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逆命题与定理2
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3秒自动关闭窗口能否给一个用stolz定理求极限的例题？_百度知道
能否给一个用stolz定理求极限的例题？
RT，老师说stolz定理相当于离散条件下的洛必达法则，但只给了证明没给例题，各位高手能否给个具体用stolz定理求极限的例子？此外，这个定理是在序列极限里讲的，对于求函数极限，是否一样应用呢？谢谢
我有更好的答案
lim [1^(k-1)+....+n^(k-1)]/n^k = 1/k 用Stloz定理做的。若 n&N 时， Yn & Y(n+1), 且limYn＝+∞ n→+∞,这时如果 lim [Xn - X(n-1)]/[Yn - Y(n-1)]= L(L为有限数或无穷大）则有： lim Xn/Yn = L这个题 令 Xn=1^(k-1)+....+n^(k-1), Yn=n^klim Xn/Yn = lim [Xn - X(n-1)]/[Yn - Y(n-1)]= lim n^(k-1）/[n^k - (n-1)^k]= 1/kStolz定理的证明如下：先证明L为有限的情况。根据已知的：（a） Yn & Y(n+1),（b）limYn＝+∞ n→+∞,（c）lim [X(n+1) - Xn]/[Y(n+1) - Yn]= L则有：对于任意的ε＞0，存在N,当n & N时 恒有：|[X(n+1) - Xn]/[Y(n+1) - Yn] - L| ＜0.5ε因为：[Y(n+1) - Yn]＞0于是有：(L-0.5ε)[Y(N+2)-Y(N+1)]＜[X(N+2) - X(N+1)]＜(L+0.5ε)[Y(N+2)-Y(N+1)]-----------(1)(L-0.5ε)[Y(N+3)-Y(N+2)]＜[X(N+3) - X(N+2)]＜(L+0.5ε)[Y(N+3)-Y(N+2)]-----------(2).....................(L-0.5ε)[Yn-Y(n-1)]＜[Xn - X(n-1)]＜(L+0.5ε)[Yn-Y(n-1)]---(m)(L-0.5ε)[Y(n+1)-Yn]＜[X(n+1) - Xn]＜(L+0.5ε)[Y(n+1)-Yn]---(m+1)把上面的m+1个不等式加起来得到：(L-0.5ε)[Y（n+1)-Y(N+1)]＜[X(n+1) - X(N+1)]＜(L+0.5ε)[Y(n+1)-Y(N+1)]即：|[X(n+1) - X（N+1)]/[Y(n+1) - Y(N+1)] - L| ＜0.5ε再看：[X(N+1)-L*Y(N+1)]/Yn + (1 + Y(N+1)/Yn)*([X(n+1) - X（N+1)]/[Y(n+1) - Y(N+1)] - L)= Xn/Yn - L因为 Yn→+∞, 而X(N+1),L*Y(N+1) 这些都是一个具体的数，那么(1 + Y(N+1)/Yn)→1, [X(N+1)-L*Y(N+1)]/Yn →0.所以存在一个 M ＞N 当 n＞M时,恒有：|Xn/Yn - L|＜εL为有限时得证，当L为∞时，只需证明 |Yn/Xn - 0|＜ε即可证明lim Xn/Yn =∞，+∞，-∞分开证明。参考资料：菲赫金戈尔茨微积分教学教程第一卷
参考资料：
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Stolz定理的应用和推广
第 29 卷第 2 期 Vol. 29 No.2唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College2007 年 3 月 Mar. 2007Stolz 定理的应用和推广王红丽 1，张晓辉 2（1.唐山师范学院 数信系，河北 唐山 .唐山学院 基础部，河北 唐山 063000） 摘 要：给出了 Stolz 定理的应用以及推广形式， “推广定理”的合理性证明以及对 Stolz 定理和 L’Hospital法则的推导证明。推导过程系统、严谨，从而有效地驾起了 Stolz 定理和 L’Hospital 法则联系的桥梁。 关键词：Stolz 定理；L’Hospital 法则；Stolz 定理的推广定理 中图分类号：O175 1 Stolz 定理简述 定理 1 (Stolz 定理bn 单调递减趋于 0，若0 型未定式极限) 0n ??文献标识码：A文章编号：（8-03 （2）对 x n ?1 ? x n (1 ? x n ) 两边令 n ? ∞，得 x ? x(1 ? x)设 lim a n ＝0，n ???x ? 0? lim x n ? 0n ??lima n ? a n ?1 ?l ， bn ? bn ?1（3）设 bn ? 由（1 ，则 lim bn ? ?? 且 bn ? bn ?1 , n ? 1,2, ? n ?? xnn??则 limn ??an ? l （其中 l 为有限数，或+∞，或-∞） 。 bn? 型未定式极限) ?n ??? ）型 Stolz 定理我们有 ?lim nx n = limn??n bn定理 2 (Stolz 定理设 bn 单调递增= limn??( n ? 1) ? n 1 = lim n?? b bn ?1 ? bn n ?1 ? bn 1x n ?1 ?趋 于 + ∞ ， { a n } 为 任 一 数 列 ， 若 lima n ? a n ?1 ? l ，则 bn ? bn ?1但 由 递 推 公 式 我 们 可 得 bn ?1 ? bn ?1 = xnn ??liman ? l （其中 l 为有限数，或+∞，或-∞） 。 bn0 ? ) 型及 ( ) 型极限的一个非常有效的 0 ?1 1 =1 ? 1 （ n ? ∞） ? lim nx n = lim n?? n?? b 1 ? xn n ?1 ? bn例 2（北京师范大学 02 考研真题） 设 ? a n 收敛，又n ?1 ?2 Stolz 定理的应用该定理是解决 (?p n ? 单增的正项数列，且 p n ? ∞证明 证明n??（ n ? ∞）工具，用通常方法证明是比较麻烦的并且甚至会无从下手， 而使用 Stolz 定理却可给出简便的解答与证明。 例 1(北京师范大学 98 考研真题)0 ? x1 ? 1, x n?1 ? x n (1 ? x n )limp1 a1 ? p 2 a 2 ? ? ? p n a n ?0 pnn??n ? 1,2,?令 An ? a1 ? a 2 ? ? a n (n ? 1,2, ?) 及 lim An ? A证明n??lim nx n ? 1则 a1 ? A1 , a n ? An ? An?1 (n ? 2,3, ?) 于是A1 ? p1 ? p 2 ? =证明 （1）先证 lim x n 存在n??p1 A1 ? p 2 ( A2 ? A1 ) ? ? ? p n ( An ? An ?1 ) pn? 0 ? x1 ? 1, x 2 ? x1 (1 ? x1 ) ? 0 ? x 2 ? 1由数学归纳法可证 明 0 ? xn ? 1（ n ? 1,2,?） ?0 ?x n ?1 =1- x n &1 xn=A1 ( p1 ? p 2 ) ? A2 ( p 2 ? p3 ) ? ? ? An?1 ( p n ?1 ? p n ) ? An pn再令Bn ? A1 ? p1 ? p 2 ? ? A2 ? p 2 ? p3 ? ? ? ? An ?1 ? p n?1 ? p n ?（ n ? 1,2,? ） ? {x n } 单减且有下界 ? lim x n ? x 存在n??────────── 收稿日期： 作者简介：王红丽（1979-） ，女，河北唐山人，助教。 - 58 -王红丽，张晓辉：Stolz 定理的应用和推广? p1 a1 ? p 2 a 2 ? ? ? p n a n Bn ? ? An pn pnn???B ? 0? lim g ( x) ? ??x ? ??? lim An ? A? 由 Stolz 定理有? ? 正数 c ? A ， 使 ?y ? c 有 g ( y ) ? B使 p1 ?c? A T取正整数 p1 ，B B ? Bn A ? p ? p n ?1 ? lim n = lim n ?1 = n n = lim (? An ) n?? p n?? p n?? p n ?1 ? p n ? p n ?1 n n则 ?x ? ?A, A ? T ? 因 x + pT ≥ A + p1T & A + cA=c只要p ? p1= ?A? 原式= limn??Bn ? An = ? A ? A ? 0 pn故恒有 g ( x ? pT ) ? B?p ? p1x ? ?A, A ? T ?于是 ? y ≥ A + p1 从而 lim3 Stolz 定理的推广在比较 stolz 定理与 L’Hospital 法则时，stolz 定理比后 者多了一条 bn 单增趋于 ?? ；当然还需将 L’Hospital 法则有f ( x ? pT ) ? l ? 2? g ( x ? pT ) f ( y) ? l ? 2? g ( y)a ? a n ?1 f ' ( x) 中条件 lim 改为此处之条件 lim n ， 这就是引 x ? ?? g ' ( x ) n ?? b ? b n n ?1入 stolz 定理之推广定理的依据，从而使二定理相互融通。 若函数 g ( x) ， f ( x) ， x ? ?a,?? ? 满足： 定理 3 （stolz 定理的推广定理） 设 T 为正常数，有f ( y)y →+∞ g ( y)≤l + 2?由 ? 的任意性，故 limy ? ??f ( y) ?l g ( y) f ( y)y →+∞ g ( y)由（*1）左端不等式，由此可得 lim 是 lim≥l于（1） g ( x ? T ) ? g ( x) ，对任意 x ? [a,??) （2） lim g ( x) ? ?? ， f ( x) ， g ( x) 在 [ a,??) 的任意子x ? ??y ? ??f ( y) ?l g ( y)亦即 limx ? ??f ( x) ?l g ( x)4 推广定理的应用 4.1 利用推广定理证明 Stolz 定理f ( x ? T ) ? f ( x) ? l （有限数或 ?? 或 ?? ） ， g ( x ? T ) ? g ( x)证明n??区间上有界 （3） lim 则 limx ? ??lima n ?1 ? a n ＝L bn ?1 ? bn x ? ?n, n ? 1?当 L 为有穷数时， 其余情x ? ??f ( x) ?l g ( x)由条件 3 得 有况类似。作 g ?x ? ? bnf ?x ? ? a nx ? ?n, n ? 1?取 T ? 1 ，则显然 在 ?a, ? ? ? 的任意子区间证明 不妨设 g ( x) ? 0 ， x ? ?a,?? ?（1） g ( x ? 1) ? g ( x) （2） lim g ?x ? ? ?? 且 f ?x ?x ? ???? ? 0 ， ? 正数 A ? a ， ?x ? ?A, A ? T ? ?p ? ?f ( x ? T ) ? f ( x) l ?? ? ? l ?? g ( x ? T ) ? g ( x)即 (l ? ? )?g ( x ? T ) ? g ( x)? ? f ( x ? T ) ? f ( x)上有界 （3） limx ? ??? (l ? ? )?g ( x ? T ) ? g ( x)?f ?x ? 1? ? f ?x ? g ?x ? 1? ? g ?x ??x ? ??lima n ?1 ? a n ＝L bn ?1 ? bn(l ? ? )?g ( x ? 2T ) ? g ( x ? T )? ? f ( x ? 2T ) ? f ( x ? T ) … ? (l ? ? )?g ( x ? 2T ) ? g ( x ? T )? (l ? ? )?g ( x ? pT ) ? g ( x ? ( p ? 1)T )? ? f ( x ? pT ) ? f ( x ? ( p ? 1)T ) ? (l ? ? )?g ( x ? pT ) ? g ( x ? ( p ? 1)T )?上述各式左右分别相加，得于是由推广定理，有x ? ??limf ?x ? g ?x ?n???an bnx ? ??limf ?x ? 1? ? f ?x ? ＝L g ?x ? 1? ? g ?x ?从而 lim?n??limf ?n ? g ?n ??x ? ??limf ?x ? ＝L g ?x ?(l ? ? )?g ( x ? pT ) ? g ( x)? ? f ( x ? pT ) ? f ( x)一切 x ? ?A, A ? T ? （ p ? 1,2 ? ）? (l ? ? )?g ( x ? pT ) ? g ( x)? ……（*1）4.2 利用推广定理证明 L’Hospital 法则证明 理条件即可。这里 T ? 1 ，首先 g ' ?x ? ? 0 符号又 lim g ?x ? ? ??x ? ??只须验证 f ?x ? 及 g ?x ? 在 ?a, ? ? ? 上满足推广定由（*1）式右端不等式，可得x ? ?a, ? ? ? 由达布定理，知 g ' ?x ? 在 ?a, ? ? ? 内不改变从而 下面验证条件f ( x ? pT ) f ( x) g ( x) ) ? ? (l ? ? )(1 ? g ( x ? pT ) g ( x ? pT ) g ( x ? pT )显然 f ( x), g ( x) 在 ?A, A ? T ? 中有界 当 p ? ?? 时， g ( x ? pT ) 关于 x 一致趋于 ?? 。 事实上，（ 1 ） 由 Lagrange 公 式 ， ?x ? ?a,?? ? 有 ?x ? ?0,1? 使g ' ?x ? &0x ? ?a, ? ? ?g ?x ? 1? ? g ?x ?? g ' ?x ? ?x ?- 59 -第 29 卷第 2 期x ? ?a, ? ? ?即 g ?x ? 1? ? g ?x ?? g ' ?x ? ?x ? ? 0唐山师范学院学报? g ?x ? 1? ? g ?x ? ? 0于是 limf ?x ? 1? ? f ?x ? ＝L g ?x ? 1? ? g ?x ?2007 年第 2 期x ? ??（2）由条件 f ?x ? 可导，故 f ?x ? 在 ?a, ? ? ? 的任意子区x ? ??由（1） （2） （3）从而由法则假设条件推得 f ?x ? 及 g ?x ? 满足条件。间上有界 lim g ?x ? ? ?? 已由条件直接给出。 （ 3 ）由柯西中值 定理， ?x ? ?a, ? ? ? 有 ?x ? ?0,1? 使f ?x ? 1? ? f ?x ? g ?x ? 1? ? g ?x ?Stolz 定理是求数列极限的一种方法，是 L’Hospital 法则的离散情形，通过对 Stolz 定理的推广形式的引入，用此 推广给出了 Stolz 定理和 L’Hospital 法则证明，从而驾起了 定理与法则联系的桥梁，开拓了其相互融汇的渠道，是过渡?f ' ?x ? ?x ? g ' ?x ? ?x ?x ? ??令 x ? ?? 由法则假设知 limf ' ?x ? ?x ? ＝L g ' ?x ? ?x ?两个工具的中介，使我们可以更深更好地研究 Stolz 定理和L’Hospital 法则的精髓。参考文献：[1] 张云艳.stolz 公式的推广及其应用[J].洛阳师范学院学报,2004,(5). [2] 袁文俊,阴晓玲.L’Hospital 法则和 stolz 定理的推广与应用[J].广州:广州大学学报,2001,(2). [3] 刘广云.数学分析选讲[M].黑龙江教育出版社,2000. [4] 陈伟侯,等.微积分基础（上）[M].北京:科学出版社,1984. [5] T ? M 菲赫金哥尔茨.微积分教程[M].北京:人民教育出版社,1956.The Application Of Stolz And The Expansion FormWANG Hong-li1, ZHANG Xiao-hui2(1.Department of Mathematics and Information Science, Tangshan teachers college Hebei Tangshan 063000, C 2.Department of Basic Science, Tangshan College, Hebei Tangshan 063000, China)Abstract: The application of stolz and the expansion form of the Stolz, “expansion form” of rationality proof and the proof tothe rule of L'Hopital and Stolz theorem have been given. The deducing process was systematic and precise and a bridge between the theorem of Stolz and L'Hopital rule was put up.Key words: The axioms of S The rule of L’H Expansion form责任编辑、校对：陈景林- 60 -
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Stoltz定理的逆命题不成立, 不能倒过来用, L'Hospital法则也类似.
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