&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c8109b_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f90e09ad161d2a6c8109b_r.jpg&&&/figure&&p&希望大家不要只收藏不点赞，也当作是对我的小小的支持了~&/p&&p&喜欢的话可以关注一下我的专栏，会持续更新!&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆（或双曲线）与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦长的简便算法，常应用于解析几何。&/blockquote&&p&这是网上找得到的东西。&/p&&p&我另外整理，亲自算了一遍，并把结果写在下面，希望方便大家学习~&/p&&p&由于大部分是自己算的，可能会出现错误，如果有误欢迎指出！&/p&&p&但是应该特别注意的是，&b&定理并不能直接用于高考&/b&，可以把计算的过程，也就是下面推导的过程写出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&原定理内容：&/p&&blockquote&若曲线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bm%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bn%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1& eeimg=&1&& 与直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%2BBy%2BC%3D0& alt=&Ax+By+C=0& eeimg=&1&& 相交于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=E%2CF& alt=&E,F& eeimg=&1&& 两点，则：&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2ACm%7D%7B%5Cvarepsilon%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2ACm}{\varepsilon}& eeimg=&1&& ，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bm%28C%5E2-B%5E2n%29%7D%7B%5Cvarepsilon%7D& alt=&x_1x_2=\frac{m(C^2-B^2n)}{\varepsilon}& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%3Dmn%28%5Cvarepsilon-C%5E2%29& alt=&\Delta'=mn(\varepsilon-C^2)& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CEF%7C%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B%28A%5E2%2BB%5E2%29%5CDelta%27%7D%7D%7B%7C%5Cvarepsilon%7C%7D& alt=&|EF|=\frac{2\sqrt{(A^2+B^2)\Delta'}}{|\varepsilon|}& eeimg=&1&&&br&其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3DA%5E2m%2BB%5E2n& alt=&\varepsilon=A^2m+B^2n& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4B%5E2%7D%5CDelta& alt=&\Delta'=\frac{1}{4B^2}\Delta& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&原定理内容并不适合高考中常见的模型，因此在这里另外给出一套计算公式。&/p&&p&&b&如果不想看计算过程的话可以直接跳到文章的结尾，有完整的总结~&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&一、抛物线情形&/h2&&p&设抛物线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3Ay%5E2%3D2px& alt=&C:y^2=2px& eeimg=&1&& ，直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ax%3Dmy%2Bt& alt=&l:x=my+t& eeimg=&1&& ，联立得：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2-2pmy-2pt%3D0& alt=&y^2-2pmy-2pt=0& eeimg=&1&& ，由韦达定理：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D2pm& alt=&y_1+y_2=2pm& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D-2pt& alt=&y_1y_2=-2pt& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D& alt=&\Delta=& eeimg=&1&&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28-2pm%29%5E2-4%28-2pt%29%3D4p%5E2m%5E2%2B8pt& alt=&(-2pm)^2-4(-2pt)=4p^2m^2+8pt& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28y_1%2By_2%29%5E2-4y_1y_2%7D%3D%5Csqrt%7B%282pm%29%5E2-4%28-2pt%29%7D& alt=&|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{(2pm)^2-4(-2pt)}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5CDelta%7D& alt=&=\sqrt{\Delta}& eeimg=&1&&&/p&&p&抛物线的计算量较小，通常选择消去一次项。&/p&&p&其他情形的抛物线可以类比，在这里不再列出。&/p&&p&&br&&/p&&h2&二、椭圆情形 &/h2&&p&（1）设椭圆 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&，直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ay%3Dkx%2Bm& alt=&l:y=kx+m& eeimg=&1&& ，将椭圆方程变形为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2x%5E2%2Ba%5E2y%5E2%3Da%5E2b%5E2& alt=&b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2& eeimg=&1&& ，与直线联立： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29x%5E2%2B2a%5E2kmx%2Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%3D0& alt=&(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2km%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%282a%5E2km%29%5E2-4%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5Ccdot+a%5E2%28m%5E2-b%5E2%29& alt=&\Delta=(2a^2km)^2-4(a^2k^2+b^2)\cdot a^2(m^2-b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E4k%5E2m%5E2-%284a%5E4k%5E2m%5E2%2B4a%5E2b%5E2m%5E2-4a%5E4b%5E2k%5E2-4a%5E2b%5E4%29& alt=&=4a^4k^2m^2-(4a^4k^2m^2+4a^2b^2m^2-4a^4b^2k^2-4a^2b^4)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E4b%5E2k%5E2%2B4a%5E2b%5E4-4a%5E2b%5E2m%5E2& alt=&=4a^4b^2k^2+4a^2b^4-4a^2b^2m^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E2%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%29& alt=&=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28x_1%2Bx_2%29%5E2-4x_1x_2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28-2a%5E2km%29%5E2%7D%7B%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5E2%7D-4%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D%7D& alt=&|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{(-2a^2km)^2}{(a^2k^2+b^2)^2}-4\frac{a^2(m^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%282a%5E2km%29%5E2-4a%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%5Ccdot+%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%7D%7B%28a%5E2k%5E2%2Bb%5E2%29%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&=\sqrt{\frac{(2a^2km)^2-4a^2(m^2-b^2)\cdot (a^2k^2+b^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%7D%7D%7Ba%5E2k%5E2%2Bb%5E2%7D& alt=&=\frac{2ab\sqrt{a^2k^2+b^2-m^2}}{a^2k^2+b^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2k%5E2%2Bb%5E2& alt=&A=a^2k^2+b^2& eeimg=&1&& ，则：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2a^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28m%5E2-b%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-m%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A-m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+a%5E2k%5E2%2Bb%5E2-m%5E2%3E0%5CLeftrightarrow+A-m%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow a^2k^2+b^2-m^2&0\Leftrightarrow A-m^2&0& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&交换上式中的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& 可以得到焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上的椭圆：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2b^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28m%5E2-a%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{b^2(m^2-a^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-m%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A-m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A-m%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A-m^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2%2Bb%5E2k%5E2& alt=&A=a^2+b^2k^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&（2）设椭圆 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&，直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ax%3Dmy%2Bt& alt=&l:x=my+t& eeimg=&1&& ，将椭圆方程变形为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2x%5E2%2Ba%5E2y%5E2%3Da%5E2b%5E2& alt=&b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2& eeimg=&1&& ，与直线联立： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29y%5E2%2B2b%5E2mty%2Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%3D0& alt=&(a^2+b^2m^2)y^2+2b^2mty+b^2(t^2-a^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2mt%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2b^2mt}{a^2+b^2m^2}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D& alt=&y_1y_2=\frac{b^2(t^2-a^2)}{a^2+b^2m^2}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D%282b%5E2mt%29%5E2-4%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29%5Ccdot+b%5E2%28t%5E2-a%5E2%29& alt=&\Delta =(2b^2mt)^2-4(a^2+b^2m^2)\cdot b^2(t^2-a^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4b%5E4m%5E2t%5E2-%284b%5E4m%5E2t%5E2-4a%5E2b%5E4m%5E2%2B4a%5E2b%5E2t%5E2-4a%5E4b%5E2%29& alt=&=4b^4m^2t^2-(4b^4m^2t^2-4a^2b^4m^2+4a^2b^2t^2-4a^4b^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E4m%5E2%2B4a%5E4b%5E2-4a%5E2b%5E2t%5E2& alt=&=4a^2b^4m^2+4a^4b^2-4a^2b^2t^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E2%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2-t%5E2%29& alt=&=4a^2b^2(a^2+b^2m^2-t^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Csqrt%7B%28y_1%2By_2%29%5E2-4y_1y_2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%28-2b%5E2mt%29%5E2%7D%7B%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29%5E2%7D-4%5Cfrac%7Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D%7D& alt=&|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{\frac{(-2b^2mt)^2}{(a^2+b^2m^2)^2}-4\frac{b^2(t^2-a^2)}{a^2+b^2m^2}}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%282b%5E2mt%29%5E2-4%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29%5Ccdot+b%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7B%28a%5E2%2Bb%5E2m%5E2%29%5E2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D& alt=&=\sqrt{\frac{(2b^2mt)^2-4(a^2+b^2m^2)\cdot b^2(t^2-a^2)}{(a^2+b^2m^2)^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a^2+b^2m^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2-t%5E2%7D%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2m%5E2%7D& alt=&=\frac{2ab\sqrt{a^2+b^2m^2-t^2}}{a^2+b^2m^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2%2Bb%5E2m%5E2& alt=&A=a^2+b^2m^2& eeimg=&1&& ，则：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2mt%7D%7BA%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2b^2mt}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&y_1y_2=\frac{b^2(t^2-a^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-t%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|y_1-y_2|=\frac{2ab\sqrt{A-t^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+a%5E2%2Bb%5E2m%5E2-t%5E2%3E0%5CLeftrightarrow+A-t%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow a^2+b^2m^2-t^2&0\Leftrightarrow A-t^2&0& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&交换上式中的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& 可以得到焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上的椭圆：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2mt%7D%7BA%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2a^2mt}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28t%5E2-b%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&y_1y_2=\frac{a^2(t^2-b^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-t%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|y_1-y_2|=\frac{2ab\sqrt{A-t^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A-t%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A-t^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2m%5E2%2Bb%5E2& alt=&A=a^2m^2+b^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&由于高考比较常考的是椭圆，因此椭圆特地多列出了一种情形。&/p&&p&&br&&/p&&h2&三、双曲线情形&/h2&&p&设双曲线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&，直线 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=l%3Ay%3Dkx%2Bm& alt=&l:y=kx+m& eeimg=&1&& ，将椭圆方程变形为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2x%5E2-a%5E2y%5E2%3Da%5E2b%5E2& alt=&b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2& eeimg=&1&& ，与直线联立： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%28b%5E2-a%5E2k%5E2%29x%5E2-2a%5E2kmx-a%5E2%28b%5E2%2Bm%5E2%29%3D0& alt=&(b^2-a^2k^2)x^2-2a^2kmx-a^2(b^2+m^2)=0& eeimg=&1&&&/p&&p&由韦达定理： &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B2a%5E2km%7D%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{2a^2km}{b^2-a^2k^2}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7B-a%5E2%28b%5E2%2Bm%5E2%29%7D%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%7D& alt=&x_1x_2=\frac{-a^2(b^2+m^2)}{b^2-a^2k^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3D%28-2a%5E2km%29%5E2%2B4%28b%5E2-a%5E2k%5E2%29%5Ccdot+a%5E2%28b%5E2%2Bm%5E2%29& alt=&\Delta=(-2a^2km)^2+4(b^2-a^2k^2)\cdot a^2(b^2+m^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E4%2B4a%5E2b%5E2m%5E2-4a%5E4b%5E2k%5E2& alt=&=4a^2b^4+4a^2b^2m^2-4a^4b^2k^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%3D4a%5E2b%5E2%28b%5E2-a%5E2k%5E2%2Bm%5E2%29& alt=&=4a^2b^2(b^2-a^2k^2+m^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%2Bm%5E2%7D%7D%7Bb%5E2-a%5E2k%5E2%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{b^2-a^2k^2}=\frac{2ab\sqrt{b^2-a^2k^2+m^2}}{b^2-a^2k^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Db%5E2-a%5E2k%5E2& alt=&A=b^2-a^2k^2& eeimg=&1&& ，则：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B2a%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{2a^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7B-a%5E2%28b%5E2%2Bm%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{-a^2(b^2+m^2)}{A}& eeimg=&1&& , &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA%2Bm%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A+m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+b%5E2-a%5E2k%5E2%2Bm%5E2%5CLeftrightarrow+A%2Bm%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow b^2-a^2k^2+m^2\Leftrightarrow A+m^2&0& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-b%5E2& alt=&-b^2& eeimg=&1&& 代替 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5E2& alt=&a^2& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=-a%5E2& alt=&-a^2& eeimg=&1&& 代替 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2& alt=&b^2& eeimg=&1&& 可以得到焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上的双曲线：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2km%7D%7BA%7D& alt=&x_1+x_2=\frac{-2b^2km}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x_1x_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28m%5E2-a%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&x_1x_2=\frac{b^2(m^2-a^2)}{A}& eeimg=&1&& , &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cx_1-x_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA%2Bm%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|x_1-x_2|=\frac{2ab\sqrt{A+m^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A%2Bm%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A+m^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Db%5E2k%5E2-a%5E2& alt=&A=b^2k^2-a^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&h2&四、总结&/h2&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-406cc5dcff3a9e033cd3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1700& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1700& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-406cc5dcff3a9e033cd3_r.jpg&&&/figure&&p&注：椭圆部分的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 算出来与原定理的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&& 一致&/p&&p&&br&&/p&&p&特别指出，直线也可能设为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dmy%2Bt& alt=&x=my+t& eeimg=&1&& 。&/p&&p&焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 轴上的椭圆：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2b%5E2mt%7D%7BA%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2b^2mt}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%28t%5E2-a%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&y_1y_2=\frac{b^2(t^2-a^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-t%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|y_1-y_2|=\frac{2ab\sqrt{A-t^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A-t%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A-t^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2%2Bb%5E2m%5E2& alt=&A=a^2+b^2m^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&焦点在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 轴上的椭圆：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-2a%5E2mt%7D%7BA%7D& alt=&y_1+y_2=\frac{-2a^2mt}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y_1y_2%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%28t%5E2-b%5E2%29%7D%7BA%7D& alt=&y_1y_2=\frac{a^2(t^2-b^2)}{A}& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy_1-y_2%7C%3D%5Cfrac%7B2ab%5Csqrt%7BA-t%5E2%7D%7D%7BA%7D& alt=&|y_1-y_2|=\frac{2ab\sqrt{A-t^2}}{A}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%3E0%5CLeftrightarrow+A-t%5E2%3E0& alt=&\Delta&0\Leftrightarrow A-t^2&0& eeimg=&1&& ，其中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=A%3Da%5E2m%5E2%2Bb%5E2& alt=&A=a^2m^2+b^2& eeimg=&1&&&/p&
希望大家不要只收藏不点赞，也当作是对我的小小的支持了~喜欢的话可以关注一下我的专栏，会持续更新! 圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆（或双…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5d8d53c9a1f2f77646b7_b.jpg& data-rawwidth=&758& data-rawheight=&287& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&758& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5d8d53c9a1f2f77646b7_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f81e62dd3cbb2e6aea2af9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f81e62dd3cbb2e6aea2af9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8fc1f2ab307e5e06b00abd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8fc1f2ab307e5e06b00abd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-97b6a6b3b231d4f8d9aca_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-97b6a6b3b231d4f8d9aca_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fecc5dc4ccd5e51ad1c9ed0520beb3b2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fecc5dc4ccd5e51ad1c9ed0520beb3b2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d9afb0c813fcce4e199718b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d9afb0c813fcce4e199718b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3a89c3ccfd687f9b63dafe5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3a89c3ccfd687f9b63dafe5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2f1de624ae77d275b0cb057d33f91543_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-2f1de624ae77d275b0cb057d33f91543_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2d73c3bd39a73dd6b1b77c16061ac17e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2d73c3bd39a73dd6b1b77c16061ac17e_r.jpg&&&/figure&&p&数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&143& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&超人 微信：math （← 加我加我）&/b&&/p&&p&&b&vip通关卡：（微信扫描二维码）&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-71dcc7940ddf37a00c24adfef78d5830_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&190& data-rawheight=&191& class=&content_image& width=&190&&&/figure&&p&&/p&
数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。超人 微信：math （← 加我加我）vip通关卡：（微信扫描二维码）
&p&椭圆抛物线和双曲线，这一块说起来就长了，因为圆锥曲线的问题还是有很多的套路的，首先套路是：设直线方程（考虑斜率哦），联立圆锥曲线方程，消元得到一个方程后，分类讨论二次系数为0的问题，如果为0，可以直接求解，如果不为0，下一步就是判别式大于等于0，并且韦达定理表示出来，这是套路，基本上有个题目你这么做就算不对的话也可以拿到几分了呢。&/p&&p&再说题型的问题&/p&&p&1.
基本计算的问题：就是根据a、b、c、e、准线、渐近线来计算的，所以掌握这些基本的计算量，区分开椭圆和双曲线的区别就可以了呢。&/p&&p&2.
圆锥曲线轨迹的问题：圆锥曲线有两种求解的方法，第一种方法是待定系数法，但是要注意焦点是在X轴还是在Y轴，再去待定系数求解就可以了，第二种方法是定义法，一点到两台直线的距离之和为定值，注意定值的范围写出来肯定是椭圆了，一点到两台直线的距离之差的话要注意绝对值才是双曲线，如果没有绝对值的话就是双曲线的单支问题了，所以要看清楚条件；定义当然少不了第二定义，第二定义比较稳定，就是一点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e,根据e的范围你就可以确定是什么类型的曲线了。&/p&&p&3.
直线与圆锥曲线点差法（弦中点问题）：这个是不需要用我们上边的套路的，直接根据点在圆锥曲线上，带入做差化简，得到斜率（存在的话，还是要讨论斜率不存在的情况的）与弦中点的方法，这个方法叫做点差法，所以要学会这个方法，看清楚只有弦和中点才会用的方法哦，当然后边有个中垂线的问题也可以用点差法呢。&/p&&p&4.
直线与圆锥曲线弦长问题 ：弦长的话我们一般直接表示弦长，&br&&/p&&p&根据这个计算的公式我们直接吧求弦长的问题转化为了韦达定理的应用，所以直接用咱们刚开始总结的套路就可以了呢。&/p&&p&5.
直线与圆锥曲线面积问题：面积的求解公式来说，第一是底*高/2,那底可以用弦长公式求解，高用点到直线的距离，可以直接求解的说。第二种我们可以用absinC/2,用这个的话可以想到三角函数的内容了，所以强大的三角函数和向量就可以用起来了呢，就是sinC可以求解cosC,那向量的乘积公式只要包含角度就有可能用到，二倍角公式、两角和与差的正余弦公式，还有解三角形的正余弦定理也可以用到的，所以没办法总结到底用哪个，总之都会用到呢。&/p&&p&6.
直线与圆锥曲线对称与中垂线：对称就是垂直和平分，跟中垂线的类似，垂直问题一般可以斜率乘积为-1，向量乘积为0去处理，那平分的问题就是中点问题，可以用点差法了呢，也可以直接粗暴的去表示直线，去求解呢&/p&&p&7.
直线与圆锥曲线与向量问题：向量问题的话就是要不就用向量的各种公式转化为计算求解的问题，这种用得少，计算量太大，那向量问题一般都是直接套路了后看看需要啥向量公式用啥，需要咱们韦达定理的啥结论就用啥，上手计算就好，没有别的了&/p&&p&8.
定值与最值的问题：定值呢，一般是先通过特殊点找到一个值，在证明定值存在，最值问题一般是通过套路表示成一个参数的式子，再根据原先咱们学函数的值域的问题啊，三角函数的值域问题求解值域了，这是基本思路撒&/p&&p&9.
定点问题：一般是两方法，引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.（个人更喜欢后一种，计算不出来最起码有不少分数的）&/p&&p&好了，基本上也就这些类型的问题了，不管怎么说，计算量很大的，所以唯一的方法就是塌心计算，相信自己可以算出来的呢，对于计算差的孩子，注意正负号，注意计算容易出现的点，经常计算到最后你都会发现可以消去很多内容的，如果你没有发现的话回去重新计算吧。&/p&&p&最后，祝愿所有的孩子学到这一块都能掌握这些套路和技巧，在高考这个题目拿满分，加油！&/p&&br&&p&沪江高中数学刘爱洁老师：江湖人称爱姐，沪江首席高中数学资深教师，北京科技大学数学系研究生。授课过程饱含激情又带有欢乐，只有亲身体验过才能知道其中的酸甜苦辣，所带学生单科成绩可进步20-80分，提倡快乐学习，爱上数学，变身数学学霸~&/p&&p&如有任何疑问，欢迎加入【爱数学-学霸QQ群】&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//jq.qq.com/%3F_wv%3DD44uAzk3& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&/a&，和老师同学一起探讨，还可以领取更多高中数学提分资料。&/p&&p&本文为刘爱洁老师原创文章，如想转载，请注明原文！&/p&
椭圆抛物线和双曲线，这一块说起来就长了，因为圆锥曲线的问题还是有很多的套路的，首先套路是：设直线方程（考虑斜率哦），联立圆锥曲线方程，消元得到一个方程后，分类讨论二次系数为0的问题，如果为0，可以直接求解，如果不为0，下一步就是判别式大于等…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f580d3ee7a_b.jpg& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&560& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f580d3ee7a_r.jpg&&&/figure&&p&本节内容，全程光环加持！原因，你懂的~&/p&&p&如果在学校，在班级，你的数学老师或者某些学霸告诉你：&/p&&p&&b&圆锥曲线？不就是算吗！&/b&&/p&&p&那我劝你，至少在圆锥曲线这个版块，别和他们交流了。没错，包含说这话的数学老师。&/p&&p&圆锥曲线，更广义的说，解析几何，是代数与几何的完美结合。而圆锥曲线大题，则更是无处不含技巧。只是，或许，你并没过多思考。毕竟咱们精力被占用的太多了！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&好了，上面那些就当娱乐，以下是涛哥我理解的弦长与面积问题，形成一套体系。可能较长，大家耐心！&/p&&p&&b&一、题型描述&/b&&/p&&blockquote&&b&弦长与面积问题：&/b&解析几何题目（多出自大题）中，题干涉及直线与椭双抛圆等曲线相交于两点，形成弦，围绕该弦形成的一系列问题。-------面积呢？面积呢？这不用解释了吧。。。&/blockquote&&p&先放一道例题，方便接下来的模法讲解：&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&【例题1】&/b&已知椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1& alt=&G:\frac{x^2}{4}+y^2=1& eeimg=&1&&，过点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28m%2C0%29& alt=&(m,0)& eeimg=&1&&作圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2By%5E2%3D1& alt=&x^2+y^2=1& eeimg=&1&&的切线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&交椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&两点．求&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C& alt=&|AB|& eeimg=&1&&的最大值．&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&二、模法讲解&/b&&/p&&p&这类问题无疑需要直线、曲线联立方程求解，所以第一步，我们应该先设出直线的方程。所以：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&1、如何设直线？&/b&（为便于体系化运算，如有悖于你认知的任何点出现，请耐心看下去）&br&&b&①y=kx+m型：&/b&当直线可以水平放置、不可以竖直放置时，设成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dkx%2Bm& alt=&y=kx+m& eeimg=&1&&型，&br&此时&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&是直线斜率，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&是直线纵截距。&br&&b&②x=ky+m型：&/b&当直线可以竖直放置、不可以水平放置时，设成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dky%2Bm& alt=&x=ky+m& eeimg=&1&&型，&br&此时&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&是直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ctext%7B%E6%96%9C%E7%8E%87%7D%7D+& alt=&\frac{1}{\text{斜率}} & eeimg=&1&&，即斜率的倒数，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&是直线横截距。&/blockquote&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&注意事项：&/b& &b&a.&/b&当直线&b&只可能倾斜&/b&，不可水平摆放，也不又可竖直摆放时，&b&两种设法均可以&/b&。（这里面设哪种更简便运算，你们思考思考）&br&&b&b.&/b&当直线&b&既可水平&/b&摆放，&b&又可竖直&/b&摆放时，&b&两种设法均可以&/b&，&b&且都需要另行讨论所设形式无法表示的“摆放姿势”&/b&。（同样，这里面设哪种更简便运算，你们思考思考）&/blockquote&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_r.jpg&&&/figure&&p&【例题1】中的切线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&该如何设出呢？我们先把题目该有的条件画出来，如图：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e3b8bbe452f8ec6a86abb9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&739& data-rawheight=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&739& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e3b8bbe452f8ec6a86abb9_r.jpg&&&/figure&&p&由于直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&过&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28m%2C0%29& alt=&(m,0)& eeimg=&1&&，且与圆相切，所以能够确定直线可以竖直摆放，不可以水平摆放。故将直线设成：&/p&&blockquote&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dky%2Bm& alt=&x=ky+m& eeimg=&1&&-------这里横截距也恰好是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dm& alt=&x=m& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&（再次提醒，这么设k是&b&斜率倒数，斜率倒数，斜率倒数&/b&，虽解本题不影响你的计算，但是你必须清楚这一点！）&br&&br&&/p&&p&先更这些。睡醒再更~~~&/p&&p&晚安，这次是真的。于3.28日凌晨&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&3.28日早8:11，续更。&/p&&p&解决完设直线，接下来我们谈谈如何联立方程。因为抛物线的联立技巧有别于椭圆、双曲线，这里面先讲直线与椭双的联立。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&1、如何联立直线与曲线方程&/b&？（统一设椭圆或双曲线方程为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%5E2%2BBy%5E2%3D1& alt=&Ax^2+By^2=1& eeimg=&1&&，无所谓焦点在哪个轴上，无所谓&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&&）&br&&b&※①留谁谁在前&/b&：&br&&b&a.&/b&当直线设成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dkx%2Bm& alt=&y=kx+m& eeimg=&1&&型，联立时将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=kx%2Bm& alt=&kx+m& eeimg=&1&&整体代入椭双方程，意味着联立后保留&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&。所以，此时需在联立时将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=Ax%5E2& alt=&Ax^2& eeimg=&1&&项写在前面：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+y%3Dkx%2Bm%2C%5C%5C+Ax%5E2%2BBy%5E2%3D1%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} y=kx+m,\\ Ax^2+By^2=1\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CRightarrow+& alt=&\Rightarrow & eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28A%2BBk%5E2%29x%5E2%2BB%5Ccdot+2km%5Ccdot+x%2BB%5Ccdot+m%5E2-1%3D0& alt=&(A+Bk^2)x^2+B\cdot 2km\cdot x+B\cdot m^2-1=0& eeimg=&1&&&b&b.&/b&当直线设成&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dky%2Bm& alt=&x=ky+m& eeimg=&1&&型，联立时将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ky%2Bm& alt=&ky+m& eeimg=&1&&整体代入椭双方程，意味着联立后保留&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&。所以，此时需在联立时将&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=By%5E2& alt=&By^2& eeimg=&1&&项写在前面：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+x%3Dky%2Bm%2C%5C%5C+By%5E2%2BAx%5E2%3D1%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} x=ky+m,\\ By^2+Ax^2=1\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CRightarrow+& alt=&\Rightarrow & eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28B%2BAk%5E2%29y%5E2%2BA%5Ccdot+2km%5Ccdot+y%2BA%5Ccdot+m%5E2-1%3D0& alt=&(B+Ak^2)y^2+A\cdot 2km\cdot y+A\cdot m^2-1=0& eeimg=&1&&&b&※②统一记方程&/b&：&br&a.联立后保留变量暂记为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&&br&b.联立时椭双方程前置变量系数记为“前”；后置变量系数记为“后”&br&&b&则联立后方程统一记为：&/b& &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Ctext%7B%E5%89%8D%7D%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+k%5E2%29t%5E2%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+2km%5Ccdot+t%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+m%5E2-1%3D0& alt=&(\text{前}+\text{后}\cdot k^2)t^2+\text{后}\cdot 2km\cdot t+\text{后}\cdot m^2-1=0& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_r.jpg&&&/figure&&p&再说说【例题1】中如何联立直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&与椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&。&/p&&blockquote&联立直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&与椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&:&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+x%3Dky%2Bm%2C%5C%5C+y%5E2%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%3D1%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} x=ky+m,\\ y^2+\frac{x^2}{4}=1\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CRightarrow+& alt=&\Rightarrow & eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D%29y%5E2%2B%5Cfrac%7B2km%7D%7B4%7Dy%2B%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B4%7D-1%3D0& alt=&(1+\frac{k^2}{4})y^2+\frac{2km}{4}y+\frac{m^2}{4}-1=0& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&到这里，你懂了吗？如果按此方法练习几道题。&b&当你熟练后，则联立飞快！&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&再说说&b&韦达定理与Δ：&/b& &/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&1、韦达定理：不化简原则&/b& &br&若将联立后的方程简记为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+t%5E2%2B%5Cbeta+t%2B%5Cgamma+%3D0& alt=&\alpha t^2+\beta t+\gamma =0& eeimg=&1&&，则由韦达定理得：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+t_1%2Bt_2%3D-%5Cfrac%7B%5Cbeta+%7D%7B%5Calpha+%7D%2C%5C%5C+t_1t_2%3D%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Calpha+%7D%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} t_1+t_2=-\frac{\beta }{\alpha },\\ t_1t_2=\frac{\gamma}{\alpha }\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&&br&千万记住，&b&不要做任何化简处理&/b&，高考中只有最后的结果要求化简，此时可以通过不化简的方式减少运算。告诉你，&b&分母早晚都没用！&/b&没错，&b&分母早晚都没用！&/b&个中奥妙，请慢慢领会。&/blockquote&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&2、判别式Δ：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D4%28%5Calpha+-ABm%5E2%29& alt=&\Delta =4(\alpha -ABm^2)& eeimg=&1&&&/b&&br&联立后方程：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Ctext%7B%E5%89%8D%7D%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+k%5E2%29t%5E2%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+2km%5Ccdot+t%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+m%5E2-1%3D0& alt=&(\text{前}+\text{后}\cdot k^2)t^2+\text{后}\cdot 2km\cdot t+\text{后}\cdot m^2-1=0& eeimg=&1&&那么&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D%28%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+2km%29%5E2-4%28%5Ctext%7B%E5%89%8D%7D%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+k%5E2%29%28%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+m%5E2-1%29& alt=&\Delta =(\text{后}\cdot 2km)^2-4(\text{前}+\text{后}\cdot k^2)(\text{后}\cdot m^2-1)& eeimg=&1&&&br&整理得：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D4%28%5Ctext%7B%E5%89%8D%7D%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+k%5E2-%5Ctext%7B%E5%89%8D%7D%5Ccdot+%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+m%5E2%29& alt=&\Delta =4(\text{前}+\text{后}\cdot k^2-\text{前}\cdot \text{后}\cdot m^2)& eeimg=&1&&&br&而&br&&b&⑴&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%E5%89%8D%7D%2B%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+k%5E2& alt=&\text{前}+\text{后}\cdot k^2& eeimg=&1&&也就是联立后的二次项系数&/b& &b&⑵&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%E5%89%8D%7D%5Ccdot+%5Ctext%7B%E5%90%8E%7D%5Ccdot+m%5E2& alt=&\text{前}\cdot \text{后}\cdot m^2& eeimg=&1&&也就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=ABm%5E2& alt=&ABm^2& eeimg=&1&&&/b&&br&所以，我们将联立后的方程继续简记为：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+t%5E2%2B%5Cbeta+t%2B%5Cgamma+%3D0& alt=&\alpha t^2+\beta t+\gamma =0& eeimg=&1&&，&br&&br&则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D4%28%5Calpha+-ABm%5E2%29& alt=&\Delta =4(\alpha -ABm^2)& eeimg=&1&&&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_r.jpg&&&/figure&&p&【例题1】中联立直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&与椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&及之后韦达定理、Δ的步骤如下：&/p&&blockquote&设直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&:&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dky%2Bm& alt=&x=ky+m& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%28x_1%2Cy_1%29& alt=&A(x_1,y_1)& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B%28x_2%2Cy_2%29& alt=&B(x_2,y_2)& eeimg=&1&&&br&联立直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&与椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&:&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+x%3Dky%2Bm%2C%5C%5C+y%5E2%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%3D1%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} x=ky+m,\\ y^2+\frac{x^2}{4}=1\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CRightarrow+& alt=&\Rightarrow & eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D%29y%5E2%2B%5Cfrac%7B2km%7D%7B4%7Dy%2B%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B4%7D-1%3D0& alt=&(1+\frac{k^2}{4})y^2+\frac{2km}{4}y+\frac{m^2}{4}-1=0& eeimg=&1&& 由韦达定理：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7Bkm%7D%7B2%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D%7D%2C%5C%5C+y_1y_2%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7B4%7D-1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D%7D%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} y_1+y_2=\frac{-\frac{km}{2}}{1+\frac{k^2}{4}},\\ y_1y_2=\frac{\frac{m}{4}-1}{1+\frac{k^2}{4}}\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D4%281%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D+-%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B4%7D%29& alt=&\Delta =4(1+\frac{k^2}{4} -\frac{m^2}{4})& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&到这里，其实才是真正意义上的完成方程的联立。有些同学可能会问，这里算&/p&&p&&br&&/p&&p&Δ有用吗？这么说吧，就算没用你写了也不扣分，而且写起来如同秒杀！&/p&&p&何况，我要说的是，&b&弦长与面积问题中，Δ非常有用！Δ非常有用！Δ非常有用！&/b&&/p&&p&今天暂时更到这，请大家先把&/p&&p&&b&1、如何设直线&/b&&/p&&p&&b&2、如何联立直曲方程&/b&&/p&&p&&b&3、韦达定理与Δ的快速表达式&/b& &/p&&p&记牢。&/p&&p&有关弦长公式，我想，至少有一点，我是可以颠覆你们的。敬请期待。。。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&3.28日23:00开更椭圆双曲线弦长公式。（为什么我非要加上椭圆双曲线呢？而不是，弦长公式？）&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-af9a8ee9132e2adb88c37bd_r.jpg&&&/figure&&blockquote&&b&椭双弦长公式：&/b&（设弦端点为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&）&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%3D%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%7Ct_1-t_2%7C%3D+%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%5Csqrt%7B%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1t_2%7D& alt=&AB=\sqrt{1+k^2}|t_1-t_2|= \sqrt{1+k^2}\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D+%7D%7B%7C%5Calpha+%7C%7D& alt=&=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta} }{|\alpha |}& eeimg=&1&&……①&br&&br&其中：&br&1、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t_1%2Ct_2& alt=&t_1,t_2& eeimg=&1&&为弦端点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&的&b&“保留变量坐标”&/b&&br&2、Δ：联立后的判别式；α&br&：联立后的二次项系数&br&3、学校教的不是有一个&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%3D%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%5E2%7D%7D%5Ccdot+%7Cy_1-y_2%7C& alt=&AB=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot |y_1-y_2|& eeimg=&1&&（其实学校教你的是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%3D%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ctext%7B%E6%96%9C%E7%8E%87%7D%5E2%7D%7D%5Ccdot+%7Cy_1-y_2%7C& alt=&AB=\sqrt{1+\frac{1}{\text{斜率}^2}}\cdot |y_1-y_2|& eeimg=&1&&）吗？这里为何永远是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=AB%3D%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%7Ct_1-t_2%7C& alt=&AB=\sqrt{1+k^2}|t_1-t_2|& eeimg=&1&&？&br&&b&因为，当你保留变量&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&时，意味着你设的直线是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dky%2Bm& alt=&x=ky+m& eeimg=&1&&，此时的&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ctext%7B%E6%96%9C%E7%8E%87%7D%7D& alt=&\frac{1}{\text{斜率}}& eeimg=&1&&，&/b& &br&4、①式的由来：&br&由韦达定理，知：&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+t_1%2Bt_2%3D-%5Cfrac%7B%5Cbeta+%7D%7B%5Calpha+%7D%2C%5C%5C+t_1t_2%3D%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Calpha+%7D%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} t_1+t_2=-\frac{\beta }{\alpha },\\ t_1t_2=\frac{\gamma}{\alpha }\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&则：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%28t_1%2Bt_2%29%5E2-4t_1t_2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cbeta+%5E2%7D%7B%5Calpha+%5E2%7D-4%5Cfrac%7B%5Cgamma+%7D%7B%5Calpha+%7D%7D+& alt=&\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{\frac{\beta ^2}{\alpha ^2}-4\frac{\gamma }{\alpha }} & eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cbeta+%5E2-4%5Calpha+%5Cgamma+%7D%7B%5Calpha+%5E2%7D%7D+%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%5CDelta+%7D%7D%7B%7C%5Calpha+%7C%7D& alt=&=\sqrt{\frac{\beta ^2-4\alpha \gamma }{\alpha ^2}} =\frac{\sqrt{\Delta }}{|\alpha |}& eeimg=&1&&&b&但是注意：&/b&此处只可代值快速计算，&b&不可用此公式展示&/b&。&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cefcddcbf5f32_r.jpg&&&/figure&&p&那么到现在我们再次回顾例1：&/p&&blockquote&&b&【例题1】&/b&已知椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1& alt=&G:\frac{x^2}{4}+y^2=1& eeimg=&1&&，过点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28m%2C0%29& alt=&(m,0)& eeimg=&1&&作圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2By%5E2%3D1& alt=&x^2+y^2=1& eeimg=&1&&的切线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&交椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%2CB& alt=&A,B& eeimg=&1&&两点．求&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C& alt=&|AB|& eeimg=&1&&的最大值．&/blockquote&&p&并给出完整步骤如下：&/p&&blockquote&&b&解：&/b&设直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&:&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dky%2Bm& alt=&x=ky+m& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A%28x_1%2Cy_1%29& alt=&A(x_1,y_1)& eeimg=&1&&、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B%28x_2%2Cy_2%29& alt=&B(x_2,y_2)& eeimg=&1&&&br&联立直线&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&与椭圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&:&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+x%3Dky%2Bm%2C%5C%5C+y%5E2%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%3D1%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} x=ky+m,\\ y^2+\frac{x^2}{4}=1\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CRightarrow+& alt=&\Rightarrow & eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D%29y%5E2%2B%5Cfrac%7B2km%7D%7B4%7Dy%2B%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B4%7D-1%3D0& alt=&(1+\frac{k^2}{4})y^2+\frac{2km}{4}y+\frac{m^2}{4}-1=0& eeimg=&1&& 由韦达定理：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+y_1%2By_2%3D%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7Bkm%7D%7B2%7D%7D%7B1%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D%7D%2C%5C%5C+y_1y_2%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7B4%7D-1%7D%7B1%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D%7D%5C%2C.+%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5C%5D& alt=&\[\left\{\begin{array}{ll} y_1+y_2=\frac{-\frac{km}{2}}{1+\frac{k^2}{4}},\\ y_1y_2=\frac{\frac{m}{4}-1}{1+\frac{k^2}{4}}\,. \end{array}\right.\]& eeimg=&1&&，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D4%281%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D+-%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B4%7D%29& alt=&\Delta =4(1+\frac{k^2}{4} -\frac{m^2}{4})& eeimg=&1&&&br&所以&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C%3D%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%7Cy_1-y_2%7C%3D+%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%5Csqrt%7B%28y_1%2By_2%29%5E2-4y_1y_2%7D& alt=&|AB|=\sqrt{1+k^2}|y_1-y_2|= \sqrt{1+k^2}\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%3D%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Bm%5E2%7D%7B4%7D+%7D+%7D%7B1%2B%5Cfrac%7Bk%5E2%7D%7B4%7D%7D+& alt=&=\sqrt{1+k^2}\frac{2\sqrt{1+\frac{k^2}{4}-\frac{m^2}{4} } }{1+\frac{k^2}{4}} & eeimg=&1&&……………①&br&&br&又因为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&:&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dky%2Bm& alt=&x=ky+m& eeimg=&1&&与圆&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2By%5E2%3D1& alt=&x^2+y^2=1& eeimg=&1&&相切，所以：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7Cm%7C%7D%7B%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%7D%3D1& alt=&\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=1& eeimg=&1&&，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k%5E2%3Dm%5E2-1& alt=&k^2=m^2-1& eeimg=&1&&…………②&br&&br&将②式代入①式，消掉&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&得：&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt3%7Cm%7C%7D%7Bm%5E2%2B3%7D%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt3%7D%7B%7Cm%7C%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B%7Cm%7C%7D%7D%5Cleq+%5Cfrac%7B4%5Csqrt3%7D%7B2%5Csqrt%7B%7Cm%7C%5Ccdot+%5Cfrac%7B3%7D%7B%7Cm%7C%7D%7D%7D%3D2& alt=&|AB|=\frac{4\sqrt3|m|}{m^2+3}=\frac{4\sqrt3}{|m|+\frac{3}{|m|}}\leq \frac{4\sqrt3}{2\sqrt{|m|\cdot \frac{3}{|m|}}}=2& eeimg=&1&& （当且仅当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cm%7C%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B%7Cm%7C%7D& alt=&|m|=\frac{3}{|m|}& eeimg=&1&&，即&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m%3D%5Cpm+%5Csqrt%7B3%7D& alt=&m=\pm \sqrt{3}& eeimg=&1&&时取等）&br&由题可知，&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7Cm%7C%5Cgeq+1& alt=&|m|\geq 1& eeimg=&1&&，可以取等。所以：&br&&br&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C_%7Bmax%7D%3D2& alt=&|AB|_{max}=2& eeimg=&1&&&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&大家应该能感受到，咱们本题除了最后涉及了一些计算外，剩余的&br&&/p&&p&1、要么是在套公式&/p&&p&2、要么是在简单的翻译题目&/p&&p&&b&但是，我们却能够得到充足的步骤分！&/b&因为，&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&涛哥语录3：&/b&圆锥曲线大题考察的是如何巧算，而不是单纯的比拼计算！&/p&&p&&br&&/p&&p&本题，写出弦长&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C& alt=&|AB|& eeimg=&1&&的单变量表达式&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C%3D%5Cfrac%7B4%5Csqrt3%7Cm%7C%7D%7Bm%5E2%2B3%7D& alt=&|AB|=\frac{4\sqrt3|m|}{m^2+3}& eeimg=&1&&得8分可以说太轻松了！&/p&&p&要我说，至少得9分！&b&因为大题的步骤分基本上除了结果，一个“采分步骤”就是1分&/b&。&/p&&p&咱们写到这离结果就差一个不等式，所以加上结果最多扣除3分。所以我说至少得9分！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&圆锥曲线大题——弦长与面积问题，保8争12！同学们，加油！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&本专栏必看：&/b&&/p&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/v2-4aacd66b3a_180x120.jpg& data-image-width=&750& data-image-height=&560& class=&internal&&于庆涛：【重磅】 秒杀外接球の圆柱外接球模型&/a&&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-ebdddc586f_180x120.jpg& data-image-width=&750& data-image-height=&560& class=&internal&&于庆涛：【重磅】秒杀外接球の圆锥(Zhui)外接球模型&/a&&p&&b&跳转总目录：&/b&&/p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-8cdf9859eecb24d0.jpg& data-image-width=&1446& data-image-height=&1080& class=&internal&&于庆涛：《高考数学の模法笔记》目录&/a&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&85& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d4537afbc622b84a885b513072baf784_r.jpg&&&/figure&&p&&广告时间&&/p&&p&更多包含&b&【82个小题技巧+各大题解题模板】&/b&、&b&【各题型大量补充练习】&/b&的完整版《模法筆記课程》请移步——&/p&&p&微信&b&模法班（公众号：taogemath）&/b&&/p&&p&&/p&
本节内容，全程光环加持！原因，你懂的~如果在学校，在班级，你的数学老师或者某些学霸告诉你：圆锥曲线？不就是算吗！那我劝你，至少在圆锥曲线这个版块，别和他们交流了。没错，包含说这话的数学老师。圆锥曲线，更广义的说，解析几何，是代数与几何的完…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b4db84ba5e75e2e72a913ce_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b4db84ba5e75e2e72a913ce_r.jpg&&&/figure&&p&&a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/96fa038a48b0feb5be8cffff848cf940& data-hash=&96fa038a48b0feb5be8cffff848cf940& data-hovercard=&p$b$96fa038a48b0feb5be8cffff848cf940&&@Heshawn&/a& &/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-12e6ceda7f0e0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1263& data-rawheight=&894& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1263& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-12e6ceda7f0e0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c663b0625bfc537d5ecef_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&1007& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c663b0625bfc537d5ecef_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f82b58bbce74a22aafac10fbe9e5b807_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1365& data-rawheight=&1035& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1365& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f82b58bbce74a22aafac10fbe9e5b807_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bc4e550be055d076d95a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&1043& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bc4e550be055d076d95a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8fa84f749b82ac27488c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1328& data-rawheight=&1013& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1328& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-8fa84f749b82ac27488c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b1f745af35f8d4c3cc6102d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1269& data-rawheight=&1041& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1269& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b1f745af35f8d4c3cc6102d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d7e38e53cd30c122ec6c3a45c072d5dc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1288& data-rawheight=&847& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1288& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d7e38e53cd30c122ec6c3a45c072d5dc_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ec6b5d64a39dcddab3d3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1266& data-rawheight=&1129& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1266& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ec6b5d64a39dcddab3d3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5d70f9cf7f5b526b1ddcc2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1269& data-rawheight=&977& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1269& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5d70f9cf7f5b526b1ddcc2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dc24f2b2e465ab3f32ebadb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1262& data-rawheight=&1123& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1262& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dc24f2b2e465ab3f32ebadb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-fa28b945e486e3e180ece_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1259& data-rawheight=&653& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1259& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-fa28b945e486e3e180ece_r.jpg&&&/figure&&p&更正：题1最后几步，“左边为5，右边 ＿
应填-5”，往下“n=2m＋5”，最终答案不变&/p&&p&我是唐川洪老师，知乎上少有的不想赚你钱的高中数学培训师
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更正：题1最后几步，“左边为5，右边 ＿ 应填-5”，往下“n=2m＋5”，最终答案不变我是唐川洪老师，知乎上少有的不想赚你钱的高中数学培训师 O(∩_∩)O
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5d8d53c9a1f2f77646b7_b.jpg& data-rawwidth=&758& data-rawheight=&287& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&758& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5d8d53c9a1f2f77646b7_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e79e4fff6b902dcfa75eb2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&793& data-rawheight=&1122& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&793& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e79e4fff6b902dcfa75eb2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-7f578a16a3f34e7d4dbcd195d263e3c5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&793& data-rawheight=&1122& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&793& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-7f578a16a3f34e7d4dbcd195d263e3c5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f2a09f0eacbf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&793& data-rawheight=&1122& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&793& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f2a09f0eacbf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8c87fc14da39ad_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&793& data-rawheight=&1122& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&793& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8c87fc14da39ad_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-1fd2db47af70b59d4d98_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&793& data-rawheight=&1122& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&793& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-1fd2db47af70b59d4d98_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-65a231ebfc03dca95348a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&793& data-rawheight=&1122& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&793& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-65a231ebfc03dca95348a_r.jpg&&&/figure&&p&数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&143& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d2fa79fffa2ba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&超人 微信：math （← 加我加我）&/b&&/p&&p&&b&vip通关卡：（微信扫描二维码）&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-71dcc7940ddf37a00c24adfef78d5830_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&190& data-rawheight=&191& class=&content_image& width=&190&&&/figure&&p&&/p&
数学超人通关卡，一个高中所有套路技巧题型的合集。超人 微信：math （← 加我加我）vip通关卡：（微信扫描二维码）
解析几何最让人头疼的是大量复杂运算，更头疼是没有思路。联立解方程得韦达定理，那之后呢？之后怎么办？不能教给大家灵活的思路，只能给大家我做题的经验，我那些失败的经验，要是以后大家遇到会快一点找到思路。&p&（一）解析几何中的面积&/p&&p&最常见的是求三角形面积的取值范围，肯定无法从图中看出什么时候最大，只有表示成式子，才可以求出。表示三角形面积有一下几种&/p&&br&&ol&&li&&u&&b&三角形被x轴或y轴分成等地的两个三角形——&/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+d%5Ctimes+%7Cy_1-y_2%7C+& alt=&S=\frac{1}{2}\times d\times |y_1-y_2| & eeimg=&1&&&br&&/u&&/li&&/ol&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2cd920f46be59c12d7c7a_b.png& data-rawwidth=&247& data-rawheight=&206& class=&content_image& width=&247&&&/figure&&p&&b&例&/b& (2016新课标Ⅲ) 已知抛物线C:y^2=2x的的焦点为F，平行于x轴的两条直线L_1,L_2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.&br&&br&(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR//FQ&br&&br&(2) 若&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& PQF的面积是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-98fdec9f6da5640d59adacf_b.png& data-rawwidth=&216& data-rawheight=&215& class=&content_image& width=&216&&&/figure&&br&&blockquote&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+PQF& alt=&\triangle PQF& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+ABF& alt=&\triangle ABF& eeimg=&1&&都被x轴分成同底的两个三角形&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BPQF%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+1%5Ctimes+%7Cy_a-y_b%7C+& alt=&S_{PQF}=\frac{1}{2}\times 1\times |y_a-y_b| & eeimg=&1&&,&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BABF%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+d%5Ctimes+%7Cy_1-y_2%7C+& alt=&S_{ABF}=\frac{1}{2}\times d\times |y_1-y_2| & eeimg=&1&&&br&可得&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=d%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&d=\frac{1}{2}& eeimg=&1&&,直线AB过（1,0）点，于是可设AB直线，联立解方程，得韦达定理，求中点轨迹&/blockquote&&p&&b&&u&2.底是弦长，顶点是定点——&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes++& alt=&S=\frac{1}{2}\times
& eeimg=&1&&点到直线距离&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctimes+& alt=&\times & eeimg=&1&&弦长公式&/u&&/b&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-febf0fffe079616fbb74f_b.png& data-rawwidth=&241& data-rawheight=&203& class=&content_image& width=&241&&&/figure&&p&例：（2014新课标一）已知点A(0，2)，椭圆E：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&(a&b&0)的离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D& alt=&\frac{\sqrt{3}}{2}& eeimg=&1&&,F是椭圆E的右焦点，
直线AF的斜率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D& alt=&\frac{2\sqrt{3}}{3}& eeimg=&1&&，O为坐标原点&/p&&p&（1） 求E的方程&/p&&p&（2）设过点A的动直线L与E交于PQ两点，当&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& OPQ的面积最大时，求L的方程。&/p&&blockquote&思路：点斜式设过A点的直线与椭圆联立解方程，得韦达定理&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BOPQ%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Ctimes+d%5Ctimes+%7CPQ%7C& alt=&S_{OPQ}=\frac{1}{2} \times d\times |PQ|& eeimg=&1&&,其中d为O点到直线的距离，|PQ|用弦长公式表示&/blockquote&&br&&br&&p&&b&&u&3.都在动，但和其他三角形有关系——&/u&&/b&&u&&b&找到关键三角形的比例关系&/b&&/u&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-71c55c515d27bd39e06e38dec7f305ab_b.png& data-rawwidth=&264& data-rawheight=&217& class=&content_image& width=&264&&&/figure&&br&&p&&b&例&/b&： (2014浙江22)已知&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+& alt=&\triangle & eeimg=&1&& ABP的三个顶点都在抛物线C：&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%3D4y& alt=&x^2=4y& eeimg=&1&&上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverrightarrow%7BPF%7D%3D3%5Coverrightarrow%7BFM%7D& alt=&\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FM}& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&
(1)若&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CPF%7C%3D3& alt=&|PF|=3& eeimg=&1&&，求点M的坐标。&/p&&p&
(2)求&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctriangle+ABP& alt=&\triangle ABP& eeimg=&1&&面积的最大值。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b43bbac998b4a_b.png& data-rawwidth=&174& data-rawheight=&143& class=&content_image& width=&174&&&/figure&&blockquote&解题思路：三角形的三边都在变动，三个点都在变动，还好F是定点和P点有关系，所以只要找到三角形ABP和三角形ABF的关系，表示三角形ABF就好。&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S_%7BABP%7D%3D4S_%7BABF%7D& alt=&S_{ABP}=4S_{ABF}& eeimg=&1&&，&br&设AB直线为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dkx%2Bm& alt=&y=kx+m& eeimg=&1&&，与抛物线联立得韦达定理，且&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5Cgeq+0& alt=&\Delta \geq 0& eeimg=&1&&求范围&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7CAB%7C& alt=&|AB|& eeimg=&1&&弦长公式表示，高为F到AB直线的距离&/blockquote&&b&&u&4、对角线互相垂直的四边形面积——&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes++& alt=&S=\frac{1}{2}\times
& eeimg=&1&&对角线弦长&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctimes+& alt=&\times & eeimg=&1&&对角线弦长&/u&&/b&&p&&b&例&/b&：(2016新课标一20)设圆&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2By%5E2%2B2x-15%3D0& alt=&x^2+y^2+2x-15=0& eeimg=&1&&的圆心为A，直线L过点B(0,1)且与x轴不重合，L交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，&/p&&p& (1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程。&/p&&p&
(2)设点E的轨迹为曲线C_1，直线L交C_1于M,N两点，过B且与L垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。&/p&&blockquote&设直线L&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dkx%2B1& alt=&y=kx+1& eeimg=&1&&和与它垂直的直线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=y%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7Dx%2B1+& alt=&y=-\frac{1}{k}x+1 & eeimg=&1&&分别与椭圆联立得韦达定理&br&|MN|和|PQ|分别用弦长公式表示&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes+%7CPQ%7C%5Ctimes+%7CMN%7C& alt=&S=\frac{1}{2}\times |PQ|\times |MN|& eeimg=&1&&&/blockquote&&br&&p&&b&5、任意四边形面积——分为两三角形&/b&&/p&&p&例：如图，O为坐标原点，椭圆&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_1& alt=&C_1& eeimg=&1&&:&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&(a&b&0)的左右焦点分别为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_1%2CF_2& alt=&F_1,F_2& eeimg=&1&&，离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e_1& alt=&e_1& eeimg=&1&&，双曲线&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C_2%3A%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D-%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1& alt=&C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1& eeimg=&1&&左右焦点分别为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F_3%2CF_4& alt=&F_3,F_4& eeimg=&1&&，离心率为&img src=&http://www.zhihu.com/e