高中奥林匹克物理竞赛解题方法七、对称法方法简介由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象 普遍存在于各种物理现象和物理规律中. 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质 世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理 学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓 住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题.赛题精析例 1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球 A， 抛出点离水平地面的高度为 h，距离墙壁的水平距离为 s， 小球与 墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离 为 2s，如图 7―1 所示. 求小球抛出时的初速度. 解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速 度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时 小球继续前进的轨迹相对称，如图 7―1―甲所示，所以小球的运动可 以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从 A′点水平抛出所做 的运动.图 7―1? x = v0 t ? 根据平抛运动的规律： ? 1 2 ? y = 2 gt ?因为抛出点到落地点的距离为 3s，抛出点的高度为 h 代入后可解得： v0 = xg g = 3s 2y 2h例 2：如图 7―2 所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁 A 和 B，间距为 d， 一个小球以初速度 v 0 从两墙正中间的 O 点斜向上抛 出， 与 A 和 B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点 O， 求小球的抛 射角 θ . 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺 序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等 效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解.-1-物体跟墙 A 碰撞前后的运动相当于从 O′点开始的斜上抛运动，与 B 墙碰后落于 O 点 相当于落到 O″点，其中 O、O′关于 A 墙对称，O、O″对于 B 墙对称，如图 7―2―甲所 示，于是有? x = v0 cosθt ? ? 1 2 ? y = v 0 sin θt ? 2 gt ?代入可解得 sin 2θ =? x = 2d 落地时? ?y = 02dg 1 2dg 所以抛射角θ = arcsin 2 2 2 v0 v0例 3：A、B、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物 的速度均为 v ，A 犬想追捕 B 犬，B 犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬 不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂 的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点， 在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕 点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向 中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图 7―3， 设顶点到中心的距离为 s，则由已知条 件得 s =3 a 3由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为v ′ = v cos 30 o =3 v 2由此可知三角形收缩到中心的时间为 t =s 2a = v ′ 3v此题也可以用递推法求解，读者可自己试解. 例 4：如图 7―4 所示，两个同心圆代表一个圆形槽， 质量为 m，内外半径几乎同为 R. 槽内 A、B 两处分别放 有一个质量也为 m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不 计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止， 两小球具有垂直于 AB 方向的速度 v ，试求两小球第一次 相距 R 时，槽中心的速度 v 0 . 解析：在水平面参考系中建立水平方向的 x 轴和 y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在 x 轴方向上-2-运动。设槽中心沿 x 轴正方向运动的速度变为 v 0 ，两小球 相对槽心做角速度大小为 ω 的圆周运动，A 球处于如图 7―4―甲所示的位置时，相对水平面的两个分速度为v x = ωR sin θ + v0v y = ?ωR cos θ① ②B 球的运动与 A 球的运动是对称的. 因系统在 x 轴方向上动量守恒、机械能也守恒，因此mv0 + 2mv x = 2mv 1 1 2 1 2 2 2 × m(v x + v y ) + mv0 = 2 × mv 2 2 2 2③ ④将①、②式代入③、④式得： 3v0 = 2v ? 2ωR sin θ2 2 ω 2 R 2 + 2ωRv0 sin θ + v0 + v0 = v 21 2由此解得 v 0 =sin θ 2 (1 ? )v 3 3 ? 2 sin 2 θo当两球间距离为 R 时， θ = 30 ，代入可解得槽中心运动的速度为v0 =2 1 (1 ? )v 3 10例 5：用一轻质弹簧把两块质量各为 M 和 m 的木板连接起来， 放在水平上，如图 7―5 所示，问必须在上面木板上施加多大的压 力 F，才能使撤去此力后，上板跳起来恰好使下板离地？ 解析：此题可用能量守恒的观点求解，但过程较繁，而用弹簧 形变的“对称性”求解就显得简洁明了. 若用拉力 F 作用在 m 上，欲使 M 离地，拉力 F 至少应为 F=（M+m）g 根据弹簧的拉伸和压缩过程具有的对称性，故要产生上述效果， 作用在 m 上的向下的压力应为 F=（M+m）g 例 6：如图 7―6 所示，长为 l 的两块相同的均匀长方形砖块 A 和 B 叠放在一起，A 砖相对于 B 砖伸出 l/5,B 砖放在水平桌面上，砖 的端面与桌面平行. 为保持两砖不翻倒，B 砖伸出桌面的最大长度是 多少？-3-解析：此题可用力矩平衡求解，但用对称法求解，会直观简洁. 把 A 砖右端伸出 B 端的 l/5 截去，补在 B 砖的右端，则变成图 7―6―甲所示的对称形状. 伸出最多时对称轴应恰好通过桌边. 所以： l ? x = x + (l / 5) 解得 B 砖右端伸出桌面的最大长度为 x = 2l / 5 . 例 7：如图 7―7 所示，OABC 是一张水平放置的桌球台面.取 OA 为 x 轴，OC 为 y 轴， （图中未画出 Q 球在台面上的位 P 是红球，坐标为（x，y） ，Q 是白球，坐标为（ x 1 ， y1 ） 置）.已知 OA=BC=25dm，AB=OC=12dm. 若 P 球的坐标为： x = 10dm, y = 8dm 处，问 Q 球的位置在什么 范围内时，可使击出的 Q 球顺次与 AB、BC、CO 和 OA 四壁碰撞反 弹，最后击中 P 球？ 解析：由于弹性碰撞反弹服从的规律与光线的反射定律相同，所 以作 P 点对 OA 壁的镜像 P1，P1 对 CO 壁的镜像 P2，P2 对 BC 壁的镜像 P3 和 P3 对 AB 壁的 镜像 P4，则只需瞄准 P4 点击出 Q 球，Q 球在 AB 壁上 D 点反弹后射向 P3，又在 BC 壁上 E 点反弹后射向 P2，依次类推，最后再经 F，G 二点的反弹击中 P 点，如图 7―7―甲所示. 但是，若反弹点 E 离 B 点太近， Q 球从 E 点反 弹后 EP2 线与 CO 的交点，可能不在 CO 壁的范围内 而在 CO 的延长线上， 这时 Q 球就无法击中 CO 壁 （而击到 OA 壁上） ，不符合题目要求，所以，Q 球能 够最后按题目要求击中 P 球的条件是：反弹点 D、E、 F、和 G 一定要在相应的台壁范围之内. 已知 P 点的坐标为（10，8） ，由此可知，各个镜 像点的坐标分别为 P1（10，－8） 2（－10，－8） 3（－10，32） 4（60，32） ，P ，P ，P 设 Q 点的坐标为 ( x ′, y ′) ；直线 QP4 的方程为32 ? y ′ ( X ? x ′) 60 ? x ′ D 点在此直线上， X D = 25 ，由上式得： Y ? y′ =1 (800 ? 32 x ′ + 35 y ′) 60 ? x ′ 直线 DP3 的方程为 32 ? y ′ ( X ? xD ) Y ? YD = ? 60 ? x ′ YD =E 点在此直线上，YE=12，由 此式及②式得-4-①②③x E = 25 ?1 (1 ? 80 + 20 x ′ ? 35 y ′) 32 ? y ′④′ 直线 EP2 的方程为 Y ? YE = 32 ? y ( X ? x E ) ′ 60 ? xF 点在此直线上， X F = 0, 所以YF = 12 ? 最后，直线 FP1 的方程为 Y ? YF = ? G 点在此直线上，YG=0，所以 X G =10 (88 ? 2 x ′ + y ′) 60 ? x ′32 ? y ′ (X ? X F ) 60 ? x ′⑥⑤1 (?160 + 8 x ′ ? 10 y ′) 32 ? y ′0 & YD & 12 ? 0 & X E & 25? ? 反弹点位于相应台壁上的条件为 ? 0 & YF & 12 ? 0 & X G & 25? ?⑦将③、④、⑤和⑥式代入⑦，除肯定满足无需讨论的不等式外，Q 球按题目要求击中 P 球的条件成为YD : 35 y ′ & 20 x ′ ? 80 ? ? X E : 35 y ′ & 20 x ′ ? 80? YF : 5 y ′ & 4 x ′ ? 80 ? ? X G : 5 y ′ & 4 x ′ ? 80?上面共两个条件，作直线 l1 : 35Y = 20 X ? 80 及 l 2 : 5Y = 4 X ? 80 如图 7―7―乙所示，若 Q 球位于 l 2 下方的三角形 D0AH0 内，即可同时满足⑧、⑨两式的条件，瞄准 P4 击出，可 按题目要求次序反弹后击中 P 球，三角形 D0AH0 三个顶 点的坐标如图 7―7―乙所示. 例 8：一无限长均匀带电细线弯成如图 7―8 所示 的平面图形，其中 AB 是半径为 R 的半圆孤，AA′平行于 BB′，试求圆心 O 处的电场强度. 解析：如图 7―8―甲所示，左上 1/4 圆弧内的线元△L1 与右下直线上的线元△L3 具有角元△ θ 对称关系. △L1 电荷 与△L3 电荷在 O 点的场强△E1 与△E3 方向相反，若它们的大 小也相等，则左上与右下线元电场强度成对抵消，可得圆心-5-处场强为零. 设电荷线密度为常量 λ ，因△ θ 很小，△L1 电荷与△L3 电 荷可看做点电荷，其带电量q1 = RΔθλq 2 = ΔL3 λ RΔθλ cosθ ? cosθ当 Δθ很小时, 有q 2 = 又因为 ΔE1 = Kq1 q2 RΔθλ cos 2 θ RΔθλ ? =K , ΔE 2 = K 2 = K , 2 2 2 cos θ R r R R2与△E1 的大小相同，且△E1 与△E2 方向相反，所以圆心 O 处的电场强度为零. 例 9：如图 7―9 所示，半径为 R 的半圆形绝缘线上、 下 1/4 圆弧上分别均匀带电+q 和－q，求圆心处的场强. 解析：因圆弧均匀带电， 在圆弧上任取一个微小线元， 由于带电线元很小，可以看成点电荷. 用点电荷场强公式表 示它在圆心处的分场强，再应用叠加原理计算出合场强. 由 对称性分别求出合场强的方向再求出其值. 在带正电的圆孤上取一微小线元，由于圆弧均匀带电，因而线密度 λ = 2q / πR . 在带负电的圆弧上必定存在着一个与之对称的线元， 两者产生 的场强如图 7―9―甲所示. 显然， 两者大小相等，其方向分别与 x 轴的正、负方向成 θ 角，且在 x 轴方向上分量相等.由于很小，可以认 为是点电荷，两线元在 O 点的场强为 ΔE = 2 ?KR ? Δθλ 2 K λ Δh sin θ = , 2 R R2 方向沿 y 轴的负方向，所以 O 点的合场强应对△E 求和.即E =∑ ΔE = ∑2 KλΔh 2 Kλ 2 Kλ 4 Kq = 2 ∑ Δh = 2 R = . 2 R R R πR 2例 10：电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面的半径为 R， CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的轴线，如图 7―10 所示，P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧，离 O 点距离相等的两点，已知 P 点的 电势为 UP，试求 Q 点的电势 UQ. 解析：可以设想一个均匀带电、带电量也是 q 的右半球，与题 中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，根据对称性来解.′ 由对称性可知，右半球在 P 点的电势 U P 等于左半球在 Q 点的电势 UQ.′ ′ ′ 即 U P = U Q 所以有U P + U Q = U P + U P , 而U P + U P 正是两个半球在 P 点的电势，因 ′ 为球面均匀带电，所以 U P + U P = K 2q 2 Kq . 由此解得 Q 点的电势 U Q = ?U P . R R-6-例 11：如图 7―11 所示， 三根等长的细绝缘棒连接成等边三 角形，A 点为三角形的内心， B 点与三角形共面且与 A 相对 ac 棒 对称，三棒带有均匀分布的电荷，此时测得 A、B 两点的电势各为 UA、UB，现将 ac 棒取走，而 ab、bc 棒的电荷分布不变，求这时 A、′ B 两点的电势 U ′ 、 U B . A解析：ab、bc、ac 三根棒中的电荷对称分布，各自对 A 点电势的贡献相同，ac 棒对 B 点电势的贡献和对 A 点电势的贡献相同，而 ab、bc 棒对 B 点电势的贡献也相同. 设 ab、bc、ac 棒各自在 A 点的电势为 U1，ab、bc 棒在 B 点的电势为 U2. 由对称性知， ac 棒在 B 点的电势为 U1. 由电势叠加原理得： 3U1=UA ① U1+2U2=UB ② 由①、②两式得 U1=UA/3U ? U1 U2 = B = 2UB ?UA 3 = 3U B ? U A 2 6将 ac 棒取走后，A、B 两点的电势分别为2 U ′ = U A ? U1 = U A A 3 U U ′ U B = U B ?U2 = B + A 2 6例 12：如图 7―12 所示为一块很大的接地导体板，在与 导体板相距为 d 的 A 处放有带电量为－q 的点电荷. （1）试求板上感应电荷在导体内 P 点产生的电场强度； （2）试求感应电荷在导体外 P′点产生的电场强度（P 与 P′点对导体板右表面是对称的） ； （3）在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度 的方向与导体表面垂直； （4）试求导体上的感应电荷对点电荷－q 的作用力； （5）若在切断导体板与地的连线后，再将+Q 电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在 导体板上如何分布可达到静电平衡（略去边缘效应）. 解析：在讨论一个点电荷受到面电荷（如导体表面的感应电荷）的作用时，根据“镜像 法”可以设想一个“像电荷” ，并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化. （1）导体板静电平衡后有 E 感=E 点,且方向相反，因此板上感应电荷在导体内 P 点产生 的场强为 E P =kq ， r2-7-r 为 AP 间距离，方向沿 AP，如图 7―12 甲所示.（2）因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在 P 点和 P′点的电场具有对称性，因此有 E P′ = 7―12―甲所示. （3）考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点 P1 和 P ′ .如 1 前述分析，在导体外 P ′ 点感应电荷产生的场强大小为 E ip1′ = 1kq ，方向如图 r2EiP1′kq . r12点电荷在 P ′ 点产生的场强大小也是 Eq p1 = kq . 方向如图 7―12 ′ 1 r12 ―乙. 从图看出， P ′ 点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直. 1 （4）重复（2）的分析可知，感应电荷在－q 所在处 A 点的场强为 E iA =EiP1′kq kq = ， 2 ( 2d ) 4d 2kq 2 方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷－q 的电场力为 F = ?qE iA = ? ，负号 4d 2表示力的方向垂直于导体板指向左方. （5）切断接地线后，导体板上原来的感应电荷仍保持原来的分布，导体内场强为零.在 此情况下再将+Q 电荷加在导体板上，只要新增加的电荷在导体内部各处的场强为零，即可 保持静电平衡，我们知道电荷均匀分布在导体板的两侧表面时，上述条件即可满足.显然这时 +Q 将均匀分布在导体板的两侧面上，才能保证板内场强为零，实现静电平衡. 例 13：如图 7―13 所示，在水平方向的匀强电场中，用长为l 的绝缘细线，拴住质量为 m、带电量为 q 的小球，线的上端 O 固 定，开始时将线和球拉成水平，松开后，小球由静止开始向下摆动， 当摆过 60°角时，速度又变为零. 求： （1）A、B 两点的电势差 UAB 多大？ （2）电场强度多大？解析： （1）小球在 A、B 间摆动，根据能量守恒定律有 ε PA = ε PB 取 A 点为零势能的参考点，即 ε PB = 0 则 E PB = ?mgl sin 60 + qU BA = 0o所以 U BA =3mgl 2qU AB = ?3mgl 2q-8-（2）小球在平衡位置的受力如图 7―13―甲.根据共点力的平衡 条件：有： qE = mg tan 60 解得电场强度： E =o3mg q例 14：如图 7―14 所示，ab 是半径为 R 的圆的一条直径，该圆 处于匀强电场中，场强为 E，在圆周平面内，将一带正电 q 的小球从 a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的 点，在这些所有的点中，到达 c 点时小球的动能最大.已知∠cab=30°， 若不计重力和空气阻力，试求： （1）电场方向与直径 ab 间的夹角 θ ？ （2）若小球在 a 点时初速度方向与电场方向垂直，小球恰好能落在 c 点，则初动能为多 少？ 解析：由于对 a 点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时其中到达 c 点的小球动能最大，因此过 c 点的切线一定是等势线，由此可以确定电场线的方向，至于 从 a 点垂直于电场线抛出的小球可按类平抛运动处理. （1）用对称性判断电场的方向：由题设条件，在圆周平面内， 从 a 点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球， 小球会经过圆周上不 同的点，且以经过 c 点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面. 又根据动能定理，电场力对到达 c 点的小球做功最多， 为 qUac. 因此， Uac 最大. 即 c 点的电势比圆周上任何一点的电势都低. 又因为圆周平面 处于匀强电场中，故连接 Oc，圆周上各点的电势对于 Oc 对称（或作过 c 点且与圆周相切的线 cf 是等势线）,Oc 方向即为电场方向（如图 7―14 ―甲所示） ，它与直径 ab 的夹角为 60°. （2）小球在匀强电场中做类平抛运动. 小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为 v 0 ， 小球质量为 m. 在垂直于电场线方向，有： x = v0 t 在沿电场线方向，有： y = 由图中几何关系可得 ① ②1 2 at 2x = R cos 30 o y = R(1 + cos 60 o )且③ ④ ⑤a=qE m-9-将③、④、⑤式代入①、②两式解得： v0 =2RqE 4m所以初动能 E k 0 =1 2 RqE mv0 = . 2 8例 15：如图 7―15 所示，两块竖直放置的平行金属板 A、B 之间 距离为 d，两板间电压为 U，在两板间放一半径为 R 的金属球壳，球 心到两板的距离相等，C 点为球壳上的一点，位置在垂直于两板的球 直径的靠 A 板的一端，试求 A 板与点 C 间的电压大小为多少？ 解析：将金属球壳放在电场中达到静电平衡后，球壳为等势体， 两极板之间的电场由原来的匀强电场变为如图 7―15―甲所示的电场， 这时 C 与 A 板间电势差就不能用公式 UAC=EdAC 来计算. 我们利用电 场的对称性求解. 由于电场线和金属球关于球心 O 对称，所以 A 板与金属板的电势 差 UAO 和金属球与 B 板的电势差 UOB 相等，即 UAO=UOB. 又 A、B 两 板电势差保持不变为 U，即 UAO+UOB=U，由以上两式解得： UAO=UOB=U/2 所以得 A、C 两点间电势差 UAC=UAO=U/2 例 16：如图 7―16 所示，一静止的带电粒子 q，质量为 m（不计 重力） ，从 P 点经电场 E 加速，经 A 点进入中间磁场 B，方向垂直纸 面向里，再穿过中间磁场进入右边足够大的空间磁场 B′（B′=B） ， 方向垂直于纸面向外，然后能够按某一路径再由 A 返回电场并回到出 发点 P，然后再重复前述过程. 已知 l 为 P 到 A 的距离，求中间磁场的 宽度 d 和粒子运动的周期. （虚线表示磁场的分界线） 解析：由粒子能“重复前述过程” ，可知粒子运动具有周期性；又 由粒子经过 A 点进入磁场后能够按某一路径再返回 A 点，可知的运动 具有对称性. 粒子从 A 点进入中间磁场做匀速圆周运动，半径为 R，过 C 点进入 （ （ 右边磁场，于做半径为 R 的匀速圆周运动经点 F 到点 D，由于过 D 点后 还做匀速圆周回到 A（如图 7―16―甲所示） ，故 DA 和 CA 关于直线 OA 对称，且 OA 垂直 于磁场的分界线. 同理可知，OA 也同时是 CD 圆弧的对称轴. 因此粒子 （ （ （ 的运动轨迹是关于直线 OA 对称的. 由于速度方向为切线方向，所以圆 弧 AC、CD、DA 互相相切. （1）设中间磁场宽度为 d，粒子过 A 点的速度为 v ， 由圆周运动的对称性可得 则θ=π6R ? sin θ = R ? R sin θ- 10 -带电粒子在加速电场中有 qEl = 在中间和右边磁场中有 R =1 2 mv 2①mv qB② ③d=Rcos θ 解①、②、③得d=6qElm 2qB（2）粒子运动周期 T 由三段时间组成，在电场中做匀变速直线运动的时间为 t1，t1 = 22lm qE（在中间磁场中运动的时间为 t2，因为 AC 所对圆心角为π3，所以2πm 2πm t2 = 2 × 3 T ′ = 2 × 3 = 2π qB 3qB 2π在右边磁场中运动的时间为 t3 （ 因为 CD 所对圆心角为ππ5 π 35 5 π π 2πm 5πm 所以 t 3 = 3 T ′ = 3 = 2π 2π qB 3qB所以周期为 T = t1 + t 2 + t 3 = 22lm 7πm + qE 3qB针对训练1．从距地面高 19.6m 处的 A 点，以初速度为 5.0m/s 沿水平方向 投出一小球. 在距 A 点 5.0m 处有一光滑墙，小球与墙发生弹性碰撞 （即入射角等于反射角，入射速率等于反射率） ，弹回后掉到地面 B 处. 求：B 点离墙的水平距离为多少？ 2．如图 7―17 所示，在边长为 a 的正方形四个顶点上分别固定电 量均为 Q 的四个点电荷，在对角线交点上放一个质量为 m，电量为 q （与 Q 同号）的自由点电荷. 若将 q 沿着对角线移动一个小的距离，它 是否会做周期性振动？若会，其周期是多少？- 11 -3．如图 7―18 所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络， 当各小段电阻丝的电阻均为 R 时，A、B 两点之间的等效电阻为 R/2， 今将 A，B 之间的一小段电阻丝换成电阻为 R′的另一端电阻丝，试 问调换后 A，B 之间的等效电阻是多少？ 4．有一无限大平面导体网络，它由大小相同的正六角形网眼组 成，如图 7―19 所示，所有六边形每边的电阻均为 R0，求 a，b 两结 点间的等效电阻.5．如图 7―20 所示，某电路具有 8 个节点，每两个节点之间都连有一个阻值为 2 Ω 的 电阻，在此电路的任意两个节点之间加上 10V 电压，求电路的总电流，各支路的电流以及电 阻上消耗的总功率. 6．电路如图 7―21 所示，每两个节点间电阻的阻值为 R，求 A、B 间总电阻 RAB. 7．电路如图 7―22 所示，已知电阻阻值均为 15 Ω ，求 RAC，RAB，RAO 各为多少欧？8．将 200 个电阻连成如图 7―23 所示的电路，图中各 P 点是各支路中连接两个电阻的 导线上的点，所有导线的电阻都可忽略. 现将一电动势为 ε ，内阻为 r 的电源接到任意两个 P 点处，然后将任一个没接电源的支路在 P 点处切断，发现流过电源 的电流与没切断前一样，则这 200 个电阻 R1，R2，…，R100，r1，r2， …，r100 应有下列的普遍关系：R R1 R2 R3 = = = L = 100 , 这时图中 r1 r2 r3 r100AB 导线与 CD 导线之间的电压等于 . 9．电路如图 7―24 所示的电阻丝网络中，每一小段电阻丝的电阻- 12 -值都为 R，试求图中 A、B 两点间的等效电阻 RAB. 10．如图 7―25 所示的四面体框架由电阻同为 R 的 6 根电阻丝联结而成，求任意两个顶 点 A、B 间的等效电阻 RAB. 11．一匀质细导线圆环，总电阻为 R，半径为 a，圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁 场，磁场以速率 K 均匀的随时间增强，环上的 A、D、C、三点位置对称. 电流计 G 连接 A、 C 两点，如图 7―26 所示. 若电流计内阻为 RG，求通过电流计的电流大小.七、对称法1．5.0m 2．会做周期性振动，周期为 π 5． I 总 = 40 A 6．RAB=2R 9． R AB =ma 3 2 KQq3． R AB =RR ′ R + R′4． Rab = R0节点 1~8 之间支路电流 I1=5A；其他支路电流 2.5A 7． R AC =总功率 400W75 75 Ω, R AB = 15Ω, R AO = Ω 8 88．016 R 3010． R AB =R 211．πa 2 KR9 Rc + 3R- 13 -
赞助商链接有两条长直导线垂直水平纸面放置.交纸面于a.b两点.通有大小相等的恒定电流.方向如图所示.a.b的连线水平．c是ab的中点.d点与c点关于b点对称．已知c点的磁感应强度B1.d点的磁感应强度为B2.则关于a处导线在d点的磁感应强度的大小及方向.下列说法正确的是( )A．B12+B2.方向竖直向上B．B12-B2.方向竖直向下C．B1+B2.方向竖直向下 题目和参考答案——精英家教网——
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有两条长直导线垂直水平纸面放置，交纸面于a、b两点，通有大小相等的恒定电流，方向如图所示，a、b的连线水平．c是ab的中点，d点与c点关于b点对称．已知c点的磁感应强度B1，d点的磁感应强度为B2，则关于a处导线在d点的磁感应强度的大小及方向，下列说法正确的是（　　）A．B12+B2，方向竖直向上B．B12-B2，方向竖直向下C．B1+B2，方向竖直向下D．B1-B2，方向竖直向上
设a处导线在d点的磁感应强度的大小为B，方向方向竖直向下．根据通电直导线产生的磁场磁感应强度与电流成正比，a处导线在c点的磁感应强度的大小为3B，方向竖直向下．由题，两条长直导线恒定电流大小相等，则得到b处导线在c两点的磁感应强度的大小为3B，根据安培定则得到，方向竖直向下．b处导线在d两点的磁感应强度的大小为3B，根据安培定则得到，方向竖直向上．则根据磁场叠加得&&& B1=3B+3B=6B，B2=3B-B=2B，根据数学知识得到，B=B12-B2．所以a处导线在d点的磁感应强度的大小为B=B12-B2，方向是竖直向下．故选B
练习册系列答案
科目：高中物理
题型：阅读理解
第Ⅰ卷（选择题　共31分） 一、单项选择题．本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意． 1. 关于科学家和他们的贡献，下列说法中正确的是[来源:Www..com] A．安培首先发现了电流的磁效应 B．伽利略认为自由落体运动是速度随位移均匀变化的运动 C．牛顿发现了万有引力定律，并计算出太阳与地球间引力的大小 D．法拉第提出了电场的观点，说明处于电场中电荷所受到的力是电场给予的 2．如图为一种主动式光控报警器原理图，图中R1和R2为光敏电阻，R3和R4为定值电阻．当射向光敏电阻R1和R2的任何一束光线被遮挡时，都会引起警铃发声，则图中虚线框内的电路是 A．与门&&&& &&&&&&&&&&&& B．或门 &&&&&&&&&&&&& C．或非门&& &&&&&&&&&&&&& &D．与非门
3．如图所示的交流电路中，理想变压器原线圈输入电压为U1，输入功率为P1，输出功率为P2，各交流电表均为理想电表．当滑动变阻器R的滑动头向下移动时 A．灯L变亮&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．各个电表读数均变大 C．因为U1不变，所以P1不变& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．P1变大，且始终有P1= P2 4．竖直平面内光滑圆轨道外侧，一小球以某一水平速度v0从A点出发沿圆轨道运动，至B点时脱离轨道，最终落在水平面上的C点，不计空气阻力．下列说法中不正确的是 A．在B点时，小球对圆轨道的压力为零 B．B到C过程，小球做匀变速运动 C．在A点时，小球对圆轨道压力大于其重力 D．A到B过程，小球水平方向的加速度先增加后减小 5．如图所示，水平面上放置质量为M的三角形斜劈，斜劈顶端安装光滑的定滑轮，细绳跨过定滑轮分别连接质量为m1和m2的物块．m1在斜面上运动，三角形斜劈保持静止状态．下列说法中正确的是 A．若m2向下运动，则斜劈受到水平面向左摩擦力 B．若m1沿斜面向下加速运动，则斜劈受到水平面向右的摩擦力 C．若m1沿斜面向下运动，则斜劈受到水平面的支持力大于（m1+ m2+M）g D．若m2向上运动，则轻绳的拉力一定大于m2g 二、多项选择题．本题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分． 6．木星是太阳系中最大的行星，它有众多卫星．观察测出：木星绕太阳作圆周运动的半径为r1、 周期为T1；木星的某一卫星绕木星作圆周运动的半径为r2、 周期为T2．已知万有引力常量为G，则根据题中给定条件 A．能求出木星的质量 B．能求出木星与卫星间的万有引力 C．能求出太阳与木星间的万有引力 D．可以断定 7．如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场．一带电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线．关于带电小球的运动，下列说法中正确的是 A．OAB轨迹为半圆 B．小球运动至最低点A时速度最大，且沿水平方向 C．小球在整个运动过程中机械能守恒 D．小球在A点时受到的洛伦兹力与重力大小相等 8．如图所示，质量为M、长为L的木板置于光滑的水平面上，一质量为m的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为f，用水平的恒定拉力F作用于滑块．当滑块运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为s，滑块速度为v1，木板速度为v2，下列结论中正确的是 A．上述过程中，F做功大小为　　　　　　　　　　　　 B．其他条件不变的情况下，F越大，滑块到达右端所用时间越长 C．其他条件不变的情况下，M越大，s越小 D．其他条件不变的情况下，f越大，滑块与木板间产生的热量越多 9．如图所示，两个固定的相同细环相距一定的距离，同轴放置，O1、O2分别为两环的圆心，两环分别带有均匀分布的等量异种电荷．一带正电的粒子从很远处沿轴线飞来并穿过两环．则在带电粒子运动过程中 A．在O1点粒子加速度方向向左 B．从O1到O2过程粒子电势能一直增加 C．轴线上O1点右侧存在一点，粒子在该点动能最小 D．轴线上O1点右侧、O2点左侧都存在场强为零的点，它们关于O1、O2连线中点对称
第Ⅱ卷（非选择题　共89分） 三、简答题：本题分必做题（第lO、11题)和选做题(第12题)两部分，共计42分．请将解答填写在答题卡相应的位置．
必做题 10．测定木块与长木板之间的动摩擦因数时，采用如图所示的装置，图中长木板水平固定． （1）实验过程中，电火花计时器应接在& ▲& （选填“直流”或“交流”）电源上．调整定滑轮高度，使& ▲& ． （2）已知重力加速度为g，测得木块的质量为M，砝码盘和砝码的总质量为m，木块的加速度为a，则木块与长木板间动摩擦因数μ=& ▲& ． （3）如图为木块在水平木板上带动纸带运动打出的一条纸带的一部分，0、1、2、3、4、5、6为计数点，相邻两计数点间还有4个打点未画出．从纸带上测出x1=3.20cm，x2=4.52cm，x5=8.42cm，x6=9.70cm．则木块加速度大小a=& ▲& m/s2(保留两位有效数字)．
11．为了测量某电池的电动势 E（约为3V）和内阻 r，可供选择的器材如下： A．电流表G1（2mA& 100Ω）&&&& &&&&&&& B．电流表G2（1mA& 内阻未知） C．电阻箱R1（0~999.9Ω）&&&&&&& &&&&&&&&&&&&& D．电阻箱R2（0~9999Ω） E．滑动变阻器R3（0~10Ω& 1A）&& &&&&& F．滑动变阻器R4（0~1000Ω& 10mA） G．定值电阻R0（800Ω& 0.1A）&&&&&&& &&&&&& H．待测电池 I．导线、电键若干 （1）采用如图甲所示的电路，测定电流表G2的内阻，得到电流表G1的示数I1、电流表G2的示数I2如下表所示：
根据测量数据，请在图乙坐标中描点作出I1—I2图线．由图得到电流表G2的内阻等于 & ▲& Ω． （2）在现有器材的条件下，测量该电池电动势和内阻，采用如图丙所示的电路，图中滑动变阻器①应该选用给定的器材中& ▲& ，电阻箱②选& ▲& （均填写器材代号）． （3）根据图丙所示电路，请在丁图中用笔画线代替导线，完成实物电路的连接．
12．选做题(请从A、B和C三小题中选定两小题作答，并在答题卡上把所选题目对应字母后的方框涂满涂黑．如都作答，则按A、B两小题评分．) A．(选修模块3-3)(12分) （1）下列说法中正确的是& ▲&
A．液体表面层分子间距离大于液体内部分子间距离，液体表面存在张力 B．扩散运动就是布朗运动 C．蔗糖受潮后会粘在一起，没有确定的几何形状，它是非晶体 D．对任何一类与热现象有关的宏观自然过程进行方向的说明，都可以作为热力学第二定律的表述 （2）将1ml的纯油酸加到500ml的酒精中，待均匀溶解后，用滴管取1ml油酸酒精溶液，让其自然滴出，共200滴．现在让其中一滴落到盛水的浅盘内，待油膜充分展开后，测得油膜的面积为200cm2，则估算油酸分子的大小是& ▲& m（保留一位有效数字）． （3）如图所示，一直立的汽缸用一质量为m的活塞封闭一定量的理想气体，活塞横截面积为S，汽缸内壁光滑且缸壁是导热的，开始活塞被固定，打开固定螺栓K，活塞下落，经过足够长时间后，活塞停在B点，已知AB=h，大气压强为p0，重力加速度为g． ①求活塞停在B点时缸内封闭气体的压强； ②设周围环境温度保持不变，求整个过程中通过缸壁传递的热量Q（一定量理想气体的内能仅由温度决定）． B．(选修模块3-4)(12分) （1）下列说法中正确的是& ▲&
A．照相机、摄影机镜头表面涂有增透膜，利用了光的干涉原理 B．光照射遮挡物形成的影轮廓模糊，是光的衍射现象 C．太阳光是偏振光 D．为了有效地发射电磁波，应该采用长波发射 （2）甲、乙两人站在地面上时身高都是L0, 甲、乙分别乘坐速度为0.6c和0.8c（c为光速）的飞船同向运动，如图所示．此时乙观察到甲的身高L& ▲& L0；若甲向乙挥手，动作时间为t0，乙观察到甲动作时间为t1，则t1& ▲& t0（均选填“&”、“ =” 或“&”）． （3）x=0的质点在t=0时刻开始振动，产生的波沿x轴正方向传播，t1=0.14s时刻波的图象如图所示，质点A刚好开始振动． ①求波在介质中的传播速度； ②求x=4m的质点在0.14s内运动的路程． && C．(选修模块3-5)(12分)
（1）下列说法中正确的是& ▲&
A．康普顿效应进一步证实了光的波动特性 B．为了解释黑体辐射规律，普朗克提出电磁辐射的能量是量子化的 C．经典物理学不能解释原子的稳定性和原子光谱的分立特征 D．天然放射性元素衰变的快慢与化学、物理状态有关 （2）是不稳定的，能自发的发生衰变． ①完成衰变反应方程& &&▲& ． ②衰变为，经过& ▲& 次α衰变，& ▲& 次β衰变． （3）1919年，卢瑟福用α粒子轰击氮核发现质子．科学研究表明其核反应过程是：α粒子轰击静止的氮核后形成了不稳定的复核，复核发生衰变放出质子，变成氧核．设α粒子质量为m1，初速度为v0，氮核质量为m2，质子质量为m0, 氧核的质量为m3，不考虑相对论效应． ①α粒子轰击氮核形成不稳定复核的瞬间，复核的速度为多大？ ②求此过程中释放的核能． 四、计算题：本题共3小题，共计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位． 13．如图所示，一质量为m的氢气球用细绳拴在地面上，地面上空风速水平且恒为v0，球静止时绳与水平方向夹角为α．某时刻绳突然断裂，氢气球飞走．已知氢气球在空气中运动时所受到的阻力f正比于其相对空气的速度v，可以表示为f=kv（k为已知的常数）．则 （1）氢气球受到的浮力为多大？ （2）绳断裂瞬间，氢气球加速度为多大？ （3）一段时间后氢气球在空中做匀速直线运动，其水平方向上的速度与风速v0相等，求此时气球速度大小（设空气密度不发生变化，重力加速度为g）．
14．如图所示，光滑绝缘水平面上放置一均匀导体制成的正方形线框abcd，线框质量为m，电阻为R，边长为L．有一方向竖直向下的有界磁场，磁场的磁感应强度为B，磁场区宽度大于L，左边界与ab边平行．线框在水平向右的拉力作用下垂直于边界线穿过磁场区． （1）若线框以速度v匀速穿过磁场区，求线框在离开磁场时ab两点间的电势差； （2）若线框从静止开始以恒定的加速度a运动，经过t1时间ab边开始进入磁场，求cd边将要进入磁场时刻回路的电功率； （3）若线框以初速度v0进入磁场，且拉力的功率恒为P0．经过时间T，cd边进入磁场，此过程中回路产生的电热为Q．后来ab边刚穿出磁场时，线框速度也为v0，求线框穿过磁场所用的时间t． &&&&&&
15．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界，磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO1=2R，圆筒轴线与磁场平行．圆筒用导线通过一个电阻r0接地，最初金属圆筒不带电．现有范围足够大的平行电子束以速度v0从很远处沿垂直于左边界MN向右射入磁场区，已知电子质量为m，电量为e． （1）若电子初速度满足，则在最初圆筒上没有带电时，能够打到圆筒上的电子对应MN边界上O1两侧的范围是多大？ （2）当圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r0的电流恒为I，忽略运动电子间的相互作用，求此时金属圆筒的电势φ和电子到达圆筒时速度v（取无穷远处或大地电势为零）． （3）在（2）的情况下，求金属圆筒的发热功率．
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