4千米，10分钟时，中车又开了4*20/60=4/3千米，追上骑车人，说明骑车人4分钟骑了4/3-0.4=14/15千米，即骑车人速度=（14/15）*（60/4）=14千米/小时，因为快车用6分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人6*（24-14）/60=1千米，12分钟时，骑车人离三车出发点1+14*12/60=3.8千米，所以，慢车速度=（3.8/12）*60=19千米/小时。答：慢车每小时行19千米。11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。分析：第一次相遇一共走了全程S，其中客车走40千米第二次相遇两车一共又走了3个全程2S，其中客车走（S+20）千米所以S+20=3*40，解得S=100（千米）7、有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇后6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？分析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙6分钟的路程之和=（100+75）*6，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此甲、乙相遇时走了：[（100+75）*6/（80-75）]分钟，两村的距离是（100+80）*[（100+75）*6/（80-75）]=37800（米）答：东、西两村之间的距离是37800米。8、甲、乙、丙3人进行200米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。）分析：乙跑200-20=180米比丙多跑25-20=5米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑200/180*5=5（5/9）=5.56（米）答：当乙到达终点时，丙离终点还有5.56米。9、张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米。赵上午8时从甲地出发。傍晚6时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？分析：甲、乙距离是5*12=60（千米），赵的速度是60/10=6（千米），赵追上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间是8+4=12（点）分析２，赵晚走2小时，此时张已走出5*2=10千米，李走出4*2=8千米，从上午8时到下午18：00时，共10个小时，赵、张同时到达乙地，赵每小时比张多走10/10=1千米，那么赵比李每小时多走1+1=2千米，追上需要8/2=4小时，即追上为12：00时。答：赵追上李的时间是12时。10、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？分析：快车6分钟行24*=2400（米），中车10分钟行20*=）（米）骑车人速度每分钟行（）-2400）/（10-6）=700/3（米）慢车12分钟行*6+700/3*12=3800（米），每小时行=190000（米）=19（千米）分析２，6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6*（24-20）/60=0.4千米，10分钟时，中车又开了4*20/60=4/3千米，追上骑车人，说明骑车人4分钟骑了4/3-0.4=14/15千米，即骑车人速度=（14/15）*（60/4）=14千米/小时，因为快车用6分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人6*（24-14）/60=1千米，12分钟时，骑车人离三车出发点1+14*12/60=3.8千米，所以，慢车速度=（3.8/12）*60=19千米/小时。答：慢车每小时行19千米。11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。分析：第一次相遇一共走了全程S，其中客车走40千米第二次相遇两车一共又走了3个全程2S，其中客车走（S+20）千米所以S+20=3*40，解得S=100（千米）
答：甲、乙两站之间的距离是100千米。12、甲、乙、丙是3个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。问：甲、丙两站的距离是多少米？分析：第一次相遇，小明走：全程的一半+100米从第一次相遇点再到追上小强时离乙站300米，300-100=200米，小明又走：全程+200米，可知第二段距离是第一段距离的2倍。小强第二段也应该走第一段的2倍，100+300=400米，所以第一段走400/2=200米。乙丙距离=200+100=300米，甲丙距离=2*300=600米。答：甲、丙两站距离是600米。13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80分钟后两人在途中相遇。张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。问：当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？分析：设李20分钟走1份距离，则80分钟走4份张20分钟后追上李，李这时走了4+1份距离，张202分钟走4+5=9份，所以速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走9个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次）答：当李明到达乙地时，张平共追上李明4次。14、甲、乙两车分别从A，B两地出发，在A，B之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么两地之间的距离等于多少千米？分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶5个AB，其中甲行5*3/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行驶7个AB，其中甲行7*3/10=2（1/10）AB，这两点的距离是5/10-1/10=4/10AB=100（千米）所以AB=100*10/4=250（千米）答：两地之间的距离是250千米。答：甲、乙两站之间的距离是100千米。12、甲、乙、丙是3个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。问：甲、丙两站的距离是多少米？分析：第一次相遇，小明走：全程的一半+100米从第一次相遇点再到追上小强时离乙站300米，300-100=200米，小明又走：全程+200米，可知第二段距离是第一段距离的2倍。小强第二段也应该走第一段的2倍，100+300=400米，所以第一段走400/2=200米。乙丙距离=200+100=300米，甲丙距离=2*300=600米。答：甲、丙两站距离是600米。13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80分钟后两人在途中相遇。张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。问：当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？分析：设李20分钟走1份距离，则80分钟走4份张20分钟后追上李，李这时走了4+1份距离，张202分钟走4+5=9份，所以速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走9个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次）答：当李明到达乙地时，张平共追上李明4次。14、甲、乙两车分别从A，B两地出发，在A，B之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么两地之间的距离等于多少千米？分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶5个AB，其中甲行5*3/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行驶7个AB，其中甲行7*3/10=2（1/10）AB，这两点的距离是5/10-1/10=4/10AB=100（千米）所以AB=100*10/4=250（千米）答：两地之间的距离是250千米。
15、两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？分析：5分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480米第一次迎面相遇，两人一共游了30米；以后两人和起来每游2*30=60米，就迎面相遇一次，480=30+60*7+30，迎面相遇了8次。甲比乙多游了（1-0.6）*5*60=120米，甲第一次追上乙时，比乙多游30米；以后每多游2*30=60米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙2次两人相遇次数=8+2=10次。分析２，甲的速度是每秒游1米，一个来回60秒=1分钟，5分钟共游了5个来回；乙的速度是每秒游0.6米，一个来回100秒，5分钟共游了5*60/100=3个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。答：在这段时间内两人共相遇10次。计算问题多位数与小数讲义1.计算：+19.91+1.991.解析：+19.91+1.991=.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009)=+2-9.999=.001=2.计算：.7÷2.7×1.7×0.7.解析：.7÷2.7×1.7×0.7=÷27×17×7=÷999×17=9×17=50.05×17=850.853.光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.）解析：÷=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分）光从太阳到地球要用约8.3分钟。4.已知105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,那么□所代表的数是多少？解析：105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)=105.5+（20+□÷4.6-1.53）÷(2×26.8÷26.8×0.125)=105.5+(18.47+□÷4.6) ÷0.25=105.5+18.47÷0.25+□÷4.6÷0.25=105.5+73.88+□÷1.15因为105.5+73.88+□÷1.15＝187.5所以□=(187.5-105.5-73.88) ×1.15=8.12×1.15=8.12+0.812+0.406=9.338答：□=9.33815、两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？分析：5分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480米第一次迎面相遇，两人一共游了30米；以后两人和起来每游2*30=60米，就迎面相遇一次，480=30+60*7+30，迎面相遇了8次。甲比乙多游了（1-0.6）*5*60=120米，甲第一次追上乙时，比乙多游30米；以后每多游2*30=60米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙2次两人相遇次数=8+2=10次。分析２，甲的速度是每秒游1米，一个来回60秒=1分钟，5分钟共游了5个来回；乙的速度是每秒游0.6米，一个来回100秒，5分钟共游了5*60/100=3个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。答：在这段时间内两人共相遇10次。计算问题多位数与小数讲义1.计算：+19.91+1.991.解析：+19.91+1.991=.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009)=+2-9.999=.001=2.计算：.7÷2.7×1.7×0.7.解析：.7÷2.7×1.7×0.7=÷27×17×7=÷999×17=9×17=50.05×17=850.853.光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.）解析：÷=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分）光从太阳到地球要用约8.3分钟。4.已知105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,那么□所代表的数是多少？解析：105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)=105.5+（20+□÷4.6-1.53）÷(2×26.8÷26.8×0.125)=105.5+(18.47+□÷4.6) ÷0.25=105.5+18.47÷0.25+□÷4.6÷0.25=105.5+73.88+□÷1.15因为105.5+73.88+□÷1.15＝187.5所以□=(187.5-105.5-73.88) ×1.15=8.12×1.15=8.12+0.812+0.406=9.338答：□=9.338
5.22.5-(□×32-24×□) ÷3.2=10 在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。那么所填的数应是多少？解析：22.5-(□×32-24×□) ÷3.2=22.5-□×(32-24) ÷3.2=22.5-□×8÷3.2=22.5-□×2.5因为22.5-□×2.5=10，所以□×2.5=22.5-10，□=(22.5-10) ÷2.5=5答：所填的数应是5。6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+?+0.99.解析：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+?+0.99=(0.1+0.9) ×5÷2+(0.11+0.99) ×45÷2=2.5+24.75=27.257.计算：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112.解析：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112=0.112×（37.5×21.5+35.5×12.5）=0.112×（12.5×3×21.5+35.5×12.5）=0.112×12.5×（3×21.5+35.5）=0.112×12.5×100=1250×（0.1+0.01+0.002）=125+12.5+2.5=1408.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7.解析：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7=7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7=7.63×91.8+91.8×2.37=(7.63+2.37) ×91.8=10×91.8=9189.计算：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2).解析：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2)=(16.4×2×91-16.4×92-16.4×40×1.75) ÷(0.2×0.2)=16.4×(182-92-70) ÷(0.2×0.2)=16.4×20÷0.2÷0.2=82×100=82005.22.5-(□×32-24×□) ÷3.2=10 在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。那么所填的数应是多少？解析：22.5-(□×32-24×□) ÷3.2=22.5-□×(32-24) ÷3.2=22.5-□×8÷3.2=22.5-□×2.5因为22.5-□×2.5=10，所以□×2.5=22.5-10，□=(22.5-10) ÷2.5=5答：所填的数应是5。6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+?+0.99.
解析：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+?+0.99
=(0.1+0.9) ×5÷2+(0.11+0.99) ×45÷2=2.5+24.75=27.257.计算：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112.解析：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112=0.112×（37.5×21.5+35.5×12.5）=0.112×（12.5×3×21.5+35.5×12.5）=0.112×12.5×（3×21.5+35.5）=0.112×12.5×100=1250×（0.1+0.01+0.002）=125+12.5+2.5=1408.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7.解析：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7=7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7=7.63×91.8+91.8×2.37=(7.63+2.37) ×91.8=10×91.8=9189.计算：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2).解析：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2)=(16.4×2×91-16.4×92-16.4×40×1.75) ÷(0.2×0.2)=16.4×(182-92-70) ÷(0.2×0.2)=16.4×20÷0.2÷0.2=82×100=8200
10.计算：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87).解析：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)=(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-2×(3.15+5.87) -(3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)=(3.15+5.87+7.32) ×(2+3.15+5.87-3.15-5.87) -2×(3.15+5.87)=(3.15+5.87+7.32) ×2-2×(3.15+5.87)=(3.15+5.87) ×2+7.32 ×2-2×(3.15+5.87)=7.32×2=14.6411.求和式3+33+333+?+33?3（10个3）计算结果的万位数字.解析：个位10个3相加，和为30，向十位进3；十位9个3相加，和为27，加上个位的进位3得30，向百位进3；百位8个3相加，和为24，加上十位的进位3得27，向千位进2；千位7个3相加，和为21，加上百位的进位2得23，向万位进2；万位6个3相加，和为18，加上千位的进位2得20，万位得数是0。答：计算结果的万位数字是0。12.计算：19+199+1999+?+199?9（1999个9）.解析：19+199+1999+?+199?9（1999个9）=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+?+(200?0（1999个0）-1)=22?20（1999个2）-1999×1=22?2(113.算式99?9（1992个9）×99?9（1992个9）+199?9（1992个9）的计算结果的末位有多少个零？解析：99?9（1992个9）×99?9（1992个9）+199?9（1992个9）=99?9（1992个9）×（100?0-1）（1992个0）+199?9（1992个9）=99?9（1992个9） 0（1992个0）-99?9（1992个9）+199?9（1992个9） =99?9（1992个9） 0（1992个0）+100?0（1992个0）=100?0（3984个0）14.计算：33?3（10个3）×66?6（10个6）.解析：33?3（10个3）×66?6（10个6）=33?3（10个3）×3×22?2（10个2）=99?9（10个9）×22?2（10个2）=(100?0（10个0）-1) ×22?2（10个2）=22?2（10个2）00?0（10个0）-22?2（10个2）=22?2（9个2）177（9个7）815.求算式99?9（1994个9）×88?8（1994个8）÷66?6（1994个6）的计算结果的各位数字之和.解析：99?9（1994个9）×88?8（1994个8）÷66?6（1994个6）=9×11?1（1994个1）×8×11?1（1994个1）÷6÷11?1（1994个1）=9×8÷6×11?1（1994个1）10.计算：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87).解析：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)=(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-2×(3.15+5.87) -(3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)=(3.15+5.87+7.32) ×(2+3.15+5.87-3.15-5.87) -2×(3.15+5.87)=(3.15+5.87+7.32) ×2-2×(3.15+5.87)=(3.15+5.87) ×2+7.32 ×2-2×(3.15+5.87)=7.32×2=14.6411.求和式3+33+333+?+33?3（10个3）计算结果的万位数字.解析：个位10个3相加，和为30，向十位进3；十位9个3相加，和为27，加上个位的进位3得30，向百位进3；百位8个3相加，和为24，加上十位的进位3得27，向千位进2；千位7个3相加，和为21，加上百位的进位2得23，向万位进2；万位6个3相加，和为18，加上千位的进位2得20，万位得数是0。答：计算结果的万位数字是0。12.计算：19+199+1999+?+199?9（1999个9）.解析：19+199+1999+?+199?9（1999个9）=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+?+(200?0（1999个0）-1)=22?20（1999个2）-1999×1=22?2(113.算式99?9（1992个9）×99?9（1992个9）+199?9（1992个9）的计算结果的末位有多少个零？解析：99?9（1992个9）×99?9（1992个9）+199?9（1992个9）=99?9（1992个9）×（100?0-1）（1992个0）+199?9（1992个9）=99?9（1992个9） 0（1992个0）-99?9（1992个9）+199?9（1992个9） =99?9（1992个9） 0（1992个0）+100?0（1992个0）=100?0（3984个0）14.计算：33?3（10个3）×66?6（10个6）.解析：33?3（10个3）×66?6（10个6）=33?3（10个3）×3×22?2（10个2）=99?9（10个9）×22?2（10个2）=(100?0（10个0）-1) ×22?2（10个2）=22?2（10个2）00?0（10个0）-22?2（10个2）=22?2（9个2）177（9个7）815.求算式99?9（1994个9）×88?8（1994个8）÷66?6（1994个6）的计算结果的各位数字之和.解析：99?9（1994个9）×88?8（1994个8）÷66?6（1994个6）=9×11?1（1994个1）×8×11?1（1994个1）÷6÷11?1（1994个1）=9×8÷6×11?1（1994个1）
=12×11?1（1994个1）=（10+2）×11?1（1994个1）=11?1（1995个1）+22?2（1994个1）=93个1）2各位数字之和=1+=5982答：计算结果的各位数字之和5982。组合问题构造与论证讲义1、有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？分析：可以。（1）标3条刻度线，刻上A，B，C厘米（都是大于1小于9的整数），那么，A，B，C，9这4个数中，大减小两两之差，至多有6个：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这4个数本身，至多有10个不同的数，有可能得到1到9这9个不同的数。（2）例如刻在1，2，6厘米处，由1，2，6，9这4个数，以及任意2个的差，能够得到从1到9之间的所有整数：1，2，9-6=3，6-2=4，61=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除1，2，6之外，还可以标出1，4，7这3个刻度线：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=8，9。另外，与1，2，6对称的，标出3，7，8；与1，4，7对称的，标出2，5，8也是可以的。2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其它5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2，3，4。问这6个三位数分别是多少？分析：6个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有2个数位相同。由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能让3个数百位是1，另外3个数百位数是2。百位是1的3个数，分别配上十位1，2，3；百位是2的3个数同样。这样先保证前两位没有完全一样的。即：11*，12*，13*，21*，22*，23*。11*最小，个位应取取最大的，4，它要求另外5个数个位均小于4。11412*较小，个位应取3，它要求前两位能吃12*的数，个位小于3。123 13*个位取2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃13*的数个位小于2。132 21*较小，个位应取3，才能不被23*和22*吃。213 22*个位取2即可。222 23*各位必须取1。231所以这6个数是114，123，132，213，222，231。3、盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？分析：如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同，则这3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6个因子，即不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有4种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3种颜色和3种规格都齐全，由于红和黄只出现1次，必须选，但是这时短已经出现2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。所以，不一定能选出。4、一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？分析：立方体的12条棱位于它的6个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有3条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。如图就是一种。=12×11?1（1994个1）=（10+2）×11?1（1994个1）=11?1（1995个1）+22?2（1994个1）=93个1）2各位数字之和=1+=5982答：计算结果的各位数字之和5982。组合问题构造与论证讲义1、有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？分析：可以。（1）标3条刻度线，刻上A，B，C厘米（都是大于1小于9的整数），那么，A，B，C，9这4个数中，大减小两两之差，至多有6个：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上这4个数本身，至多有10个不同的数，有可能得到1到9这9个不同的数。（2）例如刻在1，2，6厘米处，由1，2，6，9这4个数，以及任意2个的差，能够得到从1到9之间的所有整数：1，2，9-6=3，6-2=4，61=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除1，2，6之外，还可以标出1，4，7这3个刻度线：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=8，9。另外，与1，2，6对称的，标出3，7，8；与1，4，7对称的，标出2，5，8也是可以的。2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其它5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2，3，4。问这6个三位数分别是多少？分析：6个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有2个数位相同。由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能让3个数百位是1，另外3个数百位数是2。百位是1的3个数，分别配上十位1，2，3；百位是2的3个数同样。这样先保证前两位没有完全一样的。即：11*，12*，13*，21*，22*，23*。11*最小，个位应取取最大的，4，它要求另外5个数个位均小于4。11412*较小，个位应取3，它要求前两位能吃12*的数，个位小于3。123 13*个位取2，就不能吃前两数，同时它要求前两位能吃13*的数个位小于2。132 21*较小，个位应取3，才能不被23*和22*吃。213 22*个位取2即可。222 23*各位必须取1。231所以这6个数是114，123，132，213，222，231。3、盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？分析：如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同，则这3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6个因子，即不能有重复因子出现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有4种笔：红短，黄短，绿中，绿长，3种颜色和3种规格都齐全，由于红和黄只出现1次，必须选，但是这时短已经出现2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。所以，不一定能选出。4、一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的？分析：立方体的12条棱位于它的6个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边，因此至少有3条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。如图就是一种。
5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？分析：2×2棋盘，1个皇后放在任意一格均可控制2×2=4格；3×3棋盘，1个皇后放在中心格里即可控制3×3=9格；4×4棋盘，中心在交点上，1个皇后不能控制两条对角线，还需要1个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放2个皇后。如图所示。6、在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？分析：设第二行从左到右填入A，B，C，D，E，则A+B+C+D+E=5 若E大于0，如E=1，则B=1，A+C+D=3，小于4，矛盾，可得：E=0，A大于0小于4；若D大于0，如D=1，则B大于0，因A大于0，则A和C无法填写，所以D=0，A必等于2； A=2，可知B+C=3，只有当B=1，C=2时，ABCDE=21200，符合要求。所以第二行的5个数字是2，1，2，0，0。5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？分析：2×2棋盘，1个皇后放在任意一格均可控制2×2=4格；3×3棋盘，1个皇后放在中心格里即可控制3×3=9格；4×4棋盘，中心在交点上，1个皇后不能控制两条对角线，还需要1个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放2个皇后。如图所示。6、在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几？分析：设第二行从左到右填入A，B，C，D，E，则A+B+C+D+E=5 若E大于0，如E=1，则B=1，A+C+D=3，小于4，矛盾，可得：E=0，A大于0小于4；若D大于0，如D=1，则B大于0，因A大于0，则A和C无法填写，所以D=0，A必等于2； A=2，可知B+C=3，只有当B=1，C=2时，ABCDE=21200，符合要求。所以第二行的5个数字是2，1，2，0，0。7、在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。分析：给100个人分别编号1-100，他们知道的消息也编上相同的号码。（1）2-50号每人给1号打1次电话，共49次，1，50号得到1-50号消息。同时，52-100号每人给51号打1次电话，共49次，51，100号得到51-100号消息。（2）1号和51号通1次电话，50号和100号通1次电话，这时1，50，51，100号这4个人都知道了1-100号消息。（3）2-49号，52-99号，每人与1号（或者50，51，100号中的任意1人）通1次话，这96人也全知道了1-100号消息。这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196（次）。8、有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使得每个3×4小长方形（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？分析：能。3×4=12，有4红8蓝，即红1蓝2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。9、桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，??，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？分析：可以。按要求一共翻动1+2+3+??+×997，平均每个硬币翻997次，是奇数。而每个硬币翻奇数次，结果都是把原来朝下的一面翻上来。因为：93+（1992+1）+（1991+2）+??+（997+996）所以，可以这样翻动：第1次翻1993个，每个全翻1次；第2次与第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每个翻了一遍；第3次与第1992次（倒数第2次），第4次与第1991次，??，第997次与第998次也一样，都可以把每个硬币全翻1次。这样每个都翻动了997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。10、能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，??，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？分析：不能。假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，5行之和也必定为偶数。1+2+3+??+25的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。11、把图10-2中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？分析：不能。假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了两次，总个数为偶数。两者矛盾，假设不成立。所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数。7、在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。分析：给100个人分别编号1-100，他们知道的消息也编上相同的号码。（1）2-50号每人给1号打1次电话，共49次，1，50号得到1-50号消息。同时，52-100号每人给51号打1次电话，共49次，51，100号得到51-100号消息。（2）1号和51号通1次电话，50号和100号通1次电话，这时1，50，51，100号这4个人都知道了1-100号消息。（3）2-49号，52-99号，每人与1号（或者50，51，100号中的任意1人）通1次话，这96人也全知道了1-100号消息。这个方案打电话次数一共是（49+49）+2+96=196（次）。8、有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，使得每个3×4小长方形（不论横竖）的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？分析：能。3×4=12，有4红8蓝，即红1蓝2，横竖方向都按这个规律染成下图的样子。9、桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，??，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？分析：可以。按要求一共翻动1+2+3+??+×997，平均每个硬币翻997次，是奇数。而每个硬币翻奇数次，结果都是把原来朝下的一面翻上来。因为：93+（1992+1）+（1991+2）+??+（997+996）所以，可以这样翻动：第1次翻1993个，每个全翻1次；第2次与第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每个翻了一遍；第3次与第1992次（倒数第2次），第4次与第1991次，??，第997次与第998次也一样，都可以把每个硬币全翻1次。这样每个都翻动了997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。10、能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，??，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？分析：不能。假设可以使每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和，那么每行数的和一定为偶数，5行之和也必定为偶数。1+2+3+??+25的和是奇数，不符合要求，假设的情况不能出现。11、把图10-2中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？分析：不能。假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边，奇数之和是奇数，则五条线上的红圈，包括重复，共有奇数个。另一方面，每个圈为两线交点，每个圆圈算了两次，总个数为偶数。两者矛盾，假设不成立。所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数。
12、在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99个硬币总重量恰等于99枚真币的重量，说明伪币数为偶数。如果拿出1个真币，剩下的98个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。如果拿出1个伪币，剩下的98个里是有奇数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。所以，只要把98个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。13、在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。现知，其中一个学生共得7分，另一个学生共得20分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。分析：设7分者胜X局，负Y局；20分者胜M局，负N局，则有X-Y=7，M-N=20 假设没有1次平局，那么由于比赛局数相同，得到：X+Y=M+N，X+Y+M+N为偶数。另一方面，因为X-Y=7，X和Y两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为M-N=20，可知M和N奇偶性相同，那么M+N为偶数。得出的结果是：X+Y+M+N之和为奇数。矛盾。说明没有平局的假设不成立。所以，比赛过程中至少有一次平局。14、如图10-3，在3×3的方格表中已经填入了9个整数。如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？分析：不能。如果进行操作后，表中9个数能变为相同的数，其和必能整除3；因为每次操作是同一行或同一列的3个数加上相同的整数，增加的数也能整除3。那么，原来表中的9个数的和也必能整除3。把表中的9个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100不能整除3，与假设矛盾，所以不能实现。15、今有长度为1，2，3，??，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成（1）一个正方体框架？（2）一个长方体框架？分析：（1）不能。正方体有12条棱，金属杆长度之和能被12整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。1+2+3+??+199=19900，1+9+9=19，19不能整除3，所以长度之和不是12的整数倍。（2）可以。（1+198）+（2+197）+（3+196）+??+199，可以组成100个199，所以可以构成一个长199×12，宽199×12，高199的长方体框架，棱长共（199×12+199×12+199）×4=199×100；也可以构成一个长199×20，宽199×3，高199×2的长方体框架，棱长共（199×20+199×3+199×2）×4=199×100；等等。加法原理与乘法原理讲义12、在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币。已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于99枚真币的重量。今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币。分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99个硬币总重量恰等于99枚真币的重量，说明伪币数为偶数。如果拿出1个真币，剩下的98个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为偶数。如果拿出1个伪币，剩下的98个里是有奇数个伪币，随便分成两部分放天平上，重量之差必为奇数。所以，只要把98个硬币分两部分在天平上称，显示出的重量差只要是奇数，拿出来的那个一定是伪币。13、在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分。今有若干名学生进行比赛，每两个人之间都赛一局。现知，其中一个学生共得7分，另一个学生共得20分。试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。分析：设7分者胜X局，负Y局；20分者胜M局，负N局，则有X-Y=7，M-N=20 假设没有1次平局，那么由于比赛局数相同，得到：X+Y=M+N，X+Y+M+N为偶数。另一方面，因为X-Y=7，X和Y两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为M-N=20，可知M和N奇偶性相同，那么M+N为偶数。得出的结果是：X+Y+M+N之和为奇数。矛盾。说明没有平局的假设不成立。所以，比赛过程中至少有一次平局。14、如图10-3，在3×3的方格表中已经填入了9个整数。如果将表中同一行同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作。问：你能否通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？分析：不能。如果进行操作后，表中9个数能变为相同的数，其和必能整除3；因为每次操作是同一行或同一列的3个数加上相同的整数，增加的数也能整除3。那么，原来表中的9个数的和也必能整除3。把表中的9个数相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100不能整除3，与假设矛盾，所以不能实现。15、今有长度为1，2，3，??，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊成接成（1）一个正方体框架？（2）一个长方体框架？分析：（1）不能。正方体有12条棱，金属杆长度之和能被12整除时，才能不弯曲任何一根焊成正方体框架。1+2+3+??+199=19900，1+9+9=19，19不能整除3，所以长度之和不是12的整数倍。（2）可以。（1+198）+（2+1