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Toroidal李代数的结构与表示
优质期刊推荐A型扩张仿射李代数的极大子代数--《湖北民族学院学报(自然科学版)》2016年01期
A型扩张仿射李代数的极大子代数
【摘要】：设S是欧式空间R~n上的最小半格,由Jordan代数J(S)通过TKK构造可得到一个称之为TKK代数的李代数T(J(S)).进一步,可由TKK李代数T(J(S))得到一个A_1型、零度为v,且带有扩张仿射根系R(A_1,S)的扩张仿射李代数T.研究了扩张仿射李代数T的极大子代数,并得到了它的四类极大子代数.
【作者单位】：
【基金】：
【分类号】：O152.5
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一些李代数地形心
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硕士学位论文
一些李代数的形心
姓名：游东丽
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：周建华
一些李代数的形心
摘要：本文的主要目的是研究单纯李代数的子代数的形心．着重讨论了这些李代数
的极大幂零子代数和Borel子代数形心的结构，证明了所有单李代数极大幂零子代数的
形心的维数比该李代数的秩大一；Borel子代数的形心只包含数乘变换．对于典型单李
代数的子代数，我们主要通过相应的矩阵代数来讨论；对例外单李代数的子代数，我们
更侧重于通过对其根系的结构的分析来研究它们的形心．同时，我们还对所有抛物子代
数的形心进行了刻画．利用类似的方法，我们研究了Heisenberg代数的形心．
关键词：形心；根系；典型李代数；幂零李代数；可解李代数
TheCentroidsofSomeLie
istoconsiderthecentroidsof
Abstract：The
subalgebras
purposepaper
discusscentroidsofmaximal
algebras．We
niIpotentsubalgebrassubalge。
thatthedimensionofthecentroidofmaximal
simplealgebras，andprove
thantherankoftheLie
andthecentroidofeachBorelsub-
subalgebras
ofclassicalLie
algebra only multiplications．Forsubalgebras simplealgebras，we
dicusscentroids
algebras；forsubalgebrasexceptionalsimplealge-
centroids the
mainlyby analysis
system．Meanwhile，we
investigate
thesimilar
thecentroidsof
centroidsof
parabolicsubalgebras．Inway,westudy
Heissnfberg
algebras．
Key-words：eentroid；rootsystem；classicalalgebra；nilpotent
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schrodinger-virasoro李代数与非阶化virasoro-like李代数的结构与表示,与非门,与非网,极性与非极性,处与非处的区别图片,与非门符号,生物与非生物,或与非,电解质与非电解质,病与非病三原则
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1985年,Drinfeld和Jimbo成功地引进了q量子化和量子群的概念,而半单李代数的包络代数可以看作量子群的特例,这使李理论的发展前景更为广阔. 二十世纪初,Killing、Cartan和Weyl等人获得了关于复数域上有限维半单纯李代数的结构与表示的十分完美的理论.首先,Killing和Cartan等人对有限维复单李代数的结构和表示的研究获得了丰富的成果;然后,Cartan进一步研究了复半单李代数的结构,并对它们的有限维不可约表示进行了分类.他证明了有限维复单李代数的不可约表示是有限维表示当且仅当它是以支配整权为其最高权的最高权表示;Weyl进一步发展了Killing-Cartan理论,并得到复半单李代数的有限维不可约表示的特征标公式以及有限维表示的完全可约性定理;Serre给出了有限维复半单李代数的统一实现. 在研究有限维李代数的同时,数学家们也开始了对无限维李代数的研究,它们自然地出现在Cartan于1909年创立的本原伪变换群的分类中.作为半单纯李代数的自然推广,20世纪60年代末Kac和Moody分别独立引进了一类无限维李代数,即现在人们所说的Kac-Moody代数([23],[30],[31]).由于该代数的结构和表示理论在数论,组合数学, 拓扑学,量子群,代数表示论,及量子场论等学科中有广泛应用,这一课题自然成为代数学的一个重要研究方向.
Kac-Moody代数分为三类:有限型,仿射型和不定型.其中有限型就是有限维单李代数,而不定型的Kac-Moody代数结构比较复杂,至今没有完全分类.仿射Kac-Moody代数自然就成了人们关注的焦点之一.仿射Kac-Moody代数有与有限维单李代数平行的结构和表示理论.
1972年,Macdonald给出了与“仿射根系”的Wely等式相类似的一些等式.
1974年,Kac把有限维表示理论推广到了Kac-Moody代数,并导出可积高权模的特征标公式. 事实上,仿射Kac-Moody代数是一维环面到复数域上有限维单李代数的多项式映射的泛中心扩张.或者说,仿射Kac-Moody代数是以单变量的罗朗多项式环作为其坐标代数的.近年来,代数学家们在仿射李代数的推广方面获得了很多令人瞩目的结 1 果.受量子规范场理论的研究工作的启发,1990年,R.Hocgh-Krohn和Torresani推广有限维复半单李代数和仿射Kac-Moody代数,第一次引入了不可约拟单李代数(即扩张仿射李代数)的概念([18]),它是近年来李理论研究的热门课题之一,在理论上和物理上都有着重要而且广泛的应用.简单来说,扩张仿射李代数是具有非退化对称不变双线性型,有限维Cartan子代数,离散不可约根系,以及非迷向根向量是ad-局部幂零的李代数.
R.Hocgh-Krohn和Torresani把仿射Kac-Moody代数的坐标代数换成多变量Laurant环面,从而得到许多例子,他们发现除了Laurant环面外,量子环面,一些特殊的交错代数,Jordan代数等也可以作为扩张李代数的坐标代数. 上世纪八十年代,在量子力学和量子场论研究工作的推动下,产生了量子群和非交换几何等研究对象和数学分支.量子环面是非交换几何的研究对象之一,并且它在扩张仿射李代数的分类中有着重要的作用.同时量子环面及其导子李代数还包含了多变量的罗朗多项式环及其导子李代数和一些Jordan环面的导子李代数为其特例.量子环面与扩张仿射李代数的结构和表示存在着内在的密切的联系.在q是非单位根时,量子环面李代数存在二维的非平凡泛中心扩张,这个李代数与Virasoro代数的推广工作有着密切的关系.许多学者对此进行了大量的研究,获得了许多结果,而q=?1时,量子环面李代数L q与高维仿射李代数中的TKK代数的构造和表示存在密切联系,同时还和经典的A型仿射李代数的主表示构造之间存在密切关系. Poisson代数是一个同时具有结合代数和李代数两种结构,并且结合代数和李代数之间满足Leibniz法则的代数.它出现于哈密顿力学,也是量子群研究的中心之一. Poisson代数出现于多种不同的场合,如辛流形、结合代数、定点算子代数、李代数等. 它在关于很多量子代数的数学分支中起着重要的作用,很多量子群被从带有Poisson括号的多项式环构成的Poisson代数中构造出来.根据结合代数是否交换,可将Poisson代数分为交换和非交换两种.交换Poisson代数的概念一是源于几何学,即辛流形上的光滑函数空间在乘法和Poisson括号下的代数结构;二是源于物理学,即各种力学量形成的空间在乘法和Poisson括号下的代数结构.对于前者,人们进一步研究了使得光滑函数空间在乘法和Poisson括号下具有Poisson代数结构的光滑流形全体,即Poisson流形. 对于后者,Dirac将此空间量子化为Hilbert空间上各种算符形成的空间,而以复合和对易作为新的运算.这样得到的代数结构作为结合代数不再交换,但仍同时具有Lie代数结构,且两者在上述Leibniz法则意义下兼容.由此,可将上面的定义自然地推广到非交换的情形.非交换Poisson代数在许多学科中有着重要而广泛的应用,如Hopf代数, 非交换几何,数学物理等. Gerstenhaber在其一系列的文章([9]-[13])中,开展了代数形变理论的研究.目前,该领域最好的综述性文章当推Gerstenhaber和Schack合作的长篇论文(见[14]). 2 在Poisson代数的形变中,常常会碰到如下的情况:如果只形变Poisson代数
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