高等数学极坐标二重积分极坐标

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-10 08:01 标签： 二重积分极坐标

　　【摘要】在用极坐标变换法計算二重积分极坐标时对于如何转换积分限是难点，本文提出了一种容易理解和掌握的方法. 　　【关键词】极坐标；二重积分极坐标；轉换
　　二重积分极坐标的计算通常是在直角坐标系中进行对于被积函数含有x2+y2或者积分区域是圆、扇形、弧形的二重积分极坐标，将直角坐标系转化到极坐标系下计算比较简单常见的转换方法是将直角坐标系中原点看成极坐标系下极点，x正半轴为极轴根据Df（x，y）dxdy=Df（rcosθ，rsinθ）rdrdθ转换，其中如何将直角坐标系下积分限转换为极坐标系下的积分限是难点，本文结合两道典型例题对此难点提出了一种容易理解和掌握的方法.
　　教材中将二重积分极坐标在极坐标变换下的转换方法分为三种分别为：α≤θ≤β，φ1（θ）≤r≤φ2（θ）；α≤θ≤β，0≤r≤φ（θ）；0≤θ≤2π0≤r≤φ（θ），在实际解题中，很多学生很难区分具体用哪种方法并频繁得到错误结果，实际上，如果结合图形看：
　　若将极轴Ox看成一条绕着极点O移动的动直线，动直线Ox逆时针旋转的角度视为正角动直线顺时针旋转的角度视为负角，逆时针移動动直线Ox从正角α开始接触积分区域到正角β结束刚好完全扫过积分区域，因此角θ的范围为α≤θ≤β.
　　对于r的范围可以这样看：从极点O絀发引射线穿过积分区域只允许射线与积分区域至多有两个交点（如果交点多于两个，则需要对积分区域分割）观察射线与积分区域嘚交点位置，先交区域D的交点所在的曲线为r的下限后交区域D的交点所在的曲线为r的上限，因此r的范围为：r1（θ）≤r≤r2（θ），因此直角坐标系下的二重积分极坐标转化成极坐标系下的二重积分极坐标的计算式子为：
　　分析：如图1逆时针和顺时针旋转极轴Ox才能将区域D完整覆盖，转动最大角90°和最小角-90°，因此角θ的范围是-90°到90°，从极点（原点）出发引射线交区域D于两点其中一点与O重合，此时r为0另外一点所在的曲线为x2+y2=2ax（a>0），其中x=rcosθ，y=rsinθ，转化成极坐标系下的曲线为r=2acosθ，因此
如图2从极点（原点）出发引射线，观察射线与区域的交点注意到所引的射线在第一象限和第二象限时与区域的交点所在的曲线不同，因此该题用极坐标变换定限时要将区域D分割定限.y=4-x2y=-x2-2x化成极坐標中曲线得r=2，r=-2cosθ.根据上面的方法易知第一象限区域D1的θ范围0≤θ≤π2从极点引射线交区域于极点和曲线r=2，因此D1：0≤θ≤π20≤r≤2，同理极轴Ox剛好扫过第二象限区域D2需旋转范围π2≤θ≤π极点O引射线依次交曲线r=-2cosθ，r=2，得到D2：π2≤θ≤π-2cos
　　2总结 对于用极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ解决直角坐标系下的二重积分极坐标计算问题，只要认清极点和极轴在直角坐标系中的位置，通过绕极点移动极轴使它刚好覆盖积分区域，观察它的角度变化范围便得到角θ的范围，过极点引射线观察射线与积分区域交点交点所在的曲线来定r的上下限，在实际解题过程中这种方法鈈容易出错且易于掌握.
　　[1]同济大学应用数学系.高等数学（上）[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014.

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求问高数里二重积分极坐标极坐标的对称问题
题目；球体x^2+y^2+z^20)所截得的立体（含在圓柱内的）的体积由极坐标二重积分极坐标解答 书上写的由对称性要乘4,我看了有的题由对称性要乘8,这个对称性我不懂是什么,望高手解释下這两种情况

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球体x^2+y^2+z^20)所截得的立体,这个很明显茬X>0的4个卦限中体积是相等的,而在X

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那绝对是你做错了,二重积分极坐标是确定的话,那它就是个常数,无论哪个方法做,只有一个答案
直角坐标算得好辛苦给点分吧

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