下列反常积分发散的有不连续就是发散吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-02 13:19 标签： 下面反常积分发散的是
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单项选择题 下列反常积分发散的是（）．
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定积分第六讲
定积分计算与反常积分习题课 教学目的 1．进一步掌握定积分的换元公式及分部积分公式；2．学会利用奇偶函数的积分性质及常用积分公式计算定积分；3．进一步理解反常积分的概念及了解反常积分的计算方法． 教学重点 1．换元公式的使用；2．反常积分的计算．教学难点 递推公式的导出．教学时数 2学时．教学过程 一、内容要点回顾1．定积分的换元公式：函数f?x?在区间?a,b?上连续，函数x???t?满足：?????a,?????b；??t?在区间??,??（或??,??）上具有连续导数，且值域不超出?a,
b?，则有?afb?x?dx????f????t??????t?dt.bbb2．定积分的分部积分公式：设u?x?,
v?x?在区间?a,b?上具有连续导数，则?audv??uv?a??avdu．3．无穷限反常积分的概念.4．无界函数反常积分（瑕积分）的概念.二、练习3?1．当用变换u?tanx计算定积分??44dx1?cosx2时，有如下的计算结果：?13??44dx1?cos12u?tanxx????11?1?arctan?2u?2?2duu????2arctan2?112． 但我们发现，1?cos2x在?3??上恒大于零，故积分结果必为正，因此这个结果肯定是错的．请指出??44?,错在哪里，并予以纠正．分析
从计算上表面看并没有错误，所以我们应该仔细对照一下定积分的换元公式． 解
所用的变换u?tanx或x?Arctanu（即arctanu或arctanu??）在x??的．x??23?4??3???是不连续?44?,是间断点，不满足换元法的要求．正确做法是： dx1?cos23???4x???441?cot22xx3?1?2cotdx????44d?cotx?u?cotx1?2cot2x???1du1?2u21??1du1?2u2?1 ?1??arctan?2??2u????1?12arctandx2．小结 (1) 值得指出的是，在求不定积分?1?cos2x时用换元u?tanx却是允许的，即有 12tanx2?1?cosdx2x??tand?tanx?2x?2?arctan?C，这是因为在计算不定积分时，一般情况下不要求指出原函数适用的区间，只要采用的变换能够算出被积函数在某个区间上的原函数就可以了．这是用换元法计算定积分和不定积分时的一个重要区别．(2) 在定积分中使用换元法时，要注意验证所使用的换元函数在整个积分区间上具有连续导数． 2．已知函数 f?x???1ex?t2dt，求?0f?x?dx．21分析
f?x?是个积分上限函数，且f'?x??e?x，所以考虑用分部积分法来做． 解
?0f?x?dx???xf?x???0??0xf'?x?dx?f?1???0xe1111?x2e?1?1?x2?. dx?0??e??2?2?01?1小结 当被积函数中含有积分上限的函数时，一般应把该类函数选取为分部积分中的u．?3．计算积分?6?cos3xdx．?66????分析
当x???,?时，3x??66??6?????．所以我们考虑利用已知积分In???2,2???令3x?u???2 cosnxdx.?6解
?6?cos3xdx?2?06cos3xdx62?0213cosudu?62531?5??????．
3642248小结
(1)当被积函数为奇函数或偶函数时，我们可以利用其性质首先对积分进行化简然后再计算；??n(2) 关于积分?sin20xdx??2 cosnxdx的结果要熟悉，在很多运算 (包括下册的重积分和曲线、曲面积分) 中经常会遇到．4．计算定积分Jm??? xsinmxdx（m为自然数）．分析
这是一个与自然数m有关的积分，我们可以考虑用递推公式来计算．解
Jm????? xsinmxdx???xsin ?m?1xd?cosx? ??m?1m?1m?2??xcosx?x??m?1?xsinxcosx?dx?xsin?0??0cosx?sin??m?1m?22xdx+?0?m?1?xsinxcosxdx?0cosxsin??1???mm?2m?xdx??0xsinxdx??msinx?+?m?1???0xsin???0?m?1?Jm?2??m?1?Jm ,
???于是Jm??m?1mJm?2，m?2,
?又J0?? xdx??22， J1??? xsinxdx??,故Jm2?m?1m?331???????,
m为正偶数,?mm?2422?m?1m?342?????????,
m为大于1的奇数,m?253?m?,
m?1.???本题还可以用已有的结果，即第三讲的例6（2）及例10的结果，计算过程如下：Jm??0xsin
??mxdx?m?2?0sin ?mxdx?m?2??sin2 mxdx??2??sin2?mxdx?2??sin20xdx?xdx??2??sin2???t?d???t??m??222?m?1m?331??,
m为正偶数,
??mm?2m?1m?342???,
m为大于1的奇数.53?mm?2?sin2 m??m2?sintdt???0sin20xdx 而，m?1时，Jm?J1??? xsinxdx?? ．小结 (1) 递推公式的方法经常用来处理与自然数有关的定积分，基本方法是利用分部积分公式来导出递推公式;(2) 解法Ⅱ中的这种方法也常用来化?0, 2a?上的定积分为?0, a?上的定积分或者找出两者之间的关系; (3) 解法Ⅱ中也可以直接应用P250第8题的结果.5．证明：若f?x?为奇函数,且???f?x?dx收敛,???f?x?dx?0． 证明
由???f?x?dx收敛，知???f?x?dx及?0?? ?? ??????f?x?dx均收敛，且?????f?x?dx????f?x?dx??0f?x?dx，对???f?x?dx使用换元公式，令x??t，则 ???f?x?dx=????f??t?dt??000??f??t?dt???0????f?t?dt???0df?0x??????f?x?dx, d．?f0xx于是
????f??x?dx=? ??f??xd? x?????fd?x?0?x???x注
这一结果仅当???f?x?dx收敛时才有效．下面的例子正说明了这一点. 6．判断正误：?分析
虽然????x1?x22??dx?0．x1?x是奇函数，但由于???x1?x2 dx?12?ln?1?x??2?? ???发散，故反常积分???x1?x2??dx亦发散，不可能等于某一数值．解 错．7．计算反常积分?1xdx?x22 ．?解?1xdx?x22 ?lim?t?1?txdx?x22x?sinu t?1lim??arcstinsinucosucosu2 du??2 sinudu?2?4．小结
本题若直接用换元x?sinu也可做出同样结果．事实上，在计算反常积分时也可以使用类似定积分计算中使用的换元法和分部积分法，但在使用中要注意验证所涉及的极限（如lim??0t?tarcsiuncous2ucosud）的存在性．?28．计算反常积分?lnxdx． 1解
由 limxlnx?0（L’Hospital法则）知x?0?9．计算反常积分?11 lnxdx??xlnx?0?1?1 dx?0?1??1．1x1?x0dx．分析 1和0都是瑕点，我们首先将它分成两个反常积分的和：?设F?x?为1x1?x111x1?x1
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[单选] 若反常积分
发散，则（）。
A . t≥0B . t≥1C . t&1D . t&0
求常数c的值，使直线y=c将该平面图形分成面积相等的两部分。
求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；
1.设f(x)的一个原函数为
，求∫xf'(x)dx。
利用定积分的性质，比较e和
的大小（）。 ['['。
无法比较大小。
下列积分可以用牛顿-—莱布尼茨公式的是（）。 。
若反常积分
发散，则（）。
参考答案：A
●&&参考解析
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