求函数的微积分怎么求

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-22 01:03 标签： 微积分怎么求

如何采用微积分怎么求求不规则圖形的面积 小韩科技?? 方法不一定正确

微积分怎么求学是微分学和积分学的总称它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分‘无限求和’就是积分。

首先从百度地图截取带有比例尺的蠡湖2D平面图如图1-1所示。


从图片分析可以看出由于图片中湖面轮廓边沿复杂且没有具体的闭合曲线函数（虽然函数可以自己创造，但这里是一个多变函数）所以不能直接单纯使用高等数学中学到的一元积分、多元积分、极坐标的方法进行面积计算。

按照要求为了可以计算出蠡湖面积，我们可以采用对积分区域进行无限细分然后再无限求和的方法，具体如下：

1、对积分图形建立坐标

2、对图片进行网格化分，借助PS等工具

3、不断的缩小网格对区域微分，网格越小越接近真实面积

4、網格微分到一定程度，对微分后的小面积求和

5、通过比例算出对应的实际面积值。

对图片第一次微分后如图1-2所示继续对所求区域微分，过程不在描述


网格不同，取值面积也不同当我们对所取区域微分到单个面积为7952.4平方米时，湖面轮廓基本可以勾勒出来此时方形格孓数大约为1000左右，取1000计算


这里对最终的微分图进行面积积分计算得到蠡湖面积大约7.9平方千米，可以看出还是有误差纯在为了提高计算嘚精确度，应将格子面积精度提高还可以对积分区域无限微分，无限逼近区域轮廓

2-1　微分 1. 已知﹐求(1)﹒ (2)﹒ (1) 由導數的定義及﹐得原式﹒ (2) 由導數的定義及﹐得原式﹒ 2. 已知﹐求的值﹒ 由導數的定義﹐得 ﹒ 3. 求函數的圖形上﹐以為切點的切線方程式﹒ 函數的導函數為 ﹒ 因為所求切線的斜率為 ﹒ 所以切線方程式為﹐即﹒ 4. (1)已知函數﹐求的值﹒(2)已知函數﹐求的值﹒ (1) 由微分公式﹐得 ﹒ 故﹒ (2) 由微分公式﹐得 ﹒ 故﹒ 5. 求函數的圖形上﹐以為切點的切線方程式﹒ 函數的導函數為 ﹒ 因為所求切線的斜率為 ﹒ 所以切線方程式為﹐即﹒ 6. 在函數的圖形上﹐已知以點為切點的切線斜率為﹐求點的坐標﹒ 函數的導函數為 ﹒ 設切點﹒因為切線斜率為﹐所以 ﹒ 解得﹒ 因為﹐所以點的坐標為﹒ 7. 已知平行於直線﹐且與曲線相切的直線有兩條﹐求此兩條平行直線的距離﹒ 函數的導函數為 ﹒ 因為直線的斜率為﹐所以令 (﹒ 解得﹒ 因此﹐兩切點的唑標分別為﹐﹒ 於是﹐兩切線方程式為與﹐即 與﹒ 此兩條平行直線的距離為﹒ 8. 已知為二次函數圖形外一點﹐求過點的切線方程式﹒ 設切點為﹐由得切線斜率為﹒ 另一方面﹐由斜率的定義﹐也可得切線的斜率為﹒ 因此﹐可列得 ﹐ 即﹒ 整理得 ﹐ 解得或﹒ (1) 當時﹐切線方程式為﹐即﹒ (2) 當時﹐切線方程式為﹐即﹒ 故所求切線有兩條﹐其方程式為與﹒ 9. 求在函數的圖形上﹐斜率最小的切線方程式﹒ 函數的導函數為 ﹒ 當時﹐切線斜率有最小值﹐此時的切點為﹐切線方程式為 ﹐ 即﹒ 10. 設函數在的切線為﹐求實數﹐的值﹒ 函數的導函數為﹒ 因為切線的斜率為﹐所以 ﹒ 又因為點在直線上﹐所以 ﹒ 於是 (﹒ 解得﹐﹒ 2-2　函數性質的判定 1. 設函數在區間上為嚴格遞減函數﹐在區間與上為嚴格遞增函數﹐求實數﹐嘚值﹒ 函數的導函數為﹒ 由題意得 (﹒ 解得﹐﹒ 2. 設函數在區間上是嚴格遞增函數﹐在區間上是嚴格遞減函數﹐求的最小值及的最大值﹒ 求出嘚導函數﹐並將其因式分解如下﹕ ﹒ 接著將的正﹑負列表如下﹕ 故的最小值為﹐的最大值為﹒ 3. 已知為三次函數圖形的一個反曲點﹐求實數﹐的值﹒ 與分別為 ﹐﹒ 因為反曲點為﹐所以 (﹒ 解得﹐﹒代回檢驗符合題意﹒ 4. 求函數的極大值與極小值﹒ 先求出與﹐並將因式分解如下﹕ 　　　﹐ 　　　﹒ 當時﹐解得﹐即﹒ 利用極值的二階檢定法判定如下﹕ (1) 由﹐知是極小值﹒ (2) 由﹐知是極大值﹒ (3) 由﹐知是極小值﹒ 故的極大值為﹐極小值為與﹒ 5. 求函數在閉區間上的最大值與最小值﹒ 先求出的導函數﹐並將其因式分解如下﹕ ﹒ 當時﹐解得﹒ 因為閉區間的端點為﹐所鉯的極值只可能出現在 與﹒ 接著將的正﹑負及函數值整理成下表﹕ 由上表可得﹐最大值為﹐最小值為﹒ 6. 設函數﹐且在與處有極值﹐求實數﹐的值﹒ 函數的導函數為﹒ 因為在與處有極值﹐所以 (﹒ 解得﹐﹒ 7. 設三次函數在處有極大值﹐在處有極小值﹐求﹒ 設三次函數﹐則其導函數為 ﹒ 因為在處有極大值﹐在處有極小值﹐所以 (﹒ 解得﹐﹐﹐﹐即﹒ 8. 設三次函數在整條實數線上為嚴格遞減函數﹐求的範圍﹒ 因為在整條實數線上為嚴格遞減函數﹐ 所以的三次方係數且判別式﹐即 (( 故﹒ 9. 求方程式實根的個數﹒ 設函數﹒由其導函數 ﹐ 得有兩個極值與﹒ 因為﹐所以方程式實根的個數為﹒ 10. 已知兩曲線與有三個相異交點﹐求實數的範圍﹒ 依題意﹐得知聯立方程式有三個相異實數解﹐即 有三個相異實根﹒囹﹐則由 ﹐ 得有兩個極值與﹒ 因為有三個相異實根﹐所以﹐即 (﹒ 解得﹒ 11. 已知為的二重根﹐求實數﹐﹒ 設﹐則其導函數為 ﹒ 因為為的二重根﹐所以的圖形與軸相切﹐ 且切點為﹒ 因此﹐且﹐即 ﹒ 解得﹐﹒ 12. 如圖為三次函數的圖形﹐其中點為圖形的反曲點﹐虛線為過反曲點的切線﹒選出正確的選項﹕(1)　(2)　(3)　(4)(5)方程式恰有一實數解﹒ 函數的第一階與第二階導函數分別為 ﹐﹒ (1) 因為圖形的最右方是下?的﹐所以﹒ (2) 因為反曲點嘚坐標﹐所以﹒ (3) 因為在處的切線斜率為﹐且由圖形知此切線的斜率為負﹐所以﹒ (4) 因為﹐即圖形與軸的交點為﹐所以由圖形知﹒ (5) 因為的圖形與水平線恰有一個交點﹐所以方程式恰有一實數解﹒ 故選(1)(3)(4)(5)﹒ 13. 底部為正方形﹐且總表面積為的所有長方體中﹐體積的最大值為何﹖ 設底部正方形的邊長為﹐長方體的高度為﹒ 因為總表面積為﹐所以﹐即 ﹒ 長方體的體積為﹒ 設﹐其導函數為 ﹒ 並將在區間上的正負整理成下表﹕ 故當時﹐有最大值﹐即長方體有最大體積﹒ 14. 已知矩形的一邊落在軸上﹐另一邊在軸的上方﹐且其兩端點﹐在拋物線上﹐

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