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心痛的感觉，希望大家都不会再有。。。。。。。。
快到了，我又变成了光棍，这几天心情很糟，辗转反侧，决定找个陌生的，建个新号，写写我的故事，发发牢骚。。。。希望大家都能吸取经验教训，不再有伤悲，不再有心痛。。。。
这件事从哪里说起呢？我是个新疆人，我是04年就开始工作，第一份工作就是网管，当时是图好玩，上着班还有的玩，不用花钱，比我干其他工作可是省钱多了啊，不过那时候遇到了一群好同事，大家虽然在底层服务行业干，可都不是混日子，都想学点技术将来自己干一番事业，于是我在那时开始跟一个师傅学技术，师傅比我大几岁而已，不过入行早，技术好，我去干网管的时候他已经是技术员了，那时候我学的还蛮快，所以师傅对我印象也不错，现在有什么好机会好合作项目他还会想着我一起干。
过去了就过去了，偶尔的回忆是美好的。刻骨的回忆可就残忍了。面对没好的未来吧
大概是2006年那个夏天，那年我20岁，我跟几个兄弟一起自己创事业，结果失败，一贫如洗，都急着找份工作糊口。。。我师傅那时候刚好跟人合伙承包了一个网吧。就是这样，我到了我师傅承包的网吧上班，在哪里我遇见了生命中的第一个女人，也是现在最令我纠结的女人。。。姑且叫她欣吧，她也用过这个化名。。。（其实以前也想找女朋友，不过看上我的我都看不上，我看上的都不搭理我T.T）
事实就是回忆太刻骨了。。。我实在太憋闷了，才决定匿名发牢骚了，写下这些，做个纪念吧
第一次找到师傅的网吧，师傅不在，欣在吧台，是收银员，我就问他，某某在不在，她说不在，我说那你知道他一般什么时候在吗？她说这个不一定，他不太管网吧，睡醒了就来了。。。
第一次见面就这么简单，我也并没有太多留意，那时候的我也好纯洁，对陌生妹子都不怎么仔细观察的。。。后来我给师傅打了电话，第二天才见到我师傅，正好店里缺人，于是附带我一个兄弟也一起来了，毕竟一说那兄弟也是我们一系另一个技术员带出来的网管，师傅也放心（网吧招人也很怕招到老油条，光混日子不干活的），于是我们就一起上班了，网吧大概有200台机子，上班是两班倒，一个班上一个收银两个网管，欣刚好跟我上一个班组，而且那时候正好我对电脑技术还有应对检查的时候经验多点，于是我看前半场，我兄弟看后半场，这样我离吧台也好近。。。
就这样我们开始一起工作了，一般网管不允许进吧台的，但是因为师傅的关系，我也偶尔会进吧台帮师傅更新游戏（他太懒了，有我干他就很少管了），吧台机子出问题也会找我检查，一般都是线松了，死机了之类小问题，跟欣的接触也越来越多，也才知道欣也是刚来没多久的，而且没有网吧工作经验，很多问题都不会处理，钱也经常收错算错。。。于是我就经常帮她注意着吧台，教她怎么平帐等等，接触也越来越多，可还是并没有多注意过。
一次，另一个兄弟来看我们，我们一起坐在网吧中间的休息区聊天，那里离吧台也有点远，兄弟近视，往吧台看了半天说，你们这个收银长得不咋样么，那时候我才稍微注意了一下，其实说起来欣那时候不算美女，可也不算难看，脸有点圆，短发衬着感觉更圆，又带着一副相对于脸来说有点稍大的眼镜，一看就是学生摸样，这个也跟她聊过一点，她是刚高考完，觉得自己没什么戏了，就想早点出来找工作，正好她大姐在这边学习，这里是省会城市嘛，也是年轻人向往的地方，我也是这样从外地来这里的，她也是这样来这里找工作的。因为刚从学校出来不久，大概经常户外运动，她的皮肤也有点黑，怎么看怎么一幅小丫头模样，也挺可爱的。我说，你管人家长撒样呢，又不是长给你看的。兄弟笑了，说难道是给你看的？我无语。。。我说，天天上一个班，我不看谁看啊。。。。这件事也就这么笑笑过去了。
在不知不觉中，我们越来越熟悉了，我发现我们这一代的年轻人，那时候好像大多都很单纯啊，都是20左右的人了，那时候我那兄弟光知道躲后面打游戏，还让我帮忙招呼着，如果忙了，我叫他干活他也得干，可是吧台收银就有点指挥不动他，找他帮忙难死，另外两个网管也是，早上干活只管擦完自己的机子就去打游戏了，放着吧台两个小姑娘慢慢交班，也没人去献献殷勤，帮帮忙什么的，要是放在现在，十来岁小伙的都会泡MM了吧。而我那时候也就是觉得人家一个小姑娘新手什么都不会，算账交班还老出错的，早上要一起打扫卫生干完了还要算账，都比网管下班晚，看起来怪可怜的，一般我不忙的时候都会给吧台帮忙的，我可绝没献殷勤的意思，但是就这么单纯的举动，无形中也给我自己赢来了更多的好感吧，吧台两个女孩有事都爱找我帮忙，也就这么着关系越来越近了吧。
有一天上午，欣收到了一张假.钱，100元面值的，把她急的啊，那时候我们的工资都才是七八百左右，一个月收这么一张假.币，换谁谁不急啊，
我看她都快哭了，于是我看看了钱，还挺真的，不仔细看还真看不出来，我说，马上该吃午饭了，我去试试能不能花出去吧，她马上望着我，说，真的可以么?看着她的眼神，我更觉得这个钱一定得帮她解决，
于是我说，应该没什么问题，其实那时侯我跟兄弟才破产，都很穷的，那时候我姐姐家在乌鲁木齐，我还好点，起码有吃有住，跟我一起干的那个兄弟当时是一点钱都没有了，于是我们俩中午经常一起吭馕（馕是新疆维吾尔族的特色烤饼），一块钱一个馕，一人一个就吃饱了，
我一个人的午饭钱就够两人吃了，去花100元的大票子，总不能买个馕吧。。。所以至少得吃个正餐，鸭梨好大。。。正好她说如果这个忙帮成了，一定请我吃饭，我正好顺水推舟说，不用了，如果这钱花出去了，中午这顿就算她请的吧。
顺便说一句，度娘真操蛋，连在一起就和谐，说有广告词，分开就发送成功了
钱拿到手里了，我又发愁了。。。这咋花啊。。。这不坑人么？但是不花又怎么办呢？都是穷人，谁也不能随便拿出100块钱来换这张啊。。。于是我先推我兄弟去吃饭，先去花，他在百般不情愿的情况下还是带着钱出去了，等他回来结果是没花掉。。。欣又急了，我看她那样子就安慰她说，不要急，我还没吃饭呢，我去试试。。。
很顺利的花掉了钱（怎么花的就不细说了，坑人啊，不好意思说，也请其他人不要模仿了），吃了个6块钱的米粉，找回来94，把她高兴的，说有时间一定要再请我吃顿饭，我一个劲说不用了不用，不过看着她那兴奋劲，我也挺高兴的。也许就是这些小事一步一步的拉近的我们的关系吧。
话说，09年的时候我也收过一张假钱，不知道怎么收的，好假的一张，一个小弟非要说去帮我花掉，我说那你想试你试去吧，结果没有成功，回来以后问我咋办，我说我也不知道，不要了，然后他就提议，我们用它点烟吧。。。。就这么，我们在大庭广众下用一张毛爷爷点了烟，不知就里的人们都惊讶的望着我们，假如那时候被人拍了视频发网上的话，估计又渲染成F2百元大钞点烟炫富了吧
轮到我们上夜班了，晚上不忙的时候都可以玩玩游戏，那天不太忙，还不到玩游戏的时候，我让兄弟先去后面猫着玩去了，我就在吧台附近瞎逛游，有一句没一句的跟欣聊天，随时等着顾客喊网管。我们那时候也经常聊天的，其实以前最早我是很内向的，我觉得不好，所以就想改变自己，每次一换地方我都会改变一点，一直在老朋友面前感觉改不掉，如果想改变性格的朋友可以试试这个方法。所以那时侯我也经常试着跟新朋友开开玩笑，讲讲冷笑话，这也形成了我现在的风格，那时候欣说过一句，以后跟你生活的女人一定每天都会笑的，我说那可不一定，我还没那么好。那天欣指着一个屏幕对着吧台的电脑说，那是什么游戏啊？我看了一下，是跑跑卡丁车，我就告诉她了。她说那游戏感觉挺好玩的啊，角色好可爱，而且赛车游戏就那么上下左右键，应该也挺简单的吧。我说你想玩啊？她说，我不会玩游戏，要不你教我？那时候我都很少玩游戏了，说实话搞电脑多了，感觉游戏都那么一个样，没有多大吸引力，可玩可不玩的，跑跑卡丁车刚出来的时候朋友就拉我玩过，我说不喜欢赛车游戏就没玩。可是那次我却鬼使神差的说好啊，不过这游戏我也没玩过，一会一起研究下呗。
夜深了，基本没多少人来上网了，包夜的顾客也都玩稳定了，我们开了两个面对吧台的连机一起坐着，开始申请账号建角色，起角色名的时候又头疼了，她看我我看她，叫什么好呢？算了，我随便起了一个，我说懒得想了，她也说懒得想了，就起了一个跟我很相近但意思相反的名字。。。我寻思着，这不是传说中的情侣名么？不过看她那样子，我的念头就一闪就过去了，呵呵，人家只是懒得起名了，随便借鉴一下而已，那么自作多情干嘛。。。就这样一起玩着，我们好像也是那时候才互相加了QQ号，留了邮箱。
转眼我在这个网吧工作了也有20多天了，有一天晚上我突然发现欣很反常，老是愣神，我说你怎么回事？她说没什么。那天晚上人也比较少，她说要去隔壁超市买个东西，让我帮她看一会，我就看着了，结果她半天没回来，我就叫兄弟到前面来看着，我去找找她看怎么回事，结果发现她在门外喝啤酒，我说你怎么回事？遇到什么麻烦了吗？干嘛一个人喝闷酒？她就嘴硬，说这是水，不是酒，我一把抢过来，还剩小半瓶，我说这不是酒是什么？要喝酒干嘛不请我呢？
欣只是哭，后来我也没办法，她也不说怎么回事，我就陪她坐了下来。。。兄弟等不及了，跑出来看，发现我俩就那么坐着，莫名其妙的，我说你先进去帮忙看着吧，我陪她一会，兄弟有点误会，坏笑着回去了。后面我终于劝她进去了，她酒量好差，一瓶啤酒没喝完酒已经脸红红的了，我说你睡会吧，吧台我给你看着，她说这系统你会用？我说你太小看我了吧，然后我打开收银操作窗口，上面所有的快捷键及功能其实都写的很清楚，我随便看了看就会弄了，给她示范了一下，她放心的趴在一边睡着了，我看她睡的真香啊，我也不敢走远，轻轻的给她盖上衣服，然后呆呆的对着收银机发呆，这里什么都玩不了，咋办，算了，就这样吧，于是那一晚我就时而看看她，时而对着电脑屏幕发呆，就这么坐到了早上。。。。。。她睡着的样子真可爱。。。。
后来我收到了欣的邮件，她说她喜欢我。。。。我真的还没准备好跟她在一起，我不知道该怎么回答，我跟她聊了聊QQ，相隔不到五米聊QQ。。。。。具体内容我记不清了，反正我就各种理由婉拒，我说你也知道的，我就这么一个混日子的人，现在都吃了上顿没下顿呢，我哪能跟你在一起啊，我说以后再说吧，日子还长着呢，等我缓过这段劲了，发展好一点再说吧。她却说没机会了，她收到大学录取通知书了，要去上大学了。她说我木头，说我难道不知道她喜欢我很久了么？她说那天在外面喝酒的时候风吹的冷冷的，她多希望我那时候抱着她。。。。。。
我第一次受感动了，但是理智告诉我，你一个穷小子，配的上人家大学生吗？人家毕业了比你起步平台高多了，你拿什么给人家幸福？所以我继续保持沉默，我不知道该说什么，我说你跟我你会后悔的，她说了一句让我一直感动的话，我宁愿做过了后悔，也不想错过了再后悔。。。。就是这样，我被她感动了，被她征服了。。。。
可是当我说我要她，我愿意给她一辈子的幸福的时候，她却说她要走了，要回家了，毕竟快要上大学了，就不在外面打工了，要回家准备很多东西，我们结束了。。。。。我心里懊悔啊，对我这么好一个姑娘，就这么被我给错过了么？我说不可以，不就是上大学么？反正我是打工的，在哪里不能打工？你去哪里上大学我就去哪里打工！你说过的，要做过了后悔也不能错过了再后悔！她哭了，我也没再说什么了，我在网吧公放里点了一首歌，羽泉的《这一生只为你》。她最终还是回家了，回家的时候我去车站送的她，我也不知道该给她说什么，上车前她说你还有没有什么话想说的？我说，我想抱抱你。。。她点头，我给了她一个礼节性的拥抱。
她回家后我们依然保持邮件联系，她说她想我，她放不下我，她接受我的提议了，我们恋爱吧。
于是在她回家没几天她又回来了，我好激动，我去车站接她，她一下车就直接跳到我身上了，那是我们第一次深深的拥抱，我都没有做好准备，差点被她扑翻，幸亏我以前上过两年中专，一个破武校，因为小时候身体差，家里说去锻炼锻炼，练的身体素质和反应力提高了不少，赶紧侧身抱着她转了一个圈才没倒地，没有太尴尬。其实她也感觉到了，使劲在哪里笑我，还好其他人没看出来，现在想想都汗颜啊。。。。。
她离开学报到还有将近一个月，她说想找个工作，但是网吧这边本来就不收短工，不知道为什么，师傅也并不看好我们，不同意她回来工作，那么短的时间也不可能再找其他什么轻松点的工作，于是她找了一家饭馆，每天晚上11点多才下班，我刚好就每天下班还能去接她，日子过的很平淡，发展也很顺利，我们经常在路边公园聊天到深夜一两点，她才要回家，我把她送回家才回姐姐家，姐姐知道我们的事，也不太看好，不过说，既然选择了，就要对人家姑娘好，不能辜负人家，我说哪能啊，她甩了我我也不会主动甩了她的。而且关于这个问题，那时候搞好流行一篇日志，这里也顺便分享下吧
午后，慵懒的阳光洒落地面， 纵长路上，男孩骑车载着女孩..... 「你会爱我多久？」女孩紧抱着男孩，侧着头在他耳边这样甜甜的问， 她知道，这个问题没有100分的答案。 带着娇嗔的轻笑， 她说：「给你一个说甜言蜜语的机会。」 男孩却认真的思考了起来。 趁着红灯停止的机会，他举起手比了个“一” 要女孩猜猜他的答案是什麽。 女孩想了一想，快乐的说：「一辈子！」 男孩笑了，并不是因为她答对，而是感染了她的喜悦。 绿灯了，男孩不仅趋车面对现实，也收敛起笑容， 轻轻的告诉女孩： 「我不会给这种答案的，这样的答案好到不真实了，像在说谎..再猜猜..」 女孩对男孩的说法很满意，於是歪者头继续想.. 「一天？」 「呵呵，我们已经相恋两个月了， 一天、一星期、一个月这些都不成立喔！」 又是红灯，男孩握住女孩的手，微笑的看着她， 女孩窃笑，大声的说「不会是一瞬间吧？」 这个答案让男孩差点笑倒在马路上「当然不是啦！」 他一直深爱着女孩的幽默，深爱着女孩爽朗的笑容， 这个答案让他更紧握住女孩的手.... 「一年吗？」曾经有过一年时间等待的承诺， 使得女孩对一年这个答案特别敏感。 男孩摇摇头，他们之间已经不需要等待，只剩时间的考验....... 「一百年好了，爱我一百年就够了。」 女孩说着，并表现着幸福的模样。 男孩说「一百年太短了吧，不够我爱你啊！」 甜言蜜语是男孩的专长，爱听甜言蜜语却是女孩的弱点.... 女孩笑了，轻铃的笑声让男孩闯了红灯.... 「想要听答案了吗？」男孩想说了， 而女孩想听「我会爱你多久呢？」 男孩手比着一说： 「一.......一直到你不再爱我的那一天.......」 女孩怔了…… 一直到你不再爱我的那一天......
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综述：车是日出厂的，我是12月12日提到车的，到现在基本上半年了，真的是越开越喜欢，外形依然觉得那么好看，之前装了前后杠的，现在我把前杠拆了，觉得还是原来的样子好看点，俊俏一些。
要说没有点小毛病大把的黑要说我是托了，其实小毛病还是有些的，刹车异响，这个都成为不是问题的问题了，之前去广州铭智4S，说我的车过了期限换了，不过今天突然接到电话说是帮我申请到了，要我去换呢，不管怎么样，这个让我受不了的声音终于要离我而去了。底盘有一段时间也是有声音，也去4S了，不过洗过车后就没有了，也没找到，不过半个月过去了，声音自己又没了，4S师傅也帮我检查了底盘说是没问题。有点声音我还是忍了，只要安全没问题。
后视镜风哨声，这个必不可少的，论坛上有一位大神有帖子能解决的，只是我找不到地方搞，4S肯定不会帮我弄的，自己出去想办法吧。还有一个比较大的问题，要说也可能不算问题，就是助力泵的声音，我换过管子，正方向不打方向盘的时候还好，但是只要一转动方向盘那声音和震动确实大了点，期待有完美解决方案。一二档挂档有点困难，这个我的车现在10000多公里了，依然还是难挂，我打算换油试试看。
但其实这些都不是太大的问题，我依然觉得这是一部好车，我的车是2.0的。动力真的很好，加速超车的感觉很棒，我姐夫前几天摇中了好牌，最后选中了英朗，因为他想多开几年，所以选个合资品牌，但是1.6的6，车身都重1.4T，动力可想而知了，价格就更别提了，比GX725还贵多了。其实刚开始的时候他也有选车，我带他去看了，但是因为他技术不行，不敢买那么长一部车，所以放弃了，后来又考虑买,就在国内车中选，想买H6，但是我给他解释了一下的问题，他也无耐的放弃了，居然他还去看了CS35,看外形还不错，不过我一看配置太让人无法接受了，手动顶配8.5万，那个配置，我不说，大家自己去比吧，要我说那部车最多值7万。
合资车我不说，做工确实好，但是配置真不行，还有，长城H6其实就输在发动机上了，如果长城的发动机有个2.0的，销量还能高很多，真的，如果有的话我现在都可能是在长城论坛发帖子了。
所以对比了一圈，出于目前的经济情况，国产SUV车中，识货的人绝对认同GX7的价格与实用性，轿车中和EC8也绝对名列前茅，只是为啥EC8销量上不去，很奇怪。其实即使与合资车相比，我们也不会差什么的，做工可能还真差一点，但是性价比确绝对不是强的那么一点做工可以比的，但是如果你只认牌子不认性价比，那没办法，奔驰都不一定适合你。（不好意思，还是说了句愤青的话）。
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数学与现代社会
数学与现代社会
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数学在其发展的早期主要是作为一种实用的技术或工具，广泛应用于处理人类生活及社会活动中的各种实际问题。早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其它生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始数学就与哲学建立了密切的联系，近代以来，数学又进入了人文科学领域，并在当代使人文科学的数学化成为一种强大的趋势。时至今日，可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。数学在现代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又早已悄悄地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。人们可以把数学对我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用。事实上可以说，我们大家都生活在数学的时代--我们的文化已经&数学化&。
一、数学与自然科学
虽然数学很早（甚至可以说是从一开始）就与自然科学建立了密切的联系，但直到19世纪，这种联系仍然是很不完善而且极不均衡的，正如恩格斯在《自然辩证法》（写于年）中所描述的：&数学的应用：在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中已经比较困难了；在物理学中多半是尝试性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中＝0。&数学与自然科学在20世纪的发展完全改变了这种局面，它们越来越紧密地相互结合，越来越深刻地相互影响和渗透，产生出许多交叉学科，形成了一个规模庞大的数理科学系统。
1.天文学
天文学是最早运用数学的科学领域，天文学家的数学传统根深蒂固、源远流长。自从公元前4世纪希腊数学家、天文学家攸多克色斯（Eudoxus）创立了宇宙的第一个几何学模型（同心球壳层组合）以来，天文学家的方法就主要是数学（几何学）方法，从托勒密到哥白尼、开普勒等都是如此。牛顿完成了哥白尼所开创的天文学革命，为经典天文学奠定了基础，而他的天文学（天体力学）本质上是数学的而不是物理学的。
公元前4世纪，希腊数学家梅内克莫斯（Meneachmus）在试图解决倍立方体问题的过程中发现了圆锥曲线。公元前3世纪，阿波罗尼斯（Apollonius）写出了8卷本的杰作《圆锥曲线论》，对这些曲线的性质作了全面、透彻的研究。然而，不论是阿波罗尼斯还是其他希腊数学家，都万万没有料到这种曲线会同真实的物理世界之间有什么联系。过了大约1800年，当开普勒在根据哥白尼的日心说体系分析行星的运动轨道时，他发现古希腊数学家们为寻求内在的数学美而研究过的这种曲线，竟然恰好是描述行星的运动轨道所必需的。在评价开普勒的这一了不起的发现时，爱因斯坦曾这样写道：&我们对开普勒的钦佩仅次于对我们自己也生活在其中的大自然的不可思议的和谐的赞美和崇拜。早在古代，人们就已经设计出了表明规律性的最简单形式的曲线。在这些曲线当中，除了直线和圆之外，最重要的是椭圆和双曲线。我们可以看出，后两种曲线体现在天体的轨道之中，至少是与其非常接近。看来，人类的智慧能在我们发现某种形式实际存在之前就已事先独立地将它们构想出来了。开普勒的辉煌成就正是这样一种事实的最精彩的例证，即知识不能单从经验中来，而只能通过将智力创造同所观察到的事实相比较而获得?
19世纪以来，提丢斯－波德定则的提出、海王星的发现、小行星的发现等重要天文学进展，都是成功地运用数学方法与思想的范例。
18世纪以前，人类所认识的太阳系成员只有太阳、六大行星和一些行星的卫星，太阳系的半径也只有14亿公里。1766年，德国的中学教师、天文爱好者提丢斯（J.D.Titius）根据一些已知的行星数据，发现已知的六大行星与太阳的距离似乎有一定的规律性。他在翻译邦内特（Bonnet）《自然的探索》一书时的一个译注中写道：
&只要注意一下行星彼此的间隔就可发现，它们相互之间的距离也同它们的体积一样，几乎按一定的比例在增长。如果把太阳到土星的距离分成100个单位，那么，水星到太阳的距离是4，金星是4＋3＝7；地球是4＋6＝10；火星是4＋12＝16。但从火星到木星，这一十分准确的序列竟出现间断。从火星往外，按说应是4＋24＝28，可是在该处既无行星也无卫星。难道造物主有意把这一位置空着？不，还是让我们信心十足地作如下猜想：该位置是属于火星的一颗尚未发现的卫星的；另外，说不定木星也有几个绕它旋转但迄今仍未被望远镜发现的天体。从这一情况不明的位置再往外是木星的领域，4＋48＝52；土星则是4＋96=＝100。这是一个多么令人赞叹的关系啊！&
1772年，柏林天文台台长波德（J.E.Bode，）根据提丢斯的发现进一步研究并正式公布了这一天文数学规律，这就是著名的提丢斯－波德定则。后来人们把它表述为：从离太阳由近到远计算，对应于第n个行星，其同太阳的距离
a＝0.4＋0.3×2（n－1）（天文单位）
但是，对水星而言，n不是取作1，而是－∞。天文单位是指太阳与地球间的距离，现代测量值为1,公里。
提丢斯－波德定则给出的一系列数据，与当时对六大行星到太阳距离的观测值相当接近。1781年，德国威廉?赫歇尔（William Herschel，）发现了天王星，其位置几乎恰好处在上述定则预言的位置上。使之获得了强有力的支持。另一方面，根据这一定则，在火星与木星之间相当于2.8个天文单位的区域里有一个空缺。于是18世纪末有不少天文学家致力于在这个区域寻找新行星。日，意大利西西里岛天文台台长皮亚齐（G.Pazzi，）在对金牛座进行通常的巡天观测时，发现了一颗他从来没有看到过的星辰，第二天这颗星逆行4′，沿着这个方向一直逆行到12日，此后又改为顺行。1月24日，皮亚齐写信给波德告知这一发现。当时通信要靠邮递马车，波德收到信已是3月20日，他认为皮亚齐发现的正是人们长期以来寻找的那颗行星，立即着手进行观测，但此时这颗星已经淹没在太阳的光辉之中无法观测了，而皮亚齐自己的观测也只进行到2月11日。
全欧洲的天文学家都期望重新发现这颗后来被定名为谷神星的行星。这时，青年数学家高斯（C.F.Gauss，）根据拉普拉斯（P.S.Laplace，，法国）的方法和他在算术－几何平均方面的知识，详细计算了谷神星的星历表，预测了它再次出现的时间和位置。高斯不必事先假设被观测天体的运行轨道是椭圆、抛物线还是双曲线，只要根据三次完全观测（即包含时间、赤经和赤纬的观测）就能算出运行轨道的特性。这种方法的数学工具是高斯创造的最小二乘法。高斯方法对新发现的天体轨道的计算有本质的优越性，特别是当观测资料十分缺少时，例如对谷神星的最初观测。日，人们在高斯预报的方位上重新找到了这颗星，后来发现它是一颗直径只有700多公里的小行星。此后，天文学家们在火星与木星轨道之间又发现了许多小行星，例如：1802年德国天文爱好者奥伯斯（H.W.M.Olbers，）发现智神星；1804年，德国业余天文学家哈丁（K.L.Harding，）发现婚神星；1807年奥伯斯发现灶神星；1845年柏林邮电局局长、天文爱好者亨克（K.L.Hencke，）发现义神星。至今正式编号的小行星已有3000多颗。
日，德国业余天文学家威廉?赫歇尔（Willam Herchel，）利用15厘米口径的反射望远镜发现了天王星。此后，当人们用万有引力定律来预报天王星的位置时发现天王星的实际位置总是与理论计算得出的结果不符。这种现象使当时许多天文学家非常苦恼，到底是观测有误，还是万有引力定律失灵了？后来有人提出，在天王星轨道之外，可能存在一颗未被发现的大行星，它的引力影响了天王星的运动，所以天王星的运行轨道才出现了偏差。英国天文学家亚当斯（John Couch Adams，）从1841年开始研究这个问题，经过几年的努力，他于日算出了这颗神秘行星的质量、轨道以及在天空中的位置，并将计算结果寄给了英国格林威治天文台台长埃里（Sir George B.Airy，），请求他用天文台的大型望远镜来寻找这颗行星，但埃里把这些计算结果放在一边，过了九个月才想起过问此事，又由于他委托的查找者手头的星图不完备，观测工作没有得到结果。
大约与此同时，法国天文学家勒维耶（U.J.J.Leverrier，）也在研究同一问题，并于日整理出了计算结果，预告了那颗未知行星的位置。他在向法国科学院提交研究报告的同时，还给欧洲一些国家的天文台写了信，请求他们用天文望远镜帮助寻找新行星。根据他指出的位置，柏林天文台的加勒（J.G.Galle，）于同年9月23日观测到了这颗行星。后来人们把它命名为海王星。
海王星被发现后，人们又发现它的运行轨道也有偏差，从而进一步推测在海王星轨道之外还有一颗未发现的行星。1915（一说1905）年，美国天文学家洛韦尔（Percival Lowell，）完成了预测推算，并着手用照相方法搜寻，但由于这颗行星距离地球太遥远，洛韦尔所作的推算又有一定偏差，搜寻工作未获成功。在他的工作的基础上，美国天文学家汤博（C.W.Tombaugh，1906－）于日（一说3月13日宣布）发现了这颗新行星，后来被命名为冥王星。
当代，数学在天文学中的应用更加广泛和深入。一个著名的例子是天体物理中的数值模拟。天文学研究的许多问题，如宇宙、星系的演化，太阳系中行星、卫星的形成，其尺度常常是以光年计算的，其时间常常是以亿年计算的，天体及宇宙空间中的超高温、超低温、超高压、超高密度以及其它许多物理条件，都不是世界上任何实验室所能达到的，研究有关的物理过程又涉及到极为复杂的变量微分方程和积分方程。因此，对这些问题的研究既需要进行大型的复杂计算，又需要进行大量的模拟试验。随着大型计算机的出现与计算机科学的发展，数值模拟方法应运而生，成为天文学家手中的强有力工具。
2.物理学
（1）万有引力定律
万有引力定律的提出是牛顿的重要贡献。牛顿是在23岁时作出这一重要发现的。他写道：&就在这一年，我开始想到把重力引申到月球的轨道上，并且在弄清怎样估计圆形物在球体中旋转时压于球面的力量之后，我就从开普勒关于行星公转的周期与其轨道半径的二分之三方成比例的定律中，推得推动行星在轨道上运行的力量必定与它们到旋转中心的距离的平方成反比例：于是我把推动月球在轨道上运行的力与地面上的重力加以比较，发现它们差不多密合。&
由于两种计算所得出的结果是&密合&的，这就使得牛顿确信太阳对行垦的吸引力与地球对月亮的吸引力是同一种力，而这就是地球吸引苹果或使石头落地的那种力。这样，数学的计算就直接帮助牛顿作出了万有引力定律这一重要的发现。
（2）电磁理论
法拉第（）在19世纪30－40年代已经建立起磁和电力场的概念。法拉第是一位具有深刻的直觉能力的实验物理学家，但他不太精通数学，没有用数学语言写出他关于电磁的概念，而麦克斯韦（）则在年间从数学上用场方程的形式来表述了这种思想。
杨振宁在《几何和物理学》写道：&在1865年，麦克斯韦发表了这篇论文，它理应被认为是上个世纪物理学中最伟大的一篇论文。论文的题目是：《电磁场的动力学理论》。……从论文的明确的陈述看来，麦克斯韦的计划就是要以数学的公式写出法拉第已经作为物理观念而想到的东西。在他写作论文的过程中，一旦他把经验定律具体化为方程的形式，他发现有一些前后矛盾的地方，这些只能通过加入'位移电流'才能够消除掉。这一发展具有巨大的重要性，并且说明了直觉常常是多么地不够。精确细致的数学公式是有决定性作用的，因为有了它，人们就能够运用充分发展的数学形式工具来处理问题。……人们从电磁的经验定律开始，导致法拉第的力线概念，它一旦纳入数学形式，就得出麦克斯韦方程。而后者又促成了场论的诞生，它至今还是今天的物理学中的中心议题。麦克斯韦方程导致洛伦兹变换的概念，通过爱因斯坦的工作，揭示了平直的空间－时间几何。
（3）爱因斯坦的广义相对论
年，爱因斯坦（Einstein）发展了他的广义相对论，其核心是引力理论，关键是认识到引力只是时空弯曲的一种表现。广义相对论认为，引力场的分布将影响到光的传播路径，例如，爱因斯坦预言，来自恒星的光从太阳近旁掠过时将向太阳一方偏斜，于是，从地球上观测到的恒星位置将背离太阳移动。这一预言不久就为天文观测所证实。由于光线在空间中总是沿着最短路径传播，光线路径的弯曲实际上表明引力场的空间是弯曲的。而在此之前半个世纪，黎曼（G.F.B.Riemann，）就研究了弯曲的三维空间的问题。黎曼继承了高斯、波尔约、罗巴切夫斯基的工作，这些数学家的研究动机在于数学的内部，他们试图澄清几何公理系统，与引力毫无关系。爱因斯坦并不需要重新发明关于弯曲空间的数学，他发现一切都已经作好了。
（4）群论与基本粒子物理学
16－18世纪，数学家们普遍关注的一个问题是一般五次以上代数方程的根式解，这是一个十分困难而又相当抽象的问题。为了判定什么样的代数方程有根式解，年间，年轻的法国数学家伽罗瓦（E.Galois，）创立了群论。随着时间的推移，物理学家们认识到群论为描述物理学的对称性问题提供了所需的工具，这种对称性在基本粒子物理学的研究中是至关重要的。实际上，对于基本粒子，除了描述它在对称变换下行为如何，别无其它描述方法。
关于群论在物理学中的应用，有一段有趣的小插曲：1910年，美国数学家维布伦（O.Vebleh，）和物理学家詹斯（J.Jeans）一起讨论普林斯顿大学的数学课程改革时，詹斯提出：&我们完全可以把群论去掉，因为它永远也不会在物理学中有任何作用。&关于维布伦是否与詹斯进行了辨论没有留下记载。无论如何，群论课程继续开了下去。极具讽刺意味的是，群论后来成了物理学和的核心主题之一，特别是它在基本粒子研究中已经成为占支配也位的思想。一件十分偶然的事是：从三十年代起，外尔（C.H.H.Weyl，）和韦格纳（E.P.Wigner，1902一？）在物理学中开辟了群论的观点，而他们都是普林斯顿大学的教授。
（5）规范场与纤维丛
杨振宁在《几何和物理学》写道：&回顾前面关于规范场的历史渊源的画面，我已经在其中列举了物理学家认为在描述实验定律时是必要的那些概念的发展。寻求这些概念的动机渊源于物理现象。因此十分令人惊讶的是人们发现规范场概念等同于叫做纤维丛的几何概念，它是数学家完全独立地发展起来的，与物理实在没有任何关系。例规范场是一个几何概念，这不仅是正确的，而且其结果是拓扑复杂性对于规范场也是重要的。对这一点的重视是来自狄拉克的磁单极，特?霍夫特的单极子和贝拉维安的膺粒子解。事实上，正是通过例如狄拉克的磁单极子所必需的拓扑复杂性，才使我变得绝对相信：象麦克斯韦场那样的规范场，不仅可以用纤维丛的几何语言来表示，而且必须这样来表示，才能表达它们的全部意义。&
3.地球科学（池理学，地质学，地球物理学，海洋学，气象学）
欧洲文艺复兴时期，由于远洋探险事业的发展，需要绘制更为精确的世界地图，这就要求将球面上的图形经过某种变换使之成为平面图形，而其形状又不致发生太大的变化。问题最终归结为研究可展曲面，即可以将其平摊在平面上而不产生畸变的曲面。因为球面不能切开来这样摊平，于是问题就要求寻找一张形状与球面接近而又能不发生畸变地铺开的曲面。大数学家欧拉（L.Euler，，瑞士）是研究这个问题的第一个人。法国数学家蒙日（G.Monge，）独立地研讨了可展曲面的课题。从1816年开始，高斯（Gauss，）在大地测量和地图绘制方面进行了长时间的实践。这些研究与实践对微分几何这一重要数学分支的建立起了关键性的作用，从中产生的理论和方法又极大地推动了大地测量和地图绘制的进步。
射影几何是产生于17世纪而在19世纪获得全面发展的数学分支，长期以来被认为是为了纯数学的目的而研究的，很难说会有什么实际应用。然而近年来却发现，它在航空摄影测量学中十分有用。为了勘探地形和地下矿藏，一种简便易行的方法是用飞机或人造地球卫星在飞航途中每隔一定时间拍摄一张照片，再将许多照片上的图象拼成一幅完整的大图。由于地面时有起伏，机身也难免时有倾斜，种种因素影响，每张照片都可能存在误差。摄影过程实际上是一个中心投影变换，将地面图景投影到照相底片的平面上。这两个平面如果不平行，底片上的图象就会变形，因而必须再通过中心投影变换把误差纠正过来，偏差多大角度就要纠正多大角度，这时就要应用射影几何知识进行精密的计算。
1967年，美籍法国数学家曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot，1924－ ）发表了&不列颠的海岸线有多长，统计自相似性和分数维&（How Long is the Coast of Britain，statistical Self Similarity and Fractional Dimension）一文，其中首先注意到更早的理查德森（Richardson）已经作出的研究：当用无穷小的尺度去测量海岸线时，会得出海岸线是无限长的令人困惑的结论。曼德尔布罗特把这一结果与周期为无限的曲线结构联系起来。此后，他于1977年出版了《分形：形状、机遇和维数》，标志着分形理论的正式诞生。这种探讨最初主要是纯粹数学意义上的，然而大量事实表明，分形在自然界中广泛存在着，从目前发表的论文看，所涉及的领域已遍及物理学、化学、天文学、地球科学、生命科学与医学以及许多技术领域，还广泛渗透到人文与社会科学及艺术领域。在地球科学方面，十分引人注目的是分形地貌学的创立。分形地貌学是一门用现代非线性科学中的分形方法及原理研究地球表面起伏形态及其发生、发展和分布规律的新兴科学。以直线为基础的欧几里得几何无力描述大自然的真实面貌，而让位于以描述客观自然（如处处连续处处不可微的曲线）为己任的分形理论，分形地貌学随之孕育而生。在现阶段，分形地貌学作为理论地貌学的一个新分支，已在两方面展开工作：一是凭借地学家和数学家的丰富想象，用计算机创造出各种标准的理?地貌&，如山峰、湖泊、丘陵、沙漠等。通过研究这些&干净&、&纯洁&的地貌，人们可以找到塑造某些特殊地貌的内在动力学机制。另一方面，分形地貌学必须直面现实，对大自然中客观存在的各类地貌进行卓有成效的研究，求出有关分维，作出区域划分，进行理论地貌学阐述。目前这两方面的研究都已获得许多进展，显示了分形理论在地球科学中的巨大应用价值。
数学在地球科学中的应用还产生了计量地理学、数学地质学、数值天气预报等一系列研究领域与方法，并在地震预报、地球物理学、海洋学等方面发挥了巨大作用。现代气象学中的数值天气预报是在数学家冯?诺伊曼等人的设计和支持下试验成功的。50年代中期，美国已将数值预报用于日常天气预报业务，以后逐渐扩展到世界各国。此外，现代气象事业中广泛采用了高速计算、高速通讯、高速自动资料整理、数值模拟等高科技方法。海洋中融化的冰山，油和水在储油地层中的流动及晶体的增长都是受偏微分方程支配的自由边界问题的例子，许多实质性的进展依赖于有关的数学理论与方法的发展。
4.化学
门捷列夫于日发现的元素周期律是化学发展史上的一次重要革命：它揭示了看来毫无联系的各种化学元素之间所存在着的深刻的内在联系，从而为现代的无机化学奠定了基础。门捷列夫是如何作出这一发现的呢？对此，门捷列夫本人曾总结道：&为了正确地进行推论，不仅需要了解元素质的标志，而且要认识它的量的标志，即可计量的标志。当某些特性能够计量的时候，这些特性就不再带有主观随意性，并使对比具有客观性?由此可见，门捷列夫之所以能作出上述发现，其重要原因之一就是他十分重视量的分析以及量和质的辩证关系。门捷列夫写道：&当我考虑物质的时候……，总不能避开两个问题：多少物质和怎样的物质……因此自然而然就产生出这样的思想：在元素的质量和化学性质之间一定存在着某种联系，物质的质量既然最后成为原子的形态，因此就应该找出元素特性和它的原子量之间的关系。&这样，定量的分析最终就导致了元素周期律的发现：化学元素的性质随元素原子量的增加而呈周期性的变化。
本世纪以来，数学在化学中的作用日益广泛和深入，产生了许多交叉学科，例如：
数理化学：先用化学的数学结构进行记述，而后再来说明其物理意义。突变理论的应用。
化学计量学：近年来发展起来的一门化学分支学科，由数学、统计学、计算机科学与化学相结合而产生。它应用数学、统计学方法研究化学量测中的实验设计、数据处理、信号解析与分辨、化学分类决策与预报等问题，能解决传统的化学研究方法所难以解决的复杂化学问题，因此化学计量学诞生以来，一直受到化学工作者的极大关注。无论是理论化学还是实验化学，它们与化学计量学方法相结合，都可能在不同程度上取得新的进展。化学计量学的兴起及迅速发展，对化学学科，特别是对分析化学学科的发展产生了重大的影响。化学计量学已作为化学量测的基础理论与方法学，成为当今化学发展的前沿领域之一。
化学动力学：主要工具是常微分方程、偏微分方程、矩阵论、数学模型方法--有限元方法等。
化学系统中的非线形动力学：对这一领域的研究已经导致了如分支理论、命运决定性混沌、分维几何学等新领域的发展。
量子化学：1927年，人们将量子力学的波动方程运用于化学领域，对氢分子的运动过程进行求解，从而建立起化学键理论。50年代以后，化学键理论更快地向着定量化的方向发展，出现了计算化学，它可以定量研究较复杂的分子。
计算量子化学：从量子理论的基本方程，使用复杂的数学工具和电子计算机确切地预言分子的性质。实际上，量子化学的发展在很大程度上依赖于计算手段的功效和适用性。
前面提到的分形理论在化学中也有广泛的应用，例如：固体和流体间的化学反应是化学、化工、冶金、材料制备加工、腐蚀等极重要的反应过程。固体表面一般是粗糙的，于是就需要用分形理论和方法加以描述和研究。多孔性物质在地球表面极为普遍，在海洋化学、地球化学、石油开采等许多方面都遇到这样的表面，如油田中贮油的砂岩的多孔结构等。生物躯体和生物高分子集团的复杂结构，如肌肉中的微血管分布，是&三维&的&粗糙&结构，这一结构与许多医药化学（如药物在人体中的扩散过程动力学）问题有密切关系。大量的化学图谱（光谱、波谱、极谱……）曲线实际上多是不平滑的，其粗糙度与信息量的关系值得探讨。液态和非晶态固体中原子排列、空隙分布、不同种原子及其集团的分布，牵涉到许多不规则的图形。描述上述各种复杂的几何图象，把握其规律，从而研究上述化学体系的课题，在理论上和实际上都具有重大意义，分形理论的出现不仅为研究这些问题提供了理论基础，而且提供了强有力的方法。
5.生命科学与医学
19世纪后期，恩格斯曾指出，数学在生物学中的应用等于零。本世纪以来，数学却出人意料地与生命科学紧密地联系在一起，其结果是：在数学中出现了一个十分活跃的应用数学领域一一生物数学；在生物学中则出现了数学生物学的庞大体系。简单地说，生物数学主要是指用于生物科学研究中的数学理论和方法，包括生物统计学，生物微分方程，生态系统分析，生物控制，运筹对策等；数学生物学主要是指生物学不同领域中应用数学工具后所产生的一些新的生物学分支，例如数学生态学，数量生理学，数量遗传学，数量分类学，数量生物经济学，传染病动力学，数理医药学，分子动力学，细胞动力学，人口动力学，以及神经科学的数学模拟等。今天，数学几乎触及到生物学的每一个领域，例如分子生物学：生物化学、生物力学、生物经济学、种群动力学、流行病学、医学、免疫学、细胞生物学、资源管理、神经网络等。
由于数学对生物学的发展产生了深远的影响，德国一位生物统计学家高（Goh）说：&这门学科（指生物学），由于应用了数学，获得了第二次生命。&在生态学的研究中，所需要的数学知识更广泛，更深刻。因此，加拿大著名的生物学家E.C.匹娄（Pielou）说&生态学本质上是一门数学&。
近代生物科学的发展有两个特点，一是微观方向的发展，?细胞生物学&，&分子生物学&，&量子生物学&等的产生。显微镜的出现使得生物科学向微观方向发展成为可能。在显微镜下人们可以看到生物的细胞及其结构，但显微镜无法使人们了解各种细胞群体之间的互相作用。作为一个系统，研究它的发展过程以及趋势，这就必须用数学方法来进行。人们可以通过显微镜观察和实验去了解生物细胞的各种特性，但不能得到综合的结论，而这种结论也必须运用数学方法来得到，因此可以说数学方法对生命科学微观方向的发展是必不可少的。生物科学另一发展趋向是宏观方向.从研究生物体的器官、整体到研究种群、群落和生态圈。对生物体、生物器官、细胞分子的研究可以通过观察和实验来进行，但是生态学研究则不是这样，数学推理显示了特别的重要性。例如，人们预测长江上游的森林砍伐将使长江成为第二个黄河，这个预测只能通过推理（数量的推理）来完成，不可能用作实验的办法来证实。
本世纪20年代中期，意大利生物学家迪安康纳在研究地中海各种鱼群的变化及其相互影响时发现，鲨鱼及其它凶猛大鱼的捕获量在全部捕鱼量中的比例有戏剧性的变化。年在阜姆港有如下的统计数据：
年 份 16 19 22 1923
凶猛大鱼的捕在量 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 10.7
占捕鱼总量的比例
迪安康纳为在第一次世界大战期间凶猛大鱼的捕获量成倍增长而感到困惑。一种理由是：由于战争使渔业萧条，捕鱼量下降，因而供凶猛大鱼食用的鱼较多，从而使大鱼有了大幅度的增加。但是这个理由无法回答这样一个问题：捕鱼量小，作为大鱼猎物的小鱼也应该多起来，大鱼虽然也会增多，但其总体比例似乎应该不变。是什么原因使得大鱼的增长大大超过一般小鱼的增长呢？
迪安康纳竭尽一切生物学上的解释都不能解开这个谜，转而求助于他未来的岳父--著名的意大利数学家伏尔泰拉（）。伏尔泰拉建立了一个数学模型，用微分方程组描述捕食者与猎物之间的相互消长，得到的解为：
其中H和P分别表示猎物和捕食者的平均数，a1，a2，b1，b2都是参数，c是捕鱼量。可以看出：当捕鱼者C增加时，捕食者P减少，猎物H增加；当C减小时，P增加而万减少。数学模型终于给生物学一个满意的答复。在上述数据中，年间因战争使捕鱼量下降，凶猛大鱼的数量增加；战争结束后捕鱼量逐渐增加，凶猛大鱼的数量便逐渐下降。
这一模型所揭示的规律现在称为伏尔泰拉原理，它是使用数学方法成功地解决生物学难题的早期范例，并已在生物学中得到广泛应用。例如使用剧毒农药杀虫，常常会把害虫及其天敌一起大量毒杀，根据伏尔泰拉原理，这会使害虫的天敌数量下降更快，最终引起不利后果。这就是不能大量使用剧毒农药的原因之一。
没有什么能比在诺贝尔奖背后的许多数学迹象更能说明数学在生命科学中的潜力。X射线计算机层析摄影仪（简称CT）的问世是本世纪医学中的奇迹，其原理是基于不同的物质有不同的X射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图象。但通过X射线透射时，只能测量到人体的直线上的X射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。能否通过这个平均值以求出整个衰减系数的分布呢？人们利用数学中的J.拉东（Radon，）变换解决了这个问题，如今拉东变换已成为CT理论的核心。首创CT理论的A.M.科马克（Cormark，美）及第一台CT制作者C.N.洪斯菲尔德（Hounsfield，英）因而获得了1979年诺贝尔医学和生理学奖。1984年的诺贝尔化学奖授予生物物理学家H.豪普特曼（Hauptman），奖励他在X射线晶体照相术中采用傅立叶（Fourier）分析方法的重大成果。
80年代后期兴起的磁共振显像（MRI）的主要技术之一也是数学方面的，它以19世纪发展起来的傅立叶变换的快速精确的反演为主要特征。由于其作用象旋转着的小磁铁一样的氢原子的密度未知，在MRI中用一块大磁铁和缠绕线圈测量患者体内的共振磁场。用来重构氢密度的数学方法经常是应用于测量信号的反傅立叶变换。这能确定磁旋子的密度，或患者体内氢原子的浓度，它依次给出内部组织的图象，就象CAT扫描，但图象要好得多。
微分方程被用于生理学，组合方法被用于发生链，概率论被用于流行病学，神经生理学中要使用图论，蛋白质工程要用数学模型，临床实验要用统计方法。新应用的单子可以无休止地开列下去。数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一，它充分显示了数学的威力相多方面的适用性。这些数学工具帮助人们把生物学研究推到了科学的前沿一一了解生命和智力。
医学中应用数学方法的一个典型例子是计算机数值诊断，即利用数学的信息理论、数据处理技术以及电子计算机这个强有力的工具，对病患者的症状表现和各种化验和检验指标进行数学加工分析，做出疾病的定量诊断结果。它与临床诊断不同。临床诊断是医生根据自己的经验和理论知识的推理做出最有可能的判断，诊断的准确性与医生本人的经验和知识水平有着直接的关系。而数值诊断则不然，它依赖于大量的历史诊断记录和对这些资料的数学处理方式。已诊断病例越多，症状资料越详细，处理方式越得当，就越能得到较确切的诊断结果。
曾被认为十分纯粹和抽象的拓扑学不仅已经进入生物学领域，对生物学的基础理论研究产生多方面的影响，而且以出人意料的方式直接进入了医学。例如，著名的酶整合酶把两个双螺旋DNA分子切成两个，一个长DNA分子和一个小的、环形的DNA分子，并且把较小的分子绞接在较长的分子上。环连的双股圆环，称做环连体，似乎相当普遍。在一种引起昏睡病的人体寄生虫锥虫的身体内，出现环连的圆环的复合体。用药物溴乙啶来处理，就使得这些圆环缠绪在一起不能解开，从而防止这些寄生虫进一步繁殖。这样一来，昏睡症可以用拓扑学来治愈了（尽管实用上并不用这个药，因为它有严重的副作用）。许多药物及抗生素都干扰改变超螺旋的酶的作用，从这一原理出发，许多疾病都将获得新的治疗途径。
DNA分子是生物传宗接代的主要物质基础，它是遗传信息存储的基本单位，许多有关生命起源的重大问题都依赖于对这种特殊分子的性质的深入了解。因此，关于DNA分子的结构与功能问题，几十年来一直吸引着许多生化学家和遗传学家们的注意。最近十几年来，科学家们越来越清楚地认识到，DNA分子的三维空间的拓扑构型对它在细胞里如何发挥其功能有重要影响。
人们常认为DNA分子的空间构型是双螺旋，两条互补核苷酸链缠绕在一条共同的笔直的轴上。然而，现在已搞清楚，这一双螺旋的轴往往不是直的，而是弯曲的。实际上，双螺旋会以多种形式在空间盘绕而形成更高一级的新的螺旋--称之为超螺旋。
DNA分子的超螺旋的空间结构是一种普遍现象，全部的DNA肿瘤病毒和许多细菌的DNA分子的空间构型等呈现多种形式的超螺旋结构。人们不免要问，这些超螺旋结构之间差异怎样识别？各种形式的超螺旋是怎样影响它们在细胞里发挥其功能？它们是怎样影响DNA的复制？又是怎样影响DNA的转录以及转录速度？DNA分子的空间构型发生怎样的形变才有可能使它的基因重组和重排？怎样的形变不会使遗传信息发生变化？等等，所有这些问题都离不开DNA分子的空间构型的拓扑描述。离不开拓扑学中的同胚、同伦、合痕以及有关打结理论方面的知识。当我们把平面或空间中一个图形，设想为由弹性橡皮薄膜做成时，那么我们假定它可以伸缩、可以（任意地）改变形状，如果在某个形变过程中，始终没有出现撕裂、始终没有把P上不同的点粘在一起，那么我们就称图形P在这个过程中是一个橡皮形变过程（注意，这里的橡皮形变过程实际上是拓扑学中合痕概念的一个特例）。如果DNA分子在某一过程中，不管它在空间是怎样的旋转、怎样的拉伸、怎样的缠绕、怎样的卷曲，只要它在上述过程中是橡皮形变过程，那么不难证明：在这个过程中，这个DNA分子的遗传信息一定不变。要想一个具有超螺旋结构的DNA分子得以复制，这个超螺旋结构必须经历一个非橡皮形变的过程，换言之，必须先进行适当的撕裂，把两条互补股链分开，再重新缝接起来，才能由一个DNA分子复制成两个DNA分子。因此，DNA分子超螺旋结构的拓扑型的转化是DNA复制的先决条件，而且也是基因重组和重排的必要步骤。不仅如此，生化学家们最近知道，另一个拓扑概念一一超螺旋度还影响到复制与转录速度。由此可见，拓扑学中一些基本概念在探索DNA分子奥妙过程中起了重要作用。如果我们人类能够改变某些细菌和病毒的遗传结构，即人为地改变DNA分子拓扑型，那么可能导致细菌和病毒的DNA分子的生物学宗旨的变化。由于人类和许多经济动植物的疾病跟这些细菌、病毒有关。因此这些细菌、病毒的DNA分子的拓扑型的转变，可能在医学、农业、畜牧业上带来根本的好处。看来，这是人类征服大自然的一项带有战略性的任务。
在当代，数学模型被广泛应用于生理学领域，例如心脏、肾、胰、脏、耳朵和许多其它器官的计算模型。随着近年在计算技术和数值草法方面迅猛的发展，出现了前所未有的机会。人们能充分详细地模拟人体流体动力学功能并运用于认识和治疗疾病。混沌动力学和分维几何学正在被用于研究流行病的爆发模式，建立流行病的动力学模型。绝大多数流行病的爆发是混沌的。混沌来自非线性，而生命世界是非线性的世界，因此混沌在其中无处不在。
糖尿病是一种新陈代谢病，常常是通过葡萄糖耐量试验（GTT）来诊断，这种诊断方法的最大困难是对于轻度糖尿病患者的诊断没有公认的准则。三个医生在解释同一试验结果时可能作出三种不同的诊断。例如，纽约罗得岛有这样一个病例：看了一个病人的GTT后，一个医生诊断为糖尿病；另一个医生则认为是正常的；而另一位专家却断定病人是患了垂体瘤。
60年代中期，美国的Rosevear和Molnar医生，以及Minnesota大学的Ackerman和Gatewood教授，他们根据生物学中的寸一些事实，建立了描述血糖调节系统的数学模型，分析了这个数学模型的解，由一、二个参数就可得到区分正常人同轻度糖尿病患者和潜性糖尿病患者的准则。这模型为：
dx/dt＝fl（x，y）＋J（t）
dy/dt＝f2（x，y）
dx/dt＝f1（x，y）＋J（t）
dy/dt＝f2（x，y）
其中，x为血糖浓度，y为纯激素浓度，fl与人分别表示x和y的变化率，J（t）是血糖浓度增加的外界速率。
对数据作大样本分析，医学研究人员就能将疾病与人们的生活方式和营养状况联系起来作分析。因此，数据分析使人们有可能对流行病学进行一般性研究。计算机能提供血液和小便的自动分析，借助计算机还能对人的内部器官作断层扫描，从而使医疗诊断发生革命性的变化。不久，人们将能用计算机对病人作简便而又无害的试验，以预测今后十年到二十年内患病的危险。从这些例子我们看到数学方法是诊断疾病的一个可靠的理论工具，并为治疗疾病提供了新的可能性，它在医学的研究中正起着越来越重要作用。
二、数学与技术科学
数学在技术科学中的应用极为广泛，限于篇幅，我们只能象征性地举一些实例。
1.可靠性理论
在一个由若干元、部件组成的系统中，每个元、部件都有一定的寿命。某些元、部件的失效会导致整个系统的失效。为改善系统的可靠性性能，可以采取各种措施（如增设备份、预防性维修、定期更换等）。研究在各种措施下每个系统的概率规律性、可靠性程度、在给定时间内的失效数，以及在给定条件（如投资额、体积、重量等）下应采取怎样的措施使系统可靠性达到最大的数学理论，称为系统的可靠性理论。它的数学研究对象，是反映有关系统寿命的数量指标，以及这些指标间的合理匹配。由于组成系统的每个部件的寿命是随机的，因此，可靠性理论研究的是关于失效（失去完成预定功能的能力）的一类随机现象。
可靠性的数学理论，特别是对系统可靠性的研究，大约开始于40年代初。在第二次世界大战期间，由于复杂的武器系统不断出现，以及电子器件的大量使用，使得可靠性问题变得相当重要。可靠性中最早借助数学方法处理的问题有机器维修和零件更换。例如，第一台电子计算机ENIAC由一万八千多个电子管组成，当时电子管的失效率在10－4/小时左右，因此大约半小时就有一个电子管失效，从而使机器不能正常运行。较早被处理的问题还有材料的疲劳寿命问题和有关的极值理论。
随着科学技术的进步，虽然单个元部件的可靠性不断得到改善，但是各类系统日趋复杂.要求它完成的功能也更加广泛。单个元部件失效引起整个系统失效的代价越来越昂贵，会在经济上、信誉上造成巨大损失，有时还会造成人员伤亡及政治上、心理的严重后果。因此，象大型客机、核电站、宇航系统、军事指挥系统、大型计算机等都要求有极高的可靠性。一个大型系统，如一枚导弹、一颗人造卫星，可能包含成千上万个零件，甚至更多。开关装置或遥测系统失灵，可能使一个人造卫星完全无用。飞机上的着陆装置损坏纵使乘客没有伤亡也会使飞机报废。如何正确估计这种大型系统的可靠性，是个重要的实际问题。按简单的独立假设来计算这种系统的可靠性是不行的。比如系统由1000个零件组成，设其中每个零件的失效都会导致整个系统失效，每个零件的可靠性为0.999（这已相当高了），在独立性的假设下，整个系统的可靠性为0..37。具有这样的可靠性程度的系统是很不保险的，简直是不可用的。而实际上并非如此。所以，评定和改善系统可靠性的问题越来越引起人们的注意和研究，所涉及的问题也越来越广泛和复杂。例如，80年代以来，由于计算机以及计算机网络可靠性过的重要性，关于网络可靠性的研究成为可靠性理论的中心课题之一；采用可靠性方法，美国研制MZ导弹的发射试验从原来的36次减少到25次，可靠性却从72％提高到93％.
在现代建筑学中，结构可靠性理论主要是解决结构的安全和适用性问题。这个问题之所以比较复杂，主要在于任何一幢建筑物所承受的荷载、所用结构材料的性能、结构的实际尺寸，其量值事先都是不能确定的，具有一定的随机性，或者说它们都是在一定范围内变化的随机变量。而且，在计算上采用的荷载效应和抗力的计算模型也与实际情况存在着差异.由于存在着这些不确定因素，从而使结构能否实现预定功能成为一个随机事件。随机事件的数量关系只能用概率方法进行描述。因此，建筑结构的可靠性理论是在统计数学的基础上建立起来的。
2.编码理论与通讯
被数学家称为&数学中的女皇&的数论，一直被认为是数学中最纯粹的领域。1940年，本世纪最杰出的数论家之一G.H.哈代（Hardy）在《一个数学家的自白》中写道：
&如果我们姑且同意说，有用的知识就是目前或不久的将来可能有助于人类物质生活的知识，唯独不管学术上是否称心如意，那么绝大部分高等数学都是无用的了。近世几何和近世代数，数论，集合论和函数论，相对论，量子力学，其中任何一门学科也不比另一门更能经得起上述考验，任何真正的数学家，其一生的业绩都不可能根据这种理由来说明?
&有一个结论是真正的数学家感到坦然无惧的，那就是真正的数学对战争毫无影响。至今还没有人发现有什么火药味的东西是数论或相对论造成的，而且将来很多年看来也不会有人能够发现这些事情。数学，就照我在牛津的说法，是一门'无害而清白的'职业。&
然而没过多久，由狭义相对论得到的一个基本公式E＝mc2（其中E是能量；m是质量；c是真空中的光速）就成为核反应的理论基础，原子弹就是在这一基础上发明的。更出人意料的是，自70年代中期以来，数论竟然成了密码学的中心角色。在一些应用数学领域，纯数学往往至多起一种保证作用，例如给出非构造性的存在定理或唯一性定理，而不是给出可产生实在结果的计算程序或分析程序。实践中使用的程序可能主要是凭直观与经验，而不怎么注意严密性。但在密码学中，数论却提供了实现编码的构造性程序。这一事实使所有的数学家都十分吃惊。
现代社会是信息化的社会，信息的获得、存储与传递都是十分重要的问题，而密码则是一种独特而重要的信息传递方式，其重要性在军事对抗、政治斗争、商业竞争等涉及不同利益的集团的对抗或竞争中是不言而喻的。一方面是有效地在我方内部迅速准确地传递各种信息而不被对方破译，另一方面是寻找破译对方信息的有效方法。因此，密码学的研究一直是世界各国政府和军方特别关注的。此外，密码学在控制论、语言学、分子生物学等领域也有着重要的发展前景。密码学是一门技术科学，主要分为编码技术与破译技术两个方面，相对说来，前者比较发达，后者还很不成熟。
1976年11月，美国斯坦福大学的两位电工学工程师迪费和海尔曼发表论文《密码学的新方向》，用他们提出的陷门单向函数发明了公开密钥码体制。这种函数具有下列性质：
（1）它把任意一个正整数x变为一个特定的正整数y；
（2）它具有把y重新变为x的反函数；
（3）存在着计算正函数和它的反函数的有效算法；
（4）如果只知道函数及其正算法，则仍然不可能求得它的逆算法。
改用精确的数学语言，上述性质可以被叙述为：
定义 把数论函数f（n）叫做陷门单向函数，如果它满足：
①对f（n）的定义域中的每一个n，均存在函数f－l（l），使
f－1（f（n））=f（f－1（n））=n.
②f（n）与f－1（l）都容易计算。
③仅根据已知的计算f（n）的算法，去找出计算f－1（l）的容易算法是非常困难的。
最后一个奇特性质正是该函数命名的依据。这函数就象个陷门，容易陷下去，却很难爬上来。的确，如果不知道陷门的暗钮藏在哪里，那是不可能通过陷门爬上来的。暗钮表?陷门信息&。不知道陷门信息的人是无法从下面打开陷门的，但暗钮隐藏得如此深奥，找到它的可能性实际上为零。利用陷门单向函数，可以构成如下的公开密钥码体制。有一部门，下设A，B，C，……若干机构，务机构均有自己的陷门单向函数，分别为fA（n），fB（n）fC（n），…各函数的算法分别作为各部门的编码（加密）方法而予公开，而诸fA－1（l），fB－l（l），fC－l（l），……的容易算法，作为解密密钥则是保密的。这样，部门中的任一机构（包括部门外的机构），都可给其中的一个机构发保密信。例如，B向A发保密信：设B向A所发的明文为n，代入A所公开的陷门单向函数fA（n），得fA（n）＝m，m即为密文，由于只有A知道fA－1（m）的容易算法，因此，A可由fA－1（m）＝fA－1（fA（n））=0脱密。
另外，部门内的各成员可以彼此发签名信。例如，B给A发签名信，方法是，设明文为n，先用fB－l（l）对n加密得fB－l（n）＝m，再用fA（n）对m加密得fA（m）＝t。A收到t后，由fA－1（t）＝m得fB（m）＝fB（fB－l（n））＝n，即可读到B发出的原信了。因为只有B才能发这样的双重加密信，所以，B的签名是无法伪造的。
迪费和海尔曼在他们的论文中提出了各种各样的、也许可以用于这类密码系统的陷门函数。然而，没有一个是十分理想的。1977年初，美国麻省理工学院（MIT）的计算机学家利维斯特、沙米尔和埃德尔曼设计了用素数来实现公开密钥码体制的巧妙方法，并于同年4月发表了题为&论数字签名和译码钥公开的密码系统&的论文。利用他们所提出的原理设计的密码体制通常称为RSA体制。
传统密码的特质（也可以说是缺点）是，收发双方有相同的加密密钥和相同的解密密钥，而且加密密钥和解密密钥也是相同的，其密钥需要严格保密不能丢失。如果在一通讯系统中有一个联络站被间谍渗入或被敌人占领，则密码的机密可能全盘暴露。而且这种密码系统的密钥数量往往很大，难以分配和管理。另一方面，收方可以修改内容，发方也可以否认所发的内容，双方可能因此发生争执。公开密钥码最重要之处有两点：一是将加密密钥和解密密钥分开。加密密钥可以公开，而解密密钥则严格保密的；二是，这一体制可以发送签了名的消息。因此，公开密钥体制的提出，解除了上述传统密码所产生的困难，这是密码学中的重大突破。公开密钥体制的基本程序是这样的：
（1）收方先告诉发方如何把情报做成密码（敌人也听到了这个做法）。
（2）发方依法发出情报的密码（敌人也听到了这个信号）。
（3）收方解开此密码为原信息（但敌人却解不开此密码）。
RSA体制作为一种实用的、安全可靠而又方便的编码方法的一个关键问题是：能否找到一个具备前面所说性质的函数f（n）。在实际构造这样一个函数时所依据的一个基本原理是：将两个很大的素数（例如两个50位以上的素数）相乘，这很简单；但要从其乘积中确定出这两个素因子来，就非常麻烦了。于是，对于政府和商业上重要的通信来说，这样一种密码方案是否足够安全，那就完全取决于因子分解到底有多大困难了。若知道因子分解在本质上是一个不可解的问题，那就可以放心大胆地采用这种新颖而又方便的密码体制；要是能找到一种非常快的算法，那就必须将这种体制彻底抛掉。与这种密码的安全密切相关的某些问题，在十多年前还被人们认为是没有实际意义的事呢！
公开钥密码的应用日益广泛，数学家也愈来愈感到有迫切需要将这种密码破掉，由梅克尔和海尔曼当初提出的那种密码方案已经被沙米尔破掉，他在1982年证明，使用整数规划法就可识别出密码信息中的规则，从而就能将密码破译。虽然许多研究者仍然认为因子分解在本质上一个非常困难的问题，但将来有一天，会出现一种革命性因子分解法，也不是完全没有指望的。例如，日，美国宣布，几百名研究人员共同合作用1000台计算机将一个155位数分解成了3个因子的乘积，它们分别是7位、49位和99位数。贝尔实验室称这是数学的一个巨大成就，也是计算机领域的一个突破，使现行密码技术受到严重威胁。
现代密码学中充满了数学：代数学、数论、组合数学、几何学、概率统计以及一些较新的数学分支，如信息论、自动机理论等，都对密码学的发展作出了贡献。近年来，计算机科学（尤其是算法与计算复杂性理论）更对密码学产生了深刻的影响。
近年来在通信事业中发展起一门新的科学--安全技术，包括消息认证和身份验证两个方面。消息认证是检查收到的消息是否真实的一种手段，应用十分广泛，例如证券交易所和股票市场都离不开消息认证，在当今通信事业中，以及军事指挥中心军事监听机构中等都要有很好的消息认证系统，以使受假消息影响的程度为最小。身份验证是检验消息的来源（发信者）是否正确，或者传递的消息是否到达正确目的地（收信者）的方法。例如，如果你拥有一个计算机网络的终端设备，就不但可以随时查到你所需要的资料或信息，而且可以解决许多实际生活中的问题，如预订机票、市场购物、银行转帐等，甚至可以通过计算机网络签署文件。使用计算机网络进行这些活动时，都需要将自己的身份告诉对方。为了使对方能确认你的身份是真实的，就需要相应的身份验证方法。在日常生活中，在信件上签名是很普通的事，但要通过电子通信手段在遥远的异地完成签名就不容易了。这种通过电子通信完成签名的手段称为数字签名。前面介绍的RSA体制就是用来作为数字签名的一种有效方法。数字签名首先是一种消息认证方法，另一方面，在通信双方发生争执时，又可由仲裁者进行公正裁决，因此它又是一种身份验证方法。
在现代通信中，由于设备、技术或其它原因，可能使所传输的信号发生差错，造成混乱或误解。例如，一艘宇宙飞船要将火星表面的复杂图象发送回地球。发回的信息必然混杂着随机的噪声。如果不在信息中注进一定数量的冗余信息，科学家们就无法肯定他们收到的是否为正确的信息。一种办法是重复发送同样的信息，比如重复发送五次，接收者将各次收到的信号作比较，就能准确地猜出原来发出的信息是什么。不过，这时飞船发送信息的速度只有原来的五分之一。过不了多久，它所摄取的图象由于来不及发送出去，就会造成存贮器溢出的现象。我们平时生活中也会碰到同样的问题：电话线可能受到天电的干扰，存贮起来的数据（如银行收支账）可能出现随机性误差，等等。为了使信息传输更为可靠，需要一种数学方法，使得在通讯过程中产生少量差错时可以及时发现和纠正。首先，可用信息论和概率论的知识，辨别出发送的信息可能是什么；其次，可在一种编码方案中选取一些代码来与某个代数结构或组合结构（如一个向量空间或图）的元素相对应；然后即可根据这些结构的数学性质估计纠错能力和代码的传输速度，从而找出有效的代码（纠错码）。例如，当今最为常用的一些代数编码方案就用到n维空间中关于格的几何学性质及其有关的自守形式，或者用到有限几何学以及它们的对称群，或者用到有限域上多项式根的特性。
3军用技术科学
计算机具有运算速度快、记忆容量大、逻辑判断能力强、计算精度高、自动化程度好等优点，因而从一诞生起就受到了军事家的青睐，被广泛用于预警、指挥、通信、兵器控制、导航、定位、电子对抗、作战模拟和各种保障等方面。由于计算机技术的进步和数节省了成本，提高了设计的质量。这对于武器的研制特别重要，因为若进行具体的试验，不但既费钱又危险，而且在初期阶段实际上是无法办到的。
日，伊拉克入侵科威特，日，以美国为首的多国部队开始了代号&沙漠风暴&的大规模军事行动。人们从电视上看到，&爱国者&导弹拦截&飞毛腿&导弹，多国部队空袭及发射导弹命中伊拉克目标，其准确度都令人惊叹不已，当人们津津乐道于高科技在海湾战争中的成功运用时，往往想象不到，在这场战争中，数学中的许多分支都发挥了至关重要的作用，例如：
控制理论--在导弹制导和瞄准系统中得到了广泛的应用。复杂的数学定理、计算方法和步骤，使多国部队的轰炸周密而又准确。
编码理论--多国部队主要依靠它来处理雷达和卫星所搜索到的信号和有关数据，以作出正确的指令。
密码技术及密码分析--多国部队主要用它来进行通讯联络和编码，同时，依靠它来破译敌方的密码及识别信号。
运筹学--运用这一学科所提供的原理对前、后方的庞大部队和物资装备进行周密的调配，作出统筹安排。美国将大批人员和物资运到位，只用了短短一个月时间。这是由于他们运用了运筹学和最优化理论。
计算机指挥系统--海湾战争中，多国部队38天的轰炸行动计划是使用美国空军的计算机系统实施指挥的。开战第一天，这套系统就显示了不凡的身手：指挥协调几个参战国家的20多种、数百架飞机，从几十个机场和航母上起飞，对伊拉克的上千个目标实施了轰炸。正如驻海湾美国空军司令所说：&我们有许多电脑，它能够把成千上万微小细节、无线电频率、炸弹类型等等组成一个整体，提供一张同唱一首歌的乐谱。&
海湾战争中，美国还对伊拉克施行了一项前所未闻的作战措施：对巴格达总司令部的计算机中心施放计算机病毒。战争前，伊拉克曾在法国一家公司订购了一种打印机，准备用于军事总指挥部的计算机中心。美国谍报人员得知这笔生意后，将一块带有计算机病毒的集成电路偷偷地装入了伊拉克订购的打印机内。这一行动的目的十分明确：使对方的军事指挥系统在战争打响之后彻底失灵。
4.航空航天科学
复变函数论是在19世纪发展起来的一门数学分支，最初完全是为了解决一些纯数学问题。本世纪初，俄国力学家、数学家儒可夫斯基使用复变函数论中的共形映照方法确定翼型的形状，分析翼型周围空气流动的规律，使飞机设计产生了革命性的变化。
在当代航空航天事业中，数学模型方法已代替了许多实验，因为它在大多数情况下更便宜、更具有通用性、也更安全。例如，当利用风洞设计飞机部件时，为了试验改变形状的同一部件，必须在机械车间建造一个新的模型；而重新设计一个数学模型只要通过键盘打入新的参数就可以了。当今每一种正在飞行的现代化飞机都是这种计算机辅助设计的产物。尤其对那些实验用的或有特殊用途的航空器来说就更是如此，例如航天飞机。如果没有考虑飞行程中的空气动力因素的模拟装置，宇航员驾驶飞机起飞和着陆的训练将是不可能的。这些力是通过在巨型计算机上实时地解空气动力学基本方程计算出来的。在省油的波音767飞机和欧洲空中客车的翼形设计中，用到了一系列门类齐全的应用数学知识：对诸如激波运动、激波与边界层的相互作用之类的新的物理性态的研究；当空气流速从亚音速变为超音速时，将会使非线性偏微分方程组的性质发生变化，对解的新特性需作出解释，并进行计算，求解非线性偏微分方程组的新的解析近似法；有效的数值新方法；将这些方法进行有效的编码和存贮，以便经济地进行设计计算。此外，l8世纪以后发展起来的流体动力学的数学理论和分析方法在设计中发挥了关键作用。
另一个广为人知的例子是人造卫星或火箭的制导。它用伴有对应于重量的系数（即一个数）的空间内某一点来表示，其位置用有关某一固定坐标轴的三个数来表示。进行观测的时间可以用时钟来计算（又一个数）。发射的火箭受到地球、月球、太阳，有时还有其它行星重力的影响。在模型中，这些力用向量表示，它们的各个成分规定为火箭坐标的函数。要确定其运动，按数学模型把运动力学定律译成常微分方程来求解。本世纪中叶以来，由于一批数学家对变分法作了重大的推广，导致了最优控制理论的发展。R.E.卡尔曼（Kalman）的一个关键性的革新改变了引入矩阵黎卡提方程进行滤波的规范作法。应用卡尔曼滤波法的最优控制在阿波罗飞船的导航和控制中发挥了关键作用。如今，民航客机的驾驶员甚至不用触摸驾驶杆就可让飞机着陆。飞机的速度和方位等数据自动地输入卡尔曼－布西滤波器，这种仪器在驾驶飞机的时候，能不断地用&最小二乘法&作出&最佳的拟合&，从而求出牛顿物理学定律的一次近似值。类似的&状态滤波器&能为火箭和空间探测器导航，并对卫星作追踪。这些卫星和火箭将重要的图象发射回到地球，经过计算机的&谱分析&，图象就会更加醒目和清晰。
5.地质勘探
石油勘探是数学取得重大经济效益的应用场所之一，例如，1991年5月，美国壳牌石油公司应用计算技术探明了一个储量超过十亿桶的大油田。数学正广泛应用于碳氢化合物的勘探与生产之中。由于石油的定位以及测定其移动的较复杂技术已被发展，数学模型正起着比以前更大的作用。数学结果以最基本的方式用来从混杂信号中提取原始信号。关于逆扩散的现代理论正在成为这个领域的基本工具。当具有出现石油潜在可能的大面积区域一旦确定之后，人们必须寻找有可能阻挡碳氢化合物迁移的局部地质特征。而这种迁移在多孔砂石结构中发生。典型的油阱例子是起因于地层的错位与皱折，或者夹杂着象盐穹那样不可渗透的物质。在可能发现这种油阱的区域，通常进行大范围的地震勘探法，一系列震动或小的爆炸将波（纵向、切向，等等）穿过地下，由于不同的地层或纵向的不连续性，这些波被反射或折射并最终为一系列接收器记录下来。通过记录下来的反射来确定地层结构以及地层和滞留流体的性质的数学反问题是极端困难的问题之一。这里有确定唯一解的重大问题以及噪声数据和测量误差问题。信号处理技巧例如数据的滤波、迁移，以及信号重叠问题已明显地取得成功。但是，数学界必须帮助提供更多的信息，例如1）怎样的震源及接收器的位置将给出较好的、更能信赖的数据，2）给出连续依赖数据益的估计后，我们实际上能希望得到怎样的信息，3）非唯一问题能否事定理表示。各种各样的工具，从积分方程的解到各种变换方法到声波方程的数值模型均被应用，而更多的数学技巧正在不断考虑以解决这些复杂问题。
有关的历史可以追溯到大约1950年左右，当时，美国数学家维纳和华兹沃斯在几次随便的交谈中发现，数学中的时间序列对石油的地震勘探可能是有用的，他们根据这种新的方法，使用手摇计算机分析从地层反射回来的声音信号，这种方法经过华兹沃斯、勃吕扬、鲁宾逊、赫利等人的发展，已经成为现代石油勘探的标准手段。如今人们通过人工地震记录下反射回来的地震波，波形随着地层地质的不同而变化。用计算机处理所得的波形数据可以提供地下岩层、岩性以及有关石油、天然气等的知识。说来有趣：美国麻省理工学院地质系在这方面所作的应用性研究曾经得到了二十家厂商的资助，而在同一所大学中进行的使这种应用成为可能的纯数学研究，工业界却谁也不愿去过问，尽管这种数学研究曾在这么短暂的时间里取得如此重要的成果！事实上，当初取得这项数学成就的时候，人们连做梦也没有想到它会有这一方面的应用
6.一般工业技术中的数学问题
早在1949年在美国就出现了工业数学会的学术组织并出版了半年刊&工业数学&。1952年，美国成立了工业与应用数学学会。但工业数学这一名词的真正流行、愈来愈受到人们的重视却是近二十多年的事情；由于电子计算机（高速、小型、智能、价廉）的迅速发展提供了一种强大的技术工具，也为数学渗透到一切领域创造了条件，更可以为工业的发展大显身手。70年代以来，美国已有不少大学和国家实验室开展了工业数学的研究，许多科技中心的建立与数学在工业中的应用也有着密切关系，例如1988年在美国建立的微生物生态学中心、暴风雨分析和预报中心、平行计算研究中心、离散数学和理论计算机科学研究中心等，正如美国国家科学基金会主任巴布罗克（Bloch）指出的，建立这些研究中心的好处将是&从实际发现到应用之间所需要的时间将大大缩短。为使我国有能力在世界市场上竞争，知识的快速转化是决定性的&。
在欧洲，1968年，英国成立了以牛津大学数学研究所的成员为主的&牛津工业问题研究小组&此后这个小组的活动日益壮大，受到工业部门的广泛欢迎。由于欧洲的国家都比较小，工业门类及研究水平较高的数学分支不可能很齐全，产生了联合起来培养人才的要求，1987年成立了欧洲工业数学联合会，以便推动数学模型在工业中的运用、培养&工业数学家&和&以欧洲规模来进行工作&。
数学在工业技术领域的应用不胜枚举，例如，自动生产线的设计；连续铸造的控制；煤的管道输送；发动机中汽轮机构件的排列；燃烧规律的计算与有效燃烧室的设计；道路选线；半导体集成电路块的设计；核聚变反应堆的设计；数学船型、汽车外型、飞机外型设计等等。
让我们看一个具体的例子：对于现代时钟机构中的齿轮来说，其动力学行为不那么重要而能量消耗却起着重要的作用。日期显示器就是一个例子。为在一小段时间内能产生高的角速度需要一对均匀驱动的齿轮。解决问题的技术想法是取一个固定的偏心圆周齿轮。若给定两个齿轮中心间的距离，滚动条件导致依赖于这个距离的一个微分方程。把该距离看作控制参数，若两个齿轮在相同时间内完成了一个旋转，则该参数取正确值。使摩擦达到最小的要求导致一个变分问题，这时齿轮的齿形必须设计成使摩擦能泛函取极小。该微分方程的数值解法需要应用边值问题解的现代概念，计算得到的齿形与传统的渐开线齿轮系统的齿形很不相同。
随着各种更加有效的解析方法和数值方法的出现，同时使用计算机的费用更为低廉，数学在工业设计中将发挥更加重要的作用。人们越来越认识到，数学科学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术，在经济竞争中它是必不可少的。
三、数学与艺术
数学与艺术的相互关系是一个太大而又太难的课题，我们只选取音乐和绘画中的少量问题作初步的介绍。
1.音乐
近代著名哲学家、数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz，）曾说：&音乐一一这是心灵的欢乐，而心灵不知不觉地进行着计算。&在音乐史上，探求音乐与数学之间的关系，是一个十分古老的话题。
（1）古希腊：毕达哥拉斯学派与&五度相生律&
毕达哥拉斯学派认为音乐是数学的一部分。据认为，毕达哥拉斯发现数是音乐和谐的基础。例如，当一根弦被缩短到原长度的一半，拨动时发出的音调就与原来的音调构成一个8度音程。类似地，如果比率是3：2和4：3，对应的则是5度和4度音程。他们把音程分为协和音程与不协和音程两种：八度、五度、四度是协和音程，其它一切音程，包括三度和六度，都是不协和音程。毕达哥拉斯学派认为人和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。和声由各种数值比组成，于是，从某种意义上说，正是各种事物的数值比确定它们各是什么并显示彼此的关系。基于这种思想，毕达哥拉斯学派发明了&五度相生法&，由此引出了音阶的各级音，构成著名毕达哥拉斯音列。该音列中所有的音都是由纯五度音程的关系连续依次推演而出，因此，所产生的律制也称为&五度相生律&，在世界律学史上有很大影响。
（2）中国古代：三分损益法与朱载值氖骄
①三分损益法
三分损益法是中国古代采用数学运算研究乐律的方法，即确定乐音体系中各音的绝对高度及其相互关系的乐律理论，在相传为春秋时管仲所作的《管子?地员》中已有对这种方法的明确记载，其方法是：&凡将起五音，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有人，为徵。不无有三分而去其乘，适足以生商。有三分而复于其所以是生羽。有三分去其乘，适足以是生角。&也就是说：
1×34＝9×9＝81＝宫，
81×4/3＝108＝徵（由宫益其三分之一而得），
108×2/3＝72＝商（由徵损其三分之一而得），
72×4/3＝96＝羽（由商益其三分之一而得），
96×2/3＝64＝角（由羽损其三分之一而得）。
由此奠定了中国古代五声音阶的基础。
②朱载钟胧骄
明代朱载郑）用数学方法研究十二平均律，其主要理论载于他的《律吕精义?内篇》，所得结果为：
上述所有的数学运算都是计算到25位数字，其计算精确度达到了惊人的地步
（3）近代音律理论的发展
由毕达哥拉斯的信徒开端的数学和乐声的整个主题为欧洲中世纪的音乐家所继承，到15世纪进入欧洲律学史上的纯律时期。意大利数学家，天文学家罗西（L.Rossi，）在五度音列的递减上作过改进；荷兰数学家、物理学家惠更斯（G.Huygens，）根据大半音分为三律的原理，提出了&三十一平均律&；比利时数学家、地理学家麦卡托（G.Mercator，）提出了&五十三平均律。&
在18世纪，声学主要是由音乐家和数学家研究的，直到19世纪声学才成为物理学的一个正式分支。由于声学和音乐中提出的问题，导致18世纪不少数学家致力于常微分方程和偏微分方程等新兴学科的研究。泰勒（B.Taylor，）在确定振动弦的形状问题时首先引入了二阶常微分方程，导出了一根伸张的振动弦的基频。
1731年，欧拉（L.Euler，）写出了《建立在确切的谐振原理基础上的音乐理论的新颖研究》。约在1733年，丹尼尔?伯努利（D.Bernoulli，）；在《关于用柔软细绳联结起来的一些物体以及垂直悬挂的链线的振动原理》一文中研究了上端固定的悬链线，没有重量，但带着等间隔的重荷。当链线振动时，他发现：质点系相对于通过悬挂点的垂线作不同模式的（小）振动。这些模式中的每一个都有各自的特征频率。他说，&从这个理论推导出符合于泰勒和我父亲建立的音乐弦理论将是不困难的。……实验表明：在音乐弦中存在着类似于振动链的交点（结点）。&
由于把振动弦的位移分别作为时间的函数以及作为一个端点到弦上一点的距离的函数来进行研究，于是把位移作为这两个变量的函数来研究并试图了解所有可能的运动就导致了一个偏微分方程。这一研究的自然继续，即考察弦发出的声音在空气中的传播，导出了又一些偏微分方程。在此基础上，数学家们处理了各种形状的号角、管风琴、铃、鼓和其它乐器发出的声音。18世纪50－70年代，有关以小提琴弦为典型的弦振动问题引起了一场大争论，包括欧拉、达朗贝尔（d'Alembert）、丹尼尔?伯努利、拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）等在内的当时一批最杰出的数学家参加了争论，问题最终直到19世纪才由傅立叶（Fourier）以他著名的级数所解决，导致了偏微分方程的第一次真正的成功。
（4）现代：计算机音乐
乐器千变万化，原理是一个--弹性介质的振动。由振动产生的声波并非随心所欲，琴弦、吹管的空气柱、锣鼓面的性质决定了振动产生的基频和泛音列，即我们听到的音高，与乐器构造和演奏方式相对应的泛音相对变化又决定了我们听到的音色。如想更精确地讨论，人们还可写出相应的波动方程、边界条件、初始条件并找出方程的解。实际上，任何乐器均不能超越其构造特性，超越它所遵从的波动方程及其解的限制。
随着电子技术的进步，电子音乐发展了起来。电子音乐凭借的是一系列电子振荡器提供的基本波列，再经过滤波、放大、调制等手段进行合成。它突破了具体乐器的限制，不再受波动方程的约束，从而大大扩大了音响范围。不过，不管多复杂的电子乐器，其组合的可能性仍然是有限的，在制造这种电子乐器时已对其作了限定。正因为如此，科学家与音乐家仍感到不满足，计算机技术的发展给他们带来的希望。借助计算机产生的音响，既不受乐器构造的束缚，也不受事先给定的电子振荡器的限制。在计算机的帮助下，人们可以得到所希望的任何音高和音色的声响，于是计算机音响技术应运而生。它的基本原理是借助数学处理方法给出所需声波的数学描述，再将其转化为声波。具体步骤是：首先，根据特定需要（模仿或创造），用计算机给出所需波形及其随时间的变化。若原始波形要从外部声源输入，则需进行模－数转换。其次，对表示所需波形的时间函数进行等间隔的数字采样。第三，用采样数字控制电脉冲振幅，产生相应的电脉冲序列（数－模转换）。最后，让电脉冲通过低通滤波器，还原成