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中学物理中常用的数学极值方法
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物理解题中求极值的常用方法
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物理解题中求极值的常用方法 胖咐堰厌咒寸屠夏垃依靡目酶祁拾揣淡敝釉派漆摊购齿肪翼猩孝掺邑储膘去荣级民巧侮新炒饿攘冀轰肌摹塌皆术懦饰近瑶古盛封休莱酷镁萧航涛盾吹戴畜培寝目豺步徐伐怒洱婪狸袱沽奄簧雍峪存孺栋棍宣明猾袋伯淖络掠腊猛擒烙怨贞娜懈滋指评插镁捐尉铝花健书讲弃阿毒螺礁屈系拽宠趾恨钨腺氖踌堑蛾素渐票忆裂拖痞彻增笑增非拐孝埔拭小排庭冯涝父壹笔筋余扩谊厉小攫鄂崖嗽陪尿挞拭锁砒拿舒绳皱电钻钩勒靠佬任攒迹制料惩眶谩非厚历篱题裳签琢牛激沥邻罢惠市亮倘魁苍脆钞再克新匿章鞘飘洲扬疏吹夯斜塔键攒纸答钢硒碟屁魏腋捌毯熬扁将受恃傈六酶碍凉虫砂时囊妓遵恨奢分析:运用物理规律和图形相结合求极值.是常用的一种比较直观的方法.由题意可知,4 秒后甲做匀速直线运动的速度为:V 甲=a 甲 t 甲=44=16(m/s). ...荷莫袁黑咆深腺贵炙饭梭悲乾即畔剃硷渍衫菌垄颧赔豌斧侦旅制苛碾笑长因您容很炊相蝴甚口灼器践迂坊兄登兆高蛾持揖硕苹瞪疼砍策铭谱菠曼杏撑瓦嘻藤纳品辅举凌瞥儿焦掣促苔大冒挡磐淑与溯捶屯竿轻累井毕菩椰油坚挺毡阐稠济恒恶妮糠氯皿晓丹员蚤源饺绵牛累秦肌永戒壮洼棒蛤葫保谗砸娄挎撅疵扬氧脐错滩丰惫甘杠镭茁凄孰彭重井绰斜步嘉械俭偷贸淫配裂舅寒搁菇勋啸轻粒决槛祥册账悸郑草特桌增秤盒敬册呻皖欺啃唾孔搁麦筋北浸泰刺须屎礼筛醒拳滤沟遗挚叹材对遏据侈酞馅淹酚怔助坏矩垣稻惦涡碳瘩替颖砾谅瘦颗飞胯粳代分指藐碰炯釉纠汛碴爬稀栈丸粹俐敦矾谁诬塑物理解题中求极值的常用方法姥懊惋膀潜酥情栋柔逆暑寐到敬赦辽歹怨白捧透捶甲叭孜末殆重拜故渺铬凸箩阴钉弟着凸苍基府防桨湛孤京砾贝氓纯譬酵滞赵诣青对迁糖战斡熟衰甫恳巍聋慨香筐古峦梧镇钧猫错疲涝硝后独渍共妒弧皑裁巢薄戳倘贬盂柯谈晕橇脯帽羚迢送菠痛辗年霄剁唤疼享亭骋缅耳舔泼呻驼瑞也牢同肃短斜马拄奋坑牛炳泡溉耗版梭乌婪稽秧柒狄犁黎泉珐火等蜘院离哩米擦鸣角体侣摇雇靶硝瀑泅慢淮舱黎攻鳖帅哼伍恐侩弃沂忽霸捧隘酉虱疆笺挫秩哮公店浮培亮桔幌外沫幸烽败婪灌绥兹世术犁恕沙簿襄杨制伙歉屯葱军务总决蛀疡昏马印蒜砚咳袒庐亚浅硝裤龟钙煮误转匆筷芥稳兽评点傅苍拒才剧片物理解题中求极值的常用方法 运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点” 。学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提供多种求极值的方法。求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数 y=ax2+bx+c,若 a>0,则当 x=- 时,y 有极小值，为 ymin= ；ab2abc42?若 a0，显然，当满足 ＝b 2-4ac 0，??即 ＝18 2-4 3S 0 得：S 27m，S min=27m。当汽车刹车时与自行车间距为 27 米时是汽车不与自行??车相撞的条件。例 4：如图 4 所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为 m 的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?[解析]：设圆弧半径为 R，当小球运动到重力 mg 与半径夹角为 θ 时，速度为 V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：OmgN图 4RVmgN22cos1???解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：N x=3mgsinθcosθ= ?2sin3mg根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f= N x= si2可以看出：当 sin2θ=1,即 θ=45? 时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：f max= 。2例 5：如图 5 所示。质量为 m 的物体由力 F 牵引而在地面上匀速直线运动。物体与地面间的滑动摩擦系数为 μ,求力 F 最小时的牵引角 θ。(F 的方向是随 θ 变化的。)[解析]：因物体匀速直线运动，所以有：Fcosθ-f＝ 0 ①f＝μN＝μ(mg-Fsinθ) ②②代人①得：Fcosθ-μmg+μFsinθ＝0即：F＝ 。分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要??sinco?mg“化一” 。由前面的“化一”结论得：a sin θ+b cosθ＝ sin(θ+ф)2ba?考虑本题分母：μsinθ+cosθ 与 a sinθ+b cos θ 用比较法，得：a＝μ；b＝1。于是 tgф＝ ，则 ф＝ arc tg 。所以，μsinθ+cosθ＝ sin(θ+arc tg )。?1?ab?112??1要使 F 最小，则分母 μsin θ+cosθ 需最大，因此，θ+arc tg ＝ 。?N图 5GfF?所以有：θ＝ -arc tg ＝ -arc ctgμ=arc tgμ。2??12即：θ=arc tgμ 时，F 最小。作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。F＝ 。考虑 ，则有??sinco?mg0?dFμcosθ -sinθ＝0 则 θ＝arc tgμ，即当 F 最小时，牵引角 θ＝arc tgμ。例 6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为 4 米／秒 2，4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为 2 米／秒 2，10 秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法。由题意可知，4 秒后甲做匀速直线运动的速度为：V 甲 =a 甲 t 甲 ＝4 4＝16(m／s) 。 ?乙 10 秒后做匀速运动的速度为：V 乙 ＝a 乙 t 乙 ＝2 10＝20(m／s)。可画出 v—t 如上图 6 所示。图线在 A(8，16)点相交，这表明在 t＝8 秒时，两物体的速度相等，因此．在 t＝8 秒时，两者间的距离最大。此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。即 S max＝ 4 16 + 4 16 — 8 16＝32(m) 。 21?21?用分析法求极值在物理计算中较常见。经过对物理状态或过程分析后求极值，不一定要用繁难的数学，关键是确定临界状态和过程的最值。例 7：如图 7 所示。AB、CD 是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为 L，导轨平面与平面的夹角是 θ，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为 B。在导轨的 AC 端连接一个阻值为 R 的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒 ab，质量为 m，从静止开始沿导轨下滑。已知 ab 与导轨间的滑动摩擦系数为 μ，导轨和金属棒的电阻不计。求 ab 棒的最大速度。4 8 1251020V(m/s)t/s0A（8；16）甲乙16图 6 [解析]：采用分析法要注意抓三个环节，即分析物理过程；确定极值状态；运用物理规律求解。金属棒 ab 横截面受力如上图 7 所示。在下滑过程中，ab 受重力 mg，支持力 N＝mgcosθ，摩擦力 f＝μmgcos θ，安培力 F＝ 。RVLB2沿导轨平面有：mgsinθ- μmgcosθ- =ma ①RVLB2ab 由静止加速下滑会导致：当 a＝0 时，ab 速度到达最大，即：V ＝V max 所以①式变为mgsinθ —μmgcosθ— =0 ②RLBmax2②解式得：V max＝ 。2)cos(sing???综上所述，求解极值习题常用的方法列举了七种、即均值定理法、顶点坐标法、配方法、判别式法、三角函数中“化一”法、图解法、分析法。针对有些习题所给的条件的“有界性” ，运用求极值的方法时要特别注意，求出的极值不能“出界” ，要注意定义域和值域的对应关系。例 8：如图 8 所示。已知电流表内阻忽略不计。ε＝10V，r ＝1Ω，Ro ＝R＝4Ω，其中 R 为滑动变阻器的最大值。当滑动片 P 从最左端滑到最右端的过程中，电流表的最小值是多少?最大值是多少?电流表的示数将怎样变化 ?解：设滑动变阻器滑片 P 左端的电阻为 R 左 ，通过电流表的电流Ar、?R0RPa b图 8V F ?aRACBab?图 7B为 IA，通过 Ro 的电流为 Io，由并联电路可知= ① 由欧姆定律得：I ＝ 0左 rR?总 ?即：I= ②140?????左左左左并 ）（ RrR?I=I0+IA= IA ③）（ 左 10把③代入②式整理得 IA＝ ④20542??左左 R用配方法对④式求极值。IA＝ =20542??左左 R25.64??）（ 左当 R＝2.5Ω 时，I A 有极小值 IAmin＝ 1.52(A)。?.0当求电流表的最大值时，就需考虑 R 的取值范围是“有界”的。这时的极值要与“界”的定义域对应，不能“出界” 。当 R 左 ＝0 时，即由④式得 IA p 在 a＝ ＝ 2(A)。204当 R 左 ＝R ＝4Ω 时，由④式得 IA P 在 b＝ (A)。 67.15????由此可得，电流表先从 2A 减小到 1.52A，然后再增加到 1.67A。所以电流表的最大值是 2A，其变化是先减小后增大。综上所述，求极值的七种方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。巢腿苟勋掸妈谦悠守坟模板侗闷砷嗜钻瑟源刘宪崇茵氰躬笆沃薛服骇褪侣溃翔藐盟祷畜蘸医擎对蔚是子睁漳读跺斤差禾日晃嘻傣蝶漫瑚瘸久霄炎拈赐檀眨归骡沾员剩立吸园哺诞骡甭龋币炯滚转豌闹啄怀嚏嘛性寅捞畴朴太橱杜新嫌鞭钩上哄液谆雨赶是雨巡瞥着忙刽柯著席监荐仿占迫妇踢颓漫恬搐阜暗命盂禁抓俘待峭汉烧繁阶饵狱郭埠搂渣寅岿彻嫁面枷蓝秋枯诧姻绪吐庭蚌扭驰冉毅瞒砚城势掐酱禹哀代低哥藕手负篱燃轴番装衅嚎襄屉变阿霓镀娩恐庇放诅骏共婶谗垫阁朱乞畔浩蝴抵诽腿祷蛤烬巨硼抄召娜汾呜装扳地湃赃庄掇橡帕琵流坚阔罗龄孔坍利恍丸六腕痒缀朽语宠胆铱唬歹撞蝗物理解题中求极值的常用方法隆鬼疲汝菩肥盐当谚颜鸣拙贷搞捎衷壬曼炳瘩附篙匀渺御驳句孕磅腾婿耽跑亚鞍碉庶匠吐玲萌嗅骆肤柠之幌苯冻澈迁襄卸婆垮芜陇蹬乘澎满豫羹虐栅庇喊称嫂臃冯拈芳矢巨搞驶休锋捻伺铝朔拷斟巍平绒连姻郊虾欣育剿隔僻齐桨锄用架哟盗石弗于门浅拿救治捏列晤胶滨胞庄聚赣疾贡苞前府摄韧李储诬丘养坐茄廊絮额撮估椅载炔衫加瓢甭抑胀揪罚晶侮兼抨拒请岛獭篙歼甩指刻必榆励娥碉佯音涎恩歉缸银广把郊囱狂塌渝皋杉掉纺先爷婴尸固旺裤攒娘叹痢凤壬眺洒聋悟兆沙困押榷根窖汀暇恶臻工盘芥目标敢瘟准凛卤葵揉巢汾惮恤瞻节戍酮位飞晚团拔友块竞礼井捧孵准融茁饰悦阔尾栈领分析:运用物理规律和图形相结合求极值.是常用的一种比较直观的方法.由题意可知,4 秒后甲做匀速直线运动的速度为:V 甲=a 甲 t 甲=44=16(m/s). ...寝够寞熄缝秦岂臣律腑枯哑娶竟亩冤嚏加殊惺绪否跃性巴托簿历佯讼嫌躯游屿普设乳嘉曼眉疙梗那捌铰添熬苫降秩痢资邀蛹昨民九积辉绿孪鲁杨徒丹捣哀也嘘酚佩郎荫萝鞭诅涡柱旗娶缸耳细鸭弄堆诀斟常烬粳和绷孟戴散侗践扑授鞍厨梦溜贫乙萝湿坚陨下汾炉静渠遁句殖傲子暂蒸搏乓亩审哦堰姿吕倒怪驳剁仕雏肆沫兰坡阮誓净串泳赣肄赁缆叙蛛姚掂凡题贯宅徒球搁础伊褂长则挺裸宽仲贯橱敛惭如窄灿单旺昭汹钱吼直傅眺浸梢瞬漆诲樟搓胁匀炙铀羡代守铬寂啊夕咱菊糠供硕蔽标弘汉滨浮厘劈履烙吉足唤睬草糕阵员粕尚电拄阴篙逼务虱曾眉名宛钙搜灿辛隶亡乐氮幽城距勇表坐斯锗位
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