计算曲面积分的计算方法如图

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-15 22:19 标签： 曲面积分的计算方法

第十一章解题方法归纳 一、曲线積分与曲面积分的计算方法的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分的计算方法. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分的计算方法 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上嘚曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分的计算方法. 2. 在具体计算时常用到如下┅些结论： （1）若积分曲线关于轴对称，则 其中是在右半平面部分. 若积分曲线关于轴对称则 其中是在上半平面部分. （2）若空间积分曲线關于平面对称，则 . （3）若积分曲面关于面对称则 其中是在面上方部分. 若积分曲面关于面对称，则 其中是在面前方部分. 若积分曲面关于面對称则 其中是在面右方部分. （4）若曲线弧，则 若曲线弧（极坐标）则 若空间曲线弧，则 （5）若有向曲线弧则 若空间有向曲线弧，则 （6）若曲面则 其中为曲面在面上的投影域. 若曲面，则 其中为曲面在面上的投影域. 若曲面则 其中为曲面在面上的投影域. （7）若有向曲面，则 （上“+”下“-”） 其中为在面上的投影区域. 若有向曲面则 （前“+”后“-”） 其中为在面上的投影区域. 若有向曲面，则 （右“+”左“-”） 其中为在面上的投影区域. （8）与路径无关（为内任一闭曲线） （存在） 其中是单连通区域在内有一阶连续偏导数. （9）格林公式 其中為有界闭区域的边界曲线的正向，在上具有一阶连续偏导数. （10）高斯公式 或 其中为空间有界闭区域的边界曲面的外侧在上具有一阶连续偏导数，为曲面在点处的法向量的方向余弦. （11）斯托克斯公式 其中为曲面的边界曲线且的方向与的侧（法向量的指向）符合右手螺旋法則，在包含在内的空间区域内有一阶连续偏导数. 计算曲线积分或曲面积分的计算方法的步骤： （1）计算曲线积分的步骤： 1）判定所求曲线積分的类型（对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分）； 2）对弧长的曲线积分一般将其化为定积分直接计算； 对坐标的曲线积分： 判断積分是否与路径无关，若积分与路径无关重新选取特殊路径积分； 判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件，若满足条件利鼡格林公式计算（添加的辅助线要减掉）； 将其化为定积分直接计算. 对空间曲线上的曲线积分，判断是否满足斯托克斯公式的条件若满足条件，利用斯托克斯公式计算；若不满足将其化为定积分直接计算. （2）计算曲面积分的计算方法的步骤： 1）判定所求曲线积分的类型（对面积的曲面积分的计算方法或对坐标的曲面积分的计算方法）； 2）对面积的曲面积分的计算方法，一般将其化为二重积分直接计算； 對坐标的曲面积分的计算方法： 判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件若满足条件，利用高斯公式计算（添加的辅助面要减掉）； 将其投影到相应的坐标面上化为二重积分直接计算. 例1 计算曲线积分，其中为取逆时针方向. 解 由于积分曲线关于轴、轴均对称被積函数对、均为偶函数，因此 故 『方法技巧』 对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同记清楚后再使用.事实上，本题還可应用格林公式计算. 例2 计算曲面积分的计算方法其中为球面. 解 由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知 又由轮换对称性知 故 『方法技巧』 对面积的曲面积分的计算方法的对称性与对坐标的曲面积分的计算方法的对称性不同，理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲媔做题时可先考虑一下对称性. 例3 计算曲面积分的计算方法，其中为球面. 解 『方法技巧』 积分曲面是关于对称的被积函数是的奇函数，洇此 例4 计算曲线积分其中为圆周的逆时针方向. 解法1 直接计算. 将积分曲线表示为参数方程形式 代入被积函数中得 解法2 利用格林公式 其中，故 『方法技巧』 本题解法1用到了定积分的积分公式： 解法2中一定要先将积分曲线代入被积函数的分母中，才能应用格林公式否则不满足在内有一阶连续偏导数的条件. 例5 计算曲线积分，其中为沿由点 到点的曲线弧. 解 直接计算比较困难. 由于 因此在不包含原点的单连通区域內，积分与路径无关. 取圆周上从到点的弧段代替原弧段 其参数方程为：，代入被积函数中得 『方法技巧』 本题的关键是选取积分弧段既要保证简单，又要保证不经过坐标原点. 例6 计算曲

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这是第一类曲面积分的计算方法……过程的话下面写的很完整啊

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