《三棱锥外接球半径的简解通法》 www.wenku1.com
三棱锥外接球半径的简解通法日期：
数理化学习(高中版)面数恰好为3次?为事件B,C5+C5+C5+C5则P(A)==5322C510P(A?B)=P(B)=5=322P(A?B)10所求概率为P(B|A)===P(A)26?武增明3234513由上可知,解概率题,搞清概型是关键.江苏省睢宁县城北中学(221200)三棱锥外接球半径的简解通法??在高考中,经常涉及三棱锥外接球半径问题,经探索,此类问题有统一的简单解法,其思路是构造最简单的几何体正方体或长方体.一、正四面体的外接球半径问题经过正四面体各个顶点的球称为正四面体的外接球.设正四面体的棱长为a,其外接球的半径为r.如果把正四面体ABCD补成一个正方体(图1),那么正四面体的外接球也是正方体的外接球.于是2r=AE=a3?=2是1的正四面体,其外接球的半径为,于是其4体积V=43?R=3,所以选(C).8二、直角四面体的外接球半径问题同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体叫做直角四面体.设互相垂直的三条棱的长分别是a、b、c,其外接球的半径为r.如果把直角四面体ABCD补成一个长方体(图3),那么直角四面体的外接球也是长方体的外接球,于是2r=DE=a+b+c,故r=a故r=2a.4例1?(2006年高考山东卷?理12)在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,?DAB=60?,E为AB的中点,将?ADE与?BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P(图2),则三棱锥P-DCE的外接球的体积为(??)(A)(C)4???27(B)?22例2?(2008年高考福建卷?理15)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为则其外接球的表面积为.于是其表面积2简解:由题设可知,可把三棱锥补成一个正方体,则其外接球的半径r=S=4?r=9?.三、双垂四面体的外接球半径问题四面体A-BCD中,若AB?平面BCD,CD?平面ACB,则称该四面体为双垂四面体(图4),设AB=a,BC=b,CD=c,其外接球的半2(D)824简解:由题设可知,三棱锥P-DCE为棱长数理化学习(高中版)径为r.如果把该双垂四面体补成一个长方体(图5),那么该双垂四面体的外接球也是长方体的外接球,于是2r=AD=r=a+b+c.2??例3?(2008年高考安徽卷?理15)已知A、B、C、D在同一个球面上,AB?面BCD,BC?CD,若AB=6,AC=2C两点间的球面距离是简解:将其补成长方体(图6),依题意得球心O是AD的中点,2r=AD=8,于是r=4,所以BO=OC=4,因为BC=-ABa+b+c,故AD=8,则B、=4,所以?BOC=故B、C两点间的球面距3离是?r=.33云南省玉溪第一中学(653100)?李海淼例谈特殊几何体在立体几何中的应用??在立体几何中,我们知道,正四面体、长方体、正方体等是一些特殊的几何体,这些几何体具有一些一般几何体所没有的性质.在解题过程中,有时如果能构造出它们的模型,巧妙的利用它们的性质,可以有助于我们更方便的解决问题,下面分三类问题进行阐述.一、利用正四面体来解题例1?由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等,求这个角.解:这道题目我们可以利用正四面体来解,如图1正四面体中心O与其四个顶点连成的射线OA、OB、OC、OD两两所成的角都相等.设AB=a,设该四面体的高为h,则OA=OB=h=?a443=a.4cos?AOB==-,2?OA?OB3所以?AOB=?-arccos.3222所以所求的角大小为?-arccos3二、利用长方体来解题例2?由球O的球面上一点P做球的两两垂直的三条弦,且PA==径.解:我们可以构造长方体PADB-CEFG,则易知该长方体的对角线就是球O的直径,则?3,PB=5,PC求球O的半本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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正三棱锥的内切球与外接球
要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.请看正三棱锥的定义.1.底面是正三角形2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥.由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形.要防止和另外一个概念----正四面体混淆.正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有.下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.在中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题.这是处理问题的方法之一.适合这种方法的情况可小结如下：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.基本的规律可小结如下：⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置.举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上.再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上.下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗？显然，多数情况下是不重合的.有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢？为了回答这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.画出图来是这样滴.此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长的那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.
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多面体的外接（内切）球半径的求法举要
张世林+谭斌求三视图还原而成的几何体的外接（内切）球的表面积或体积的问题在2016届各地的高考模拟题中大量出现，这是高考的重点，也是学生学习的难点.困难表现在两个方面：一是根据三视图如何准确还原几何体；二是依据画出的几何体的特征如何采用适当的方法求外接（内切）球的半径.现就此类问题的常见求法举例分析如下.1找“墙角”例1已知某几何体的三视图1如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）图2解析如图2，还原的多面体就是三棱锥A-BCD，其外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，注意：DC，DE，DF两两互相垂直，形似“墙角”，而长方体的体对角线就是其外接球的直径.故外接球的直径2r=22+22+42=26，球的表面积S=4πr2=24π，故选C.2寻外心①当几何体中出现两个垂直关系，利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半，球心为直角三角形斜边中点（即直角三角形的外心）.②因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，截面圆上的点与圆心、球心构成直角三角形，运用公式R2=r2+d2求半径.例2已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，如图3，AB⊥BC且PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，求球O的体积.图3解析AB⊥BC且PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，因为72+512=102，所以知AC2=PA2+PC2，所以PA⊥PC，所以在Rt△ABC中斜边为AC，在Rt△PAC中斜边为AC，取斜边的中点O，在Rt△ABC中，OA=OB=OC，在Rt△PAC中，OP=OB=OC，所以在几何体中OP=OB=OC=OA，即O为该四面体的外接球的球心，R=12AC=5，所以该外接球的体积为V=43πR3=500π3.例3已知三棱锥S-ABC所在顶点都在O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为.图4解析如图4，以底面三角形ABC的边AB，AC为邻边作菱形ABDC，再作OD⊥平面ABC，又因为SC⊥平面ABC，所以OD∥SC，过点D作DE⊥SC，垂足为E，在直角梯形ODCS中，OC=OS=r，所以可得OD=12，所以r=OD2+OE2=122+1=52，则球的表面积为S=4πr2=4×π×522=5π，故应填5π.变式：一几何体的三视图如图5，则它的外接球的表面积为（ ）图5A. 12πB. 16πC.20πD. 24π图6解析如图6，还原的多面体就是三棱锥P-ABC，AB⊥BC，面PBC⊥面ABC，∠PBC=120°，AB=AC=2，先找出△ABC的外心即斜边AC的中点I，设球心为O，连结OA，OI，OP，显然OI⊥平面ABC，过点P作PE⊥BC交BC于E，连结IE，那么PE∥OI，过球心O作OF∥IE交PE于F，显然四边形OIEF为矩形，设OI=h，OA，OP为球半径r，EB=2cos 60°=1，PE=3，在△CEI中由余弦定理易得EI=5，因为h2+22=52+3-h2，得h=3，从而r=5，S=20π，故选C.3作截面通过寻找外接球的一个轴截面圆，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.例3已知一几何体的三视图如图4所示，则此几何体的外接球的体积为.图4图5解析由三视图易得，几何体为如图5所示的正四棱锥，设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图所示，由球的截面性质，可得O1O⊥平面ABCD，又SO1⊥平面ABCD，所以球心O必在SO1所在的直线上，所以△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径，在△ASC中，由SA=SC=2，AC=2，得SA2+SC2=AC2，即SA⊥SC，所以AC是△ASC的外接圆的直径，即为外接球的直径，故V=43π.4用结论正四面体的外接球与内切球的球心重合于正四面体的高线上一点，外接球与内切球的半径之和等于正四面体的高，外接球的半径等于内切球半径的3倍，外接球的半径等于正四面体棱长的64，内切球的半径等于正四面体棱长的612.例4如图6所示为某几何体形状的纸盒的三视图，在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为（）A.33B.13C.24D.324解析显然由三视图还原而成的纸盒是棱长为3的正四面体，利用上述结论可得纸盒的内切球半径为24，要使小正四面体在纸盒内可以任意转动，要求小正四面体棱长的最大值，即小正四面体的外接球就是纸盒的内切球.易得小正四面体的棱长的最大值为33，故选A.图71.如图7，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为.2.在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1，6，3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积.3.如图8是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.83 B.43C.823 D.4234.如图9，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A.6πB.7π C.12πD.14π如图10，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）A.8π B.252π C.12πD.414π答案1.41π；2.S=4πR2=16π；3.A；4.D；5.D
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如图左,内切圆圆心为异面两棱中点连线MN的中点O,半径为点O到平面BCD的距离OG的长度,转化到右图平面图形的计算：设棱长AB为a,则NB=a/2,由勾股定理得AM=BM=根号3*a/2MN=根号2/2,OM=根号2/4,由△MOG∽MBN得OG/BN=MO/MB∴OG=根号6/12a
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