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《复变函数论》试题库及答案
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《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.
)2.有界整函数必在整个复平面为常数.
)3.若{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛.
)f'(z)?0，则f(z)?C（常数）.
4.若f(z)在区域D内解析，且5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.
)6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点.
)7.若z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.
)8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D).
)9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?Cf(z)dz?0.(
10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（
）二.填空题（20分）dz?__________.（n为自然数） 1、 ?n|z?z0|?1(z?z)022sinz?cosz? _________. 2.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?4.设?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________. n5.幂级数?nzn?0的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.z1
?z2?...?zn?limzn??n??n??n7.若，则______________. limezRes(n,0)?z8.________，其中n为自然数. sinz9. 的孤立奇点为________ . zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若0是.三.计算题（40分）：f(z)?1. 设1(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式. 1dz.?|z|?1cosz2.3?2?7??1f(z)??d?C??z3.
设，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).w?4. 求复数z?1z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数为常数.2. 试证
: f(z)?f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.
《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1.
若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.(
cos z与sin z在复平面内有界.
若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.
有界整函数必为常数.
如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.
若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.
)7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0. C(
若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛.
若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.
)11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,.... n?12n2n(
填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则limf(z)?________. 3. dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）?n?04.
幂级数?nzn的收敛半径为__________ .5.
若z0是f(z)的m阶零点且m&0，则z0是f'(z)的_____零点.6.
函数ez的周期为__________.7.
方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8.
设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________. 1?z29.
函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.z?110. Res(4,1)?____. z三. 计算题. (40分)31.
求函数sin(2z)的幂级数展开式.2.
在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）?ii3.
计算积分：I的右半圆.4. 求 sinzz?2(z?2)2.四. 证明题. (20分)1.
设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.2.
试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1.
cos z与sin z的周期均为2k?.
若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析.
若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.
若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛.
若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.
若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.
如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析,且|f(z)|?1(|z|?1),则|f(z)|?1(|z|?1).
若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.(
若z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点.
)10. 若z0是f(z)的可去奇点，则Res(f(z),z0)?0.
)二. 填空题. (20分)11.
设f(z)?2，则f(z)的定义域为___________. z?1z2.
函数e的周期为_________.n?213.
若zn??i(1?)n，则limzn?__________. n??1?nn4.
sin2z?cos2z?___________. dz?_________.（n为自然数） 5.
?|z?z0|?1(z?z)n
幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?0?7.
设1f(z)?2，则f(z)的孤立奇点有__________. z?1z8.
设e??1，则z?___.9.
若z0是f(z)的极点，则limf(z)?___. z?z0ez10. Res(n,0)?____. z三. 计算题. (40分)1.
将函数f(z)?ze在圆环域0?z??内展为Laurent级数. 12zn!n2.
试求幂级数?nz的收敛半径.n?nezdz3.
算下列积分：?Cz2(z2?9)，其中C是|z|?1.4.
求z9???2z6?z2?8z?2?0在|z|&1内根的个数.四.
证明题. (20分)1.
函数f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内为常数.2.
设使得当|f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，z|?R时|f(z)|?M|z|n，证明
f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数》考试试题（四）一.
判断题. (20分)1.
若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.
若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.
函数sinz与cosz在整个复平面内有界.
）4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0.（
）lim5. 若z?z0f(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.
若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)?0，则f(z)在D内恒为常数.
如果z0是f(z)的本性奇点，则z?z8.
若9. 若f(z)一定不存在.
） 0f(z0)?0,f(n)(z0)?0，则z0为f(z)的n阶零点.
） f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则f(z)在0?|z|???内解析，则 f(z)?g(z),z?D.
） 10. 若Res(f(z),0)??Res(f(z),?).
）二. 填空题. (20分)11. 设z?，则Rez?__,Imz?___. 1?iz1?z2?...?zn?______________. n??n??n3.
函数ez的周期为__________.14.
函数f(z)?的幂级数展开式为__________ 21?z5.
若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.6.
若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 2.
若limzn??，则lim7.
设C:|z|?1，则?(z?1)dz?___. Csinz8.
的孤立奇点为________. z9.
若z0是f(z)的极点，则limf(z)?___. z?z010.
ezRes(n,0)?_____________. z三.
计算题. (40分)31. 解方程z?1?0.
设f(z)?2，求Res(f(z),?). z?13. z?|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .11?z4.
函数f(z)?e?1z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分)1. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2.
证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.
《复变函数》考试试题（五）一. 判断题.（20分）1.
若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （
若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.
若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.
若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.
若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析.
）6. 若limf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点.
若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析.
若z0是 f(z)在复平面上解析，若它有界，则必f(z)为常数.
）f(z)的一级极点，则z?z0 Res(f(z),z0)?lim(z?z0)f(z).
）10. 若f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则f(z)?g(z),z?D.
）二. 填空题.（20分）1.
?1?，则|z|?__,argz?__,?__. ?___时，ez为实数. z??1，则z?___. ez的周期为___.z|?1，则?(z?1)dz?___. C5.
设C:|ez?1,0)?____. 6.
若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。18.
函数f(z)?的幂级数展开式为_________. 1?z2sinz9.
的孤立奇点为________. z110.
设C是以为a心，r为半径的圆周，则?C(z?a)ndz?___.（n为自然数）三. 计算题. (40分)z?11. 求复数的实部与虚部. z?12.
计算积分：I??Rezdz， L在这里L表示连接原点到1?i的直线段.3.4. d?求积分：I??01?2acos??a2，其中0&a&1. 应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|&1内根的个数，在这里?(z)在2?|z|?1上解析，并且|?(z)|?1.四. 证明题. (20分)1.
证明函数2.
设f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微. f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，z|?R时 使得当||f(z)|?M|z|n，证明:
f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题（六）一、判断题（30分）：1. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. （
）2. 若函数f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件，则f(z)在z0解析.
）3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件. （
）4. 若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f?(z)?0(?z?D). （
）5. 若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有（
）6. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0.?Cf(z)dz?0.（
）7. 若f?(z)?0(?z?D)，则函数f(z)在是D内的单叶函数.（
）8. 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1的m阶极点.（
） f(z)9. 如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1),则f(z)?1(z?1).（
）10. sinz?1(?z?C).（
）二、填空题（20分） ??n?21?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn12. 设f(z)?2，则f(z)的定义域为____________________________. z?13. 函数sinz的周期为_______________________. 1. 若zn?4. sin2z?cos2z?_______________________.5. 幂级数?nzn?0??n的收敛半径为________________.6. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________.8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.9. 方程2z?z?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________. 5310. 公式e?cosx?isinx称为_____________________.三、计算题（30分） ix?2?i?1、lim??. n???6?3?2?7??12、设f(z)??d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),i). z?1nsinz34、求函数在0?z??内的罗朗展式. 6z5、求复数w?6、求e?i3z?1的实部与虚部. z?1?的值.四、证明题（20分）1、 方程z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.2、 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.3、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是
7631的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题（七）一、判断题（24分）1. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个领域内可导.（
）2. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件.（
）3. 如果z0是f(z)的可去奇点，则limf(z)一定存在且等于零.（
） z?z04. 若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则f?(z)?0(?z?D).（
）5. 若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（
）6. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（
）7. 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是二、填空题（20分） 1的m阶极点.（
） f(z)11?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nnz2. 设f(z)?2，则f(z)的定义域为____________________________. z?11. 若zn?sin3. 函数e的周期为______________.4. zsin2z?cos2z?_______________.5. 幂级数?n2zn的收敛半径为________________.n?0??26. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________.8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.9. 方程3z?z?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________. 83ez10. Res(n,0)?_________________. z三、计算题（30分）1、
求?. 3?2?7??12、 设f(z)??d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),0). z4、求函数22z在1?z?2内的罗朗展式. (z?1)(z?1)5、求复数w?z?1的实部与虚部. z?16、利用留数定理计算积分：四、证明题（20分） ?32?0dx，(a?1). a?cosx1、方程24z?9z?6z?z?1?0在单位圆内的根的个数为7.2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，f(z)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.3、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘z:z?1,Imz?0保形映射为w平面的单位圆盘w:w?1
7631的m阶极点. f(z)????《复变函数》考试试题（八）一、判断题（20分）1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.（
）2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（
）3、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（
） z?z04、若函数f(z)是区域D内解析，并且f?(z)?0(?z?D)，则f(z)是区域D的单叶函数.（
）5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（
）6、若函数f(z)是单连通区域D内的每一点均可导，则它在D内有任意阶导数.（
）7、若函数f(z)在区域D内解析且f?(z)?0，则f(z)在D内恒为常数.（
）8. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f(111)?0且f()?,n?1,2,n?12n2n.（
）9. 如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1)，则f(z)?z?1).（
）10. sinz是一个有界函数.（
）二、填空题（20分）1、若zn???n?21?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn2、设f(z)?lnz，则f(z)的定义域为____________________________.3、函数sinz的周期为______________.4、若limzn??，则limn??z1?z2?n??n?zn?_______________.5、幂级数?nzn?0??n5的收敛半径为________________.6、函数f(z)?1的幂级数展开式为______________________________. 21?z1?C(z?z0)ndz?______________. 7、若C是单位圆周，n是自然数，则8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________.9、方程15z?z?4z?8?0在单位圆内的零点个数为___________. 53210、若f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________________. 1?z21dz 2?i?z?3(z?1)(z?4)三、计算题（30分） 1、求z?1ez?1sinzdz?3?2?7??12、设f(z)??d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),?). z?14、求函数z?10?z???内的罗朗展式. 2(z?1)(z?
2)5、求复数w?z?1的实部与虚部. z?163四、证明题（20分） 1、方程15z?5z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为7.2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内连续，则二元函数u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.4、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的区域?z:0?argz?71的m阶极点. f(z)??4???保形映射为w平面的单位圆盘5??w:w?1?.
《复变函数》考试试题（九）一、判断题（20分）1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（
）2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（
）3、如果z0是f(z)的极点，则limf(z)一定存在且等于无穷大.（
） z?z04、若函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有（
） ?Cf(z)dz?0.5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（
）6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒为常数.（
）7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1的m阶极点.（
） f(z)（.
） z)?1(z?8、如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1)，则f(9、lime??.（
） z??z??10、如果函数f(z)在z?1内解析，则f(z?f(z（
） z?1z?1二、填空题（20分）12?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn12、设f(z)?，则f(z)的定义域为____________________________. sinz3、函数sinz的周期为______________. 1、若zn?sin4、sinz?cosz?_______________.5、幂级数22?nzn?0??n的收敛半径为________________.6、若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________.8、函数f(z)?的不解析点之集为__________.9、方程20z?11z?3z?5?0在单位圆内的零点个数为___________. 83ez10、Res(2,1)?_________________. z?1三、计算题（30分）n?2?i?1、lim?? n???6?3?2?7??12、设f(z)??d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),?i). z?14、求函数z在1?z?2内的罗朗展式. (z?1)(z?2)z?1的实部与虚部. z?15、 求复数w?6、 利用留数定理计算积分四、证明题（20分） ?????x2?x?2dx. 42x?10x?91、方程z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，u(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.7、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将z平面上的带开区域?z:盘w:w?1.
7631的m阶极点. f(z)?????Imz???保形映射为w平面的单位圆2???《复变函数》考试试题（十）一、判断题（40分）：1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.（
）2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（
） z?z03、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.（
）4、cosz与sinz在复平面内有界.（
）5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点.（
）6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析.（
）7、若limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（
） z?z08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(x)dz?0.（
）9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（
）10、若函数f(z)在区域D内解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（
）二、填空题（20分）：1、函数e的周期为_________________.2、幂级数nnz?的和函数为_________________.n?0??z3、设f(z)?1，则f(z)的定义域为_________________. 2z?14、?nzn?0??n的收敛半径为_________________.ez5、Res(n,0)=_________________. z三、计算题（40分）：1、zzdz. (9?z2)(z?i)eiz,?i). 2、求Res(1?z23
、?. 4、设u(x,y)?ln(x?y). 求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足22nnf(1?i)?ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）.45、求z?5z?1?0，在z?1内根的个数.
《复变函数》考试试题（十一）一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零.
）2．若z0是多项式P(z)?anz?an?1znn?1? ?a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（
）3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（
）4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （
）5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0.
） z??二、填空题.（每题2分）1．i?i?i?i?i? _____________________.2．设z?x?iy?z??,?0，且???arg23456?2?y?ara?，当x?0,y?0时，x2yarg?arc?n________________. x1223．函数w?将z平面上的曲线(x?1)?y?1变成w平面上的曲线______________. z4．方程z?a?0(a?0)的不同的根为________________.5．(1?i)___________________.6．级数i44?[2?(?1)]znn?0?2的收敛半径为____________________.7．cosnz在z?n（n为正整数）内零点的个数为_____________________.8．函数f(z)?6sinz?z(z?6)的零点z?0的阶数为_____________________.9．设a为函数f(z)?336?(z)的一阶极点，且?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0，则?(z)Resz?af?(z)?_____________________. f(z)f?(z)?_____________________. f(z)10．设a为函数f(z)的m阶极点，则Resz?a三、计算题（50分）1ln(x2?y2)。求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且21满足f(1?i)?ln2.其中z?D（D为复平面内的区域）.（15分） 21．设u(x,y)?2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分）（1） tanz；
（2）3．计算下列积分.（15分） 2e.
（5分） ez?11z?1z19（1）?， dz
（8分）z?4(z2?1)4(z4?2)3（2）??0d?
（7分）. 1?cos2?7424．叙述儒歇定理并讨论方程z?5z?z?2?0在z?1内根的个数.（10分）四、证明题（20分）1．设f(z)?u(x,y)iv?x(,y)析函数.（10分）2．设函数f(z)在z?R内解析，令M(r)?f(z),(0?r?R)。证明：M(r)在区z?r是上半复平面内的解析函数，证明f(z)是下半复平面内的解间[0,R)上是一个上升函数，且若存在r1及r2（0?r1?r2?R），使M(r1)?M(r2)，则 f(z)?常数.（10分）
《复变函数》考试试题（十二）二、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）1．设复数z1?x1?iy1及z2?x2?iy2，若x1?x2或y1?y2，则称z1与z2是相等的复数。（
）2．函数f(z)?Rez在复平面上处处可微。
）223．sinz?cosz?1且sinz?1,cosz?1。
）4．设函数f(z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域D?D??D上连续，则存在M?0，使得对任意的z?D，有f(z)?M。
）5．若函数f(z)是非常的整函数，则f(z)必是有界函数。（
）二、填空题。（每题2分）1．i?i?i?i?i? _____________________。2．设z?x?iy?z??,?0，且???arg23456?2?y?ara?，当x?0,y?0时，x2yarg?arc?n________________。 x3．若已知f(z)?x(1?11则其关于变量z的表达式为__________。 )?iy(1?)，x2?y2x2?y24
以z?________________为支点。5．若lnz??2i，则z?_______________。6．z?1dz?________________。 z2467．级数1?z?z?z?的收敛半径为________________。8．cosnz在z?n（n为正整数）内零点的个数为_______________。9．若z?a为函数f(z)的一个本质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，则z?a是1的________________奇点。 f(z)10．设a为函数f(z)的n阶极点，则Resz?af?(z)?_____________________。 f(z)三、计算题（50分）1．设区域D是沿正实轴割开的z
平面，求函数w?在D
??1的单值连续解析分支在z?1?i处之值。 （10分）2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分）（1）f(z)?Lnz的各解析分支在z?1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分）
z2?1ez（2）求Resn?1。
（5分） z?0z3．计算下列积分。（15分）z7（1）?， dz
（8分）z?2(z2?1)3(z2?2)（2）?????x2dx(x2?a2)2。 (a?0)
（7分）64．叙述儒歇定理并讨论方程z?6z?10?0在z?1内根的个数。（10分）四、证明题（20分）1．讨论函数f(z)?e在复平面上的解析性。
（10分）2．证明： z1znez?d?zn2
??()。 n?C2?in!??n!此处C是围绕原点的一条简单曲线。（10分）
《复变函数》考试试题（十三）一、填空题．（每题２分）１．设z?r(cos??isin?)，则1?_____________________． zz?z0２．设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则limf(z)?A的充要条件是_______________________．３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_________________________．z?a４．设z?a为f(z)的极点，则limf(z)?____________________．５．设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)?1，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________． 21?z７．设z?a?z?a?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设z??sin??6?icos?6，则z的三角表示为_________________________． ９．?40zcoszdz?___________________________． e?z１０．设f(z)?2，则f(z)在z?0处的留数为________________________． z二、计算题．１．计算下列各题．（９分）(1) cosi；
(2) ln(?2?3i);
(3) 32．求解方程z?8?0．（７分）３．设u?x?y?xy，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之（８分） f(i)??1?i．４．计算积分．（10分）(1)(2) 223?i 3?C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲线． ?1?i0[(x?y)?ix2]dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i． 1分别在圆环域0?z?1和1?z?2内展开为洛朗级(z?1)(z?2)５．试将函数f(z)?数．（８分）６．计算下列积分．（８分） 5z?2(1) ?dz；
(2) z?2z(z?1)2x2７．计算积分?（８分） dx．??1?x4??sin2z?z?4z2(z?1)dz．８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）(1) ?nzn?1?n?1(?1)nn；
(2) ?z． n!n?1?2９．讨论f(z)?z的可导性和解析性．（６分）三、证明题．１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)为常数，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明??b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）
《复变函数》考试试题（十四）一、填空题．（每题２分）１．设z?r(cos??isin?)，则z?___________________．２．设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则limf(z)?A的充z?z0n要条件______________________．３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_________________________．z?a４．设z?a为f(z)的可去奇点，limf(z)?____________________．５．设f(z)?z(e?1)，则z?0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)?2z21，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________． 21?z７．设z?a?z?a?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设z?sin??icos?，则z的三角表示为_________________________． ９．?1?i0zezdz?___________________________． 2１０．设f(z)?zsin1，则f(z)在z?0处的留数为________________________． z二、计算题．１．计算下列各题．（９分）(1) Ln(?3?4i)；
(2) e3?1??i6;
(3) (1?i)1?i 2．求解方程z?2?0．（７分）３．设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之f(2)??i．（８分）４．计算积分?1?i0[(x?y)?ix2]dz，其中路径为（１）自原点到点1?i的直线段；(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i．（10分） ５．试将函数f(z)?1在z?1的邻域内的泰勒展开式．（８分） (z?2)６．计算下列积分．（８分） z2?2dz． (1) ?dz；
(2) ?z?2z?4z2(z?3)?2(z?)2sinz７．计算积分?n2?0d?．（６分） 5?3cos??８．求下列幂级数的收敛半径．（６分） (n!)2n(1) ?(1?i)z；
(2) ?nz．n?1nn?1?n９．设f(z)?my?nxy?i(x?lxy)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分）三、证明题．１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分） ２．试证明??b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）
3232试卷一至十四参考答案
《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√
6．√ ７．×８．×９．×10．×二．填空题1. ??2?in?1?0n?1 ；
2k?，(k?z)；
8. 1(n?1)!；
0；三．计算题.1. 解
因为0?z?1, 所以0?z?1f(z)?1(z?1)(z?2)?11?z?1??2(1?z?zn?1??(z)n.)n?02n?0222. 解
因为z??Resf(z)?limz??cosz?lim1??1,2z??2z??2?sinzz??Resf(z)?limz????cosz?lim1?1. 2z??2z???2?sinz所以1z?2cosz?2?i(Resf(z)?Resf(z)?0z????.2z?23. 解 令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内,
f(z)???(?)c??z?2?i?(z).所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).4. 解 令z?a?bi, 则w?z?12z?1?1z?1?12a(?1?bi)2a(?1)b2(a?12)?b2?1(a?21)?b2a(?21)?. 1
2b故 Re(z?12(a?1)z?12b, . )?1?Im()?2222z?1(a?1)?bz?1(a?1)?b四. 证明题.1. 证明 设在D内f(z)?C.令f(z)?u?iv,则f(z)?u2?v2?c2. 2两边分别对x,y求偏导数, 得
??uux?vvx?0?uuy?vvy?0(1) (2)因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为?uux?vvx?022.
消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, vy?0.所以u?c1,v?c2.
(c1,c2为常数).所以f(z)?c1?ic2为常数.2.
证明f(z)?22的支点为z?0,1. 于是割去线段0?Rez?1的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以
f(z)??. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2?i?支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,
故f(?1)?2?. 2
《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×.二. 填空题1.1，??2， i；
2. 3?(1?sin2)i；
3. ??2?in?1；
5. m?1. 0n?1?6. 2k?i，(k?z).
10. 0.三. 计算题(?1)n(2z3)2n?1?(?1)n22n?1z6n?31. 解 sin(2z)??. ??(2n?1)!(2n?1)!n?0n?03?2. 解 令z?re.
则f(z)?i??ii??2k?2,(k?0,1).
又因为在正实轴去正实值，所以k?0. ?4
所以f(i)?e.i?3. 单位圆的右半圆周为z?e, ??2????2.所以4. 解 ?i??i?i?2??izdz??2?de?e?2?2?2i.sinzz?2(z?2)2dz?2?i(sinz)?z???2?icosz2z??2=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令f(z)?c1?ic2,则f(z)?c1?ic2. (c1,c2为实常数).令u(x,y)?c1,v(x,y)??c2. 则ux?vy?uy?vx?0.即u,v满足C.?R., 且ux,vy,uy,vx连续, 故f(z)在D内解析.(充分性) 令f(z)?u?iv, 则 f(z)?u?iv,因为f(z)与f(z)在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx,
且ux?(?v)y??vy,uy??(?vx)??vx.比较等式两边得 ux?vy?uy?vx?0. 从而在D内u,v均为常数,故f(z)在D内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 a0z?a1z根”.证明 令f(z)?a0z?a1znn?1nn?1?????an?1z?an?0(a0?0) 有且只有 n个??a?????an???????an?1z?an?0, 取R?max?1,1?, 当za0????在C:z?R上时, 有 ?(z)?a1Rn?1?????an?1R?an?(a1?????an)Rn?1?a0Rn.nn?1
?f(z). 由儒歇定理知在圆 z?R 内, 方程a0z?a1zn?????an?1z?an?0 与 a0zn?0 有相 同个数的根. 而 a0z?0 在 z?R 内有一个 n 重根 z?0. 因此n次方程在z?R内有n 个根.
《复变函数》考试试题（三）参考答案
一. 判断题1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√.二.填空题. ?2?in?11.?zz??i,且z?C?;
2. 2k?i(k?z);
5. ?; 0n?1?16. 1;
8. z?(2k?1)?i;
10. . (n?1)!三. 计算题.?11z?n?21. 解
ze?z(1??. ????)??z2!z2n!n?02n?1cnn!(n?1)n?11?lin??ln?)?ln(1?e. )2. 解
lin??cn??nn??n??(n?1)nnn?1所以收敛半径为e.ez1ez??. 3. 解 令 f(z)?22, 则 Resf(z)?2z?0z?9z?09z(z?9)2?i故原式?2?iResf(z)??. z?099624. 解 令 f(z)?z?2z?z?2, ?(z)??8z.则在C: z?1上f(z)与?(z)均解析, 且f(z)?6?(z)?8, 故由儒歇定理有 12z
N(f??,C)?四. 证明题. N(?f?,C?). 即在1 z?1 内, 方程只有一个根.1. 证明
证明 设在D内f(z)?C.令f(z)?u?iv,则f(z)?u2?v2?c2. 2两边分别对x,y求偏导数, 得
??uux?vvx?0?uuy?vvy?0(1) (2)因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为?uux?vvx?022.
消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.2)
若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, vy?0.所以u?c1,v?c2.
(c1,c2为常数).所以f(z)?c1?ic2为常数. 22
2. 证明 取 r?R, 则对一切正整数 k?n 时, f
于是由r的任意性知对一切k?n均有f
故f(z)?(k)(k)k!f(z)k!Mrn. (0)?dz?2?z?rzk?1rk(0)?0. ?czk?0nnn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数.
《复变函数》考试试题（四）参考答案一. 判断题.1．√ ２．× ３．× ４．× ５．× 6．√ ７．×８．× ９．√10．√ . 二. 填空题.111. , ;
3. 2k?i22(k?z);
4.?(?1)zn?0?n2n(z?1);
5. 整函数;6. 亚纯函数;
10. 三. 计算题. 1.1.(n?1)!解:z3??1?z?cos2k???2k????isin33??13z1?cos?isin??i3322z2?cos??isin???1z3?cosk?0,1,25?5?13?isin??i3322ezeeze?1?, Resf(z)??2. 解 Resf(z)?.z?1z??1z?1z?12z?1z??1?2故原式?2?i(Resf(z)?Resf(z))??i(e?e).z?1z??1?1
3. 解 原式?2?iResf(z)?2?iz??iz9?z2?z??i?5.z11z?e?1?zzzz(e?1)z(e?1)?0，得z?0,z?2k?i，k??1,?2,? ze?14. 解 =，令11z?ez?11?ezlim(z?)?limz?limzz?0e?1z?0(e?1)zz?0e?1?zezz而
?ez1?limz??z?0e?ez?zez2
?z?0为可去奇点
z(k?0),z?e?1?0 z?2k?i
当时，?(ez?1)z而四. 证明题.??z?2k?i?ez?1?zezz?2k?i?0?z?2k?i为一阶极点.1. 证明 设F(z)?f(), 在下半平面内任取一点z0, z是下半平面内异于z0的点, 考虑
limz?z0F(z)?F(z0)f(z)?f(z0)f(z)?f(z0)?lim?lim. z?zz?z00z?z0z?z0z?z0而z0, z在上半平面内, 已知f(z)在上半平面解析, 因此F?(z0)?f?(z0), 从而在下半平面内解析. F(z)?f)42. 证明 令f(z)??6z?3, ?(z)?z, 则f(z)与?(z)在全平面解析,且在C1:z?2上, f(z)?15?在C2:z?1上, f(z)?3??(z)?16, 故在z?2内N(f??,C1)?N(?,C1)?4. ?(z)?1,
故在z?1内N(f??,C2)?N(f,C2)?1.所以f??在1?z?2内仅有三个零点, 即原方程在1?z?2内仅有三个根.
《复变函数》考试试题（五）参考答案
一. 判断题.1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．×
10．√.二. 填空题. 1.2, ?
?33. (2k?1)?i,
4. 2k?i,(k?z);
6. 0;??2?in?1n2n 7. 亚纯函数;
8. ?(?1)z.
10. ?0n?1n?0?三. 计算题.1. 解 令z?a?bi, 则w?, 1;
2. a?2k?i(k?z,a为任意实数);
z?122a(?1?bi)2a(?1)b2. 2?1?1?z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b, . )?1?Im()?z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b22. 解 连接原点及1?i的直线段的参数方程为 z?(1?i)t0?t?1,111?i
故?Rezdz???Re[(1?i)t]?(1?i)dt?(1?i)?tdt?. c002dzi?3. 令z?e, 则d??. 当a?0时 iz(z?a)(1?az),
1?2acos??a2?1?a(z?z?1)?a2?z1dz1故I?, 且在圆z?1内f(z)?只以z?a为一级极点, iz?1(z?a)(1?az)(z?a)(1?az)11?,(0?a?1), 由残数定理有 在z?1上无奇点, 故Resf(z)?2z?a1?azz?a1?a12?I?2?iResf(z)?,(0?a?1). 2z?ai1?a4. 解 令f(z)??z, 则f(z),?(z)在z?1内解析, 且在C:z?1上, (z)?1?f(z),
故 Re(所以在z?1内, N(f??,C)?N(f,C)?1, 即原方程在 z?1内只有一个根.四. 证明题.1. 证明 因为u(x,y)?x?y,v(x,y)?0, 故ux?2x,uy?2y,vx?vy?0.这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在z?0处满足C.?R.条件, 故f(z)只在除了22z?0外处处不可微.2. 证明 取 r?R, 则对一切正整数 k?n 时, f于是由r的任意性知对一切k?n均有f故f(z)?(k)k!f(z)k!Mrn. (0)?dz?2?z?rzk?1rk(k)(0)?0. ?czk?0nnn, 即f(z)是一个至多n次多项式或常数.
《复变函数》考试试题（六）参考答案一、判断题：1.√
10.×二、填空题：1. ?1?ei
欧拉公式三、计算题：1.
解：因为2?i???1, 662?in)?0. 6
故lim(n??2.
解：?i?3,1f(?)d? 2?i?C??z
?f(z)?3?2?7??1
??d?. C??z因此
f(?)?2?i(?3?22?7? 1)
故f(z)?2?i(3z?7z?1)
f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).ezez11??(?)3.解：z2?12z?iz?iei?Res(f(z),i)?. 2(?1)n(z3)2n?1, 4.解：sinz??(2n?1)!n?03?sinz3?(?1)n6n?3z.
?6??zn?0(2n?1)!z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5．解：设z?x?iy, 则w?. ??z?1z?1?iy(x?1)2?y2x2?y2?1
?Rew?,22(x?1)?y6
．解：e?i3Imw?2y. 22(x?1)?y???1?cos(?)?isin(?)?(1). 3326四、1. 证明：设f(z)?9z,则在z?1上，f(z)?9,?(z)?z7?6z3?1, (z)?1?6?1?8, 即有f(z)??(z).根据儒歇定理，f(z)与f(z)??(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设v(x,y)?a?bi，则vx?vy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此763?(x,y)?D有
uy??vx?0.于是u(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常数.3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设f(z)?(z?z0)g(z)，其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，于是
m111?? f(z)(z?z0)mg(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此1在内D1解析，故g(z)z0为
1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题（七）参考答案一、判断题：1.√
8. ×二、填空题：1. ei
16. m?1阶 7. 整函数
8.三、计算题：1.
1 (n?1)!22??i?i?0. 2.
解：?i?3,1f(?)d? ?C2?i??z
?f(z)?3?2?7??1
??d?. C??z因此
f(?)?2?i(?3?22?7? 1)
故f(z)?2?i(3z?7z?1)
f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).znez?n!1113. 解：2?n?02?2???zzzz2?,因此Res(f(z),0)?1. 4. 解：z?12?11 ????(z?1)(z?2)z?1z?2z(1?)1?z2由于1?z?2，从而因此在1?z?2内 1?1,zz?1. 2z有
??1?1nzn1?znn1??()?)??()( )].??2)zn?0zn?02z2n?0z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi??5．解：设z?x?iy, 则w?. z?1z?1?iy(x?1)2?y2x2?y2?1
?Rew?,(x?1)2?y26.解：设z?e，则d??i?Imw?2y. (x?1)2?y2?2?0dz11,cos??(z?)， iz2zd?dz22idz ????2z?1z?11a?cos?iz2a?z?z?2az?1za?
1，故奇点为z0?
a?2?0d??4??Resf(z)?4??a?cos?z?z0.四、证明题：1.
证明：设f(z)?24z,g(z)?9z?6z?z?1, 则在z?1上，f(z)?24,7632g(z)?9?6?1?1?17, 即有f(z)?g(z). 根据儒歇定理知在z?1内f(z)与f(z)?g(z)在单位圆内有相同个数的零点，而在z?1内f(z)的零点个数为7，故24z?9z?6z?z?1?0在单位圆内的根的个数为7.2.证明：设f(z)?u?v?c，则 2276322u?ux?2v?vx?0,2u?uy?2v?vy?0.已知f(z)在区域D内解析，从而有ux?vy,将此代入上上述两式得 uy??vxuux?vuy?0,uuy?vux?0.因此有 ux?0,uy?0, 于是有vx?0,vy?0.即有
u?c1,v?c2,故f(z)在区域D恒为常数.3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设f(z)?(z?z0)g(z)， mf(z)?c1?ic2其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，于是
111 ??f(z)(z?z0)mg(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此1在内D1解析，故g(z)z0为1的m阶极点. f(z)五、计算题解：根据线性变换的保对称点性知i关于实轴的对称点?i应该变到w?0关于圆周的对称点w??，故可设w?kz?i z?i《复变函数》考试试题（八）参考答案一、判断题：1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.×二、填空题：1. ?1?ei
6. ?(iz) 7. ?
8.k=0??2?i,n?1?2k
z??1三、计算题：1. 解：由于e所以z?1sinz在z?1解析， z?1ez?1sinzdz?0 1dz1dz11(z?4)而 ????z?3z?32?i(z?1)(z?4)2?i(z?1)3因此z?1ez?1sinzdz?1dz1. ??2?i?z?3(z?1)(z?4)32.
解：1?i?3,1f(?)d? ?C2?i??z
?f(z)?3?2?7??1d?.
??C??z因此
f(?)?2?i(?3?22?7? 1)
故f(z)?2?i(3z?7z?1)f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).ezez113. 解：f(z)?2?(?) z?12z?1z?1e
Res(fz(),?2,e?1sRfez(?(?)?,) 2,ee?1e?1?e因此
Res(f(z),?)??(?)?. 2224.解： z?1
????????222(z?1)(z?2)z?1z?2z1?z1?2zz?z???，从而1?1,z2?1
2zz???内有
z?10(z?1)z(2?11?1????()n?2)zn?0zz1?1z2??n?0z1?2n22?n11)?n1 11)??2()?[?n2z(?11?1z2)?n0z]z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5．解：设z?x?iy, 则w?. ??22z?1z?1?iy(x?1)?yx2?y2?1
?Rew?,(x?1)2?y2ixixImw?2y. (x?1)2?y26．解：设z?e, 则dz?iedx?izdx11(z?) 2iz?dx12?dx??02?sin2x2?02?sin2x112izdz
?? ?2dz??2z?1z?12izz?4iz?1z?4iz?11在z?1内2只有z?2)i一个一级极点
1sinx?Res[f(z2)i]??因此
?0dx?2?i?2?sin2x四、证明：1. 证明：设f(z)?15z,g(z)?5z?z?6z?1, 则在z?1上，f(z)?15,7653g(z)?13, 即有f(z)?g(z). 根据儒歇定理知在z?1内f(z)与f(z)?g(z)在单位圆内有相同个数的零点，而在z?1内f(z)的零点个数为7，故15z?5z?z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为72. 证明：因为f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，在D内连续, 所以?(x0,y0)?D, 7653???0,???0.
当x?x0??,y?y0??时有f(x,y)?f(x0,y0)?u(x,y)?u(x0,y0)?i[v(x,y)?v(x0,y0)]?{[u(x,y)?u(x0,y0)]?[v(x,y)?v(x0,y0)]}??, 从而有u(x,y)?u(x0,y0)??,v(x,y)?v(x0,y0)??.即与在连续，由(x0,y0)?D的任意性知u(x,y)与v(x,y)都在D内连续3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设f(z)?(z?z0)g(z)，其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，于是
m2122111?? mf(z)(z?z0)g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此1在内D1解析，故g(z)z0为1的m阶极点. f(z)54五、解：1.设??z，则?将区域{z:0?argz?4?}保形映射为区域{z:0?arg???} 52.设w?ei???i, 则w将上半平面保形变换为单位圆w?1. ??i因此所求的单叶函数为w?ei?z?iz?i5454.《复变函数》考试试题（九）参考答案一、判断题（20分）1、×
10、√二、填空题（20分）1、e?zi
2、z?k?,k?0,?1,?2,
5、16、m?1
10、e三、计算题（30）1、解：2?i52?in
??1,?lim()?0. n??6662、解：?i??3,?f(z)?1f(?)d? 2?i?C??z3?2?7??1
??d?. C??z因此
f(?)?2?i(?3?22?7? 1)
故f(z)?2?i(3z?7z?1)f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).3、解：ezezf(z)?2?.z?1(z?i)(z?i)Res(f(z),i)?4、解：?ieie,Res(f(z),?i)?.22ii z?12?11 ????1z(z?1)(z?2)z?1z?2z(1?)1?z2由于1?z?2，从而因此在1?z?2内 1?1,zz?1. 2z有
(z?1)z(???1?1nzn1?znn1??()?)??()( )].?2?2)zn?0zn?0z2n?0z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi??5、解：设z?x?iy, 则w?. 22z?1z?1?iy(x?1)?yx2?y2?1
?Rew?,(x?1)2?y2Imw?2y. (x?1)2?y2z2?z?26、解：设f(z)?4,则f(z)在Imz?0内有两个一级极点z1?3i,z2?i， 2z?10z?9Res(f(z),3i)?3?7i1?i,Res(f(z),i)??, 4816因此，根据留数定理有?????z2?z?23?7i1?i?dz?2?i(?)??. z4?10z2?9481666四、证明题（20分） 1、证明：设f(z)?9z,则在z?1上，f(z)?9,?(z)?z7?6z3?1, (z)?1?6?1?8, 即有f(z)??(z).根据儒歇定理，f(z)与f(z)??(z)在单位圆内有相同个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.2、证明：设u(x,y)?a?bi，则ux?uy?0, 由于f(z)?u?iv在内D解析，因此763?(x,y)?D有
uy??vx?0.于是v(x,y)?c?di故f(z)?(a?c)?(b?d)i，即f(z)在内D恒为常数.3、证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设f(z)?(z?z0)g(z)，其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，于是
m111?? mf(z)(z?z0)g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此1在内D1解析，故g(z)z0为1的m阶极点. f(z)五、计算题（10分）解：1、设??z???2i,则?将区域{z:??Imz??}保形变换为区域{?:0?Imz?. 22?2、设t?e,则t将区域{?:0?Imz?2?保形变换为区域D{t:0?argt? 22?3、设s?t,则s将D保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为22?2zs?i?i?ii?t?ii?ei??ew?e??e?2?e?2??e?2z. s?it?ie?i?e?ii?
《复变函数》考试试题（十）参考答案一、判断题（40分）：1.√
10. √二、填空题（20分）：1. 2?i
z??i12(n?1)!(1?z)三、计算题（40分）1. 解：f(z)?z在z?2上解析，由cauchy积分公式，有 29?zz2z2
2?i????z?2z?iz?2(9?z2)(z?i)9?z2eize?ii2. 解：设f(z)?，有Res(f,?i)??e 1?z2?2i22?z??i?5??n??n??(cos?isin)?(cos?isin) 3.
?cos4. 解：nnn?n?n?n?n? ?isin?cos?isin?2cos44444?u2x?u2y， ?2??xx?y2?yx2?y2(x,y)v(x,y)???(0,0)?uydx?uxdy?c??(x,y)(0,0)?2y2xdx?dy?c 2222x?yx?y?y0y2x?2arct?c dy?cxx2?y2f(1?i)?u(1,1)?iv(1,1)?ln2?i(2arctan1?c)?ln2 故c???2，v(x,y)?2arctany?? x245. 解：令f(x)??5z，g(z)?z?1 则f(x)，g(z)在z?1内均解析，且当z?1时f(z)?5?z4?1?z4?1?g(z)由Rouche定理知z?5z?1?0根的个数与?5z?0根的个数相同.4故z?5z?1?0在z?1内仅有一个根. 4《复变函数》考试试题（十一）参考答案一、1．×
５．√ 二、1． 1
222k???2k???５．zk??isin)(k?0,1,2,3) 442n21６．
８．15 ?39. ?(a)
10. ?m ??(a)?ux?2,2?xx?y?uy ?22?yx?y三、1．解：v(x,y)???(x,y)(0,0)?uydx?uxdy?C ??(x,y)(0,0)?yxdx?dy?C x2?y2x2?y2
?y0xydy?C?arctan?C. 22x?yx又
f(1?i)?u(1,1) ?iv(1?故C???4,11ln2?i(arctan1?C)?ln2. 22y?v(x,y)?arctan?. x42sin2z12.解: (1) tanz?奇点为z?(2k?)?,cos2z2k?0,?1对任意整数k,
1z?(2k?)?为二阶极点, z??为本性奇点. 2(2) 奇点为z0?1,zk?2k?i,(k?0,?1) z?1为本性奇点,对任意整数k,zk为一级极点,z??为本性奇点.z193. (1)解: f(z)?2共有六个有限奇点, 且均在内C:z?4, (z?1)4(z4?2)3由留数定理,有?z?4f(z)dz?2?i[?Res(f,?)]将f在z??的去心邻域内作Laurent展开f(z)?z1912z(1?2)4?z12(1?4)3zz811??z(1?1)4(1?2)3z2z414106z4?(1?2?4?)(1?4?8?zzzzz14??3
?zz所以Res(f,?)??C?1??1 ) ?z?4f(z)dz?2?i. (2)解: 令z?e,则 i?I????0d?12?d? ?1?cos2?2?01?cos2?14zdz 2?C:z?1i(z4?6z2?1)4zdz2du,故 ?422i(z?6z?1)i(u?6u?1)再令z?u则212du2
du I??2??2
2?C:z?1C2i(u?6u?1)iu?6
u?1由留数定理,有2I??2?iRes(f,?3??4??i4.解：儒歇定理：设c为一条围线，若函数f与?均在c内部及c上解析且 ?(z)?f(z)，z?c，则f(z)??(z)与f(z)在c内部的零点个数相同.724令f(z)??5z, g(z)?z?z?2则f(z),g(z)在z?1内解析且72722当z?1时
f(z?5?z?2?z?z?g, z)由儒歇定理z?5z?z?2?0的根个数与?5z?0根个数相同 7424故z7?5z4?z2?2?0在z?1内有4个根.四、1.证明: f(z)?u(x,?y)?iv(x,?y)?u*?iv*u*?u(x,?y),ux?ux,**v*??v(x,?y)vx??vx,*uy??uy,vy?vy* 由f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在上半平面内解析,从而有ux?vy,因此有ux?vy,**uy??vx. uy*??vx* 故f(z)在下半平面内解析.2.证明: (1) ?r1?r2,0?r1?r2?R则z?r1z?r1
M(r1)?f(z)?f(z)M(r2)?f(z)?f(z) z?r2z?r2故M(r2)?M(r1),即M(r)在[0,R)上为r的上升函数.(2)如果存在r1及r2(0?r1?r2?R)使得M(r1)?M(r2) 则有 f(z)?f(z) z?r2z?r1于是在r1?z?r2内f(z)恒为常数,从而在z?R内f(z)恒为常数.
《复变函数》考试试题（十二）参考答案一、判断题.1. ×
5. ×二、填空题.1. ?1
3. f(z)?z?1
4. 0,? z2n25. i
10. ??三、计算题.1.解：wk?ze15argz?2k?i5??1
k?0,1,2,3 ,??2k?5i
??1 得?1?e
2w2(1?i)?2?e
2.解：（1）f(z)?110??4?5?i?2(cos1103?3??isin)? 44Lnzlnz?2k?的各解析分支为，(k?0,?1,). f(z)?kz2?1z2?1)。
z?1为f0(z)的可去奇点，为fk(z)的一阶极点(k?0,?1,Res(f0(z),1)?0
Res(fk(z),?1)?k i (k??1,?2, )?1?zn?1ez（2）Resn?1?Res?n?1???? z?0zz?0zn!n!n?0??3.计算下列积分z71?解：（1）f(z)?2 (z?1)3(z2?2)z(1?1)3(1?2)z2z2Res(f,?)??C?1??1?z?2f(z)dz?2?i[?Res(f,?)]?2?iz2z2?（2）设f(z)?2 (z?a2)2(z?ai)2(z?ai)22aizz2??(z)?令?(z)?，
32(z?ai)(z?ai)则Res(f,ai)???(ai)1!2(ai2)1???i (2ai)34a?Imz?f(z)dz?2?iRes(f,?a 02ax2dx? ?(x2?a2)22a??????4.儒歇定理：设c是一条围线，f(z)及?(z)满足条件：（1）它们在c的内部均解析，且连续到c；（2）在c上，f(z)??(z)则f与f??在c的内部有同样多零点，6即f(z)?10
g(z)?z?6z有
f(z)?g(z)6由儒歇定理知z?6z?10?0在z?1没有根。四、证明题1证明：.设z?x?iy
f(z)?e?e(coys?izx )syinu(x,y)?excosy,v(x,y)??exsiny?u?u?v?v?excosy,??exsiny,??exsiny,??excosy ?x?y?x?y易知u(x,y)，v(x,y)在任意点都不满足C?R条件，故f在复平面上处处不解析。z?(n)2.证明：于高阶导数公式得
(e)??0n!ez??d?
??12?i?n?1n!ez?即z?d? 2?i??1?n?1n?zn?1znez?z1e?d? 故?d?
从而????C:?1n!?n?1n!2?in!2?i??1?n?1??nz?2
《复变函数》考试试题（十三）参考答案一、填空题．（每题２分） 1. 1?i?v(x,y)?v0
4. ? u(x,y)?u0及lime
2. limx?xox?xory?yoy?yo246n2n5. 2
6. 1?z?z?z????(?1)z????
8. ?1??)?1
10. ?1 (1?)
9. 242二、计算题．１．计算下列各题．（９分）解: (1) cosi?1(e?e?1) 2(2) ln(?2?3i)?ln?2?3i?iarg(?2?3i)?(3) 33?i13ln13?i(??arctan) 22?e(3?i)ln3?e(3?i)(ln3?i?2k?)?e3ln3?2k??i(6k??ln3)2k?
?27e3[cos(ln3)?isin(ln3)] 2. 解
: z?8?0?z?3??2ei??2k?3 (k?0,1,2)
故z?8?0共有三个根
: z0?1?z1??
2, z2?13. 解: u?x?y?xy?ux?2x?y,uy??2y?x 22?2u?2u?2?2?2?2?0?u是调和函数. ?x?yv(x,y)???(x,y)(0,0)?(uydx)?uxdy?c??y0(x,y)(0,0)y(?2xdx?)x?(2ydy?)c ?x0(?x)dx??(2x?y)dy?cx2y2?2xy??c
??22x2y21?2xy??)
?f(z)?u?iv?(x?y?xy)?i(?22222?4. 解 (1)(2) 11(2?i)z2?i (x?iy)dz?(x?ix)d(x?ix)???i ?c?066?1?i0[(x?y)?ix2]dz?i?(?y)dy??[(x?1)?ix2]dx 0011??ii11????(3?i) 2326n?1111?z5. 解: 0?z?1时f(z)??????()??zn (z?1)(z?2)z?2z?12n?o2n?0??(1?n?0?1zn?1)zn1?z?2时f(z)?111?11 ????(z?1)(z?2)z?2z?12(1?)z(1?)2z????zn1
?????nn?o2n?1n?0z6. 解:
(1) 5z?2?c?z?2z(z?1)2dz?2?i[?Res(f,?)]??4?isin2z
(2) ?dz?2?i[?Res(f,?)]?0 z?4z
?(1?i)7.解:
和z??1?i)为上半平面内的两个一级极点,1
241?z22且Res[f(z),z1]?z?z12
Res[fz(z)2,?] ?z?z2
2x2??2?i? ???1?x42??8.
(2) R??9. 解: 设z?x?iy,则f(z)?z?x?y
ux?2x,uy?2y,vx?vy? 0当且仅当x?y?0时,满足C?R条件,故f(z)仅在z?0可导,在z平面内处处不解析. 222
三、221. 证明: 设f?u?iv,因为f(z)为常数,不妨设u?v?C (C为常数)则u?ux?v?vy?0
u?uy?v?vy?0由于f(z)在D内解析,从而有ux?vy, uy??vx将此代入上述两式可得ux?uy?vx?vy?0于是u?C1,v?C2 因此f(z)在D内为常数.2. 解: 设z?x?iy, a?A?Bi （A，B为实常数） 则az?(A?Bi)(x?iy)?(Ax?By)?i(Ay?Bx)az?az?b?az?az?b?0?2(Ax?By)?b?0 故az?az?b?0的轨迹是直线2Ax?2By)?b?0
《复变函数》考试试题（十四）参考答案一、1、 rn?cosn??isinn??
2、limu?x,y??u0且limv?x,y??v0x?x0y?y0x?x0y?y03、0
6、1?z?z?7、椭圆
8、cos?二、计算题。1、解（1）ln??3?4i? 24?z2n? 1??????????isin????
10、? 6?2??2?4???ln5?i???argtan?2n??3??
4???ln5?i??argtan??2n?1????n?0,?1,?2,3??（2
）ie?1? ??i61????1?i???cos?isin?????? e?66?e?22??（3）?1?i?1?i?
e?1?i?ln?1?i???e?
1?i????????i???2k???4????e???????2k???i???2k??l4???4
=?4?2k???????cos??ln?isin???? ??44????2、解：z??2?2e
z?33i?i???2n?3?n?0,1,? 2
故：方程z?2?
0共有三个根，分别为：3、解：ux?2y,uy?2?x?1? 1,2
?0?2 ?x2?y故u是调和函数。v?x,y???4. 解: (1) ?x,y??0,0??uydx?uxdy?c 1?1?i022??(x?y)?ixdz?ix??0?d(x?ix) ??x311??i?1?
?i(1?i)?303(2) ?1?i012??(x?y)?ixdz??i?1? ??3n111??z?1?5. 解: f?z?? ?????z?23n?03n?z?1?3?1??3??= ?6. 解: (1) ?n?0??z?1?3n?1n ?z?2?2dz?2?i?cos(2)?0(z?)2) sinz?z2?213
(2) f?z??2?(1??zz?3zzRes(f,?)??C?1??1?z?4f?z?dz?2?i??Res(f,?)??2?ii?z2?1dz7. 解: 设z?e 则d??, sin?? 2iziz?2?0d??5?3sin?22dz?z?13z2?10iz?3??2z?1i3(z?3i)(z?)3dz
令f?z??i,则f在z?1内只有一级权点, z??,依离数定理有 i33(z?3i)(z?)3?2?0d??
?2?iRes?f??z?,5?3si?n?i????2??i?
?3?i???? 2?48. 解: (1) ?1?i?z?1 即 z?. 故R? (n!)2(2)
nnR?limn??cn1?1??lim?1????0
cn?1n???n?n?13232n9.解 设u(x,y)?my?nxy,v(x,y)?x?lxy, 则?u?u?2nxy,?3my2?nx2, ?x?y2nxy?2lxy??v?v,解得?3x2?ly2,?2lxy,因f(z)解析,由C?R条件有?2222?x?y?3my?nx??3x?ly. l??3,m?1,n??3三
1. 证明 设f?u?iv,由f?H(D) 有?u?v?u?v?,??,(1) ?x?y?y?x又f(z)?u?iv也在D也解析,有?u?(?v)?u?(?v),(2) ?,???x?y?y?x由(1)与(2)得?u?u?v?v?????0 ?x?y?y?x故f在D内为常数.2. 证明,设z?x?iy,a?A?iB,有az?(A?iB)(x?iy)?(Ax?By)?i(Ay?Bx) az?az?b?az?az?b?2(Ax?By)?b?0即点z在直线2Ax?2By?b?0上A,B,b为实常数.
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