吴国平：高考数学线性规划问题难度不大，但为何很多人都错了？
什么是线性规划问题？
定义目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，就统称为线性规划问题。
线性规划的问题应用比较广泛，题目非常灵活,常和其他知识交叉融合让学生进行求解,所以对学生的学习能力是一次考验。因此，线性规划问题也成为高考数学一个热点和“分值增长点”。
高考数学考查线性规划类问题，主要基于课本上的基础知识内容，同时又高于课本的知识难度，蕴含大量的数学思想方法，如数形结合思想等等。加上线性规划问题能与实际生活问题进行良好结合，能很好考查考生运用知识解决实际问题能力水平的高低，所以线性规划问题在高考中的分值越来越大,逐渐受到更多的重视。
总体来说运用二元一次不等式相关知识来解决线性规划问题，难度不大，只要认真学习，都能拿到相应的分数。下面，我们就一起从高中数学中的线性规划问题入手，对高中数学中有关线性规划的问题做一个综合学习，针对其中的具体问题逐一做具体分析，总结学习方法，希望能帮助到打击的学习。
首先要掌握好线性规划中相关的基本概念：
1、约束条件：由变量x，y组成的不等式(组)
2、线性约束条件：由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
3、目标函数：关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
4、线性目标函数：关于x，y的一次解析式
5、可行解：满足线性约束条件的解(x，y)
6、可行域：所有可行解组成的集合
7、最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解
8、线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
典型例题分析1：
某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)
A．1 800元　 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
解：设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，
相应的利润为z元，
平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．[答案]　C
线性规划本质上是解决最大值或最小值问题，而最值问题恰恰是现实生活当中遇到的问题，也就是我们常说的最优解问题。
如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是。
特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个。
典型例题分析2：
解决线性规划问题，我们一定要抓住函数的本质，如求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义。
常见的目标函数有：
1、截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－ax/b＋z/b，通过求直线的截距bz的最值间接求出z的最值．
2、距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝（y-b）/（x-a）.
注意：转化的等价性及几何意义.
同时，大家更要记住的是与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：
1、设未知数，确定线性约束条件及目标函数；
2、转化为线性规划模型；
3、解该线性规划问题，求出最优解；
4、调整最优解．
典型例题分析3：
某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)
＝2x＋3y＋300.
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简单的线性规划问题
[导读]一、教材分析 二、目标分析 三、教学过程分析 四、教法分析 五、评价分析 （一）教材所处的地位及作用 一、教材分析 1．简单的线性规划是在学生学习了直线方程的基础上， 介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对传 统纯知识传授的一个改革,体现了理论联系实际，并最...
一、教材分析
二、目标分析
三、教学过程分析
四、教法分析
五、评价分析
（一）教材所处的地位及作用
一、教材分析
1．简单的线性规划是在学生学习了直线方程的基础上，
介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对传
统纯知识传授的一个改革,体现了理论联系实际，并最
终为实践服务的指导思想。
2．线性规划用途非常广泛，如生产制造、市场营销、银
行贷款、股票行情统筹运输、电话资费、电脑上网、
数字化部队定位系统等等热点问题中，都可以用它作
为工具，来得出决策的依据，解决实际问题，这就给
学生提供了一个学数学用数学的机会。
3．中学所学的线性规划只是极小的一部分，它仅讨论了
二元变量的简单线性问题的求解。新高考大纲对这一
部分的要求是“了解并会简单运用”，未在大题中涉及
这一内容，故教学不宜过深过难；但这一方法体现了
数学中转化的思想，应加以注意，提升学生的思维品质。(二)教学的重点、难点、关键
本节的重点是二元一次不等式组表示平面区域，建立数学模型，用图解法确定最优解；
其难点在于建模及最优解的确定。具体对本课时而言，它的重点是建模和确定最优解，难点是如何建模和如何确定最优解。
突破难点的关键是利用多媒体手段，化静为动，动静结合，轻松观察求解。
二、目标分析
中学生正处于由形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，
一方面，他们思维活跃，喜欢探索；另一方面，本节知识
比较抽象，难以理解透彻，但它蕴含的数学思想丰富。基
于此，故制定如下目标，以期达到：
1.知识目标：
使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。
2.能力目标：
培养学生观察、分析、联想、以及作图的能
力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生
自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
3.情感目标：
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神。
(三)教材处理
本节是直线方程的一个简单的应用，教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域，再通过实例，介绍了有关概念和图解法，并利用几道实例说明其在实际中的应用。根据新大纲和新教材，我把本小节分为三课时进行教学：第一课时讲二元一次不等式表示平面区域；第二课时讲图解法的一般解法和如何建模确定最优解；第三课时讲如何求整点解及线性规划在实际生活中的应用。
创设情境，激情引入
例题：某工厂生产甲乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t.每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t.假若你是决策者,你如何确定甲乙两种产品应各生产多少,才能使利润总额达到最大？
三、教学过程分析
2.巩固旧知，引入新知
然后作l0：2x＋y=0,l1：2x＋y=1,
l2：2x＋y=2,并观察直线的位置关系。当x、y满足不
等式组时，求z=2x+y的最大值和最小值。（即教材引例）
为了解决上面的问题，首先让学生画出下列不等式组
所表示的平面区域，
3.活动尝试，合理猜想
事先将学生分成6组至8组，让学生探讨一段时间后，请学生回答探讨的结果，此时应把所有不同的答案都罗列出来。
4．演示课件，突破难点
同时利用直线的截距式方程 :
从理论的角度说明，因为在两坐标轴上的截距都逐渐增大，故t 增大，因而t 在A、B两点处分别能取最大和最小。此时自然地引入几个基本的概念。
通过《几何画板》演示，让学生自己观察分析并检验结论。由学生观察分析得出结论，并完成引例。
于是，当x、y满足不等式时，易求在A点t最大，在B点t最小。故
zmax=2×5＋2=12,
zmin=2×1＋1=3。
5．变式训练，形成技能
当z=x＋3y时， zmin和zmax有变化吗？（同上
先讨论后演示再总结）
通过学生的积极参与及多媒体手段的运用，使
一个平淡的方法传授变成一个生动有趣的问题解决过程.例3有如下几个问题需要解决：
（1）如何从冗长的文字题中提取信息；
（2）如何利用信息建立函数模型；
（3）直线方程中常数值较大时如何画图；
（4）如何找到最优解。
问题（1）看似简单，而实际上学生在这里耽误的时
间往往很多，要解决它不是一朝一夕的事情，
题可以降低难度，通过列表让学生填空来
达到目的，并引导学生今后学会采取类似方法
提取信息。
问题（2）和问题（1）一样，要视具体情况而定小结时可说“一般是问什么便设什么，然后再根据条件列不等式（组）”。
问题（3）可结合课件中的图形，把单位刻度的数值适当设定大一点。
问题（4）因为方法前面已经讲过，只需在课件中演示即可。
6．联系实际，解决问题
例题：某工厂生产甲乙两种产品，已知生产甲种产品1t 需耗A种矿石10t ，B种矿石5t ，煤4t；生产乙种产品1 t 需耗A种矿石4t ，B种矿石4t ，煤9t.　每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t , B种矿石不超过200t , 煤不超过360t . 甲乙两种产品各应生产多少（精确到0.1t),能使利润总额达到最大？
简单的线性规划问题
品德与社会
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单项选择题对于线性规划问题，下列说法正确的是（）
A.线性规划问题可能没有可行解
B.在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是&凸&区域
C.线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达
D.上述说法都正确
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