常微分方程的解法2：刚性与微分代数问题_百度百科
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常微分方程的解法2：刚性与微分代数问题
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《常微分方程的解法2:刚性与微分代数问题(影印版)(第2版)》是关于刚性微分方程和微分代数系统(带约束项的微分方程)的解法《常微分方程的解法2:刚性与微分代数问题(影印版)(第2版)》共分四章,第一章介绍刚性问题的单步和外插法,第二章讲述刚性问题的多步方法和一般线性方法,第三章讨论奇异扰动问题的处理,第四章论述微分代数方程及其在约束力学系统中的应用。《常微分方程的解法2:刚性与微分代数问题(影印版)(第2版)》每一章从介绍方法开始,依次讨论实际应用、数值结果、阶和精度的理论分析,线性和非线性稳定性、收敛性和渐近展开。刚性问题和微分代数问题来源于科学计算的各个方面(如物理、化学、生物、控制工程、电网分析及力学系统)。《常微分方程的解法2:刚性与微分代数问题(影印版)(第2版)》包含了这些方面的各种应用及计算机程序。
常微分方程的解法2：刚性与微分代数问题内容简介
2003年，在澳大利亚的悉尼举行的ICIAM会议上，《常微分方程的解法2:刚性与微分代数问题(影印版)(第2版)》作者 Ernst Hairer和Gerhard Wanner被授予Peter Henrici奖。
常微分方程的解法2：刚性与微分代数问题图书目录
Chapter IV. Stiff Problems--One-step Methods 　　IV.1 Examples of Stiff Equations 　　IV.2 Stability Analysis for Explicit RK Methoods 　　IV.3 Stability Function of Implicit RK-Methods 　　IV.4 Order Stars 　　IV.5 Construction of Implicit Runge-Kutta Methods 　　IV.6 Diagonally Implicit RK Methods 　　IV.7 Rosenbrock-Type Methods 　　IV.8 Implementation of Implicit Runge-Kutta Methods 　　IV.9 Extrapolation Methods 　　IV.10 Numerical Experiments 　　IV.11 Contractivity for Linear Problems 　　IV.12 B-Stability and Contractivity 　　IV.13 Positive Quadrature Formulas and B-Stable RK-Methods 　　IV.14 Existence and Uniqueness of IRK Solutions 　　IV.15 B-Convergence 　　Chapter V. Multistep Methods for Stiff Problems 　　V.1 Stability of Multistep Methods 　　V.2 "Nearly" A-Stable Multistep Methods 　　V.3 Generalized Multistep Methods 　　V.4 Order Stars on Riemann Surfaces 　　V.5 Experiments with Multistep Codes 　　V.6 One-Leg Methods and G-Stability 　　V.7 Convergence for Linear Problems 　　V.8 Convergence for Nonlinear Problems 　　V.9 Algebraic Stability of General Linear Methods 　　Chapter VI. Singular Perturbation Problems and Index 1 Problems 　　VI.1 Solving Index 1 Problems 　　VI.2 Multistep Methods 　　VI.3 Epsilon Expansions for Exact and RK Solutions 　　VI.4 Rosenbrock Methods 　　VI.5 Extrapolation Methods 　　VI.6 Quasilinear Problems 　　Chapter VII. Differential-Algebraic Equations of Higher Index 　　VII.1 The Index and Various Examples 　　VII.2 Index Reduction Methods 　　VII.3 Multistep Methods for Index 2 DAE 　　VII.4 Runge-Kutta Methods for Index 2 DAE 　　VII.5 Order Conditions for Index 2 DAE 　　VII.6 Half-Explicit Methods for Index 2 Systems 　　VII.7 Computation of Multibody Mechanisms 　　VII.8 Symplectic Methods for Constrained Hamiltonian Systems 　　Appendix. Fortran Codes 　　Bibliography 　　Symbol Index 　　Subject Index
清除历史记录关闭% M函数euler.m
function[t,y]=euler(odefun,tspan,y0,h)
t=tspan(1):h:tspan(2);
for i=1:length(t)-1
&&& y(i+1)=y(i)+h*feval(odefun,t(i),y(i));
先保存euler.m，再在命令窗口中执行：
&& odefun=inline('y-2*t/y','t','y');
&& [t,y]=euler(odefun,[0,4],1,0.01);
&& n=length(t);
&& e=sqrt(sum((sqrt(1+2*t)-y).^2)/n);
ans =& 401.0000&&& 0.3209
欧拉法只有一阶精度，所以实际应用效率比较差，只能解低精度问题。ode23，ode45都是在此基础上的改进。
f=sym('y+2*x/y^2');
n=(b-a)/h+1;
szj=[x,y];
for i=1:n-1
&&& y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});
&&& x=x+h;
&&& szj=[x,y];
plot(szj(:,1),szj(:,2))
数据结构为：
szj =&&&&&&&& 0&&& 1.0000
&&& 0.4000&&& 1.4000
&&& 0.8000&&& 2.1233
&&& 1.2000&&& 3.1145
&&& 1.6000&&& 4.4593
&&& 2.0000&&& 6.3074
其所得图形见下图。
注：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta法求解。
刚性方程组
&&&&& 解：先写M函数eg2fun.m:
% M函数eg2fun.m
function f=eg2fun(t,y)
f(1)=-0.01*y(1)-99.99*y(2);
f(2)=-100*y(2);
% 保证f输出时是列向量
若用ode45求解有：
&& [t,y]=ode45(@eg2fun,[0,400],[2,1]);
&& toc,plot(t,y);
Elapsed time is 60.810675 seconds.
可见计算速度太慢。
&&&&& 这个问题的特点是y2下降很快，而y1下降太慢。一方面，由于y2下降太快，为了保证数据稳定性，步长h需足够小；另一方面，由于y1下降太慢，为了反映解的完整性，时间区间需足够长，这就造成计算量太大。这类方程组称为刚性方程组或病态方程组。ode45不适用于病态方程组，下面用ode45s求解。
&& [t,y]=ode15s(@eg2fun,[0,400],[2,1]);
&& toc,plot(t,y);
Elapsed time is 8.816475 seconds.
可见计算速度大大提高了。
导弹系统的改进
例3 在导弹系统中设a=90km/h，b=450km/h，T=0.1h。现要求d，&的有效范围。
&&&&& 解：有两个极端情形容易算出。若&=0，即敌舰正好背向行驶，即x轴正向。那么导弹直线飞行，击中时间为
t=d/(b-a)&T
得d=T(b-a)=36km。若&=pi，即迎面驶来，类似有d=T(b+a)=54km。一般地，应有36&d&54。下面我们考虑三种算法解例3。
&&&&& (1) 在线算法：写M函数eg3fun.m。为了防止分母为0，加了一个小正数1e-8。并且使用附加参数a，b，d，theta传递。
% eg3fun.m
function dy=missilefun(t,y,a,b,d,theta)
dydx=(a*t*sin(theta)-y(2)+1e-8)/...
&&& (abs(d+a*t*cos(theta)-y(1))+1e-8);
dy(1)=b/(1+dydx^2)^0.5;
dy(2)=b/(1+dydx^(-2))^0.5;
在指令窗口中执行：
&& theta=pi/2;
&& [t,y]=ode45(@eg3fun,[0,0.1],[0,0],[],a,b,d,theta);
&& plot(y(:,1),y(:,2));
&& max(y(:,1)-d-a*t*cos(theta))
ans =&& -5.7410
&&&&& 由于在T=0.1h内，式x(t)&=d+at cos(theta)不成立，所以敌舰不在有效打击范围，应等近一些再发射。图形见下图。
&&&&& (2) 离线算法：首先对于所有可能的d和&，计算击中所需时间，从而对不同&，得d的临界值。具体应用时直接查表判断。编写m脚本文件eg3_2.m。
theta=pi/2;
for d=54:-1:36
for theta=0:0.1:pi
[t,y]=ode45(@eg3fun,[0,0.1],[0,0],[],a,b,d,theta);
if max(y(:,1)-d-a*t*cos(theta))&0,
range(i,:)=[d,theta];
plot(range(:,1),range(:,2));
xlabel('d');
ylabel('theta');
上图中曲线上方为打击范围。由于&=1.57，d=50在曲线下方，这样即可知不在打击范围内。
&&&&& (3) 计算机模拟：一个较基本但形象的方法。对于任意选定的参数a,b,d,&,T下面的M函数提供一个导弹追击敌舰演示工具。其中使用了MATLAB动画制作指令getframe和动画播放指令movie。
% M函数eg3_3fun.m
function m=eg3_3fun(a,b,d,theta,T)
[t,y]=ode45(@eg3fun,[0,T],[0,0],[],a,b,d,theta);
x=[d+a*t*cos(theta),a*t*sin(theta)];
n=length(t);
&&& plot(x(i,1),x(i,2),'o',y(i,1),y(i,2),'r.');
&&& axis([0 max(x(:,1)) 0 max(x(:,2))]);
&&& if y(i,1)&=x(i,1),
&&&&&&& j=i;
legend('敌舰','导弹',2);
&&& plot(y(j,1),y(j,2),'rh','markersize',18);
&&& title(['导弹将在第',num2str(t(j)),'小时击中敌舰']);
&&& title(['导弹在',num2str(T),'小时内不能击中敌舰']);
&&&&& 对于敌舰速度a=90km/h，导弹速度b=450km/h，距离d=30km，敌舰行驶角度&=0.3&，反应时间T=0.1h，在指令窗口执行
&& eg3_3fun(90,450,30,0.3*pi,0.1);
得动画。可见导弹约在t=0.08时击中敌舰，位置约在(34,5.5)。
&&&&& 应该说，三种算法各有千秋。在线算法灵活，容易调整参数和模型，但速度慢。
离线算法事先计算好，实时使用查询方式，不需计算，速度极快。模拟算法比较直观、生动。
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常微分方程第二版答案第6章6-2日期：
习题6—21．求出常系数齐次性微分方程组dy?Ay的通解，其中的矩阵A分别为 dx0???11??34oa????1）??52?? 2）???ao?? 3）?0?10??????10?4?????20???????11?1?1?510? 5）?4）?5 ?1?11?1?2???49???1?1?1?1???解：1） 特征方程3??4即 (??7)(??2)?052??矩阵A有特征根，?1?7 ?2??2?v1???44??v1??v1????对应于?1?7所有的特征向量??满足(A?7E)?取?0即????0。???vv5?5v???2??2??2??1?7xv1?1，则v2?1 那么对应的实值解为y1???1??e；???v1??54??v1??v1???????对应?2??2的特征向量??满足(A?2E)??0即??????0，取v1?4，??vv54v???2??2??2??4??zx则v2??5，那么对应的实值解为 y2????5??e。于是该方程组的通解为???y1??1?7x?4??2x?????ce?c2???5??e ?y?1?1??????2?2）特征方程为??a?0 即?2?a2?0?a??矩阵A有特征根?1?ai ?2??ai?r1???ai??对应?1?ai的特征向量?应满足??a?r???2?a??v1?????0 ????ai??v2??y??1??1?取v1?1，则v2?i 即么对应的特解为?1??eaix?????(cosax?isinax)?i??i??y2??cosax??sinax?????i?? ??sinax??cosax?由此得?1?ai所对应的两个特解为（对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。）?y1??cosax??y1??sinax?? ?????????y?sinax??2???y2?2?cosax?它们在(??,??)上线性无关，故得方程组的通解：?y1??cosax??sinax??c?c??1?2?????sinax??cosax??y2??1??1?1?? 0?0 即(??4)(??1)2?0 ?4??3）01矩阵A有特征根 ?1??4，?1??2??1。 对应于?1??4 ，特征向量应满足?310??v1`??310??100?????????030v? 又????2????（只能进行行变换）?100??000??100??v????????3??0???因此与?1相应的特征向量可取为n1??0?，?1???对于二重特征根?2??1，可以算出?010??000?????(A??2E)2??000???000??10?3???319?????2因此，方程(A??2E)2??0 有二个线性无关的解为 ?10?3??0???????0?，?20??9? ?1???1?????注意到n2?2，就可得到?11?010??3??0?????????000??0???0? ?10?3??1??0????????010??0??9?????????000??9???0? ?10?3???1??3????????21从而可行基解矩阵?0??(x)??0 ?e?4x?3e?x0e?x???(3x?1)e?x??9xe?x9e?x?0??3??9x???????因此所求通解为 y??(x)C，即 y?c1?0?e?4x?c2?0?e?x?c3?9?e?x?1??1??3x?1????????5???10?204）特征方程525??10?0 49??即 ??3?9?2?25??25?0矩阵A有特征根：?1?5，?2?2?i，?3?2?i??1???对应?1?5的特征向量??2?应满足????3???10?10?20???1?????010???2??0 ?5?2??44?????3?解之得 ?1??2?3 ?2?0 取?3?1 则?1??2?y11???2?????故相应的解为 ?y21???0?e5x?y??1??31?????1???相应于?2?2?i 的特征向量??2?应满足????3???7?i?10?20???1?????53?i10????2??0 ?2??47?i?????3?取 ?1?20?10i，?2?15?5i，?3??14?2i 那么对应的复解为?20?10i??20cosx?10sinx??10cosx?20sinx???????y?e(2?i)x?15?5i??e2x?15cosx?5sinx??e2x?15sinx?5cosx?i??14?2i???14cosx?2sinx???2cosx?14sinx???????分别取实部，部可得方程组的两个实解?y12??20cosx?10sinx??y12??10cosx?10sinx?????????2xy?15cosx?5sinxy?15cosx?5sinx?22???,?22???e ?y???14cosx?2sinx??y???2cosx?14sinx??32????32???易知它们在(??,??)上是线性无关的，于是方程组的通解为?y1???2??20cosx?10sinx??10cosx?20sinx?????????2x2x2x?y2??c1e?0??c2e?15cosx?5sinx??c3e?15sinx?5cosx? ?y??1???14cosx?2sinx???2cosx?14sinx??3??????? 5）特征方程为??11111???1?1?(??2)3(??2)?01?11???11?1?11??矩阵A的特征根为?1??2， ?2??3??4?2??????1?对应于?1??2，相应的特征向量??2?应满足????3?????4????3111???????1?13?1?1??????0 ?1?13?1??2?????3??1?1?13?????4?可以算出?3111??10???13?1?1????01?1?13?1??00???1?1?13???0001??0?1??1?1?00???1????2x?1?解之得?2??3??4???1， 则?2??3??4?1那么相应的解为 e??对应于三重特征根?2?2，可以算出?3??1111???1111(A???1?1?1?1????2E)3????16?1?1?1?1? ?1?1?1?1??1?1?1?1??1?1?1?1????1?1?1?1??因此，方程(A??2E)3??0有三个线性无关解为??1?r?1????1??1?10??， ?0????0???0?r20??1?， r30??0? ???????0????0????1??注意到ni?3，可得???1111????1?1?1?1????1??1????0??0?11??1?1?1?1??0????0? ???????1?1?1?1????0????0???????21??1?1?1?1?????0????0???1?1?1?1??1????1?1?1?1??????0?????0????0?????1111??1???1?1?1?1??????0????0??0??31 ?1?1?1?1??0???1?1?1?1???????0?????1????0?? ?1???1??由以上结果，可得方程组的一个基解矩阵??e?2x??2x?e?(x)???2x?e?e?2x?e2xe2x00e2x0e2x0e2x??0??0?e2x???因此所求方程组的通解为 y??(x)c 或?y1???1??1??1??1????????????y2??2x?1?2x?1?2x?0?2x?0??ce?ce?ce?ce?y?1?1?2?0?3?1?4?0? ?3??????????1??0??0??1??y??????????4?dy?Ay?f(x)，的通解，其中： 2．求出常系数非齐次线性方程组dx?21?2??2?x??????2?1??0?A??100f(x)?0???3），； 4）， A??f(x)?????；?10??2ex??????11?1??1?x??????x2???1?10?????5）A??0?1?1?， f(x)??2x?。?x??00?1?????3）解先求对应齐次方程组的通解 特征方程2???1??2?2??1?0，特征根为?1??2?11??对于二重特征根?1?1，可以算出?1?1??00?2(A??1E)???1?1?????00??????2因此方程(A??1E)2r?0 有二个线性无关的解?0??1?? ?10?? ?20????1?? ?1??????11???1?1????1?????0?? ?21???1?1?????1?????1???????????????ex?(x)???ex??xex? x?(?1?x)e??1?1??1??0??1?1??0??1?由此可得齐次线性方程组的一个基解矩阵故非齐次方程组的通解为 ?0?y??(x)C??(x)???1(s)?s?ds?2e??1?(1?x)e?x容易求出?(x)???x?e?ex?0?故 ?(x)??(s)?s?ds??x?2e??e?1xe?x??x??e???(1?s)e?s??(x?1)ex???e?sxexse?s??0???s?ds ?e?s??2e??ex???ex??exxex??2s????ds???x????ex(x?1)e???2??xex??x2???x2ex??????? x??2x???(x?1)e???2x??(2x?x)e?于是非齐次方程组的通解为21x??x?x????xx??e ????y?c1e???c2e????2??1??x?1??2x?x?4）先求对应齐次方程组的通解2??1??1?20?1???0特征方程为?11特征根为 ?1?1，?2?i ，?3??i?1???对应于?1?1的特征向量为??1??0????2???1???1??2?i1??????0???2??0 对应于?2?i的特征向量为??2?应满足 ??1?i?1?????1?1?i?????3??3? 解之得 ?1??i?2??3，令?2?1，则?1??3??i??i??sinx?icosx?????其相应的复值解为：y?eix?1???cosx?isinx???i??sinx?icosx?????分别取实部和虚部，可得齐次方程组的两个线性无关的实解,?sinx???cosx?????y2??cosx? y??sinx?3?sinx???cosx?????从而可得齐次方程组的一个基解矩阵?ex??(x)???ex?0??e?x?cosx?0?e?x???cosx?sinx?容易求得 ??1(x)??cosxcosxsinx?cosx???sinx?sinxsinx?cosx?sinxcosx????sinx这个矩阵的逆的算法：?ex??(x)???ex?0??ex100??第一行减第三行?xcosx?sinx 010?????????e?0sinxcosx001???sinxcosx10?1??cosx?sinx 010?sinxcosx001??0 ?ex?第二行?cosx?第三行?sinx???????????excosx?0??ex第三行+第二行?（-sinx）???????????excosx?excosxsinx?0010?1??10 0cosxsinx?sinxcosx001??01?1??sinx?0cosx0?cosxsinxcos2x??010 00cosx?ex?0010?1?第三行+第一行（??sinxcosx）????????????excosx10 0cosxsinx?2?00cosx?sinxcosx?cosxsinxcosx?cosxsinx????ex0?010?1??第一行?cosx?第二行?????????010 cosxcosxsinx?cosx??00cosx?sinxcosx?cosxsinxcos2x?cosxsinx????100e?x?0?e?x????010 cosxcosxsinx?cosx??001?sinx?sinxcosx?sinx??? 这里是只能通过行变换将矩阵先变成下三角，再变成对角阵即可。自己认真算，我都能算对，大家一定可以的，复习高等代数了。我仔细算了一下，要是将齐次方程的通解写出来，再用常数变易法求出特解方程组的阶数高的时候比求矩阵的逆还复杂，所以还是建议大家用求矩阵的逆的方法来算吧。故 ??2?s?????1(s)?0?ds???1?s???????e?x?e?s????(1?s)sins?cossd?(x?1)cosx???? ??sins?(1?s)coss??(1?x)sinx?????cosx???e?x???1??????cosx?sinx??(x?1)cosx???x??(1?x)sinx??0?sinxcosx??????sinx?ex?x?1则 ?(x)??(s)f(s)ds ???e?0?所以非齐次线性方程组的通解为?1??sinx??cosx???1???x??????y?c1??1?e?c2?cosx??c3??sinx???x??0??sinx??cosx??0????????? (5)先求对应齐次方程组的通解?1??1?1??00?1?0 ?1??特征方程00特征方程根为 ?1??2??3??1。对于三重特重根 ?1??1，可以算出?0?10??000?????3(A??1E)??00?1???000??00??0????000??1??0??0???????因此方程 (A??1E)3r?0 有三个线性无关的解 r10??0?,r20???1?,r30??0??0??0??1????????0?10??1??0???????r11??00?1??0???0?，?00????0????0??0??0?10??0??1???????r21??00?1???1???0??00????0????0??0?3，?0?10??1??0???????r22??00?1??0???0??00????0????0??0?，?0?10??0??0??0?10??0??1?????????????r31??00?1??0????1?， r32??00?1???1???0??000??1??0??000??0??0??????????????1xx2????x由此可得齐次线性方程的一个基解矩阵 ?(x)??0?1?x?e?00?1???1x0???从而容易求得 ??1(x)??0?1?x?ex?001???2?1x0??x?????又 ???1(x)f(x)dx??ex?0?1?x??2x?dx?001??x??????3x2??3x2?6x?6?????x?x2 ????2x?x2?exdx???e???xx?1?????故 ?(x)???1(x)f(x)dx?1xx2??3x2?6x?6??2x2?6x?6????x??x??2?xx ??0?1?x?e??e????00?????1x?1x?1??????故非齐次线性方程组的通解为y??(x)c??(x)???1(x)f(x)dx ?x2??2x2?6x?6??1??x?????????x ?c1?0?e?x?c2??1?e?x?c3??x?e?x????0??0??1???x?1????????由于特征向量取的不同，结果肯能也不一样。但是课本答案出现ex肯定是不正确的。3．求出微分方程组dy?AY?f(x) 满足初值条件 Y(0)?? 的解，其中： dx?ex???5?1??1??2x?， ????； f(x)??（1）A??， ?1?3??0??e????????3x?0?2??f(x)??（2）A??， ?20??4?????2??， ????； ?3??????4?3??sinx??0?????（3）A??， ， f(x)??????2?1????????2cosx??0?解 （1）齐次方程组的特征方程为?5???1?(??4)2?01?3??特征根 ：?1??2??4对于二重特征根 ?1??4，可以算出
??1?1??00???(A??1E)2????1??00?? 1????2?0??1???同此方程 (A??1E)2??0 有二个线性无关解?10??， ??20?1??0?? ?????11??1?1??0???1???1?1??1???1???????????????? ?21????????????? ????????????由此可得齐次方程组的一个基解矩阵??x1?x??4x?(x)???e1?xx????x1?x?4x?从而可求得 ??1(x)??e ?1?x?x????x1?x??1?x???edx 故 ???1f(x)dx??e4x?x??1?x??x??e??15x15x1??e?(1?x)e6xe6x???xe?5256?dx ???1111?(1?x)e5x?e5x?xe6x?e6x???25636?5?16x??15x15x16x??xe?e?(1?x)e?e?25636? ???5?1(1?x)e5x?1e5x?1xe6x?1e6x???25636?5??4x12x??e?e??136? 所以 ?(x)??(x)f(x)dx??25?1ex?7e2x???36??25故非齐次线性方程组的通解为?4x12???x??4x?1?x??4x?25e?36e?y?c1??1?x??e?c2??x??e??1x72x??e?e???????36??25?119??0??1??900??1??1?由初始条件 y(0)?????0?? ?0??c1?1??c2?0???211??????????????900?解之得 c1??211781，c2?? 900900故初值问题的解为?4x12?e?e??y1?211??x??4x781?1?x??4x?2536e?e??? ????????y900?1?x?900?x??1ex?7e2x??2???36??25（2）齐次方程组的特征方程为???2??2?4?02??特征根为 ?1??2i?2?2i， 对应?2?2i 的特征向量应满足??2i?2???1? ??????0 取?1??1，则 ?2?i2?2i???2????1??0????1?故 ??e2ix?????i???(cox2x?isin2x)?i???0??1????cos2x???sinx? ????i???sin2xcos2x????从而可得齐次方程组的一个基解矩阵??cos2x?sin2x??(x)?????sin2xcos2x???coss2x?sin2x?容易求得 ?(x)????sin2xcosx2x???1??cosx2x?sin2x??2x?而 ???1f(x)dx??????dxcos2x??4???sin2x5?3??xsin2x?cos2x?2???3xcos2x?4sin2x?4??? ?dx???3xsin2x?4cos2x35???xcos2x?sin2x????24?又 ?(x)???1(x)f(x)dx5?3??5??xsin2x?cos2x??????cos2x?sin2x??24?????4? ????sin2xcos2x??xcos2x?5sin2x??x??????4?故非齐次线性方程的通解为 ?5????cos2x???sin2x??4?y?c1?? ??c2?????sin2xcos2x3?????x????2?4??2???1??0??2???????c1??c2??由初始条 y?(10)???() 有 ?5? ???????3?3??0??1??0?13,c2?3 4故初值问题的解为解之得 c1???5?13??cos2x???sin2x???4?y??? ??3?????4??sin2x??cos2x???x??135?y??cos2x?3sin2x???144或 ?133?y?sin2x?3cos2x?x2?43?(3) 齐次方程组的特征方程为4???3??2?3??22?1??特征根 ?1?1,?2?2对应 ?1?1 的特征向量应满足?1?x?3?3??r1?? ? 取 ,则 那么相应的解为 r?1r?1?012??r??1??e 2?2?????1?对应 ?2?2 的特征向量应满足?2?3??r1???2?3????r???0, 取 r1?3,则r2?2 ???2??3?2x那么相应的解为 ??2??e??从而得齐次线性方程组的基解矩阵为?ex?(x)??x?e3e2x?2x?2e?3e?x??2x??e?3e?x??sinx??dx ?2x???e???2cosx???2ex容易求得 ?(x)???2x?e?1由于 ???2e?x?f(x)dx????2x?e?1?(4cosx_2sin)e?x??? ?2x?cosxe??x?e又 ?(x)???1(x)f(x)dx??x?e3e2x??(4cos?2sinx)e?x?? 2x???2x2e???cosxe??cosx?2sinx????2cosx?2sinx????故非齐线性方程组通解为?ex??3e2x??(4cosx?2sinx)e?x?????? y?c1??2x?ex??c2?2e2x?????cosxe???????0?由初值条件 y(0)?u???0??，得???0??1??3??1??????? ???c1???c2??????? 0122????????解之得 c1??4, c2?1 因此值问题解为?ex??3e2x??(4cosx?2sinx)? y??4?x???2x????2cosx?2sinx??e??2e???y1??4ex?3e2x?cosx?2sinx或 ? 2x2x?y2??4e?2e?2cosx?2sinxdy?Ay 的任何解当 x??时都趋于零,当仅dx当它的系数矩阵A的所有特征根都具有负的实部.4.证明:常系数齐次方程组证 必要性:设特征根为 ????i?,与之对应的方程组的解可表为y?e?xf(x)。1）当 ??0 即 ??? 为实数时，f(x)的每一分量或者为一常向量，或者为x的多项式的向量函数。此时总有当 x??? 时, f(x)??或者是常向量。那么只有当 x??时, e?x?0,故?必为负实数.2）当 ??0时, ?为复数, 则此时f(x)?p(x)(cos?x?isin?x) 其中 p(x)是x的向量多项式,当x???时, f(x)??,那么,若使当x???时,有y?0成立,只有e?x?0(x???),于是,?必为负实数。充分性：若系数矩阵A的所有特征根都具有负的实部，设特征根为?????i?(??0)，与之对应的解为 y?e??xf(x)（1）当??0时，????为负数，由解的结构知，f(x)是关于x的一个多lim项式的向量函数，而已知 其中n为任意自然数，故形如（1）xn?e??x?0，x???的解当x???时，y(x)?0。（3）当??0时，?????i?是复数，由解的结构，此时（1）中的f(x)?p(x)(cos?x?isi?nx)p(x)是x的多项式向量函数，又由于 ，其中limlime??x?xncos?x?0 e??x?xnsin?x?0x???x???故形如（1）的解，当x???时，y(x)?0。本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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大一常微分方程问题,求解dy/dx=-y/(a^2-y^2)^0.5;y(0)=a（a已知）我数学不是很好讲得详细一点,先谢过了!
解微分方程的特dy/dx=-y/√(a²-y²)；y(0)=a分离变量得(1/y)√(a²-y²)dy=-dx积分之,得∫[(1/y)√(a²-y²)dy]dy=-∫dx=-x.(1)∫[(1/y)√(a²-y²)dy]dy=∫{√[1-(y/a)²]/(y/a)}dy令y/a=sinu,则y=asinu,dy=acosudu,故∫{√[1-(y/a)²]/(y/a)}dy=a∫[(cos²u/sinu)]du=a∫[(1-sin²u)/sinu]du=a[∫du/sinu-∫sinudu]=a{ln[tan(u/2)+cosu}=aln[sinu/(1+cosu)]+acosu=aln{y/[a+√(a²-y²)]}+√(a²-y²)+C代入(1)式得aln{y/[a+√(a²-y²)]}+√(a²-y²)+C=-x代入初始条件：x=0时y=a,得C=0,故得特解为aln{y/[a+√(a²-y²)]}+√(a²-y²)+x=0 再问： 那么微分方程的特解可以是一个隐函数？ 还有，a[∫du/sinu-∫sinudu]=a{ln[tan(u/2)+cosu}，我没有看懂其中∫du/sinu是怎么变化的，谢谢 再答： (1)。微分方程的解可以是隐函数。 (2)。∫du/sinu=ln(cscx-cotx)+C=lntan(u/2)+C是个积分公式，我直接用了它。 其中tan(u/2)=sinu/(1+cosu). 因为sinu=y/a，cosu=√(1-y²/a²)=(1/a)√(a²-y²) 故tan(u/2)=(y/a)/[1+(1/a)√(a²-y²)]=y/[a+√(a²-y²)].
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与《大一常微分方程问题,求解dy/dx=-y/(a^2-y^2)^0.5;y(0)=a（a已知）》相关的作业问题
令u=y/xy=uxy'=u+xu'原式化为u+xu'=e^u+u所以xu'=e^u所以e^(-u)du=dx/x那么-e^(-u)=lnx+c即e^(-u)=ln(C/x)-u=ln[ln(C/x)]所以y/x=-ln[ln(C/x)]y= -xln[ln(C/x)]
,给你个提示后面的自己算,设pcosy=t,2xp=2tany+p^3cosycosy,则2xt=2siny+t^3两边对x求导,2t+2xt‘=2t+3t^22xt‘=3t^2dt/(3t^2)=dx/(2x)
(1)令y/x=t,则y=tx,dy=xdt+tdx原方程化为：xdt/dx+t=t+tlntxdt/dx=tlntdt/(tlnt)=dx/x两边积分：ln|lnt|=ln|x|+Clnt=Cx (C≠0)t=y/x=e^(Cx) (C≠0)y=xe^(Cx) (C≠0)(2)(xy'-y)/x^2=(x+y)/x^
x+y+1=u 求导得：1+y'=u' 代入dy/dx=(x+y)/(x+y+1)u'-1=1-1/uu'=2-1/u=(2u-1)/uudu/(2u-1)=dx2udu/(2u-1)=2dx(2u-1+1)du/(2u-1)=2dx 积分得：u+(1/2)ln(2u-1)=2x+lnC/2ln(2u-1)=4x-2u
1dy/dx=(x-y+1)/(x+y-3)设u=x-y+1v=x+y-3x=(u+v)/2-1y=(v-u)/2-2dx=(du+dv)/2dy=(dv-du)/2(dv-du)/(du+dv)=u/vudu+udv=vdv-vduudu+udv+vdu-vdv=0u^2+2uv-v^2=C0通解(x-y+1)^2+
方程化为u+xu'=u+1/u,xu'=1/u,udu=dx/x,积分得u^2/2=lnx+c,解出u代入y=xu就行了
不知你的底数是多少假设是a则y'={[1+loga(x)]'[1-loga(x)]-[1+loga(x)][1-loga(x)]'}/[1-loga(x)]²={1/(xlna)*[1-loga(x)]-[1+loga(x)][-1/(xlna)]}/[1-loga(x)]²=[1/(xlna)-l
1685年,伟大的数学家莱布尼茨向数学界推出求解方程(黎卡提方程的特例)dy/dx=x2+y2的通解的挑战性问题,且直言自己研究多年未果.这个方程虽形式简单,但经150年几代数学家的全力冲击仍不得其解.1841年法国数学家刘维尔证明意大利数学家黎卡提1724年提出的黎卡提方程dy/dx=p(x)y2+q(x)y+r(x
化为标准一阶线性常微分方程即可然后是有公式的见下图吧(需要一定时间审核)
没有初等原函数(显式),所以只好用级数表示了 再问： 幂级数表示错误吧。再问： 对的，没错。 再答： 没错，这题的确无法用初等原函数表示如果非得要用个函数表示的话，就得用误差函数：
=f'(e^2x)*e^2x*2=sin(根号e^2x)*e^2x*2=2sin(e^x)*e^(2X)
【方法一】x*(dy/dx) - 2y = x^3 * e^x 两边同时除以 x^3 => (x * y ' - 2y) / x^3 = e^x左边分子分母同时乘以 x => ( y ' * x^2 - y * (x^2) ' ) / x^4 = (y / x^2) ' = e^x两边同时积分 => y/x^2 = e
lny看做以y为自变量的函数对y的导数就是1/ylny=lny(x)则是以y为中间变量x为自变量的复合函数,所以它对x的导数等于lny对y的导数1/y乘以y对x的导数y'(x),即d(lny)/dx=y'/y
dy/dx=sin(x^1/2)/y*x^(1/2)1/ydy=sin(x^1/2)/x^(1/2)dx=2d(sin(x^1/2))lny=2sin(x^1/2)+cy=c1*e^(2sin(x^1/2)) c1>0
dy/dx就是等于y',如果y=ux,两边同时对x求导,所以dy/dx=u+xdu/dx 再问： 两边求导为什么会得出u+xdu/dx呢？怎么求的？du/dx又等于多少？ 再答： 因为(uv)'＝u'v+v'u 再答： du/dx这个不需要知道，经常在题目中就是要求du/dx再问： 哦，谢谢您！
d/dx 中?第一个d后面的函数就相当于y,把这个函数对x求导. 再问： 也就是说这里的y不是指具体的一个y 而是代表一个函数表达式是吗？ 再答： 是滴
后面应该会做了吧
1.u = (lnx)² dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * 2(lnx)/x = 2(lnx)f'(ln²x)/x 2.dy = -2xdx 3.f(x) = f(-x) 该函数关于y轴对称 4.y' = e^(-x) * (-sinx) + [-e^(-x)] * c
百度百科：wolframalpha找到最后一个网址.进入后,输入 100=10.546x^3-11.026x^2+4.478x+0.7114它就会把3个根都求出来了. 楼上的是我,不清楚可以追问.