二重积分计算习题_中华文本库
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二重积分的计算——习题解析与相关练习 习题解析与相关练习y 利用极坐标计算二重积分 ∫∫ arctan dσ 作业 P366 x D 2 2 2 2 其中D是由圆周 x + y = 4, x + y = 1 其中D及直线y= 0，y= x所围成的在第一象限内 及直线y= 0， x所围成的在第一象限内 的闭区域。 的闭区域。解： 在极坐标系中， 在极坐标系中，于是y D = {(r , θ ) |1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ }, arctan = θ 4 x yπ∫∫ arctan x dσD D= ∫∫ θ ? rdrdθ = ∫ θ dθ ∫ rdr4 0 1π21 π 1 3 = ( ) 2 ? (22 - 1) = π 2 2 4 2 64[知识整理 知识整理] 知识整理（1） 直角坐标系下二重积分的计算 ） I、 x 型区域（先y后x） 、 型区域（V = ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫a Db?2 ( x )?1 ( x )f ( x, y ) dyII、 y 型区域（先x后y） 、 型区域（V = ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫c D dψ2 ( y)ψ1 ( y )f ( x, y)dxIII、方法与步骤 、绘出区域D的图形 的图形： ① 绘出区域 的图形： 确定积分限： ② 确定积分限： 计算积分： ③ 计算积分： 利用奇偶性简化运算。 ④ 利用奇偶性简化运算。（2） 极坐标系下二重积分的计算 ）∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cos θ , r sin θ )rdrdθD Ohm注： 计算二重积分可利用区域D的对称性和被积函 计算二重积分可利用区域 的对称性和被积函 数的奇偶性简化计算。 数的奇偶性简化计算。对 ID =∫∫ f (x, y)dxdyD有 y f(x,y)是 的偶函数（ 函数） f(x,y)是x、y的偶函数（奇函数） xx 关于x D关于x、y轴对称 y⊕2I D / 2 => I D = 4I D / 4 2I D / 2 ( I D = 0)例1求以xOy面上的圆域 求以xOy面上的圆域 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} xOy 为底， 圆柱面2 2 x + y = 1 为侧面 ， 抛物面 z = 2 - x - y2 2为顶的曲顶柱体的体积。 并在极坐标系下求其二重积分值 为顶的曲顶柱体的体积。z2解：如图所示，所求曲顶柱体的体积为 如图所示，V = ∫∫ (2 - x 2 - y 2 )dσD其中积分区域D可表示为 其中积分区域DO x y D = {( x, y ) | - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2 , -1 ≤ x ≤ 1}由D的对称性及被积函数f ( x, y ) = 2 - x - y22关于x 关于x，y均为偶函数可知 V = 4 其中2∫∫ (2 - xD12- y ) dσ2D1 = {( x, y ) | 0 ≤ y ≤ 1 - x , 0 ≤ x ≤ 1}1 1- x 2 3 2 (2 - x 2 - y 2 )dy = 4∫ [ 1 - x 2 + (1 - x 2 ) 2 ]dx 0 3 1为D在第一象限部分，于是 在第一象限部分，V = 4∫ dx ∫π002 = 4 ∫ (cos t + cos 4 t )dt 3 1 π 2 3 1 π 3 = 4( ? + ? ? ? ) = π 2 2 3 4 2 2 22 0 2解法2： 极坐标系下解） 解法 ：（极坐标系下解）在极坐标系中，闭区域D可表示为 在极坐标系中，闭区域DD = {(r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π }于是V = ∫ dθ ∫ (2 - r )rdr2 0 02π1r 1 = ∫ [r - ]
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请教一道二重积分的题,∫∫x^2ydxdy,D={(x,y)|x^2+y^2
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转换到极坐标系D={(x,y)|x²+y²≤4,x≥0, y≥0}={(r,θ)|r≤2, 0≤θ≤π/2}∫∫(D)x²ydxdy=∫∫(D) r²cos²θrsinθrdrdθ=∫(0,π/2) cos²θsinθdθ ∫(0,2)r^4dr=-∫(0,π/2) cos²θd(cosθ)*[(r^5)/5]|(0,2)=-(cos³θ/3)|(0,π/2)*(32/5)=32/15
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刘玉琏 ,傅沛仁编《数学分析》(本科用 ,下册 )的第 31 8页中有如下的例题及其解法 :例　将二重积 Ｒｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ化为按不同积分次序的累次积分 ,其中Ｒ是由圆周ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 ,直线ｘ =0和抛物线 ｙ =ｒｘ -ｘ2 所围成 (ｘ≥ 0 ,ｙ≥ 0 ,如图 1所示 )的区域。解　 Ｒｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘｄｙ =∫ｒ0 ｄｘ∫ ｒ2 -ｘ2ｒｘ-ｘ2 ｆ(ｘ ,ｙ)ｄｙ=∫ｒｒ24ｄｙ∫ ｒ2 -ｙ20 ｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘ+ ∫ｒ240 ｄｙ∫12 ｒ-ｒ2 -4 ｙ0 ｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘ+ ∫ｒ240 ｄｙ∫ ｒ2 -ｙ212 ｒ+ｒ2 -4ｙｆ(ｘ ,ｙ)ｄｘ
( 1 )一般情况下 ,式 ( 1 )的右端累次积分未必成立 ,例如取 ｆ(ｘ ...&
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0引言二重积分?Df(x,y)d x d y的几何意义是曲顶柱体的体积,其物理意义是平面不均匀薄片的质量,它也是计算三重积分和更高重积分的基础,由此可见二重积分有很强的应用背景.直角坐标系下二重积分的计算方法是,根据积分区域的形状为X-型区域D={(x,y)|φ}1(x)≤y≤φ2(x),a≤x≤b或者Y-型区域D={(x,y)|ψ1(y)≤x≤ψ2(y),c≤y≤d},将它化为累次积分后,再利用定积分的Newton-Leibnitz公式计算.对于在极坐标下的二重积分,几乎所有教材都只给出“扇形”区域(即θ-型区域)Δ={(r,θ)|r}1(θ)≤r≤r2(θ),α≤θ≤β上二重积分的例题和习题.本文中,笔者主要讨论断环区域(即R-型区域)Δ={(r,θ)|θ}1(r)≤θ≤θ2(r),a≤r≤b上二重积分的计算.1断环区域上二重积分的计算公式引理1[1-2]若f(x,y)在xy平面的闭区域D上可积,又设极坐标变换x=r cos...&
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微分与积分是微积分中的两个基本内容。积分教学举足轻重,影响全局,积分教学的质量影响到整个微积分教学的质量。传统的积分教学都是以几何模型展开的(以计算曲边梯形的面积引进定积分,以计算曲顶柱体的体积引进二重积分)。这种教学的优点是直观,学生易于接受,且容易用微元分析法由计算曲顶柱体的体积将二重积分化为二次积分。但这种教学方法有较大的局限性,主要的缺点是无法用几何模型引进三重积分,也无法用几何方法将三重积分化为三次积分。 本文介绍了以物理模型为主线组织积分教学的方法,主要介绍将二重积分化为二次积分,将三重积分化为三次积分的方法,这种教学方法克服了教学的局限性,保留了传统教学中积分教学的优越性。 一、各种积分的物理意义 积分的一个物理意义是物体的质量。定积分的物理意义是占有z轴上区间[口,6],以厂(z)(厂(z)∈c■,6])为线密度的直线段的质量;二重积分的物理意义是占有平面有界闭区域D,以厂(z,y)(/@,.),)∈C(D))为...&
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在二重积分的计算中，经常使用的方法是化二重积分为累次积分。当积分区域为矩形、被积函数可分离变量时，有如下定理。［定理］若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］可积，ｇ（ｙ）［ｃ，ｄ］可积，则二元函数ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）在平面区域Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ａ≤ｘ≤ｂ，ｃ≤ｙ≤ｄ｝可积，且?Ｄｆ（ｘ）ｇ（ｙ）ｄｘｄｙ＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ∫ｄｃｇ（ｙ）ｄｙ（１）我们用该定理简化了一些函数的二重积分的计算。实际上，（１）式还可应用在数学分析的其它部分。本文就该定理在定积分不等式上的应用作一探讨。考察下面例题。［例１］设ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的正值连续函数，试证不等式∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ·∫ｂａ１ｆ（ｘ）ｄｘ≥（ｂ－ａ）２［解］设Ｉ＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ·∫ｂａ１ｆ（ｘ）ｄｘ，函数ｆ（ｘ）和１ｆ（ｘ）满足定理条件，由（１）式得Ｉ＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ·∫ｂａ１ｆ（ｙ）ｄｙ＝?Ｄｆ（ｘ）ｆ（ｙ）ｄｘｄｙ，这里Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ａ≤ｘ≤ｂ，ａ≤ｙ≤ｂ｝。同理可得Ｉ＝∫ｂａｆ（ｙ...&
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变量代换是计算二重积分的一种有效方法。用不用变量代换的办法,不仅是计算简便和繁杂的间题,而且有时也是能否得出计简结果的问题,所以必须很好掌握。本文仅从一典型例子出发,说明在二重积分的变量代换中,除了常用的极坐标这一特殊变量代换外,有时还需要作其它的变量代换.虽然实现二重积分的变量代换的途径有多种,但选取变换的标准首先应考虑使积分区域化简,从而使积分限容易安排,同时被积函数也易于求累次积分。 二重积分的变量代换公式为: 设f(劣,咎)在平面的有界闭区域D上连续,且 (1)连续可微函数x~x(u,,),忿=万(u,v)把D双方单值地变到区域D。,:,_、~一,‘,,一,D(x,万),,、。,_澳一L艺,稚月汤仃到我了~万丈不丁不万节V位L,“,二联丛,则11,(X,,,‘X‘,一Jl‘〔·‘一,,,‘一,」,‘,‘·‘二D刀.,求JJ‘、‘+、、,dxd,,其中”是由坐标轴及抛物线“了十“‘-所围成的区域。 解法一在直角坐标系中计算...&
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在一般情况下,我们都是利用定积分来解决二重积分,将二重积分转化为累次积分,而累次积分实质就是两个定积分。在这里将介绍利用二重积分解决有关定积分的问题的一种方法。命题:如果函数f(x)在区间[a,b]上可积,而g(y)在[c,d]上可积,则二元函数F(x,y)=f(x)g(y)在矩形域D=[a,b;c,d]上可积。相应地有:Df(x)g(y)dxdy=∫abf(x)dx∫cdg(y)dy例1设f(x)在[0,1]上连续,试证:∫01ef(x)dx·∫01e-f(x)≥1证:∫01ef(x)dx∫01e-f(x)dx=∫01ef(x)dx∫01e-f(y)dy=Def(x)e-f(y)dxdy=∫01ef(y)dy∫01e-f(x)dx=De-f(x)ef(y)dxdy∴2Def(x)e-f(y)dxdy=Def(x)e-f(y)dxdy+De-f(x)ef(y)dxdy=Def(x)e(y)+ef(y)ef(x)dxdy=De2f...&
(本文共2页)
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