反常积分经典内容(摘自华东师范大学《数学分析》)_百度文库
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反常积分经典内容(摘自华东师范大学《数学分析》)
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第十二章 反常积分与含参变量的积分
一、 反常积分： 内容提要： 1、 反常积分收敛的定义： ? 无穷积分： ?ba??af(x)dx:?lim?f(x)dx A???ab??A? 瑕积分：
?f(x)dx:?lim????0af(x)dx
若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ? 绝对收敛与条件收敛： 若?|f(x)|dx收敛，则称?a????af(x)dx绝对收敛. 若???af(x)dx收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛. 2、 反常积分的敛散性判别： ? 比较判别法： 若0?f(x)?c?(x)?x?[a,??) ?????a?(x)dx收敛??a??f(x)dx收敛 ???af(x)dx发散???(x)dx发散 a若0?f(x)?c?(x)b?x?[a,b] b??(x)dx收敛??aabf(x)dx收敛 ?baf(x)dx发散???(x)dx发散 a
若x???f(x)?g(x)? Dirichlet判别发： ?若f(x)满足A???af(x)dx收敛????ag(x)dx收敛 f(x)dx,??0收敛. x??af(x)dx?M.?A?[a,??)????a?若f(x)满足
敛. ?xaf(x)dx?M.?x?[a,b)??(x?b)?f(x)dx,??0收aAb? ?f(x)满足：于0
?????af(x)dx?M.?A?[a,??)x???时g(x)单调趋af(x)g(x)dx收敛.
?f(x)满足：?f(x)dx?M.?x?[a,b)x?b?时g(x)单调趋于0
ax??f(x)g(x)dx收敛. ab3、 学习提示： 注意在方法、思路、结果方面比较无穷级数、无穷积分、瑕积分的敛散性判别法. 4、 重要结果：
??1?pb???1发散axpdx:??1收敛
?p?1发散?1a(x-a)?dx:? ???1收敛 典型例题： 例1：讨论下列反常积分的敛散性：
1） ???dx?11x(x2?x?1)
2）?20sinxdx
3）??11(xmlnxx2?m?x?1)dx
4）?20x(1?x)2dx
解：1）f(x)?1x(x2?x?1)?1x5 2
p?52?1. 故??dx1x?x2?x?1?收敛
2）此积分瑕点为0. x?0?时 1?sinx?11x1, 故dx收敛. 2?20sinx
3) f(x)?xm(1?m)x2?x?m2x2?m?x?1?(x2?m)(x?1).
m?1 时 f(x)?1x2,
m?1 时 f(x)?1x,
所以积分发散.
4) 此积分瑕点为0.
x?0? 时 lnxx(1?x)2?o(1x1) ?原积分收敛. 4例 2. 讨论积分??sinx20xdx的敛散性:若收敛,它是条件收敛还是绝对收敛？ 117
解:作变量代换 x2?t 则x?t ??0?sintsinx2dx??dt 0x2t此积分有两个瑕点：0,?. 1sintsint?1
??dt绝对收敛. x?0时
0ttA11又:?sintdt?2?A?[1,??)
单调lim?0 1t??tt1sint由Dirichlet判别法,?dt收敛. 0tsintsin2tcos2t?1??
tt2t再由Drichilet判别法??12?sint?1cos2tdt发散.
dt收敛.但?dt发散，??012tt2t从而原级数条件收敛. 例3 讨论如下反常积分的收敛性: ?ln(1?x)?0xpdx 解:此积分有两个瑕点:0,?? x?0时 1ln(1?x)ln(1?x)1?p?1?1即p?2时 ??0xpdx收敛,p?2发散. xpxp?1?ln(1?x)pln(1?x)p?1 时 limx??.??dx发散. 1x??xpxp?ln(1?x)?1?ln(1?x)?o?dx 收敛. ?1?2p?p?1xpx?x?p?1 时 综上所述:仅当 1?p?2 时原级数收敛.
练习题: 研究下列积分的敛散性 ????1x21dxpdx1) ?
4) xlnxdx?0x3x2?1dx ?000lnxx2?x?115) ?8) ? ?20??dxdxdx
7) ?0xp?xq?1xplnqx sinpxcosqx??0pm(x)dx . Pm(x)Pn(x) 分别为m 及 n 次互质的多项式. Pn(x)118 9) ???01xnxpsinxdx dx
10) ?q401?x1?x 二、 含参变量的积分: 内容提要: 1、 含参变量的有限积分： ● 定义： ?(u):??f(x,u)dx ab
f(x,u)在R?[a,b]?[?,?]上定义 . ?u0?[?,?]，f(x,u0)在[a,b]上可积． ● 性质： 1) 连续性: f(x,u)在R上连续??(u)在[?,?]上连续 . 2) 可微性: f(x,u)与?f在R上连续??(u)在[?,?]上可导?ub?ddb且: ?(u)?f(x,u)dx?f(x,u)dx ??aadudu?u3) 可积性: f(x,u)在R连续??(u)在[?,?]上可积且: ???(u)du???du?
2 . 含参变量的无穷积分
● 收敛与一致收敛
称?(u):????0??baf(x,u)dx??dx?f(x,u)du ab??f(x,u)dx收敛
若f(x,u)在D?[a,??)?[?,?]上定义,?u0?[?,?]敛.
称?(u):????a???af(x,u0)dx 收f(x,u)dx在[?,?]上一致收敛.
如果:???0,?A0?0,?A?A0?u?[?,?]有:●
一致收敛的无穷积分的性质: ???Af(x,u)dx??. 1) 连续性: f(x,u)在D?[a,??)?[?,?]上连续
?(u)????af(x,u)dx在[?,?]上一致收敛，则?(u)在[?,?]上??a连续 .即：lim?u?u0f(x,u)dx????au?u0limf(x,u)dx. ??2）可微性：f(x,u)与fu?(x,u)在D上连续且? af(x,u)dx在[?,?]119 收敛, ???afu?(x,u)dx在[?,?]一致连续，则?(u)????d?(u)??fu?(x,u)dx. adu??af(x,u)dx在[?,?]可导,且3） 可积性在：f(x,u)在D上连续 ?(u)??????0f(x,u)dx在[?,?]一??致收敛 .则?(u)在[?,?]可积且??(u)du??dx?f(x,u)du. 0??
● 一致收敛的判别法：
1) Cauchy 准则：
???af(x,u)dx在区间I一致收敛 ????0?A0?A1,A2?A0?u有 ?A2A1f(x,u)dx?? ??
2）Weierstrass判别法：
?(x,y)f(x,y)?g(x).且?
????aag(x)dx收敛 f(x,u)dx一致收敛 . A3）Dirichlet判别法:
?A?a,?u?I?af(x,u)dx?M.
?u?I,g(x,u)关于u单调，且0?g(x,u)x??u?I且
则? 典型例题： 例1、研究F(y)??10??af(x,u)g(x,u)dx在I上一致收敛 . yf(x)其中f(x)在[0,1] 上是正的连续函数： dx的连续性. x2?y2yf(x)在22x?y解：?y0??.y0?0时，取??y0，则0?[y0??,y0??].显然函数[0,1]?[y0??,y0??]上连续 .根据含参变量积分的连续性，F(y)在[y0??,y0??]上连续 .y0?0时 F(y0)?0.因f(x)在[0,1]是正的连续函数 .m:?minf(x)?0 x?[0,1]
y?(0,1)时 F(y)?? 10ym1?dx?marctg?m x2?y2y4120
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反常积分的发散怎么看收藏
比如是0到+无穷的过程，0是奇点，我会自然的拆开他们，变成0到1和1到+无穷，但是是只有两项都收敛才算原积分收敛吗？会不会出现两个积分都发散然后和确收敛？
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f(x)=1/x +1/(1-x)在(0,1)上。0，1都是奇点，拆开都发散，和却收敛
都要收敛，看定义
这是两种不同的定义，本科阶段学的基本上都是按强条件意义下的收敛，其实这也可以理解。因为我们都是用极限定义的，我们希望的是f，和g都有极限，那么f和g的和就有极限。特殊情况下可以考虑f和g无极限，但f+g有极限的情况。这时一般考虑的都是Cauchy主值积分，对应的自变量的变化情况需要特殊对待
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请问这个反常积分怎么计算？谢谢！
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这题太数学专业了，凭着书本上那点伽马函数和反常积分的知识，难度很大啊！
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