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数学建模解决有关足球队排名问题
1摘要本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型。它首先对用来排名次的数据是否充分作出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度作出估计,然后给出名次。文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序。文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响,基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象。文中还证明了模型的稳定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动。对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序。用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以N个队，T1,T2,T3TN为竞赛图的G的顶点集建立竞赛图G的边集就可以算出各队的排名顺序。这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名。关键词竞赛图、邻接矩阵、最大特征值、特征向量2目录1、提出问题（3）2、问题的重述（4）3、模型的假设（4）4、符号说明（5）5、模型的建立和求解（6）6、模型的评价与推广（11）37、参考文献（12）4足球队排名模型一、提出问题任何一项体育竞赛都必须在“公平、公正”的原则下进行，都必须有公开的竞赛规则，足球比赛也不例外，随着足球事业的发展，评分规则也不断完善，但仍有不尽如人意之处。附表给出的是我国12支球队字年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次。排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求（1）保序性我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的。（2）稳定性成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。（3）能够处理不同场次的权重应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平（4）能够准确的进行补残两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小。（5）能够判断成绩表的可约性。（6）容忍不一致现象（7）对数据可依赖程度给出较为精确的描述。5二、问题的重述下表给出了我国12只足球队在年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一）1设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果2把算法推广到任意N个队的情况3讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次对下表的说明112支球队依次记作T1,T2,T122符号X表示两队未曾比赛3数字表示两队比赛结果如T3行与T8列交叉处的数字表示T3与T8比赛了2场T1与T2的进球数之比为01和31三、模型的假设（1）一对排在另一对之前，不能只考虑这两队的成绩，而应充分考虑这两对所有比赛场次的战绩。（2）要充分考虑对手的强弱因素，减少球队发挥水平不正常而带来的影响，避免强队偶然输给弱队带来名次的大落，又应考虑弱队超水平发挥后名次的上升。（3）如果两队之间由于种种原因，没有比赛或者双方打成平局，就有其他队的战绩确定这两队的强弱。（4）参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。（5）在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面真实实力对比是以他们真实实力对比为中心的互相独立的真态分布。6四、符号说明符号其定义和说明（TI，TJ）第I队和第J队的比赛，I1，2，3，，12；J1，2，3，，12；AIJ、AJI地I队对第J队的表现实力AI（2）第I队打败的对的二重积分和W排名向量B判断矩阵的辅助矩阵A判断矩阵MAX最大特征值MIJTI胜TJ平均每场净胜球数7五、模型的建立和求解方法一、竞赛图法（问题一）、设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下以N个参赛队T1,T2,T3,,TN为竞赛图G的顶点，G的边集按如下算法求得I从1到N循环，J从1到N循环。若TI胜TJ的场次多，则以TI为尾TJ为头，作边（TI，TJ）；若TJ胜TI的场次多，则建边（TJ，TI），若两队之间胜的场次相同，则以两队比赛进球多的一队为尾，另一头为头建边，否则不建边。若两队之间没有比赛则不建边。根据建边情况，可建立矩阵AAIJ如下1）AII0；2）当I≠J时，若TI，TJ建边，则取AIJ1，AJI0；若TI，TJ之间未建边，则AIJ、AJI不计数则建立A的矩阵如下表所示T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12TT11TT000102、对I从1到N计分，其计算得分量为AI，然后再计算其二级的分量AI（2）其计算结果如下一级得分向量（A1，A2,A3,A4，A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12）4,3,7,0,1,2,8,3,4,4,0,2二级得分向量8（A21，A22,A23,A24，A25,A26,A27,A28,A29,A210,A211,A212）7,6,17,0,0,1,24,4,6,5,0,1三级得分向量（A（3）1,A（3）2,A（3）3,A（3）4，A（3）5,A（3）6,A（3）7,A（3）8,A（3）9,A（3）10,A（3）11,A（3）12）7,7,23,0,0,0,40,7,12,7,0,13、I从1到N循环，J从1到N循环。如果TI与TJ之间没有边连接，则比较AI与AJ，如果AIAJ则建立（TI，TJ），如果AIAJ，AIJ1；2）AIA（2）J，AIJ1；4）A（2）I04）构造判断矩阵AI从1到N循环，J从1到N循环。1若TI与TJ互胜场次相等，则（I）净胜球为0时，令AIJAJI1；（II）TI净胜球多时以TI净胜TJ一场做后续处理。（2）若TI净胜TJK场且K0，则IBIJ2K1≤K≤4IIMIJTI胜TJ平均每场净胜球数；DIJ1（MIJ2）,DIJ00≤MIJ≤2,DIJ1MIJ0IIIAIJBIJDIJ,AJI1/AIJ2若TI与TJ无比赛成绩，则AIJAJI0则根据以上规则，可建立如下的判断矩阵AT1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T/41//T200T41/61/21/211/21/21/51/21/21/200T51/211//2T61/21/21/T2T/411//21/11T/711//201/21/21/21/211/2T1/21/2215检测A的可约性，如果可约则输出可约信息后退出。6）构造辅助矩阵BI从1到N循环，J从1到N循环BIJAIJI≠J且AIJ≠0；BIJMI1（IJ，其中MI为A的第I行0的个数）；BIJ0（AIJ0）T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12T/41//T200T41/61/21/231/21/21/51/21/21/200T51/211//2T61/21/21/T2T/431//21/T/711//201/21/21/21/261/2T1/21/226计算B的主特征根MAX主特征向量W1利用“和法”计算，（1）将A的每一列向量归一化得（2）对按行求和得3将归一化得12即为近视特征向量，（4）计算，作为最大特征根的近似值。7）按W的各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次六、模型的评价与推广通过与现行的一些比较，用竞赛图法求出排名的结果，是比较简单的，但要将其推广到N的对来进行排名，是比较麻烦的，主要是在计算机上运行的结果不太明确，虽然用MATLAB能够将其最大特征值和特征向量算来，但结果太长，且不容易比较。但对于只有有限个对的排名是比较简单的。对于N个队，我们采用了层次分析法，他就具有明显的优势了（1）它存在反馈机制，并且具有稳定性，保证了排名的稳定性，保证了排名的公平性（2）能较准确的处理残缺、不一致等性质很差的数据，对比赛程序没有严格的要求（3）灵活机动，这包括它提供了对比赛成绩表进行取舍的参考指标，以及他适合N个队任何对抗赛的排名；（4）满足保序性。模型的一个缺点就是算法复杂。在从成绩构造判断矩阵时用到的方法也不是最好的，这一步在整个模型里引入误差最大，稍微复杂一点的方法是根据成绩通过查表或专家咨询活的实力对比值。另外一个不足之处是在莫残缺元素过
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高校数学建模综合实力排名
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数学建模 B题 球队排名问题 答案详解
2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话,电子邮 件,网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究,讨论与赛题有关的问 题. 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料(包括网上查到的资料) ,必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正,公平性.如有违反 竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理.我们参赛选择的题号是(从 A/B/C/D 中选择一项填写) : 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话) : 所属学校(请填写完整的全名) : 参赛队员 (打印并签名) :1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: 年 月 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评 阅 人 评 分 备 注全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):一个给足球队排名次的方法戚立峰 毛 威 马 斌 (北京大学数学系,100871) 指导教师 樊启洪摘 要 本文利用层次分析法建立了一个为足球排名次的数学模型. 它首先用来排 名次的数据是否充分做出判断,在能够排名次时对数据的可依赖程度做出估计, 然后给出名次.文中证明了这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序. 文中将看到此模型充分考虑了排名结果对各场比赛的重要性的反馈影响,基 本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象. 文中还证明了模型的稳 定性,这保证了各队在发挥水平上的小的波动不会对排名顺序造成大的变动.本 模型比较完满地解决了足球队排名次问题,而且经过简单修改,它可以适用于任 何一种对抗型比赛的排名.1§1 问题的提出及分析 本题的表 1 给出的是我国 12 支足球队在
年全国甲级联赛中的成 绩,要求通过建立数学模型,对各队进行排名次. 按照通常的理解,排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队真实实力状况的 一个顺序.为达到这一点,一个好的排名算法应满足下面一些基本要求: (1)保序性; (2)稳定性; (3)能够处理不同场比赛的权重; (4)能够判 断成绩表的可约性; (5)能够准确地进行补残; (6)容忍不一致现象; (7)对数 据可依赖程度给出较为精确的描述. 可以想象,各队的真实实力水平在成绩表中反映出来(见§3 假定Ⅱ),所以 根据排名目的,我们要求排名顺序与成绩表反映的各队实力水平的顺序是一致的, 这就是要求(1) . 也就是说,如果 a 比 b 表现出色,a 的名次就应排在 b 前面. a 比 b 出色不 但 能只是由 a 对 b 这一场比赛所决定,必须参考 a,b 相对于其他队的成绩,像 a 平 c,c 胜 d,d 平 b 这组比赛对 a,b 的相对表现是有影响的.为使一个算法满足保序 性,就必须充分考虑到将 a,b 连结起来的所有场比赛.下面的例子表明积分法布 满足保序性. 例1 a 平 c,c 胜 d,d 平 b,a 平 b. 在上述比赛中 a 表现应比 b 出色,但按积分法计算 a,b 都积 2 分.其原因就 在于积分法没有把 a 平 c,c 胜 d,d 平 b 这组比赛中所体现的 a,b 实力对比情况考 虑进去; 要求(2)就是说成绩表小的变动不会对排名结果造成巨大影响.这是由于 球队发挥水平存在正常波动而必须提供的,如果这种正常的小波动引起名次的巨 大变化,那么排名就不令人信服; 要求(3)使得不同场比赛在排名中的地位不同,这是因为在实际比赛中,往 往会有的队不幸遇到较强的队而输掉. 为了避免由于对手的强弱不同造成的不公 平,要求(3)是必须的.但现在的排名制度大都满足不了要求(3),以至于许多 时候&运气&对名次起了重要作用; 要求(4)―(7)是为了适应实际比赛中可能会出现在一些复杂情况而提 出的. 首先是可能某两个队之间没有打比赛,我们称之为数据(成绩)残缺.对于 两队成绩残缺,只能通过它们同其他队的比赛成绩来判断它们的实力比较.如果 残缺元素过多,就有可能导致参赛队分成两组,组与组之间没有比赛,称这种情况 为成绩表可约,这时显然是不应该排名次的.这样就有要求(4),(5) ; 其次是前后比赛成绩矛盾,比如说 a 胜 b,b 胜 c,c 平 a,称这种情况为数据不 一致. 如果不一致的情况过于严重,说明比赛偶然因素太大,数据的可依赖程度太 低,应该考虑放弃比赛成绩.所以排名算法还应满足(6),(7) . 本文使用的层次分析法的特征根方法已满足了上述要求,下面将在§2 中给 出具体算法.§3 中给出算发满足上述要求的解释和论证.§2 模型设计及其算法 一,基本假设和名词约定 假设Ⅰ 参赛各队存在客观的真实实力(见名词约定 1) .这是任何一种排2名算法的基础. 假设Ⅱ 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的 真实实力对比为中心的互相对立的正态分布. (见名词约定 2) 这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名, 另外它在很大程度上反映了球队水平发挥的不稳定性. 名词约定 1 .称 w =( w1 , w2 , …, wn )为真实实力向量,如果 wi 的大小表现了 Ti 的实力强 由假设Ⅱ,两者 弱. wi 的大小表现了 Ti 在比赛中出色程度时,称 w 为排名向量. 当 应是近似相同的,以后就把它们当成同一个. 2 .称 Ti 对 T j 这场比赛中体现出来的 Ti 对 T j 的相对强弱程度为 Ti 对 T j 的表 面实力对比,一般记作 aij ,当 Ti 对 T j 成绩残缺是约定 aij =0.显然地有(i )aij ≥ 0, (ii )a ji =1 , (iii )aii = 1. aij(2.1)矩阵A= (aij ) n×n 就称为比赛成绩的判断矩阵,它是可以通过各种方法(见§ 5)从比赛成绩中求出来的. 由假设Ⅱ,若 Ti 对 T j 成绩不残缺且 wi w j ≥ 1 时有2 aij ~ N ( wi w j , σ ij )(2.2)这里 w 是真实实力向量. 3 .称方阵 An×n 为正互反对称的,若(1)aij &0,(2)a ji = 然一个无残缺的比赛成绩的判断矩阵是正互反对称的.1 , 1 ≤ i, j ≤ n .显 aijA 4 . 称矩阵 An×n 是可约的,若 A 能用行列同时调换化
,这里 A1 , A4 都 A4 是方阵,在[1]的 227 页证明了一个判断矩阵可约当且仅当成绩表可约. 5 . 称判断矩阵 A 是一致的,若对任意 1 ≤ i, k , j ≤ n 满足 aij
a jk = aik . 显然地,A 一致则存在 w ,使得A=(wi ) n× n wj(2.3)6 .称矩阵 A 的最大正特征根 λmax 为主特征根;对应于 λmax 的右特征向量 w 称为主特征向量,若 ∑ wi = 1 且 wi &0.i =1 n3由非负矩阵的 Perron-Frobenius 定理,一个判断矩阵 A 的 λmax 存在唯一且可 以让对应于 λmax 的特征向量 w( ) 的每个分量都大于零,令 w =1w( )1∑wi =1n(1)即得主特征i向量. 二,模型设计与算法 我们的模型的主要部分是一个算法,模型的输入是一张成绩表,输出是关于 是否可约的判断,数据可依赖程度值和排名次的结果. 算法 (一)根据比赛成绩表构造判断矩阵 A. i 从 1 到 n,j 从 1 到 n 的循环. 1)若 Ti 与 T j 互胜场次相等,则 1 净胜球=0 时令 aij = a ji = 1 ;跳出作下一步循环;2 Ti 净胜球多时以 Ti 净胜 T j 一场作后续处理.2)若 Ti 净胜 T j k 场且 k&0,则 2k , 1 ≤ k ≤ 4; 1 bij =
9,2 mij = Ti 胜 T j 平均每场净胜球数; 1, mij & 2;
0, 0 ≤ mij ≤ 2; 1, m & 0. ij 3 aij = bij + dij , a ji = 1/ aij .3)若 Ti 与 T j 无比赛成绩,则 aij = a ji = 0 . (二)检测 A 的可约性,如果可约则输出可约信息后退出. (三)构造辅助矩阵A i 从 1 到 n,j 从 1 到 n 循环～i ≠ j且aij ≠ 0;
a ij = mi + 1, i = j , 其中mi为A的第i行0的个数;
0, aij = 0. ~(四)计算A的主特征根 λmax 和住特征向量 w .～41)允许误差 ε ,任取初始正向量 x( ) = x1( ) , x2( ) , …, xn (0 0 0m00( = max { x( ) } ;0 1≤i ≤ n i0))T,令 k=0,计算( y ( ) = y1( ) , …, yn )0 0()T=1 (0) x . m02)迭代计算 x(k +1)= A y( ) ;k 1≤i ≤ n～mk +1 = max { xik +1} ; y(k +1)=1 ( k +1) mk +1k = k +1;直到 | mk +1
mk |& ε . 3) λmax = w =y(n i =1k).k i∑y(五)按 w 各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次. (六)计算 aij
a ≠0 a 0ij22i& jijY=n(n
∑ ;其中 mi 为 A 的第 i 行 0 的个数. 2 i =1 2根据 2h 查 x 2 表得到可依赖程度 a = P ( x 2 & 2h) . 关于算法的几点说明 算法的第(一)步可以有多种不同的方法,这在§5 还将讨论. 第(二)步实际上是把 A 看作有向图的邻接矩阵表示求图是否连通. 算法是标 准的,可参阅任何一本有关于算法的书,这里省略. 它在可约时作的退出处理保证 了以后各步处理的是一个不可约阵. 第(三)步使用的是幂法,其整个算法收敛性和正确性的证明可参阅[1]的 103 页. 第(四)步是一个排序,可参阅任何一本有关算法的书. 第(五)步我们举了一个例子,若算出 2h=47.56,r=48,则在 x 表的自由度为 48 一行找到 47.56,它所在的列的 a 值为 65%左右.52§3 算法的理论分析 一,排名的合理性和保序性要求 关于为什么无残缺的判断矩阵 A 的主特征向量就是排名向量是层次分析法 中特征根发的基础,可以在[1]的 211 页找到详细证明,这里只作简单说明.先假 定比赛无残缺,此时算法中 A = A . 先看一下 A 为一致矩阵时,有 (2.3) 式存 w 使得 A = ( wi / w j )n×n ,显然向量 w 就是排名向量. 而我们有即Aw = nw~∑ ( w / w ) wi =1 i jnj= n
wi , i = 1, 2, …,(3.1)在[1]的 109 页证明了下述定理: 定理 n 阶互反矩阵是一致的,当且仅当 λmax = n .再由(3.1)可见 w 还是 A 的主特征向量,这样,对于一个一致矩阵 A,求排名 向量就是求 A 的主特征向量. 对于一个不一致的判断矩阵 A(注意:无残缺),令|| A ||=n 1≤i , j ≤ n∑aij(3.2)wi = ∑ aij / || A ||,1 ≤ i ≤i =1(3.3)由于 wi 是 A 的第 i 列元素 (即 Ti 与其他队的表面实力对比) 的和被||A||除, 可以猜测它给出了 Ti 的排序权重. 但正如问题分析中所提到的, Ti 与 T j 的实力对比必须考虑到将 Ti 与 T j 连结 起来的所有场比赛,反应到判断矩阵 A 上就是所有 aii1 ai1i2 …aik 1 j 都要考虑进去.( 令 aij ) 是 A k 的第 i 行 j 列元素,不难看出k( aij ) = ∑∑ … ∑ aii1 ai1i2 …aik-1 jk i1 =1 i2 =1 ik 1 =1nnn(3.4)( 而 aijk ) 就是考虑了所有经过 k 场比赛将 Ti , T j 连结起来的路径后反映的6Ti , T j 的相对强弱,称其为 Ti 对 T j 的 k 步优势. 当 ik 1 = j 时 aik 1 j = 1 ,所以(3.4)式成为( aijk ) = ∑ … ∑ aii1 …aik 1 j + ∑ … ∑ aii1 …aik 2 i1 =1 ik 1 =1 ik 1 ≠ i i1 =1 ik
2 =1 n n n n( 注 意 到 等 式 右 端 一 项 正 是 aijk 1) , 所 以 k 步 优 势 就 隐 含 了 k-1 步 以 及k-2,…,1.( 同(3.3)式,令 w( k ) = ∑ aijk ) / || A k ||, i = 1,…, j =1 n( 再令 w( k ) = ( w1( k ) , …, wnk ) )T ,可以想象,当 k 足够大时, w( k ) 就给出了 A 所反映的排名向量.在[1]的 104 页正证明了等式limAk e = w ,其中 e = (1,1, …,1)T ; k →∞ eT A k ew 是 A 的主特征向量.即lim w( k ) =k →∞所以在充分考虑了足够步优势后得到的排名向量 w( ∞ ) 就是 A 的主特征向量w.上面的讨论表明在比赛无残缺时,我们的排名是合理的和保序的,下面来看 看残缺的情况. 二,残缺的处理 对于一个残缺的判断矩阵 A,可以通过下述方法转化成一中讨论的情形 aij , aij ≠ 0, cij =
dij , aij = 0, 其中dij为正数,如果这样得到得矩阵 C= (cij ) n×n 的主特征向量为 w ,那么当 d ij = wi / w j 时,我 们认为补残是准确的.如果令aij ≠ 0;
aij , cij =
wi / w j , aij = 0; aij ,
i_aij ≠ 0, i ≠ aij = 0, i ≠ i = j , mi是A的第i行0的个数;C = (cij )n×7A = (a ij )n×~~则有下面命题成立: 命题 证Cw = λ w 等价于 A w = λ w .~∑ c w = λ w , i = 1,…, n.j =1 ij i inj =1 aij ≠ 0,i ≠ j∑naij w j + ∑ ( wi / w j )
w j + wi = λ wi , i = 1,…, n.j =1 aij = 0n ∑ aij w j + (mi + 1) wi = λ wi , i = 1, …, n.j =1 i≠ j n ~n ∑ aij wi = λ wi , i = 1,…, n.j =1由上述命题还可知,C 的最大特征根也是 A 的主特征根,C 的主特征向量也是 A 的主特征向量.这样,我们只需解 A w = λmax w 即可,这正是算法(三)(四)步 , 作的工作. 从上面讨论可知,本模型对于残缺的处理是非常准确的,满足了要求(1), (5).另外算法第(二)步对成绩表的可约性作出了判断,这也满足了因为残缺 而提出的要求(4). 下面继续讨论其余四个要求 三,对手的强弱对自己名次的影响 排名向量满足 A w = λmax w ,即~ ~~wi =~1λmax∑ a w , i = 1, 2,…, n.j =1 ij j ~n~如果 Ti 对 Tk 成绩不残缺,则 aik = aik & 0 ,固定 aik ,令 wk 变大,则 aik wk 就会变大,从 而引起 wi 变大.这实际上是排名结果对每场比赛权重的反馈影响. 这样的话,若 Ti 对 Tk 战线固定, Ti 排名靠前, Tk 也会因此受益.这就满足了要 求(3). 四,模型稳定性的分析8不加证明地引用下面定理([1]103 页). 定理 则 A 为 n × n 复矩阵, λ1 是 A 的单特征根,B 是 n × n 矩阵,则一定可以从~A+Be (其中| ε |足够小)的特征根中找到一个特征根 λ 满足 λ = λ1 + O(ε ) . 由名词的约定 6 中解释 A 的最大特征根是单的,由上述定理可知,只要判断 矩阵的变动微小,主特征根的变动是微小的,进一步容易证明线性方程组(A
λmax E ) w = 0 的满足 ∑ w1 = 1 的解的变动是微小的,即主特征向量的变动是微i =1~ ~~n小的,排名是稳定的,满足了要求(2). 五,关于可依赖程度的分析 很明显本模型是容忍不一致现象的,即满足要求(6). 当 A 是一个残缺的不一致矩阵时,由它得到的排名向量设为 w ,由名词约定 (1)我们认为这既是真实实力向量,令δ ij =aij wi / w j 1, i, j = 1, …, n.(3.5)则由(2.2)式可知 wi / w j ≥ 1 时,δ ij =aij
wi / w j wi / w j~ N(0,2 σ ijwi / w j).(3.6)为计算方便,我们进一步假定 wi / w j ≥ 1 时,2 σ ijwi / w j令= σ 2 为常数,(3.7) (3.8)h=wi / w j &1 aij ≠ 0∑δ ij2 +wi / w j &1 aij ≠ 0,i & j∑δ ij2 .则 h 可看作 A 的前后矛盾程度,再由(3.6),(3.7)可知h / σ 2 ~ xr2 ,(3.9) (3.10)其中mi 为第 i 行零的个数.n(n
1) n mi r= ∑ , 2 i 1 2那么对某个固定 A 0 ,可以通过(3.10)求出 r0 ,通过(3.8)求出 h0 ,设随机 变量 h / σ 2 ~ xr20 ,则查 x 2 表可得到9a = P(hσ2&σ2h0)(3.11)称 a 为 A 0 的可依赖程度.则一个判断矩阵 A 0 的可依赖程度为 a 就表示,如果与 A 0 相同的几个队在同样的比赛程序(队编号相同,残缺元素相同)下踢大量赛季 的比赛(假定各队水平不长进),判断矩阵为 A 0 的这次的前后矛盾程度 h0 比大约a × 100%的赛季的比赛前后矛盾程度 h 要小.1 2 a 临界值的确定可以很灵活地由比赛组织者决定,也可以通过大量好的和坏 的比赛成绩比较给出一个值. 这样,我们的模型就满足了要求(7).σ 2 的值可以用统计的方法估出,在本模型中我们只是简单地取 σ 2 = .§4 模型运行结果的分析 我们在计算机上实现了上述模型,并对表 1 中的数据进行了排名,结果是令 人满意的,运算时间小于 1 秒,得到的结果是: 排名顺序(由强到弱) T7 , T3 , T1 , T9 , T2 , T10 , T8 , T12 , T6 , T5 , T11 , T4 . : 数据可依赖程度为 65%; T7 踢了 9 场比赛,全部获胜, T4 踢了 9 场比赛全部输掉,所以 T7 第一而 T4 最末 是显然的.下面考虑一对水平接近的队 T3 和 T1 . 在 T3 , T1 与其它队的比赛中,只有 T9 , T4 , T5 的比赛中, T1 成绩比 T3 稍好,而在与 其余 6 个队的比赛中, T3 成绩都优于 T1 ,而且在 T3 与 T1 比赛时 T3 在净胜球方面占了 上风,因此将 T3 排在 T1 前面是合适的. 数据可依赖程度为 65%说明表 1 中所给数据还是不错的,当然优于算法中取 1 σ 2 = 是先验的,这个指标暂时还不是准确的. 2 模型有缺点及改进方向 通过与现行的一些排名方法比较,上述模型的优势是很明显的; 1)它存在反馈机制,并且具有稳定性,保证了排名的公平和令人信服; 2)能较准确地处理残缺,不一致等性质差的数据,对比赛程序没有严格的要 求; 3)灵活机动,这包括了它提供了对比赛成绩表进行取舍的参考指标,以及它 适合任意 N 个队任何对抗型比赛的排名; 4)满足保序性.10模型主要的一个缺点就是算法复杂,必须用到计算机,而且对指导教练制定 战略造成了困难,这是无法改进的,但这同时也使球队的战术水平在比赛中的地 位上升,有利于刺激竞争.另外我们还基于另一种思路建立了一个便于手算的模 型,优于算法简单,效果没有本模型好,本文中省略. 在从成绩表构造判断矩阵时用到的方法也不是最好的,它只是为了简单和 较合乎常识,这一步在整个模型里引入的误差最大.稍微复杂一点的方法是根据 成绩通过查表或专家咨询获得实力对比的值. 另外一个不足之处是在某些残缺元素过多的情况下排名的稳定性和可靠性 较低,而可依赖程度这个指标并没有考虑这些情况.如比较下面两个判断矩阵,它 们的差别就不大. 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1
与 0 0 1 1 .
但排名结果分别为 T4 , T3 , T2 , T1 和 T2 , T1 , T3 , T4 结构变化很大.这种情况可以也 只能对比赛程序作一些要求,以避免这种几乎可约的情形,本模型并没有作这种 工作. 1 还有就是像§4 所说的,可依赖程度的计算中取 σ 2 = 是没有多少道理的, 2 这可以通过用统计的方法估出 σ 2 来解决. 不基于本模型的不足,模型的改进余地也是很大的.它只使用了层次分析法 中单一准则一个层次的排序方法,可以考虑使用多个准则和递阶层次,比如将净 胜局数,净胜球数,射门次数,犯规次数作为四个准则,两个层次.甚至能将观众反 应等许多细小因素考虑在内,使排名更加反应球队实力.参考文献 [1]王莲芬,许树柏,层次分析法引论,中国人民大学出版社,北京,1990. [2]叶其孝主编,大学生数学建模竞赛辅导教材,湖南教育出版社,1993. [3]许卓群等编,数据结构,高等教育出版社,1987. [4]杜荣骞编,生物统计学,高等教育出版社,1985.11关于&球队排名次问题&的几点评注北京清华大学 蔡大用 一,出题背景和题目特点 1993 年数学模型竞赛征题期间,正好中国足球在世界杯外围赛中再次失利. 不久后有关报刊发布了世界足球队的排名顺序.仔细观察不难发现,在公布的球 队中有的队之间有从来没比赛过,不少人发生了如下疑问: 1.报刊上公布的球队排序的依据是什么. 2.如何客观,公正地评价球队之间的智力对比,取消一些赛制――偶然或人 为因素的影响. 也就是说,要求我们建立一个客观的评估方法,只依据过去一段时间内(几 个赛季或几年)每个球队的战绩给出各队的优劣次序. 解决类似问题的竞赛图法有较强的限制,它要求所评估的各队中任何两队 必须比赛过,而且两队之间比赛的场次要一样.显然,在世界范围内取得这样的数 据时相当困难的. 为了克服传统竞赛图法的局限性,我们拟出本题供参赛者思考. B 题的特点 1.有很强的实际背景,而且一旦给出了成功的模型和软件,它将有很大的使 用价值.显然,它可以用于相当多的体育比赛 (几乎所有的球类,棋类,击剑……) , 而且也有可能用于社会领域中其他问题. 2.很多数学工具可有用武之地:正如参考答案及很多参赛者的答卷中所 示,B 题涉及数学模型,矩阵论,图论,层次分析,概率统计,模糊数学,数值 分析等诸多数学领域中的方法.也有的作者用到了计算机科学中的各种技巧和分 析方法. 3.是一个相当&开放&的题目.它没有事先给出的标准答案和最优方案,是 一个研究性,探索性较强的题目,给参赛者(甚至每个人)都留下了足够的思考 空间.虽然赛事已过,但它依然是一个余味未尽的研究课题. 当然,与优点相关的自然有不少缺点.比如,没有传统方法可循,题目显得粗 糙,不成熟.所提供的数据也不完全合理,人工的斧凿痕迹很多等等. 二,对于各种方法的诌议 对于数学模型竞赛来说,评判一个方的优劣,我们着眼于三点: 1)对于模型的假设是否合理. 2)所建模型构思是否新颖,其给出的结果是否合乎实际,而且具有一般性. 3)叙述是否清楚. 基于这种标准,我们认为有些答卷是十分优秀的. 例 1 首先定义了评分向量 S(其含意和参考答案中含意相近), 然后考虑了各 种因素建立了一种曲线性模型. S=F(S), 其中 F () 是一个 n 维向量函数,并建立了求解上面非线性方程组的迭代法.12例 2 尽管理论上并没有能证明迭代法的收敛性,但模型的构思十分可取. 例 3 球队排序问题转化成一个整数规划问题,建模的出发点十分简单明了, 有其精彩之处. 例 4 用层次分析法(AHP)完整地分析并解决了问题并且理论分析和各种因 素的讨论十分完整. 例 5 用图论的办法成功地处理了数据缺损等方面的困难,建立了一般性的模 型. 参考了传统的体育界沿用的评分办法,但对缺损数数据援用了统计学中各 种(也包括作者自己设计的)数据缺损的处理办法. 还有很多思路.如用 Fuzzy 数学理论,概率论,灰色系统理论等,不能一一枚 举.总之,尽管得奖者是少数,但每份答案均有其合理的部分,反映出了年轻人的 智慧火花. 当然,由于全国数学模型竞赛刚刚举办两次,组织者和参赛者都缺乏经验, 难免有些不尽人意之处. 有些参赛者对竞赛的宗旨和题目要求理解有些偏颇,他们着力于赛制的猜 测, 分组的分析,甚至查阅了体育年鉴等参考资料,按照当年比赛的实况和结果着 手于探索本题的&正确答案&.这不能不说是方法学上的失误;也有的参赛者基 本上用了体育界沿用的比得分, 比净胜球等传统方法,只不过把这些成法电算化. 这种方法没有能克服传统方法的弱点(虽然有的作者已经分析了这个弱点),也 缺乏新意;还有的参赛者拘泥于具体的数据,设计了特殊的算法,&成功地&解决 了这一具体问题,但没有一般意义. 尽管有如上的偏颇,但参赛者思想活跃及富有探索创新的精神,确实呈现了 百花齐放的局面,这是我们始料不及的.有人得了奖,有人没有,但从 &重要的在于 参与&的意义上大家都是成功者.13足球比赛排名问题1993 年全国大学生数学建模竞赛为足球比赛排名问题,该问题可谓脍炙人 口,至今仍使人津津乐道. 问题 根据我国 12 支足球队在
年全国足球甲级联赛中的成绩 (如下表, 其中 X 表示两个队之间没有比赛). 要求: (1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法, 并给出用该算法排名次 的结果. (2) 把算法推广到任意 N 个队的情况. (3) 讨论: 数据应具备什麽样的条件, 用你的方法才能排出诸队的名次.--------------------------------------------------------------------------| T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12----|---------------------------------------------------------------------| T1 | | X 0:1 1:0 0:0 2:2 1:0 0:2 2:0 3:1 1:0 3:1 1:0 0:1 1:3 0:2 2:1 1:0 4:0 1:1 1:1 X X----|---------------------------------------------------------------------| T2 | | X 2:0 0:1 1:3 0:0 2:0 0:0 1:1 2:1 1:1 1:1 0:0 0:0 2:0 1:1 0:2 0:0 X X----|--------------------------------------------------------------------| T3 | | X 4:2 1:1 0:0 2:1 3:0 1:0 1:4 0:1 3:1 1:0 2:3 0:1 2:0 X X----|---------------------------------------------------------------------T4 | | X 2:3 0:1 0:5 2:3 2:1 1:3 0:1 0:0 0:1 1:1 X X----|---------------------------------------------------------------------T5 | | X 0:1 X X X X 1:0 1:2 0:1 1:1----|---------------------------------------------------------------------T6 | X X X X X X X----|---------------------------------------------------------------------| T7 | | X 1:0 2:0 0:0 2:1 3:0 1:0 3:1 3:0 2:2 3:1 2:0----|---------------------------------------------------------------------| 0:1 1:1 3:1 0:014T8 | |X1:2 2:01:0 0:1----|---------------------------------------------------------------------| T9 | | X 3:0 1:0 0:0 1:0 1:0----|---------------------------------------------------------------------T10 | | X 1:0 2:0 1:1----|---------------------------------------------------------------------T11 | | X 1:2 1:1----|---------------------------------------------------------------------T12 | --------------------------------------------------------------------------X15
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