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罗素悖论 - 罗素悖论
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【2017年整理】辐射量子论与物理学危机
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辐射量子论与物理学危机
谭天荣 发表于 -
作者：谭天荣
内容摘要：本文把普朗克的辐射量子论追溯到两个前提：第一，物质辐射是一个个原子辐射的迭加；第二，单个原子的一次辐射是一个“瞬间事件”，从而把它重新纳入经典物理学的框架。随后揭示连续性与不连续性的对立的相互渗透性；又以家族中的“辈分”和必然性的“等级”为例，指出自然界的“层次结构”，并从这种结构出发，考察了两个脍炙人口的科学疑难：数学中的“悖论”与物理学中的“热寂说”。最终从上述考察得出结论：物理学将因“量子”的问世而大难临头。
关键词：经典物理学；辐射量子论；连续性与不连续性；形而上学；实证哲学；辩证法；偶然性与必然性；层次；悖论；热寂说
1900年，普朗克在研究黑体辐射的规律时，找到了一个与实验数据完全符合的公式——普朗克公式。随后，他又从这一公式得出结论：辐射场的能量不是连续地增加，而是跳跃地、一份一份地增加。换句话说，辐射场的能量有一个最小单位，称为“量子”，其能量与辐射的频率成正比，比例系数是一个普适常量，称为“普朗克常量”。普朗克的这种理论现在称为“辐射量子论”。
普朗克的这种理论使得当时的物理学家们极为震惊，例如，爱因斯坦当时就说：“我要使物理学的理论基础同这种认识相适应的一切尝试都失败了。这就像一个人脚下的土地都被抽掉了，使他看不到哪里有可以立足的巩固基地。”
物理学家们认为，“量子”是完全超出经典物理学的崭新的概念，是一个根本违反经典物理学的革命性的概念，它表明能量不再是连续的，从而看到了物理世界不连续的另一面目。
在一本新书（上帝掷骰子吗——量子物理史话，我在互联网上读到这本书）上，作者写道：“（‘量子’）这个假定，推翻了自牛顿以来200多年，曾经被认为是坚固不可摧毁的经典世界。这个假定以及它所衍生出的意义，彻底改变了自古以来人们对世界的最根本的认识。”
“量子”诚然是一个划时代的发现，但它确实推翻了经典物理学吗？
辐射的量子性与物质的原子性
首先我们问：按照经典物理学的基本原理，物质的辐射应该是一个怎样的过程？
从赫芝开始人们就知道谐振子的辐射过程：如果一个谐振子持续地振动，它将连绵不断地发射电磁波，即连绵不断地辐射。在这一过程中，辐射场的能量随时间的改变是一个连续平滑函数。因此在遇到黑体辐射问题时，他们自然想到，辐射场的能量随时间的改变也大致如此。
不幸的是，他们在这里有一点小小的疏忽：辐射将带走能量，在谐振子振动过程中，有一个外部能源持续地向它供应能量。在黑体辐射过程中，辐射源是物质，而物质是由原子组成的，因此，黑体辐射问题可归结为原子的辐射问题。人们设想，在物质的辐射过程中，每个原子中的电子作某种周期运动并因此发射电磁波，从而每个原子的辐射都是一个像谐振子辐射那样的连绵不断的过程，但这样的过程要求有外部能源，因此，他们实际上设想的是如下图景：每一个原子都伴随着一个外部能源，它向该原子源源不断地供给能量；或者有外部能源以其他方式向诸原子供给能量。但人们忘记了，原子过程与宏观过程有一点不同：在宏观过程中，我们可以人为地安排过程的外部条件，其中包括提供外部能源，而在原子过程中，一切过程只能是“自然的”，从而是“自给自足”的，特别是，根本不可能有外部能源。
既然没有外部能源，原子就只能靠自身的能量减少来维持辐射。一个原子的能量是有限的，从而单个原子的辐射也只能是一个有始有终的有限过程。因此，即使按照经典物理学，这一过程也肯定会大大不同于谐振子的辐射过程。
根据辐射量子论，在任意给定的一段时间里，某一黑体发射的某种频率的能量总是某一能量单位?的整数倍。由于单个原子的辐射只能是一个有限过程，如果在这段给定的时间里，黑体中有5个相同的原子先后完成发射，每个原子发射了一份能量e，另外还有一个原子正在发射，但只发射了能量?的一半，则在这一段时间里，黑体发射的能量为5.5e，并不是?的整倍数。因此，仅仅从单个原子的辐射是一个有限过程，由大量原子组成的物质的辐射仍然会是一个连续过程，只不过描写能量随时间增加的曲线或许不太光滑。
如果相对于给定的这段时间，单个原子辐射过程极为短暂，则在这段时间存在某一原子尚未完成辐射过程的概率很小。在极端情形下，如果单个原子辐射过程是一个“瞬间事件”，即它是一个在一瞬间完成的过程，则在这段时间里不可能有原子尚未完成辐射过程。这样，在任意一段时间里，只能有整数个原子完成辐射。而这就得出了普朗克的结论：黑体辐射过程中能量的增加就是跳跃的，一份一份的。
于是我们把普朗克的辐射量子论追溯到如下两个前提：
第一，物质辐射是一个个原子辐射的迭加；
第二，单个原子完成一次辐射是一个“瞬间事件”。
这两个前提
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介绍学习悖论所需的预备知识。1.悖论历史的简要介绍；2.组合性概念及其后果;3.介绍一个最简单的悖论，显示其中的重要结构。
讨论说谎者悖论的各种版本、内部结构和应用。1.介绍说谎者悖论的演变历史、论证方法和变种；2.比较国徽悖论和说谎者悖论，通过比较显示说谎者悖论中的嵌套结构；3.介绍基于说谎者悖论的诡辩。
[第3课]罗素悖论
介绍罗素悖论的建构和解决方案。1.介绍理发师悖论、格雷林悖论、贝里悖论和罗素悖论的构造细节；2.介绍解决罗素悖论的思路。
介绍秃头悖论及其变种、秃头悖论的实际应用和解决方案。1.介绍秃头悖论的各种版本和变种；2.介绍秃头悖论的实际应用，尤其是在伦理学中的应用；3.讨论秃头悖论的解决方案。
介绍知道者悖论的各个版本、解决方案和衍生问题。1.介绍知道者悖论的各个版本；2.分析知道者悖论的内部结构和技巧，提示解决方案要点；3.分析两个衍生问题——帽子问题和黑寡妇问题，通过这两个问题显示知道者悖论中的嵌套结构。
学校：吉林大学
讲师：李大强
授课语言：中文
类型：哲学 中国大学视频公开课
课程简介：“我正在说谎”是真话还是假话？先有鸡还是先有蛋？如何证明白狗是黑色的？为了解救一万人，可以杀死一名无辜者吗？这些问题让我们困扰。悖论不是谬误，不是诡辩，而是隐藏在我们语言和思想中的奇异角落。本课程以生动诙谐的方式介绍了四种经典悖论：说谎者悖论、罗素悖论、秃头悖论和知道者悖论。悖论是语言的魔术，本课程的目的是帮助没有哲学专业背景的普通学习者洞察后台的奥秘。
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周一至周五
9：00&22：00
悖论:对人类理智的挑战
　　一、什么是悖论？ 中国论文网 http://www.xzbu.com/4/view-3959065.htm　　广义地说，“悖论”（Paradox）是指与公认的信念或看法相反的命题，或自相矛盾的命题，或荒谬的理论等。下面的术语常与“悖论”在近似的意义上使用：“二律背反”（Antinomy），如康德关于时空性质的二律背反；“谜题”（Riddle），如古德曼的新归纳之谜；“二难”（Dilemma），如齐硕姆二难；“困境”（Predicament），如囚徒困境；“难题”（Puzzle），如失踪的正方形难题，等等。 　　最早的悖论可追溯到公元前6世纪古希腊克里特岛人埃匹门尼德，他提出了说谎者悖论的最初形式：“所有的克里特岛人都说谎。”若他的话为真，由于他也是克里特岛人之一，则他说谎，故他的话为假。若他的话为假，则有的克里特岛人不说谎，他可能是不说谎的克里特岛人之一，故他的话可能是真。这被载入《圣经·新约》的《提多书》中，因而在西方世俗社会和学术界都很有影响。此后，对悖论的研究一直绵延不绝，至少经历了两个高峰期，一是欧洲中世纪经院哲学家对悖论的研究；一是从19世纪末叶一直延续到今天的悖论研究。 　　在中国先秦时期，庄子提出“吊诡”一说，仍被不少中国学人（特别是台港学者）用作“悖论”的代名词。隐士长牾子对瞿鹊子说：“梦饮酒者，旦而哭泣；梦哭泣者，旦而田猎。方其梦也，不知其梦也。梦之中又占其梦焉，觉而后知其梦也。且有大觉而后知此其大梦也，而愚者自以为觉，窃窃然知之。‘君乎！牧乎！’固哉！丘也与女皆梦也，予谓女梦亦梦也。是其言也，其名为吊诡。万世之后而一遇大圣知其解者，是旦暮遇之也。”（《庄子·齐物论》）他的大意是：人生无常。有一夜，梦饮酒，好快活，哪知早晨醒来大祸临门，一场痛哭。又有一夜，梦伤心事，痛哭一场，哪知早晨醒来出门打猎，快活极了。做梦时不知道在做梦。梦中又做了一个梦，还研究那个梦中梦的凶与吉。后来梦中梦醒了，才晓得那只是一场梦啊。后来的后来，彻底清醒了，才晓得从前的种种经历原来是一场大梦啊。蠢人醒了，自认为真醒了，得意洋洋，说长道短，谈起君贵民贱那一套，真是不可救药的老顽固。你老师孔丘，还有你本人，都是在做梦，只是自己不晓得。我说你们在做梦，也是在梦中说梦话。这样的说法，被称为“吊诡”。我也不能把它们解释清楚。也许等到遥远的将来，碰巧遇到一位有大智慧的人能够把它们彻底解释清楚。 　　更具体地说，“悖论”一词至少有以下四种含义：（1）违反常识，有悖直观，似非而是的真命题，如所谓“无穷小悖论”和“伽利略悖论”。（2）与公认的看法或观点相矛盾的命题或原则，似是而非，但其中潜藏着深刻的思想或哲理，如著名的“芝诺悖论”和康德的四个“二律背反”。（3）从一组看似合理的前提出发，通过有效的逻辑推导，得出了一对自相矛盾的命题，它们与当时普遍接受的常识、直观、理论相冲突，但又不容易弄清楚问题出在哪里，这时我们称导出了悖论，如布拉里—弗蒂悖论、康托尔悖论、里查德悖论等。（4）悖论是指从一组看似合理的前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得出了一个由互相矛盾的命题构成的等价式：pp，如“强化的说谎者悖论”和“罗素悖论”。 　　国内学界对“悖论”一般做很狭义的理解，例如《中国大百科全书·哲学卷》把“悖论”定义为：“指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。这类命题也可以表述为：一个命题A，A蕴含非A，同时非A蕴含A，A与自身的否定非A等值。”[1]我本人持一种比较宽泛的理解：如果从看起来合理的前提出发，通过看起来有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称导出了悖论。用公式表示：p（q∧q）∨（qq），则p是一悖论语句，这个推导过程构成一个悖论。 　　关于悖论，我想指出两点：第一，悖论很好玩。它们已经成为某种形式的思维魔方，老少咸宜，构成智力的挑战，激发理智的兴趣，养成思考的习惯，锻炼思维的智慧，孕育出新的创造性理论。第二，悖论又很难玩。精确地理解悖论，需要掌握一些相关学科的知识；解决悖论更不容易，因为悖论表明：我们思维中某些最基本的概念出了问题，我们思维中某些最根本的原则遇到了麻烦。当试图消解这些悖论时，我们发现：它们牵一发而动全身，消解方案会产生很多意料不到的后果，有些后果甚至比所要消解的悖论更讨厌。这既是悖论的难解之处，也是它们的迷人之处。 　　二、扰人的二难困境 　　其中，古希腊智者普罗泰戈拉与其学生欧提勒士之间的“半费之讼”也许是最著名的，此处略去不谈。我更愿意谈谈有关上帝的二难困境。按一神教（如犹太教、基督教和伊斯兰教）教义，上帝至少有下列实质属性：一是唯一性：只有一个上帝。二是全能：上帝的能力是无限的。三是全知：上帝是无所不知的。四是道德完善：上帝是有爱心的、慈善的、仁慈的和正义的。五是必然存在：不像世界以及其中的每一事物，上帝不会获得存在，也不会停止存在。六是创造性：上帝创造世界并且维持它的存在。七是人格：上帝不是一种纯粹抽象的力量或者能量的源泉，他有理智、理解力和意志。 　　从古至今，从来就不缺少深刻的思想家对这样的上帝观念提出质疑和挑战。例如，在欧洲中世纪，有人对宣扬上帝全能的神学家谈到：您说上帝全能，我请问您一个问题：全能的上帝能不能创造一块他自己举不起来的石头？并进行了下面的推理： 　　P1.如果上帝能创造这样一块石头，则他不是全能的，因为有一块石头他举不起来； 　　P2.如果上帝不能创造这样一块石头，则他不是全能的，因为有一块石头他不能创造； 　　P3.上帝或者能创造这样一块石头，或者不能创造这样一块石头； 　　C.所以，上帝不是全能的。 　　请读者们想一想，上面的石头推理能够证明上帝不是全能的吗？回答恐怕是否定的。 　　假设问一个男人：“你已经停止打你的老婆了吗？”这是一个“复杂问语”，预设了“该男人过去常打老婆”，所问的只是“他打老婆的行为是否停止”；类似地，若问“上帝能否创造一块他自己举不起来的石头”，似乎预先假设了“有一块上帝举不起来的石头”，这等于说“有一件上帝不能做的事情”，这又等于说“上帝不是全能的”。此预设与石头推理所要导出的结论是一回事。于是，该推理就变成了如下的循环论证： 　　如果上帝不是全能的，则他不是全能的； 　　如果上帝不是全能的，则他不是全能的； 　　或者上帝不是全能的，或者他不是全能的； 　　所以，上帝不是全能的。 　　我们还可以把关于石头的问题置换成另一个更显然的问题：“上帝能不能做一件他自己不能做的事情？”在这个问题中，已经预先安置了一个逻辑矛盾：如果上帝真是全能的话，就没有一件事情是他自己不能做的；再问他能不能做一件他不能做的事情，若回答“能”，则意味着“有一件他不能做的事情”；若回答“不能”，似乎也意味着“有一件他不能做的事情”，这都等于说“上帝不是全能的”，都与“上帝是全能的”这个出发前提相矛盾。所以，该提问本身是不合法的，石头推理不能证明“上帝不是全能的”。 　　上面的分析似乎很有道理，但还可以有另一种分析。石头推理的问题不在该提问本身，而在于前提P2。若回答“上帝能创造一块他自己举不起来的石头”，确实预先假设了“有这样一块石头”；不过，若回答“上帝不能创造这样一块石头”，却没有预设“有这样一块石头”，因为我们可以解释说：上帝之所以不能创造这样一块石头，是因为对他来说根本没有一块他自己举不起来的石头，后者的存在违背了预先假定的上帝的全能性。既然石头推理的前提P2有问题，故该推理不成立，结论“上帝不是全能的”仍然推不出来。 　　值得注意的是：即使石头推理真的不成立，我们也仍然面对一些有意思的问题：如何想出别的方式去证明上帝不是全能的？如何去跟上帝的信仰者讲理，说服他们放弃“上帝全能”的信仰？或者更一般地说，理性和信仰之间是什么关系？是像德尔图良（Tertulian，145-220）所主张的那样“因为荒谬，所以信仰”，从而把信仰完全排除在理性的范围之外？还是像安瑟尔谟（Anselmus，）和托马斯·阿奎那（Thomas Aquinas，）那样，尽可能地在理性的范围为信仰去辩护？等等。 　　三、模糊性：连锁悖论 　　早在古希腊时期，麦加拉学派就提出了如下三个疑难：（1）秃头：头上掉一根头发算不算秃头？不算！再掉一根呢？也不算！再掉一根呢？还不算。再掉一根呢？……因此，无论掉多少根头发，即使所有的头发都掉光了，也不会造成秃头。（2）谷堆：一粒谷算不算谷堆？不算！再加一粒呢？也不算！再加一粒呢？还不算。再加一粒呢？……因此，无论加多少谷粒，即使加1万颗谷粒，也不会造成谷堆。（3）一整袋谷子落地没有响声：如果１粒谷子落地没有响声，2粒谷子、3粒谷子落地也没有响声，如此类推，１整袋谷子落地也不会有响声。 　　这类疑难被叫做“连锁悖论”。金岳霖的弟子、华裔美籍学者王浩以数学归纳法的形式提出了此类悖论的另一个版本，在英语文献中被叫做“王悖论”[2]： 　　1是一个小数。 　　如果n是一个小数，则n+1也是一个小数。 　　所以，每一个数都是一个小数。 　　此推理的第一个前提确实是真的。而且，给一个太小的数加1也不会使它变成不小的数，故第二个前提似乎也是真的。例如，既然1是一个小数，则1+1也是一个小数；如果2是一个小数，则3+1也是一个小数；只要有足够的耐心，我们可以不断重复这样的推理步骤，以至于得到100万这个数，按理说它也应该是一个小数，但100万显然不再是一个小数，而是一个大数！我们究竟错在哪里？ 　　与连锁悖论类似的，还有“忒修斯之船”。忒修斯是传说中的雅典国王，在当上国王之前，他曾驾船率人前往克里特岛，成就了一些英雄壮举。人们为了纪念他，一直维修保护那艘船。随着时光流逝，那艘船日渐破旧，人们逐渐更换了船上的甲板，以至于最后更换了它的每一个构件。这时候，人们发出疑问：更换了全部构件的忒修斯之船还是原来那艘船吗？ 　　“忒修斯之船”的悖谬之处在于： 　　（1）如果一艘船仅有部分构件被更换了，那艘船仍然是原来那艘船。 　　（2）如果一艘船的全部构件都被更换了，那艘船不再是原来那艘船。 　　（3）根据（1），如果我们每一次只更换那艘船的很少构件，比如说一个构件，在每一次更换后，那艘船仍然是原来那艘船；直到最后一次更换时仍然如此。 　　（4）根据（2），到最后一次更换时，该艘船的所有构件都被换掉了，那艘船不再是原来那艘船。 　　（5）矛盾：被更换了全部构件的那艘船既是原来那艘船，又不是原来那艘船！ 　　我想指出如下两点： 　　第一，连锁悖论给我们的教训是：微小差别的不断累积和放大，可以造成巨大的差别。试考虑三个数：0.9，1，1.1，后两个数与前面数的差别只有0.1。若让每个数与自身连乘10次，0.9变成了0.31，1仍然是1，1.1变成了2.85，它是0.31的近10倍，1的近三倍！差距就是这样造成的。所以，每个人都必须当心生命过程中的每一步：小胜有可能积成大胜，小过有可能铸成大错！ 　　第二，这类悖论与所谓的“模糊性”或“模糊谓词”有关。模糊谓词在日常语言中是大量存在的，如“光秃的”，以及“大的”和“小的”、“高的”和“矮的”、“美的”和“丑的”、“富有的”和“贫穷的”等。我们通常所遵循的“排中律”“二值原则”对于模糊谓词明显不成立。排中律说：对于任一个体x和任一性质或谓词F，x或者是F或者不是F；二值原则说：对任一语句P，P或者是真的或者是假的。我们通常所奉行的逻辑学、语义学和认识论都是以排中律和二值原则为基础的。但它们在像“秃头”“谷堆”和“美丽的”等模糊谓词这里却遇到麻烦：因为我们找不到确切的界限，去一刀两断地区分“秃头”和“非秃头”、“谷堆”和“非谷堆”、“美丽的”和“不美丽的”等。这是否意味着：我们要去修改标准的逻辑学、语义学和认识论？修改或不修改的理由是什么？会带来哪些后果？这在当代逻辑学和哲学领域中引起了激烈的争论，使“模糊性”（Vagueness）成为当代哲学中的一个热门话题。 　　四、芝诺悖论和无穷之谜 　　古希腊哲学家芝诺曾提出四个关于运动不可能的论证，史称“芝诺悖论”，这里仅谈其中两个： 　　（1）二分法。假设你要达到某个距离的目标。在你穿过这个距离的全部、达到该目标之前，你必须先穿过这个距离的一半；此前，你又必须穿过这一半的一半；此前，你又必须穿过这一半的一半的一半；如此递推，以致无穷。由于你不可能在有限的时间内越过无穷多个点，你甚至无法开始运动，更不可能达到运动的目标。 　　（2）阿基里斯追不上龟。奥林匹克冠军阿基里斯与乌龟赛跑。乌龟先爬行一段距离，比如说10米。在阿基里斯追上乌龟之前，他必须先达到乌龟的出发点。而在这段时间内，乌龟又爬行了一段距离，比如说1米。阿基里斯又要赶上这段距离，而此时间内乌龟又爬行了一段距离，比如说1厘米。于是，阿基里斯距乌龟越来越近，但永远不能真正追上它。 　　我要提醒大家，不要用常识和直观去反驳芝诺悖论。作为哲学家，芝诺肯定是聪明人，他不会否认感觉层面的运动。他所诧异的是：像运动这样神奇的事情是如何发生的？诚如恩格斯所言，芝诺悖论并不是在描述或否认运动的现象和结果，而是要说明和刻画运动如何可能的原因，即如何在理智中、在思维中、在理论中去理解、刻画、把握运动！ 　　并且，芝诺悖论还涉及一个更困难的问题：我们如何在思维中去理解和把握无穷？芝诺本人否认无穷数列和无穷量的真实性。他认为，如果你能表明某个东西涉及无穷，你就可以证明该东西不存在。请注意上面“二分法”论证中关键的一步：“你不可能在有限的时间内越过无穷多个点。”确实，无穷有其奇妙和难解之处，它曾经困惑了一些时代最优秀的大脑。再举两例： 　　（3）伽利略悖论。通常认为， 整体在数量上大于或多于部分。但伽利略发现，假如自然数序列无限延伸，自然数序列与其平方数的序列之间能够建立一一对应，即自然数与作为其中很小一部分的平方数一样多： 　　1， 2， 3， 4， 5， 6， …… n，…… 　　1， 4， 9， 16， 25， 36，…… n2，…… 　　伽利略对此现象迷惑不解，他和后来人在很长时期内不能给出合理的解释。 　　（4）无穷小悖论。17世纪，牛顿、莱布尼茨各自独立地发现了微积分，其理论都建立在无穷小分析之上，但他们对无穷小的理解与运用却是混乱的，遭到了英国大主教贝克莱（George Berkeley，）的猛烈攻击：在牛顿理论中，无穷小有时候像0，如做加项可以消去；有时候又不像0，如可以做分母。贝克莱嘲讽说，无穷小量就像一个“飘动不居的幽灵或鬼魂”。这被叫做“无穷小悖论”，据称引发了所谓的“第二次数学危机”。 　　连大数学家希尔伯特也发出这样的感叹：“无穷！没有任何其他的问题曾如此深刻地触动了人类心灵；没有任何其他观念曾如此有效地刺激了人类理智；也没有任何其他概念比无穷的概念更需要加以澄清。”[3] 　　从古至今，对“无穷”一直有两种根本不同的理解：一种是“实无穷”：作为一个序列是完成了的整体，可以作为一种确定的对象来谈论与研究，可以比较大小。另一种是“潜无穷”：作为一个序列是未完成的，处于不断的构造过程中，不能比较大小，但每一片段都是有限的……德国数学家康托尔（Georg Cantor，）以“实无穷”概念为基础，建立了集合论和超穷数理论，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的”。按康托尔的定义，一集合A是无穷集，当且仅当，在A与其真子集B之间能够建立一一对应。假设有一家旅店，它仅有有穷多个房间，被有穷多位客人住满了，又来了有穷多位客人要求住店。旅店老板只好对那些客人说：对不起，我的旅店住满了，请你们到其他旅店看一看，欢迎下次光临！再假设另有一家旅馆，叫“希尔伯特旅馆”，它有无穷多个房间，被无穷多位客人住满了，又来了无穷多位客人要求住店。该店老板可不愿意让到手的生意跑掉，于是他对新来的客人说：请你们等一下。然后，他利用内部声讯系统发话：请已经住店的旅客注意，现在新来了一批客人要求住店，请你们配合一下，搬到你们所住房间号码乘2的那个房间里去。于是，神奇的事情发生了： 　　原有的房间号码：1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16…… 　　原有旅客搬住的房间号码：2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16， 18， 20，…… 　　新到旅客入住的房间号码：1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15， 17， 19， 21…… 　　既然自然数序列无穷，故其偶数序列无穷，奇数序列也无穷。通常用0来表示自然数集的基数。任何能与自然数集建立一一对应的集合的基数都是0，自然数的任一无穷真子集的基数也是0。任一有穷数加0等于0，任何有穷数乘0等于0，0乘0等于0。更奇妙的是，无穷还可以分等级和大小。可以这样说：人类对“无穷”的探索远没有结束！ 　　五、逻辑—数学悖论 　　其中最著名的是“罗素悖论”，由当时才二十多岁的伯特兰·罗素在1901年发现。根据素朴集合论的概括规则，由下述条件可定义一集合S：对任一x而言，x∈S当且仅当xx。在此条件中用S替换x，得到悖论性结果：S∈S当且仅当SS。这个悖论只涉及“集合”“集合的元素”等简单概念。可以用自然语言复述如下： 　　把所有集合分为两类：一是正常集合，例如所有中国人组成的集合，所有自然数组成的集合，所有英文字母组成的集合。这里，“中国人的集合”不是一个中国人，“自然数的集合”不是一个自然数，“英文字母的集合”不是一个英文字母，故这类集合的特点是：集合本身不能作为自己的一个元素。二是非正常集合，例如所有集合所组成的集合，所有抽象东西的集合。这里，“所有集合所组成的集合”也是一个集合，“所有抽象东西的集合”也是一个抽象的东西，故这类集合的特点是：集合本身可以作为自己的一个元素。现假设由所有正常集合组成一个大集合S，那么S本身究竟属不属于S？或者说S究竟是一个正常集合还是一个非正常集合？如果S属于自身，则S是非正常集合，所以它不应该是由所有正常集合组成的集合S的一个元素，即S不属于它自身；如果S不属于它自身，则它是一正常集合，所以它是由所有正常集合组成的集合S的一个元素。于是，得到一个结果：S属于S自身当且仅当S不属于S自身。悖论！ 　　1902年6月，罗素给德国数学家兼哲学家弗雷格（Gottlob Frege， ）写了一封信，告知了这个结果。弗雷格立刻认识到问题的严重性，当时他的《算术的基本规律》第二卷马上就要出版，他赶紧采取一些补救措施：加写了“跋语”，报告了这个悖论，并且说道：“在工作结束之后，却发现自己建造的大厦的基础之一被动摇了，对于一个科学家来说，没有任何事情比这更为不幸的了……恰好在本卷的印刷即将完成之时，罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。”[4] 　　在1903年出版的《数学的原则》一书中，罗素写了一个附录，第一次对弗雷格从《概念文字》到《算术基本规律》等著作做了广泛而详尽的评论，也谈到了他所发现的悖论。罗素晚年写道：“每当我想到正直而又充满魅力的行动时，我意识到没有什么能与弗雷格对真理的献身相媲美。他毕生的工作即将大功告成，其大部分著作曾被能力远不如他的人所遗忘。他的第二卷著作正准备出版，一发现自己的基本设定出了错，他马上报以理智的愉悦，而竭力压制个人的失望之情。这几乎是超乎寻常的，对于一个致力于创造性的工作和知识，而不是力图支配别人和出名的人来说，这有力地说明了这样的人所能达到的境界。”[5] 　　后来，罗素对这个悖论做了更通俗的表述：假设某村庄有一位理发师，他规定：给并且只给本村庄中不给自己刮胡子的人刮胡子。那么，他究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，则按照他的规定，他不应给他自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，也按照他的规定，他应该给他自己刮胡子。由此得到悖论性结果：他给自己刮胡子，当且仅当，他不给自己刮胡子。这被叫做“理发师悖论”。但是，人们可以很容易找出摆脱此悖论的途径：或者这位理发师不是该村村民，他提出的规定对他本人不适用；或者是该村村民，则有两种可能性：他颁布了一条自己无法执行的规定，等于说了一句疯话；或者，她是一位女士，不必给自己刮胡子。在其他悖论的情况下，常常不那么容易去否定导致悖论的某个前提或结论。故理发师悖论与“罗素悖论”无法相提并论。 　　还有许多类似的悖论，它们涉及逻辑学、集合论和数学的一些基本概念，如类、集合、元素、属于关系、基数、序数等，统称“逻辑—数学悖论”。 　　六、语义悖论 　　“语义悖论”是与许多语义学概念——如意义、指称、外延、定义、满足、真、假——相关的悖论。 　　（1）说谎者悖论。如前所述，从埃匹门尼德所说的“所有的克里特岛人都说谎”为真，能推出它为假，但从它为假却不能必然推出它为真。公元前四世纪，欧布里德斯将其改述为“强化的说谎者悖论”：一个人说了唯一一句话，即“我正在说假话”。可以推知，这句话是真的当且仅当它是假的。悖论！ 　　说谎者悖论在当时就引起广泛关注。据说，科斯的斐勒塔潜心研究这个悖论，结果把身体也弄坏了，瘦骨嶙峋，为了防止被风刮跑，不得不在身上带上铁球和石块，但最后还是因积劳成疾而一命呜呼。为提醒后人免蹈覆辙，他的墓碑上写道： 　　科斯的斐勒塔是我， 　　使我致死的是说谎者， 　　无数个不眠之夜造成了这个结果。 　　欧洲中世纪逻辑学家研究了说谎者悖论的许多变体。仅举两种类型： 　　一种是“明信片悖论”。一张明信片的一面写有一句话：“本明信片背面的那句话是真的。”翻过明信片，只见背面的那句话是：“本明信片正面的那句话是假的。”无论从哪句话出发，最后都会得到悖论性结果：该明信片上的某句话为真当且仅当该句话为假。明信片悖论可以扩展为转圈悖论，如：苏格拉底说“柏拉图说假话”，柏拉图说“西塞罗说假话”，西塞罗说“苏格拉底说假话”。苏格拉底究竟是说真话还是说假话？ 　　另一种可以叫做“经验悖论”。给出几个命题，根据常识和经验，可以确定一些命题的真假，另一个命题的真假却不能凭经验或常识确定，而要靠它自身确定：如果它是真的，则可逻辑地推出它是假的；如果它是假的，则可逻辑地推出它是真的。例如： 　　第一，有唯一一个选言命题：“2+2=5或者这个选言命题是假的。”由于该选言命题的一个选言支2+2=5明显为假，则该选言命题是否为真就取决于它的另一个选言支“这个选言命题是假的”是否为真。可以推知：此选言支为真当且仅当它为假。 　　第二，2×2=4并且这个联言命题是假的。 　　第三，仅有三个命题：所有人都是傻瓜；雪是黑的；这里的每一个命题都是假的。 　　第四，仅有四个命题：人是动物；雪是白的；独角兽不存在；除最后一个命题外，其他每一个命题都是真的。 　　第五，仅有五个命题：A、B是真的，C、D是假的，E=“这里假命题比真命题多”。 　　在此类悖论中，一组命题的真假取决于其中一个支命题的真假，后者就像一个砝码一样：它的真假决定了整个命题的真假。但这个支命题却迂回地说自己为假，从而导致悖论。我给它们杜撰了一个名称——“砝码悖论”。 　　（2）里查德悖论。由法国人理查德（J. Richard）于1905年发现。任一语句都是用可重复的法语或其他语言的字母加上若干其他符号或空位构成的有穷长的符号序列。试设想：由能用有穷长语句加以定义的一切十进位小数组成一个集合E，并且令E中的元素按字典顺序排列为E1，E2，E3，……，En，……，且令En=0.xn1xn2xn3……xnn……，这里xnn表示E中第n个小数的小数点之后的第n位数。另外构造一个无限十进位小数N=0.y1y2y3……yn……，并将yn定义为：如果xnn=1，则令yn≠1；若xnn≠1，则令yn=1，也就是说使每一个yn都不同于xnn。N是能用有穷长的语句定义的无限十进位小数，而E是由所有能用有穷长语句加以定义的无限十进位小数的集合，故N∈E。但是，由N的定义知，N与E中的任一个十进位小数都有一个有穷差值，故N与E中的任一个十进位小数都不同，所以NE。由此导致悖论。据说，理查德悖论的一个变形为哥德尔证明其不完全性定理提供了思路。 　　（3）贝里悖论。据罗素称，这个悖论是由剑桥大学的图书馆员贝里（G. Berry）于1906年发现的。它原来是用英语表述的，为合乎汉语习惯，改用汉语表述：“用少于十八个汉字不能命名的最小整数”，这个摹状词本身只有十七个汉字，它却命名了这个最小整数，矛盾！有这样的说法，贝里悖论是“理查德悖论的一种深刻和天才的简化”，它以极其简单明了的形式揭示了日常语言概念所潜藏的矛盾。 　　（4）格雷林悖论。由德国人格雷林（K. Grelling）于1908年提出，亦称“非自谓悖论”。可以把所有的形容词分为两类：一类是对自身适用的，如“pentasyllabic”（5个音节的），“中文的”“短的”；一类是对自身不适用的，如“monosyllabic”（单音节的），“英文的”“红色的”。前一类词称为“自谓的”，后一类称为“非自谓的”。人们通常认为，任一形容词不是自谓的就是非自谓的。现在考虑“非自谓的”这个形容词：假如它是自谓的，即适用于自身的，则它是非自谓的；假如它是非自谓的，它也适用于自身，则它是自谓的。其结果是：“非自谓的”是自谓的，当且仅当，它是非自谓的。悖论！ 　　七、休谟问题和新归纳之谜 　　英国哲学家休谟（ ）从经验论立场出发，对因果关系的客观性提出了根本性质疑，其中隐含着对归纳合理性的质疑。他的这个怀疑主义论证，在哲学史上产生了深远的影响，史称“休谟问题”，亦称“归纳问题”。我将其重构如下： 　　（1）思维的全部材料来自于知觉（Perception），知觉包括印象和观念，印象是最强烈和最生动的，观念则是印象的摹本。 　　（2）人类理智的对象分为“观念的联系”和“实际的事情”；人类知识也分为“关于观念间联系的知识”和“关于实际事情的知识”。 　　（3）前一类知识仅凭直观或演证就能发现其确实性如何。 　　（4）后一类知识的确实性不能凭借直观或演证来确证，而是建立在因果关系上的。 　　（5）一切因果推理都是建立在经验上的，因为原因与结果是不同的事件，结果并不包含于原因中；无论对原因做多么精细的观察与分析，都不可能找出其结果。 　　（6）因果关系包括三个要素：时空上相互邻近，时间上先后相继，以及必然性，其中“必然性”是经验观察中所没有的。 　　（7）因果推理必须依赖于如下的“类似原则”或“自然齐一律”：“……我们所没有经验过的例子必然类似于我们所经验过的例子，而自然的进程是永远一致地保持不变的。” 　　（8）对自然齐一律无法提供演证式的证明：“因为自然的进程可以改变，虽然一个对象与我们以前经验过的对象相似，但它也可能被不同或相反的结果所伴随，这里并不蕴含矛盾。” 　　（9）对自然齐一律也不能提供或然性论证，因为或然性是“建立在我们所经验过的那些对象与我们所没有经验过的那些对象互相类似那样一个假设上的。所以，这种假设决不能来自于或然性”。否则，就是循环论证和无穷倒退，它们在逻辑上是无效的。 　　（10）对自然齐一律的证明也不能通过诉诸一个对象“产生出”另一个对象的“能力”来进行，因为“能力”概念来自于对一些对象的可感性质的观察，由观察做出推断时必须依赖自然齐一律。 　　（11）因此，自然齐一律没有得到有效的证明。 　　（12）所以，以自然齐一律为基础的因果推理也不是逻辑上有效的推理，因为有可能做如下设想：作为原因的事件发生，而作为结果的事件不发生；当其前提为真时，其结论有可能为假。 　　休谟由此得出了他的最后结论：“由此看来，不但我们的理性不能帮助我们发现原因和结果的最终联系，而且即使在经验给我们指出它们的恒常结合以后，我们也不能凭自己的理性使自己相信，我们为什么把那种经验扩大到我们所观察的那些特殊事例之外。我们只能假设，却永远不能证明，我们所经验过的那些对象必然类似于我们所未曾发现的那些对象。”[6] 　　休谟论证主要是针对因果关系的，但其中包含一个对归纳推理的怀疑主义论证。重构如下：（1）归纳推理不能得到演绎主义的证成。因为在归纳推理中，存在着两个逻辑的跳跃：一是从实际观察到的有限事例跳到了涉及潜无穷对象的全称结论；二是从过去、现在的经验跳到了对未来的预测。而这两者都没有演绎逻辑的保证，因为适用于有限的不一定适用于无限，并且将来与过去和现在可能有所不同。（2）归纳推理的有效性也不能归纳地证明，例如根据归纳法在实践中的成功去证明归纳，就要用到归纳推理，因此导致无穷倒退或循环论证。（3）归纳推理要以普遍因果律和自然齐一律为基础，而这两者的客观真理性并未得到证明。因为感官最多告诉我们过去一直如此，并没有告诉我们将来仍然如此；并且，感官告诉我们的只是现象间的先后关系和恒常汇合，而不是具有必然性的因果关系；因果律和自然齐一律没有经验的证据，只不过出自人们的习惯性的心理联想。“习惯是人生的伟大指导”[7]。 　　休谟对因果必然性和归纳合理性的质疑，最终涉及到“普遍必然的经验知识是否可能？如何可能？”的问题，涉及到人类的认识能力及其限度等根本性问题。因此，他的诘难是深刻的，极富挑战性，得到了哲学家和逻辑学家的高度重视，迄今为止仍没有满意的解决方案，以至有人说：“归纳法是自然科学的胜利，却是哲学的耻辱。”[8] 　　“亨佩尔悖论”（亦称“乌鸦悖论”“确证悖论”）、“古德曼悖论”（“绿蓝悖论”）、“凯伯格悖论”（“彩票悖论”）是“休谟问题”的现代变形，它们统称“新归纳之谜”。 　　八、认知悖论 　　（1）美诺悖论。在与苏格拉底的对话中，美诺论证说：研究不可能进行，因为“一个人既不能研究他所知道的东西，也不能研究他不知道的东西。他不能研究他所知道的东西，因为他知道它，无需再研究；他也不能研究他不知道的事情，因为他不知道他要研究的是什么”[9]。为明确起见，将该论证整理如下： 　　P1.如果你知道你所寻求的东西，研究是不必要的。 　　P2.如果你不知道你所寻求的东西，研究是不可能的。 　　C.所以，研究或者是不必要的，或者是不可能的。 　　现在的问题是：美诺的论证有效吗？我的回答将是否定的。 　　该论证有一个隐含前提：或者你知道你所寻求的东西，或者你不知道你所寻求的东西。仅从形式上看，这是一个逻辑真理，倘若“你知道你所知道的东西”在两个析取支中没有歧义的话。但问题恰恰是，它有如下歧义： 　　（A）你知道你所探究的那个问题； 　　（B）你知道那个问题的答案。 　　在（A）的意义上，P2是真的，但P1是假的；在（B）的意义上，P1是真的，但P2是假的。于是，两个前提不能在同一意义上是真的；从一对真的前提，即（P1B）和（P2A），推不出任何结论，因为其中有歧义性。 　　为了看清楚其中的歧义性，考虑这样一个问题：“你有可能知道你不知道的东西吗？”在一种意义上，答案是否定的，因为你不可能同时既知道又不知道同一个东西；但在另一种意义上，答案是肯定的，你可以知道你对之尚没有答案的那个问题，因此研究有可能进行。你知道你要求回答但尚没有答案的那个问题，你遵循正确的程序去回答该问题，最后你知道了你先前不知道的东西，即该问题的答案。 　　于是，美诺的论证是有缺陷的，它犯了歧义性谬误。但柏拉图没有简单地拒斥美诺悖论，而是由此发展出一套“学习就是回忆”的哲学学说。 　　（2）序言悖论。麦金森构造了一个“序言悖论”[10]：一位严肃认真的学者，通常会相信：“我在书中所写的每一句话都是真的”，因为假如他不认为它们为真的话，他就不会把它们写进他的书中。但是，他通常又会在序言中，在对有关人士如妻子、师友、秘书、编辑表示感谢之后，预先对书中“在所难免”的错误向读者表示歉意。即是说，他相信“我的书中至少有一句话是假的”。麦金森指出，这两个信念是不一致的。 　　序言悖论的关键在于： 　　第一，“Bp∧Bq→B（p∧q）”这个信念合取原则是否成立？即是说，如果一个人相信p并且相信q，那么，他是否相信p和q合取？ 　　第二，信念Bp或Bq是否得到证成（Justification）？ 　　凯伯格（H. Kyburg）拒绝信念合取原则。在这一点上，许多哲学家接受他的看法，并得出结论说：拥有搁在一起不一致的信念并不是不合理的；由此提出了一个有关该悖论本性的有意思的问题：如果允许不一致的信念的话，悖论将如何改变我们的心智？因为一个悖论常被定义为这样的一组命题：单个地看，它们都是合乎情理的；但搁在一起，它们却是不一致的。悖论迫使我们以高度结构化的方式去改变我们的心智。例如，关于信念的证成有下面四个命题： 　　（a）一个信念只能由另一个信念来证成。 　　（b）不存在（或不允许）循环的证成链条。 　　（c）所有的证成链条都是有穷长的。 　　（d）有些信念得到了证成。 　　许多认识论家认为，这四个命题不能同时成立。基础论者拒斥（a），他们认为某些命题或者因为理性的原因或者因为经验的原因是自明的。融贯论者拒斥（b），他们容忍某些形式的循环推理。例如，古德曼（N.Goodman）把反思的平衡方法（The method of reflective equilibrium）刻画为“良性循环”。皮尔士（C.S.Peirce， ）拒斥（c），他相信，既然允许无穷长的因果链条，也就应该允许无穷长的证成链条，后者并不比前者更不可能。最后，有些认识论的无政府主义者或者取消论者拒斥（d），例如取消论者认为，像格雷林悖论中“非自谓的”是一个病态的谓词意义，“得到证成的”也不是一个真正的谓词，因此“有些句子是得到证成的”也是一个病态句，没有真假可言。 　　如果像凯伯格所主张的那样，相互不一致的信念在理性上是可容忍的，那么，这些哲学家为什么还要费心去提供关于序言悖论的解决方案？可能的回答也许是：规模效应。如果一对矛盾稀释在一个大的理论体系中，它就不那么触目惊心，因而是可允许的。但是，如果一对矛盾集中显现在少数几个命题中，那就过于碍眼，因而必须以某种方式消解掉，但这种解释很难行得通。如果容忍相互不一致的信念，就必须在一个理论中容忍明显的或隐含的矛盾。对这一点却必须给出充足的理由。 　　（3）意外考试悖论。此悖论有不同的版本，下面的版本最早由英国学者奥康纳提出[11]：某教授对学生们说，下周我将对你们做一次出其不意的考试，它将安排在下周一至周六的某一天，但你们不可能预先推知究竟在哪一天。显然，这样的考试是可以实施的。但有学生却通过逻辑推理去论证说，该考试不可能安排在周六。因为，如果安排它在周六，则周一至周五都未考试，就可推算出在周六，故该考试不再出其不意。同样，该考试也不可能安排在周五。因为，如果它被安排在周五，则周一至周四都未考试，学生们就可预先推算出在周五或周六；已知不可能在周六考试，因此只能在周五，该考试也不再出其不意。类似地，可证明其余四天都不可能安排考试。学生最后得出结论：这样的考试不可能进行。我们由此得到一个悖论：这样的考试既可以实施，又不可能进行。但该教授确实在该周的随便某一天宣布：现在开始考试！这也确实大大出乎学生们的意料之外。 　　九、决策和合理行动的悖论 　　在现实生活中，我们常常需要做出某种决定，从而采取某种行动。我们的决定和行动常常基于某些明显的或隐含的看似合理的原则，但从这些原则出发，却会导致某种违反直观、经验、常识的结果，或者会导致自相矛盾的结果。这就是在决策和行动领域出现的“悖论”。 　　第一，赌徒的谬误。玩轮盘赌的很多赌徒以为，在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑色数字上，他们就可以赢了。 　　如果事件A的结果影响到事件B，就说B“依赖”于A。例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。在日常生活中“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件，如北京明天下雨的概率与奥巴马明天早餐吃鸡蛋的概率无关。某对夫妇在生了六个女孩之后，下一次还生女孩的概率仍然是1/2。在轮盘赌中，下一次赌数是红色的概率仍然是1/2。掷骰子时，下一次掷出2的概率仍然是1/6。为了让问题更明朗，假定一个男孩扔硬币，扔了5次正面朝上。若再扔一次，正面朝上的概率仍与先前一样：1/2。硬币对于它过去的结果是没有“记忆”的。 　　大多数人很难相信一个独立事件的概率由于某种原因不会受临近的同类独立事件的影响，因而易犯“赌徒谬误”。据说，在第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身，因为他们确信，炮弹不大可能一个接一个地落在同一个坑里，故新炮弹命中老弹坑的可能性较大，老弹坑比新弹坑更危险，新弹坑在一段时间内将会相对安全一些。 　　第二，投票悖论。亦称“选举悖论”，最早由法国人孔多塞（M. de Condorcet， ）提出。它表明，少数服从多数原则，在某些情况下将导致矛盾的结果。假设三个人抽象地一致同意，他们中的某个人应该享有某种特权。不过，在任何情形下，这三个人中的另外两个人都不想让第三个人享有这种特权。由此导致悖论： 　　（1）应该去做多数人同意的事情。 　　（2）每一个人都同意：他们三个人中的一人应该做X。 　　（3）根据（1）和（2），他们三个人中的一人将做X。 　　（4）多数人反对成员甲去做X。 　　（5）根据（1）和（4），成员甲不应该做X。 　　（6）（4）和（5）中的推理对于成员乙和丙也成立。根据多数原则（1），他们也不会做X。 　　（7）根据（5）和（6），他们三人中没有人将做X。 　　（8）（7）与（3）矛盾。 　　这里，[（1）（2）（4）加上它的两个类似者]构成一个不协调的组合。但是，（2）（4）和（4）的类似者只不过是给定的事实，而（1）最多不过是一个合乎情理的原则。很清楚，为了恢复一致性或协调性，应该放弃（1），或者说，应该给少数服从多数的原则附加上一些限制条件。问题是如何为它设计合理的限制条件。 　　第三，“胆量比赛”悖论。胆量比赛（Chicken）起源于美国大萧条时代，流行于1950年代，常在未成年人之间进行。两个未成年人高速开车，在狭窄的路面上迎头相遇，每个开车人有两个选择：向右转弯，或者继续朝前开以至迎头相撞。由此导致的可能性列表如下： 　　由此导致如下的“胆量比赛悖论”： 　　（1）在进行博弈时，博弈参与者应该采用能够提供获胜机会的策略。 　　（2）在这种情形下，只有坚持照常开，博弈参与者才有获胜的机会。 　　（3）根据（1）和（2），两名博弈参与者都会选择照常开。 　　（4）在一场博弈中，没有任何理性的决策者会为了像“获胜”这样无足轻重的事情去冒丢掉性命的危险。 　　（5）只有通过向右转，该博弈参与者才能确保不发生灾难。 　　（6）所以，两名博弈参与者都会选择向右转。 　　（7）（6）和（3）矛盾。 　　消解该悖论的途径是：假设博弈参与者都是理性的或明智的人，这样的人通常不会为了一个无足轻重的“获胜”而以命相搏。 　　第四，纽康姆悖论。由美国物理学家威廉·纽康姆（William Newcomb）于1960年设计，后由哈佛大学哲学家罗伯特·诺齐克（Robert Nozick）在《纽康姆问题和两个选择原则》一文（1969）中发表，并依据博弈论原理对它做了初步分析。 　　该悖论是这样的[12]： 　　假设一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。他带着一个设备来研究人的大脑。他可以预言，每个人在二者择一时会选择哪一个，其预言准确率达90%以上。他用两个箱子检验了很多人。箱子A是透明的，里面总是装1000美元。箱子B不透明，它要么装100万美元，要么空着。欧米加告诉每一个受试者：你有两种选择，一是你拿走两个箱子，可以获得其中的东西。当我预计你这样做时，我会让箱子 B 空着，你只能得到1000美元。另一种选择是你只拿箱子 B。当我预计你这样做时，我将把100万美元提前放进箱子B中；你将得到两个箱子内的全部美元，即100万加1000美元。当你做选择的时候，你必须遵守两条规则：（1）在实验结束时拿走尽可能多的钱；（2）不能借助于你的心理过程之外的其他手段，如抛掷硬币，来做出你的决定。 　　又假设：有一个男孩和一个女孩。该男孩决定只拿箱子B，其理由是：我看见欧米加试了几百次，每次他都预测正确。凡是拿两个箱子的人，只能得到1000美元。所以，我决定只拿箱子B，变成一位百万富翁也不错。该女孩要拿两个箱子，其理由是：欧米加已经做出预测，并且已经把钱放进箱子里。如果箱子是空的，它还是空的；如果里面有钱，它仍然有钱。这种状况再不会改变。我要拿两个箱子，以便得到里面所有的钱。 　　请你思考一下：你认为谁的决定是正确的？两种决定不可能都是正确的。那么，谁的决定是错误的？它为什么是错误的？男孩只拿 B 箱的决定似乎很有道理，但也有风险：由于欧米加预测的准确率不是100%，仅为90%，故有这样的可能性：他预测错了，以为男孩会拿两个箱子，因而没有在 B 箱内放钱；由于该男孩没有拿 A 箱，他有可能什么也拿不到。这是一个小概率事件，但并非完全不可能。该女孩的决定也有道理，因为欧米加已经走了，他的预测和决定已经做出。如果箱子里有钱，它仍然有钱；如果它空着，它还是空着。这是无法再改变的事实。如果B箱中有钱，女孩只拿B箱，她得到100万美元。如果她拿两个箱子，则会得到100万加1000美元。如果B箱空着，她只拿B箱，她什么也得不到。但如果她拿两个箱子，她至少得到1000美元。因此，在每一种情况下，女孩拿两个箱子都将多得1000美元。但该女孩面临的危险是：由于欧米加预测的正确率达90%，他可能提前预测到女孩会这么做，故他让B箱空着，女孩只能得到1000美元。假如她不是那么贪心的话，一开始就打定主意只拿B箱，她本来有90%的机会得到100万美元。 　　这个悖论是哲学家经常争论的预言悖论中最棘手的一个，涉及预测、自由意志、博弈论的最优选择原则等问题。据说，对它的反应公平地区分出：愿意拿两个箱子的人是自由意志论的信徒，愿意只拿箱子B的人是决定论（宿命论）的信徒。另一些人不同意这样的说法，争辩道：不管未来是完全被决定的还是非完全被决定的，这个悖论所要求的条件都是自相矛盾的，无法同时满足。 　　十、悖论研究的意义 　　初看起来，上面所谈到的这些悖论近乎一些违背常识和直观的“胡说八道”，好像一只猫咬着自己的尾巴乱转，最后把自己弄得晕头转向，自己不认得自己了。 　　我认为，悖论（特别是严格意义的逻辑悖论）的产生，至少与如下三个因素有关：自我指称、否定性概念以及总体和无限。尽管不能说这三个因素必定导致悖论，但悖论中一般有这三个因素。而一个合适的悖论解决方案至少要满足如下要求：（1）让悖论消失，至少是将其隔离。这是基于一个根深蒂固的信念：思维中不能允许逻辑矛盾，而悖论是一种特殊的逻辑矛盾。（2）有一套可行的技术性方案。悖论是一种系统性存在物，再简单的悖论也是从公认的背景知识经逻辑推导构造出来的。因此，当提出一种悖论解决方案时，我们不得不从整个理论体系的需要出发，小心翼翼地处理该方案与该理论各个部分或环节的关系，一步一步地把该方案全部实现出来，最后成为一套完整的技术性架构。（3）从哲学上对其合理性做出证成或说明。若没有经过批判性思考和论战的洗礼，一套精巧复杂的技术性架构也无异于独断、教条、迷信，而无批判的大脑是滋生此类东西的最好土壤。 　　为什么要关注和研究这些悖论？我可以列出如下一些理由：（1）悖论以触目惊心的形式向我们展示了：我们的看似合理、有效的“共识”“前提”“推理规则”在某些地方出了问题，我们思维的最基本的概念和原则在某些地方潜藏着风险。揭示问题总要比掩盖问题好。（2）通过对悖论的思考，我们的前辈提出了不少解决方案，由此产生了许多新的理论，它们各有利弊。通过对这些理论的再思考，可以锻炼我们的思维，由此激发出新的智慧。（3）根据悖论的不断发现和解决去重新审视和叙述科学史与哲学史，不失为一种独特的视角。（4）对各种已发现和新发现的悖论的思考，可以激发我们去创造新的科学或哲学理论，由此推动科学的繁荣和进步。（5）更重要的是，通过对悖论的关注和思考，我们可以养成一种温和的、健康的怀疑主义态度，从而避免教条主义和独断论。这种健康的怀疑主义态度有利于科学、社会和人生。 　　让我们偶尔也玩一玩“悖论”这类思维的魔方吧，以锻炼智慧，提升境界，修养身心。 　　（本文系作者应邀在国内十多所大学所做的讲演整理修改而成） 　　注释： 　　[1]《中国大百科全书·哲学卷》（第1卷）第33页，[北京] 中国大百科全书出版社1987年版。 　　[2]参见Michael Dummett （1975）. Wang’s Paradox， Synthese 30 （3-4）：201-32. 　　[3]引自贝纳塞拉夫等编：《数学哲学》第212页，[北京]商务印书馆2003年版。 　　[4]The Frege Reader， ed. by Michael Beaney， Blackwell Publishers， 1997， pp.279-280. 　　[5]Van Heijenoort， J. （ed.）： From Frege to Gdel， Harvard University Press， 1967， pp.124-128. 　　[6][英] 休 谟：《人性论》（上册）第109页，关文运译，[北京]商务印书馆1997年版。 　　[7][英]休 谟：《人类理智研究 道德原理研究》第43页，周晓亮译，[沈阳]沈阳出版社2001年版。 　　[8]参见洪谦主编：《逻辑经验主义》第257页，[北京]商务印书馆1989年版。 　　[9]苗力田主编：《古希腊哲学》第250页，[北京]中国人民大学出版社1989年版。 　　[10]Makinson， D. C. （1965）. The Paradox of the Preface， Analysis 25 （6）：205-207. 　　[11]O’Connor， M. I. （1948）. Pragmatic paradoxes， Mind 57：316-329. 　　[12]参见《科学美国人》编辑部编著：《从惊讶到思考——数学悖论奇景》第29-32页，李思一等译，[北京]科学技术文献出版社1984年版。
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