原标题：曹则贤：量子力学从来不是什么革命，而是经典物理学的自然延续

| JIC讲堂本期主讲嘉宾曹则贤教授

继上期“引力波”主题之后，2017年11月18日，“JIC讲堂”第二季第十七期聚焦“量子力学”，由中国科学院物理所研究员，博士生导师曹则贤教授主讲“量子力学：构造，哲学及影响”这一极具热点的物理界课题，为我们系统回顾量子力学被创建的过程，讲述那些天才们的非凡理念以及那些闪光思想得以产生的逻辑背景、相互间的内在关联和赖以表述的数学，以及它作为近代物理两大支柱之一所产生的影响。

量子力学与相对论并称近代物理学的两大支柱。量子力学在20世纪是天才头脑中的智力风暴，在21世纪则必然要化为常识。本期JIC讲堂，曹则贤教授循着量子力学发展的历史脉络，用关键的人物、物理事件与数学思想构筑量子力学的知识体系，引导听众在体会如何创造知识的愉悦中不知不觉走进量子力学的世界。

| JIC讲堂第十九期现场

曹则贤教授讲述的量子力学是严肃的，但其着眼点不止在于量子力学知识体系的介绍，更着重强调量子力学在经典物理的基础上被创建的过程细节，让各智识阶层的读者都能走入到量子力学的世界。

「 为什么要学习量子力学 」

大约120年前，物理学的发展到了这样一个阶段，产生了对一些新现象解释的必要，从而孕育了一门新的学科叫量子力学。

量子力学在传播过程中可能包含了太多颠覆思维的内容，因而被很多人认为是一场思维的革命，评价这种有失偏颇的说法，可借用奥地利维也纳大学著名物理学家、哲学家E.马赫（Ernst Mach）说过的一句很著名的话：“如果你在物理学里面看到了革命，那只是因为你知道的太少。”曹则贤教授认为，“所有的思想都有它的前驱，都有别人在此之前曾经思考过，而每一个思想的诞生，都有它赖以产生的需求与前期准备。” 量子力学从来不是什么革命，而是经典物理学逻辑的延续。

| 曹则贤教授坐在玻尔（Niels Bohr）的办公桌前，2011

法国著名数学家、哲学家，同样也是对相对论做出贡献的庞加莱（Henri Poincaré）对科学做过这样的解释：“人们不会因为掌握科学而幸福，但如果没有科学，今天的人就幸福不起来了。”曹则贤教授认为，庞加莱的这句话同样可以作用于量子力学上，“一个人懂得量子力学，那他未必是个物理学家；但如果你说你是一个物理学家，却不懂量子力学，那就有点尴尬了。”

有一种说法认为量子力学和相对论是最难学的两门课，是我们当代物理的两大基础。如果从学术价值上而言，量子力学与相对论难以评价孰轻孰重；如果从实用价值上而言，相对论几乎没用，而量子力学到处都有用，如灯泡、激光、笔记本……所有这些都是来自量子力学。

那什么是量子力学？我们都知道“子”的意思，凳子、椅子、小孩子，“子”就是小的意思。中文的“量子”一词是经日文而来的，是对拉丁语形容词quantum的翻译。Quantum其实就是“多少”的意思，英文的数量quality就是来自这个词。如Quantum of rainfall（降雨量）,Quantum of solace（舒适度）。

在日常生活中，我们常会遇到事物的量接近其基本单位的情形，这种时候事物可能就要表现出量子行为了。量子即是存在的最小基本单位。就好比鱼群中（Fish school），鱼就是鱼群组成的基本组成单元，即量子。

如果是这么简单的道理的话，那么量子力学为什么会成为一门科学呢？因为我们会以此深入。有一种观点认为，量子力学是描述微观世界、描述原子的一个学问，这就牵扯到两个很重要的词atom和integer。Atom在希腊语中是“不可切”的意思，表示原子。Integer意即整数，本意是不相连。

知道不可分的存在，不相连的数，你就能理解量子力学，你就会发现一个不可分的东西，描述它的量是不相连的，就会发生违反你直觉的故事。

例如历史上有“二桃杀三士”的故事。历来文献评论“二桃杀三士”总是偏向于“借刀杀人”的理解，却看不到这里面的量子力学问题。

步出齐东门，遥望荡阴里。

里中有三坟，累累正相似。

问是谁家冢？田疆古治子。

力能排南山，文能绝地纪。

一朝中阴谋，二桃杀三士。

谁能为此者？相国齐晏子。

——诸葛孔明《梁父吟》

晏子的计谋能成功，关键在于当一个桃被当作是荣誉的时候，它是不可分的（atomic），三位勇士认可了桃的不可分，勇敢地直面只有两个桃的局面，结果就着了人家的道儿了。

|二桃杀三士，选自《南阳汉画像石精粹》

量子是最小的存在单元，那么量子力学为什么会成为一门了不起的学问？“学问是由人创造的，那么让我们一起来看看，一些人遇到了什么事情才会想到要去创造这样一门学问。”曹则贤教授随即为我们引入了十分重要的部分——量子力学英雄谱。

「 量子力学英雄谱 」

量子力学关健人物与事件

1877年，玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）假设气体分子的动能是一份一份的，从而得到了玻尔兹曼分布：给定温度下气体的分子数随动能或运动速率的分布。他是这么做的：假设一个 n个粒子的体系，每个粒子具有（0，1，2……p）个能量单位的能量，则总能量一定的平衡态是什么样子？

这个问题就转化成了在条件（1）之下，求（2）的最大值，其结果为（3），这里的β是一个参数。

1879年，爱迪生（Thomas Alva Edison）发明了电灯，人类从此进入了电灯照明的时代。白炽灯要发光就要给灯丝加热，那怎样让电灯多发光少发热？这就需要研究发光和发热的关系。

人们发现，越是温度低的时候黑的东西，温度高的时候就越亮。因此，黑体——把所有照到其上的光都吸收的物体——辐射就成了科学家们关切的问题。德语的说法是空腔辐射。

实验物理学家测量了黑体在不同温度下处于热平衡时能量密度相对其中光的波长（或者频率）的分布。

（见上图）我们可以看到，对于每一个温度，曲线都是单峰结构的，从零波长时的强度为零，上升到一个最大值，然后强度又随着波长的增大而减弱，直至为零。研究峰值处的波长与温度的关系，或研究每条曲线下面的面积同温度的关系，都可以得出Wien位移定律和Stefan-Boltzmann定律。许多物理学家尝试着给出这些曲线的函数，但是都没有成功。

1900年，在德国柏林，研究热力学的普朗克（Max Planck）教授从熵与能量的关系——一个他虚构的熵与内能的关系——出发，导出了黑腔中能量密度与温度T以及光的频率v之间的关系：

进一步地，普朗克假设可以把能量分成一份一份的，从而把一个体系的热力学平衡态的问题转化成求p个小球放到N个盒子里共有多少种方式的数学问题，同样得出了上述的公式。这套把戏是玻尔兹曼在1877年首次引入的。

1905年，爱因斯坦（Albert Einstein）利用辐射被吸收时也是一份一分地吸收的假说，成功解释了光电效应。这为爱因斯坦赢得了1921年度诺贝尔物理奖。至此，光有能量单位一事尘埃落定！

1885年，瑞士数学教师巴尔末（Johann Balmer）给出了统一表达氢原子可观察的四条谱线波长的公式， 后来被总结为经验公式

其中λ是谱线的波长，B=3.m，是一个常数。由于巴尔末公式的发现，光谱成因的神秘大门被打开了，人们研究原子内部结构，又有了一个新的依据。氢原子发光光谱的普适公式为

鉴于此，1913年，玻尔（Niels Bohr）成功地引入了量子跃迁的概念，把发光谱线的问题转化成了原子中电子能级的问题，从而提出了氢原子的模型，首次给出了氢原子中电子轨道的量子化条件。

玻尔的原子发光模型给出了氢原子谱线的位置，即谱线的频率或波长。

| 谱线的特征：位置，亮度，宽度，精细结构，简并度

1925年，海森堡（Werner Heisenberg）试图回答谱线的强度问题，建立了矩阵力学。

海森堡认为，既然发光涉及两个状态，可能引起它的电场振动就应该由两个状态加以标记，其傅里叶分析中的分量应该只有一个频率，即对应两个状态能量差的频率。这样，这个振动随时间的变化，海森堡猜测应该为

随后，海森堡把他的这套理论用到谐振子问题上，最终发现无法解释谱线的强度，于是乎，海森堡把他的结果写了下来，交给了指导老师波恩（Max Born）。

问题摆到了玻恩的桌上，学养深厚的玻恩马上认识到这个公式涉及的是矩阵的乘法。顺着海森堡的思路，玻恩发现谐振子问题给出的矩阵 Xnm 和 Pnm ，满足关系

至此，一个把人类的物理学知识提高一个层次的公式出现了。海森堡的半截文章经过玻恩的完善后顺利发表，不久，玻恩和海森堡合作发表了一篇文章，他们俩加上玻恩的助手约当(Pascual Jordan)也合作发表了一篇文章。这三篇文章构成了量子力学的第一种形式——矩阵力学。

值得一提的是，这一年，天才的约当才23岁。他从关系式

出发计算 xpn - pnx，所得到的关系

即动量相当于对坐标的微分，是后来量子力学应用的前提。

光与电子是量子力学初期舞台上的两个主角。在人类有意识之时就知道光的存在。到了20世纪初，由于玻尔兹曼、普朗克、爱因斯坦等人的工作，人们认识到光不仅其能量具有最小单位hv，动量具有最小单位hv/c，甚至其本身作为存在也有基本的单位。

1926年，化学家刘易斯创造了一个新词，光子（photon），来强调光是粒子（particle）的特性。与此相对，自18世纪初就不断有证据指向电子这种粒子的存在，其身份的正式确立要等到1896年。“既然原来被当作波的光既是波也是粒子，那么电子呢？它也是波吗？”曹教授的提问引出了下一位重要的物理学家。

1924年，法国的贵族青年路易·德·布罗意（Louis de Broglie）在博士论文中大胆建议电子也是波，这就是物质波的概念。参照普朗克的光子能量表达式E=hv和爱因斯坦相对论性粒子的能量表达式E=pc，德布罗意指出对于能量为E，动量为p的电子，其对应的物质波的波长和频率分别为

德布罗意的物质波概念，给了玻尔的量子化条件式一个直观的图像：电子轨道的长度只能是其物质波波长的整数倍。

物质波的概念不是很容易令人信服。不过爱因斯坦对这个概念很感兴趣。1927年，美国贝尔实验室的戴维森（Clinton Davission）和革未（Lester Halbert Germer）让电子通过了因为碰巧熔化从而得到的结晶品质还算好的镍晶体，发现透过去的电子形成了衍射花样——如同X射线穿过晶体时得到的那种衍射花样。电子衍射实验证实了电子的波动性。如今，利用电子波动性的电子衍射技术是分析晶体（包括准晶）的常规技术。

继续刚才讲到的德布罗意，他认为所有物质都有波动的想法在当时十分标新立异。他的这篇论文受到了答辩委员会郎之万（Paul Langevin）教授的赏识，郎之万教授随即把这篇论文寄给了爱因斯坦和德拜 (Peter Debye)各一份。

爱因斯坦对德布罗意的想法给予了很高的评价。而德拜在1925年底的某天，把德布罗意的论文交给了薛定谔（Erwin Schr?dinger），说道：“如果要当成波处理的话，总该有个波动方程吧。”

几周后，即1926年新年后，薛定谔在研讨会上兴奋地宣称：“我的同事德拜建议应该有个波动方程，嗯，我找到了一个！”薛定谔找到的方程即是

如今被称为薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的标志，是现代量子理论的基础；是物理学最美的方程之一，一个所有学物理的人都要理解的方程。

此外，薛定谔把还算粗糙的波动方程之定态形式应用于氢原子问题，竟然也得到了玻尔和索末菲等人此前得到的三个量子数（n,?,m）。

年，维格纳 (Eugene Wigner) 在其博士论文中首次提到分子激发态有能量展宽Δε, 它同平均寿命Δt 通过关系式Δε. Δt ~h，相联系，而海森堡提出Δx. Δp ~h是在1927年。维格纳还和外尔（Hermann Weyl）一起把群论引入了量子力学。有了群论的量子力学才能理解光谱的各种特征。

到了1926年，人们有了两套不同的理论体系来处理量子现象：海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学。

这两者的数学看似不一样，其赖以出现的出发点和构造方法也不同，但感觉上它们似乎又是等价的。薛定谔自己先注意到了这个问题，他在1926年5月证明了波动力学被包含在矩阵力学中，任何算符在一个完备正交系的空间中都可以被表示为一个矩阵。但是，他无法证明矩阵力学意义下的矩阵一定对应一个波动力学的算符。

Dirac）构造了一般线性变换的理论，给出希尔伯特空间的幺正变换。狄拉克第一个指出，矩阵隐含的本征矢量实际上对应波动力学里的本征态。因此，矩阵力学和波动力学明面上的不一致，即矩阵力学中只有矩阵而波动力学里有态函数和算符两类对象，被消除了。

1928年，狄拉克构造了满足案因斯坦狭义相对论的量子力学方程，即狄拉克方程。利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。

从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2。电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，指出自旋是相对论性的，是理论上的重大进展。更重要的是，狄拉克方程导致了反粒子概念的提出。

至此，我们有了一个大致完备的描述原子中电子行为的量子力学。简单地说，电子行为由波函数表述，波函数是个复（值）函数，它的模平方代表电子在空间某处被找到的几率密度。波函数由四个量子数（n,?,m,ms）表征。这样的量子力学要显示它解释世界的威力了。

在量子力学中有个关键的原理叫泡利不相容原理（Pauli exclusion），谓不可能有两个粒子占据同一个量子态，或者说一个量子态上只能容纳一个粒子。这可类比于自行车赛事里的自行车和运动员之间的关系：一辆自行车上只能容许一个选手。在这里不得不提一下天才物理学家泡利（Wolfgang

1924年泡利推断电子还存在一个二值的自由度，并提出了‘不相容原理’。泡利矩阵是描写自旋角动量的数学工具。

1930年，泡利预言了中微子的存在。泡利的主要成就是在量子力学、量子场论和基本粒子理论方面，特别是泡利不相容原理的建立和β衰变中的中微子假说等，对理论物理学的发展做出了重要贡献。

具有类似电子行为的粒子有个统一的标签：费米子（Fermion），与之相对应的是玻色子（Boson），即自旋为整数的粒子，包括光子、声子（固体中原子集体振荡的量子）等。

玻色子可以多个粒子占据同一个状态，类似杂技团里的自行车和演员之间的关系。

在系统温度足够低的条件下，所有的玻色子可能都挤到能量最低的状态上，此时玻色子发生了玻色-爱因斯坦凝聚。玻色-爱因斯坦凝聚体里所有的粒子处于同一个量子态，是展现量子力学奇异现象的新舞台。

玻色 (Satyendra Nath Bose)是印度物理学家， 他在假设光子的能级具有子能级的前提下于1924年导出了黑体辐射公式。

1926年，冯·诺依曼（John von Neumann）指出，算符的本征态张成一个矢量空间并名之为希尔伯特空间，量子态可以看成希尔伯特空间中的一个矢量。

进一步地，冯·诺依曼认为测量一个力学量得到的值应该是该力学量的某个正本值；测量后的状态坍缩到对应的本征态上。1932年撰写《量子力学的数学基础》是量子力学测量理论的基础，虽然未必正确。

“马上就要接近尾声了，但是还有一个伟大的人物不得不提，他就是索末菲（Arnold Sommerfeld）。”曹则贤教授说道。

索末菲是旧量子论的奠基人之一，提出了氢原子中电子行为的第一和第三量子数。他为理论物理的时代培养了大批的学生，是学生获得诺贝尔奖最多的导师。

“量子力学是一伙儿天才们的头脑风暴的产出。这些天才们之所以能有这样伟大的成就，只不过是因为他们确实是天才，也确实很早就学了数学与物理，也恰巧在那个时空点上。”面对那些物理天才们为量子力学作出的煌煌业绩，曹则贤教授对当下的物理学习与研究依旧充满信心。“科学需要思想的自由，还需要思想激情碰撞的机会。”

曹则贤教授希望，能有更多的职业教师和科学家能够思考“教师”这两个字所意味的责任，努力滋养孩子们的好奇心，在老师的指导下，成长为明日的科学家——至少它们会成为用科学武装了头脑的未来公民。

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