已知an为等差数列数列an首项为1 Sn为数列an的前n项和 Sn＋1＝2Sn ＋1 求an通项公式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-31 07:09 标签： 已知数列an满足a1 2
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已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列；（Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函数f（x）在点x=1处的导数f'（1）．
题型：解答题难度：中档来源：中山一模
（Ⅰ）由已知Sn+1=2Sn+n+5，∴n≥2时，Sn=2Sn-1+n+4，两式相减，得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1，即an+1=2an+1，从而an+1+1=2（an+1）．当n=1时，S2=2S1+1+5，∴a1+a2=2a1+6又a1=5，∴a2=11，从而a2+1=2（a1+1）．故总有an+1+1=2（an+1），n∈N*．又∵a1=5，，∴an+1≠0，从而an+1+1an+1=2．即{an+1}是以a1+1=6为首项，2为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=3×2n-1．∵f（x）=a1x+a2x2+…+anxn∴f'（x）=a1+2a2x+…+nanxn-1．从而f'（1）=a1+2a2+…+nan=（3×2-1）+2（3×22-1）+…+n（3×2n-1）=3（2+2×22+…+n×2n）-（1+2+…+n）=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-n(n+1)2=3[n×2n+1-2n+1+2]-n(n+1)2=3(n-1)o2n+1-n(n+1)2+6．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．（Ⅰ..”主要考查你对&&导数的运算，等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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导数的运算等比数列的定义及性质
常见函数的导数：
（1）C′=0&；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
导数的四则运算：&
（1）和差：（2）积：（3）商：
复合函数的导数：
运算法则复合函数导数的运算法则为：复合函数的求导的方法和步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量； （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数。求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。&等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
与“已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．（Ⅰ..”考查相似的试题有：
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已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．（Ⅰ）设bn=an+1，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
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（Ⅰ）由Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）得&Sn=2Sn-1+（n-1）+5（n∈N*，n≥2）两式相减得&an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）即&&bn+1=2bn（n∈N*，n≥2），又a2=S2-S1=S1+1+5=a1+6=11∴b2=a2+1=12，b1=a1+1=6∴b2=2b1．∴数列{bn}是首项为6，公比为2的等比数列∴n＝6o2n-1＝3o2n．（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知n＝3o2n-1，∴Sn=a1+a2+…+an=3×2+3×22+…+3o2n-n=n-1)2-1-n=6o2n-n-6=3o2n+1-n-6．&&（Ⅱ）法二由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）①设Sn+1+c（n+1）+d=2（Sn+cn+d）整理得&&Sn+1=2Sn+cn+d-c②对照①、②，得&&c=1，d=6，即①等价于&Sn+1+（n+1）+6=2（Sn+n+6）∴数列{Sn+n+6}是等比数列，首项为S1+1+6=a1+1+6=12，公比为q=2∴n+n+6＝12o2n-1＝3o2n+1∴n＝3o2n+1-n-6．
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（Ⅰ）根据条件，建立方程组即可求出数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法或构造法求出数列的前n项和Sn
本题考点：
数列的求和．
考点点评：
本题主要考查数列的通项公式和前n项和的计算，要求熟练掌握相应的求和公式，考查学生的计算能力．
扫描下载二维码已知数列{an}的前n项和为2Sn=3an-2．（1）求数列{an}的通项公式，（2）若bn=log13（Sn+1），求数列{bnan}_百度知道
已知数列{an}的前n项和为2Sn=3an-2．（1）求数列{an}的通项公式，（2）若bn=log13（Sn+1），求数列{bnan}
已知数列{an}的前n项和为2Sn=3an-2．（1）求数列{an}的通项公式，（2）若bn=log13（Sn+1），求数列{bnan}的前n项和Tn．
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（1）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，n＝Sn?Sn?1＝(3n?1)?(3n?1?1)＝2×3n?1综上所述，n＝2×3n?1…（5分）（2）因为n＝log13(Sn+1)＝log13(3n)＝?n，所以bnan=-2n×3n-1n＝?2×1?4×31?6×32?…?2n×3n?1…（7分）所以3Tn=-2×31-4×32-…-2（n-1）×3n-1-2n×3n…（8分）相减得[n＝?2×1?2×31?2×32?…?2×3n?1+2n×3n=-2×（1+31+32+…+3n-1）+2n×3n…（10分）所以n＝(1+31+32+…+3n?1)?n×3n=n1?3?n×3n=n+12…（12分）
采纳率：67%
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已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q&0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2-2an2=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．
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（Ⅰ）根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1，又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q&0），解可得q=2，则有Sn+1=2Sn+1，①进而有Sn=2Sn-1+1，②①-②可得an=2an-1，则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=1×2n-1=2n-1；（Ⅱ）根据题意，有Sn+1=qSn+1，③同理可得Sn=qSn-1+1，④③-④可得：an=qan-1，又由q&0，则数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn-1=qn-1；若e2=2，则e2=22=2，解可得a2=，则a2=q=，即q=，an=1×qn-1=qn-1=（）n-1，则en2=1+an2=1+3n-1，故e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n-1）=n+n-12．
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