求二重积分求解，求解思路和详解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-13 12:39 标签： matlab求解二重积分
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二重积分的计算方法
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还剩 5 秒&2017考研数学解析：二重积分的计算方法
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二重积分计算的一般思路与步骤分析与讨论
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满足高等数学日常学习、复习，研究生入学考试和全国及各省市、校数学竞赛对高等数学学习的需求
适用范围：
由于初赛(也称为预赛，或赛区赛)试题相对来说属于基础性的考试问题，所以试题解析和考研真题解析一样完全适合考研备考、数学竞赛需求和日常高等数学课程的学习、复习！
通过竞赛试题解析，更能发现原来数学问题下手的套路如此直接，简单！只要认认真真研读教材，吃透例题与基本练习，对于考研、竞赛，基本上能够应付自如，达到预想目标！
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试卷总体印象：
第一届全国大学生数学竞赛非数学类初赛的竞赛试题，对比后面的历届竞赛题，我们会发现，这届竞赛题应该来说是最简单，最直接的，所有问题的求解思路基本上都没出现太大的弯转，一般借助教材中出现的基本概念、基本方法和基本结论，以及一些例题或者练习的结果，借助强调的探索解题思路的方法，“你能把问题改写得不同一些吗？”，一般都可以很直接的解决这些问题！因为竞赛题的标准是一般工科对高等数学学习的要求，所以一般竞赛题的解题思路与过程不会超过教学与学习标准！在复习过程中，我们只要把握好标准，吃透高等数学教材，一般都能探索出竞赛题的解题思路，适当的练习，尤其是理解竞赛真题的解析，可以让我们的解题思路探索过程更顺畅，更有效。这些都在理解真题的解析视频中能够得到很好的体现！
课程内容：
本套试题解析在线课堂除了竞赛试题解析视频外，还包括如下资料：
●&竞赛试题真题测试(包含在第一个视频的测试题中)
●&部分思考与练习题(参见相关视频的测试题)
●&提供配套课件PDF文档下载
第1章填空题第1题：二重积分的一般计算思路与方法
二重积分计算的换元法及实例解析
二重积分计算的一般思路与步骤分析与讨论
第2章填空题第2题：包含定积分项定义的函数表达式计算及相关问题
包含定积分项的函数表达式计算及相关问题
第3章填空题第3题：曲面的切平面计算思路与方法
曲面的切平面计算思路与方法
第4章填空题第4题：一元函数隐函数的导数计算思路与方法
一元函数隐函数的导数计算思路与方法
第5章第二题：幂指函数极限式极限计算的对数法与洛必达法则
幂指函数极限式极限计算的对数函数法与洛必达法则
第6章第三题：定积分定义的函数导数的计算与函数连续性的讨论
定积分定义的函数导数的计算与函数连续性的讨论实例解析
变限积分导数的计算与函数连续性讨论知识点总结
第7章第四题：对坐标的曲线积分的计算法与相关不等式的证明
对坐标的曲线积分计算的一般思路探索与实例解析
对坐标的曲线积分不等式证明的思路探索与实例分析
对坐标的曲线积分的计算法与相关不等式的证明思想与方法
第8章第五题：基于解的结构求线性微分方程的三种思路探索与实例解析
基于线性微分方程解的结构性质求常系数线性微分方程
基于求齐次线性微分方程解的特征方程法逆向求微分方程
第9章第六题：平面区域的面积与旋转体体积的计算实例解析
平面区域的面积与旋转体体积的计算实例解析
第10章第七题：一阶微分方程的求解与幂级数和函数的计算
一阶微分方程求解与幂级数和函数计算实例解析
求一阶微分方程通解的一般思路与方法
幂级数和函数计算的一般思路与方法
第11章第八题：无穷级数与无穷限反常积分的关系探索与试卷总结分析
第八题：无穷级数与无穷限反常积分的关系探索与试卷总结分析
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143 人已学2016考研数学：二重积分求解方法综述
中公考研数学辅导名师&杨京云
在考试中，多元函数积分学中的二重积分这个考点是很重要的，尤其对于数二和数三的考生来说，是一大块重点内容。不同的考点考察侧重点也是不同的，大家如果把握住了这样一个规律，在复习的时候就可以针对各个知识点的考察方向和方式进行复习。相比较一元函数积分学的内容，除了会考察计算，积分学的一些精髓比如定积分的性质、概念、积分中值定理、微积分中值定理等等也会重点考察。但是对于二重积分来说，它是定积分的一个推广，概念、性质等也有相似的结论，那么考试中对二重积分的考察会侧重于计算。下面我们就一起来看看如何快速有效地去计算一个二重积分。
首先给出几个辅助计算的运算性质。
1.&线性性质
以上性质中，线性性质和积分区域可加性是所有积分，包括定积分，二重积分，三重积分，两种曲线和曲面积分都满足的性质，也是在计算二重积分常用的运算性质。被第2条性质，积函数为1的积分也有相似地结论，被积函数为1的定积分、二重积分和三重积分分别为积分区间长度、积分区域面积和积分区域的体积。比较定理在有方向的曲线和曲面积分中会失效。第4条性质类似定积分的学习，还可以有估值定理，进而有二重积分的中值定理等。
有了以上计算二重积分的性质，下面我们具体介绍直角坐标系和极坐标系下两种二重积分的求解方法。求解二重的原则就是将其化为累次积分，也就是相当于求两个定积分的过程。
计算直角坐标系下的二重积分的一个整体的步骤：
首先画出积分区域，从图中可以确定一些点的坐标，包括曲线交点、区域边界点等等，帮助我们确定积分上下限。其次，将一个二重积分化为累次积分还要面临一个选择的问题，即先对哪个变量积分，也就是积分次序选取的问题。我们知道，总共有两种方法，先x后y，或者先y后x。确定积分次序的原则通常有以下两种方式：
先看积分区域。这里会涉及到关于定限方法的学习，先对x积分，那么y就是一个常量，我们的方法是画一条平行于x的直线，&，与积分区域的交点可以确定出y的上下限，然后拉着这根直线上下划过积分区域，求出直线和积分区域在边界的交点，就得到x的上下限。当然，这里要求下限小于上限。如图所示
对于极坐标下的二重积分，不讨论积分次序，一律先&后&。关键在确定积分上下限。这里定限的方法和直角坐标系类似，先对&积分，把&看做常量，画一条从原点出发的射线，与积分区域的交点即定为上下限。拉着这根直线在积分区域内晃动，它和积分区域边界的交点的角度值即为&的范围。
除了会正确计算二重积分外，通常在计算二重积分时，还要注意利用对称性简化计算过程。这也是在讲定积分在对称区间上的简化计算的一个推论。如果积分区域关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数，那么积分值为零;被积函数关于y是偶函数，则积分值等于2倍的半个对称区域上的积分值。其他的结论类似。
对于数一的同学来说，掌握了二重积分的计算，对后续学习三重积分和曲线曲面积分都是很有帮助的。二重积分这个考点每年都会考到，希望大家能够掌握好这一部分内容。
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