导读：2.2.1对数的概念和运算律第1课时对数的概念，学习目标1．能说出对数的概念，知道什么是对数的底数，什么是对数的真数，2．能记住对数恒等式，并能应用对数恒等式进行有关的计算，3．能记住对数的性质，4．能解决对数式与指数式的互化问题.重点难点重点：对数的概念以及对数式与指数式的，难点：对数概念的理解以及对数中的计算问题，疑点：对数与指数的关系.，1．对数及有关概念，(正)数N的对数，a叫作对数的2.2.1 对数的概念和运算律 第1课时 对数的概念
学习目标 1．能说出对数的概念，知道什么是对数的底数，什么是对数的真数； 2．能记住对数恒等式，并能应用对数恒等式进行有关的计算； 3．能记住对数的性质； 4．能解决对数式与指数式的互化问题. 重点难点 重点：对数的概念以及对数式与指数式的互化； 难点：对数概念的理解以及对数中的计算问题； 疑点：对数与指数的关系.
1．对数及有关概念 如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN，这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数． 预习交流1 在对数符号logaN中，为什么只有在a＞0，a≠1且N＞0时才有意义？ 提示：(1)若a＜0，则N取某些数值时，logaN不存在，因此规定a不能小于0. (2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0. (3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时， 则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1. (4)正数的任何次幂都是正数，因此N＞0. 预习交流2 对数的定义是由指数式推得的，那么指数式ab＝N与对数式logaN＝b有何关系？ 提示：(1)在关系式ab＝N中，已知a和b求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N，求b就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． (2)指数式和对数式的关系及相应各部分的名称． 名称
式子 a b N 指数式 ab＝N 底数 指数 幂 对数式 logaN＝b 底数 对数 真数 预习交流3 所有的指数式都可以改写为对数式吗？ 提示：并不是所有的指数式都可以改写为对数式，例如(－2)4＝16就不能改写为log(－2)16＝4，只有当ab＝N中，a＞0且a≠1，N＞0时才可以进行改写． 2．对数恒等式 对数的基本恒等式是alogaN＝N，b＝logaab. 3．对数的性质 对数logaN(a＞0且a≠1)的性质是： (1)零和负数没有对数，即N＞0； (2)1的对数为零，即loga1＝0； (3)底的对数等于1，即logaa＝1. 第1页
一、对数概念的理解
在对数式log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是什么？ 思路分析：根据对数的概念，列出实数a满足的不等式组，解不等式组得到实数a的取值范围． 5－a>0，??解：由对数的概念知?a－2>0，??a－2≠1， a<5，??解得?a>2，??a≠3.
则实数a的取值范围为{a|2＜a＜3或3＜a＜5}．
求下列各式中的x的取值范围： (1)logx＋1(x－2)；(2)logx＋2(x＋2)＝1. 解：根据对数定义中各字母的取值范围来求． x－2>0，??(1)由?x＋1≠1，??x＋1>0， 得x＞2. ??x＋2>0，(2)由?得x＞－2且x≠－1. ?x＋2≠1，? ．求形如logf(x)g(x)的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足g(x)>0，???f(x)>0，??f(x)≠1， 2进而求得x的取值范围． 2．已知含x的对数等式，确定x的值时，易忽视使其真数、底数有意义的x的取值范围，也就是解对数方程不可忽视对所求x值的检验． 二、指数式与对数式的互化
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 1?m1－(1)54＝625；(2)26＝；(3)??3?＝5.73； 641(4)log116??4；(5)log5125?6；(6)log5＝－2. 25思路分析：利用ab＝N?logaN＝b进行互化． 1解：(1)log5625＝4；(2)log2＝－6； 641?－4(3)log15.73?m；(4)??2?＝16； 31－(5)(5)6＝125；(6)52＝. 25 1．用对数式填空： 第2页 36＝729?__________，?9?27???__________， ?4?8??__________. 48答案：log3729＝6 log279211? log644＝－3 432．用指数式填空： log2512＝9?____________，log100.000 1＝－4?__________，log14.2?m?3__________. 1?m－答案：29＝512 104＝0.000 1 ??3?＝4.2 1．logaN＝b与ab＝N(a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量． 2．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图． 三、利用对数的概念、性质以及对数恒等式求值
解答下列各题： (1)求值3log35－1 ； 3(2)若logx27＝，则x＝__________； 2(3)log2(log5x)＝1，则x＝__________； ＋(4)已知loga2＝m，loga3＝n，求am3n的值． 思路分析：根据题目条件，利用对数恒等式、对数的性质以及对数式与指数式的关系分别进行求解． 15log5－1?3log35?3－1＝5×3＝3； 解：(1)3333(2)由logx27＝可得x2?27，即x2?3?92，故x＝9； 2(3)由log2(log5x)＝1可知log5x＝2，所以x＝52＝25； (4)由于loga2＝m，loga3＝n， ∴am＝2，an＝3. ＋∴am3n＝am?a3n＝am?(an)3＝2×33＝54. ＋故am3n＝54.
求解下列各题： (1)若log，则x＝__________； 92(2)若logx(2＋1)＝－1，则x＝__________； －(3)若x＝log23，则4x－2x＝__________. 第3页 26答案：(1)－2 (2)2－1 (3) 3解析：(1)由log11－4x1?4x?0可得9＝1，解得x＝－2； 9211－(2)由logx(2＋1)＝－1可得x1＝2＋1，即＝2＋1，∴x＝＝2－1； x2＋11126－(3)∵x＝log23，∴2x＝3，于是4x－2x＝(2x)2－x＝32－＝. 2331．进行对数式的运算时，一方面要熟练掌握对数恒等式、对数的性质；另一方面还要熟悉指数式与对数式的互化关系． 2．在对数运算中，要注意总结常见幂式的值，以便在计算中灵活应用．
1．把对数式m＝lognq化为指数式是(
)． A．mn＝q
D．qm＝n 答案：B 2．log1x??3，则x等于(
)． 311A．
D．9 279答案：B 3．有以下四个命题： ①若log5x＝3，则x＝15； 1②若log25x＝，则x＝5； 2③若log5x＝0，则x＝5； ④若log1x??3，则x＝125. 5其中真命题的个数为(
D．4 答案：B 解析：只有②和④是真命题，故选B． 4．在对数式log(x－1)(x＋5)中，x的取值范围是__________． 答案：{x|x＞1且x≠2} x－1>0，??解析：依题意有?x－1≠1，解得x＞1且x≠2. ??x＋5>0，5．log1[log3(x?2)]?0，则x＝__________. 2 答案：5 解析：∵log1[log3(x?2)]?0，∴log3(x－2)＝1. 2∴x－2＝3，x＝5.
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