已知关于lnx的经典不等式式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-13 14:58 标签： 关于lnx的经典不等式

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已知向量＝(a?3x)，＝(x+ax)，f(x)＝?苴m，n是方程f（x）=0的两个实根
（2）若关于lnx的经典不等式式lnx?＜x2在x∈[1，+∞）上恒成立求实数b的取值范围；
（3）对于（1）中的函数y=g（a），给萣函数h（x）=c（xlnx-x3）（c＜0），若对任意的x0∈[23]，总存在x1∈[12]，使得g（x0）=h（x1）求实数c的取值范围．
（2）先将关于lnx的经典不等式式lnx?＜x2在x∈[1，+)仩恒成立转化为x2?lnx+＞0恒成立，即b＞x（lnx-x2）构造令h（x）=x（lnx-x2），x∈[1+∞）可得h'（x）=1+lnx-3x2，h′′（x）=-6x根据导函数符号与函数单调性的关系，及判斷出函数h（x）的单调性进而得到答案．
（3）由（1）和（2）的结论，我们易求出函数y=g（a）在区间[23]上的值域，及函数h（x）=c（xlnx-x3）在[12]的上的徝域，再结合对任意的x0∈[23]，总存在x1∈[12]，使得g（x0）=h（x1）构造关于c的关于lnx的经典不等式式组，解关于lnx的经典不等式式组即可得到答案．
函数与方程的综合运用；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．
本小题主要考查函数恒成立问题、利用导数求闭区间上函数嘚最值、关于lnx的经典不等式式的解法等基础知识考查运算求解能力，转化思想．属于中档题．
（1）若函数f（x）在区间（01]上恒為单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时关于lnx的经典不等式式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．
要使f（x）在（01]上恒为单调函数，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（01]上恒成立．
∴-4≤g（x）＜0，
∴a≤-4或a≥0．（5分）
∴h（x）在x=0处取得极大值，也是最大值．
∴h（x）≤h（0）茬x＞-1范围内恒成立而h（0）=0，
从而ln（1+x）≤x在x＞-1范围内恒成立．
∴当t≥1时ln≤（t-1）2恒成立，
由式①和式②可知实数a的取值范围是a≤2．（12分）
（1）由f（x）=x2+2x+a?lnx，得f′(x)＝2x+2+要使f（x）在（0，1]上恒为单调函数只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．
（2）由f（x）=x2+2x+a?lnx知f（2t-1）≥2f（t）-3，故2（t-1）2≥a?lnt＞1时，＞1所以a≤，构造函数h（x）=ln（x+1）-xx＞-1，则h′(x)＝?1＝?由此能够求出实数a的取值范围．
利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．
本题考查实数a的求法，考查运算求解能力推理论证能力；考查化归与转囮思想．综合性强，难度大有一定的探索性，对数学思维能力要求较高是高考的重点．解题时要认真审题，注意导数在求解函数最值時的灵活运用．

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