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5-2-1数的整数,题库教师版
5-2 数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的 题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整 除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点 是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个 不小的挑战。知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整 除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、 11 或 13 整除. 【备注】 （以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 ca， cb，那么 c(ab)． 性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 bOa， cOb，那么 cOa． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bcOa，那 么 bOa，cOa． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除．即如果 bOa，cOa，且(b，c)=1，那么 bcOa． 例如：如果 3O12，4O12，且(3，4)=1，那么(3〓4) O12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数） ； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，5-2.数的整除.题库 教师版 page 1 of 12那么 bd｜ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】 已知道六位数 20□279 是 13 的倍数，求□中的数字是几？ 【解析】 本题为基础题型，利用 13 的整除判定特征即可知道方格中填 1。 【巩固】 六位数 20?? 08 能被 99 整除， ?? 是多少？ 【解析】 方法一：200008 被 99 除商 2020 余 28，所以 ?? 00 ? 28 能被 99 整除，商 72 时， 99 ? 72 ? 7128 ， 末两位是 28，所以 ?? 为 71； 方法二： 99 ? 9 ? 11 ， 20?? 08 能被 99 整除，所以各位数字之和为 9 的倍数，所以方框中数字的 和只能为 8 或 17；又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为 6 或 5，可得 ?? 是 71. 【巩固】 六位数 20□□08 能被 49 整除，□□中的数是多少？ 【解析】 详解类似上题，从略。填入 05 【例 2】 173□是个四位数字。数学老师说： “我在这个□中先后填人 3 个数字，所得到的 3 个四位数， 依次可被 9、11、6 整除。 ”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？ 【解析】 用 1730 试除， ……2， 7……3， ……2． 所以依次添上(9-2=)7、 (11-3=)8、(6-2=)4 后得到的 、1734 依次能被 9、11、6 整除．所以，这三种情况下 填入口内的数字的和为 7+8+4=19． 【巩固】 某个七位数 1993□□□能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，那么它的最后三位数字依次 是多少？ 【解析】 本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得 7 位数 能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，只要让七位数是 2，3，4，5，6，7，8，9 最小公倍 数的倍数即可。 【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用 1993000 试除，20=790……2200， 余 2200 可以看成不足 0，所以在末三位的方格内填入 320 即可． 【巩固】 如果六位数 1992□□能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？ 【解析】 因为 105 ? 3 ? 7 ? 5 ，所以这个六位数同时满足能被 3、7、5 整除的数的特征即可． 方法一：利用整除特征 末位只能为 0 或 5． ① 如果末位填入 0，那么数字和为 1 ? 9 ? 9 ? 2 ? □ ?0 ? 21 ? □，要求数字和是 3 的倍数，所以□ 可以为 0，3，6， 9，验证 200 ? 199 ? 1 ， 230 ? 199 ? 31 ， 260 ? 199 ? 61 ， 290 ? 199 ? 91 ， 有 91 是 7 的倍数，即 199290 是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为 90． ② 如果末位填入 5，同上解法，验证没有数同时满足能被 3、7、5 整除的特征． 所以，题中数的末两位只能是 90． 方法二：采用试除法 用 199200 试除， 199200 ? 105 ? 1897 ??15 ，余 15 可以看成不足，105 ? 15 ? 90 ．所以补上 90， 即在末两位的方格内填入 90 即可． 【例 3】 在六位数 11□□11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除，那么方框中的 两位数是多少? 【解析】 采用试除法.设六位数为 11ab11,11ab11 ? 11?10000 ? ab00 ? 11 ? 110011 ? ab00 如果一个数能同时 被 17 和 19 整除，那么一定能被 323 整除． 110011 ? 323 ? 340??191 ，余 191 也可以看成不足 323 ? 191 ? 132 ． 所以当 ab00 ? 132 ? 323n 时， ab00 是 100 的倍数时， 即 六位数才是 323 的倍数． 所 以 有 323n 的 末 位 只 能 是 10 ? 2 ? 8 ， 所 以 n 只 能 是 6 ， 16 ， 26 ， ? 验 证 有 n ? 16 时 ，5-2.数的整除.题库 教师版 page 2 of 12132 ? 323 ? 16 ? 5300 ，所以原题的方框中填入 5，3 得到的 115311 满足题意．【巩固】 已知四十一位数 55?5□99?9（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格内的数字是 多少？ 【解析】 我们知道 abcabc 这样的六位数一定能整除 7、11、13 原 41 位数中从高位数起共有 20 个 5，从低 位数起共有 20 个 9，那么我们可以分别从低位和高位选出 555555，和 999999，从算式的结构上 将就是进行加法的分拆，即：…00(35 个 0)+…00(29 个 0)+…+55□ 99+…00(12 个 0)+…+999999.这个算式的和就是原来的 41 位数，我们可以发现每一 组含有 555555 或 999999 因数的部分都已经是 7 的倍数，唯独剩余 55□99 待定，那么只要令 55 □99 是 7 的倍数即可，即只要□44 是 7 的倍数即可，□应为 6 【例 4】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数. ⑴请随便填出一种， 并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？ 【解析】 一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 ? □ ? 3 ? 2 ? □是 9 的倍数，而 4 ? 3 ? 2 ? 9, 所 以 只 需 要 两 个 方 框 中 的 数 的 和 是 9 的 倍 数 ． ⑴ 依 次 填 入 3 、 6 ， 因 为 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 ? 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数；⑵经过分析容易得到两个方框内的数 的和是 9 的倍数，如果和是 9,那么可以是（9,0）（8,1）（7,2）（6,3）（5,4）（4,5）（3,6） ； ； ； ； ； ； ； （2,7）（1,8）（0,9） ； ； ，共 10 种情况，还有（0,0）和（9,9） ，所以一共有 12 种不同的填法． 【例 5】 (2008“数学解题能力展示”初赛)已知九位数
既是 9 的倍数，又是 11 的倍数；那 么，这个九位数是多少？ 【解析】 设 原 数 ?
， ∵ 9 | 2 0 0a 1 2 2? a ? b ? 4 或 者 a ? b ? 13 ， ∵ 1 1 |
? 7 b 2 ? 0 ? a ? 2 ? 2 ? ( 0 ? 7 ? 1 ? b ) ? 0 或者( 0 ? 7 ? 1 ? b ) ?(2 ? 2 ? a ? 0 ? 2) ? 11 ? a ? b ? 2 或者?a ? b ? 4 ?a ? 3 ?a ? b ? 13 ?a ? 2 b ? a ? 9 根据两数和差同奇偶，得： ? 或者 ? 不成立.所 ? ? ? ? ?a ? b ? 2 ?b ? 1 ?b ? a ? 9 ?b ? 11以，
. 【例 6】 一位后勤人员买了 72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧 去两个数字.帐本是这样的：72 本笔记本，共□ 67.9 □元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字 补上，并求笔记本的单价. 【解析】 把□ 67.9 □元作为整数□ 679 □分.既然是 72 本笔记本的总线数，那就一定能被 72 整除，又因 为 72 ? 8 ? 9 ，(8，9) ? 1 .所以 8 | □ 679 □， 9 | □ 679 □. 8 | □ 679 □，根据能被 8 整除的数的 特征，8 |79□，通过计算个位的□ ? 2 .又 9 | □ 6792 ，根据能被 9 整除的数的特征， 9 | (□ ?6 ? 7 ? 9 ? 2 )，显然前面的□应是 3.所以这笔帐笔记本的单价是： 367.92 ? 72 ? 5.11 (元). 【例 7】 由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？ 【解析】 根据 11 的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为 11 的倍数，我 们不妨设奇数位上的数和为 a，偶数位上的数和为 b，那么有 a+b=1+3+4+5+7+8=28,同时有 a-b=0 或 a-b=11 或 a-b=22…等情况， 根据奇偶性分析自然数 a 与 b 的和为偶数， 那么差也必须为偶数， 但是 a-b 不可能为 22，所以 a-b=0，解得 a=b=14，则容易排列出最大数 875413.模块二、数的整除性质应用【例 8】 各位数码是 0、1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少？ 【解析】 被合数整除把 225 分解，分别考虑能被 25 和 9 整除特征。 225 ? 9 ? 25 ，所以要求分别能被 25 和 9 整除。要能被 25 整除，所以最后两位就是 00。要能被 9 整除，所以所有数字的和是 9 的倍数， 为了使得位数尽可能少，只能是 4 个 2 和 1 个 1，这样得到 1222200。 【例 9】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树 312 棵，老师与 学生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？ 【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过 10 所以通过枚举法来解(注5-2.数的整除.题库 教师版 page 3 of 12意人数是减去 1 后是 3 的倍数)： 1 ? 312 ， 312 ? 1 ? 311 不是 3 的倍数； 2 ? 156 ， 156 ? 1 ? 155 不 是 3 的倍数； 3 ? 104 ， 104 ? 1 ? 103 不是 3 的倍数； 4 ? 78 ， 78 ? 1 ? 77 不是 3 的倍数； 6 ? 52 ， 52 ? 1 ? 51 是 3 的倍数； 8 ? 39 ， 39 ? 1 ? 38 不是 3 的倍数；共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树. 【巩固】 某班同学在班主任老师带领下去种树， 学生恰好平均分成三组， 如果老师与学生每人种树一样多， 共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？ 【解析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073 数相乘，一个数为人数一 个数为每人种的棵数， 1073 ? 29 ? 37 ，注意到人数是减去 1 是 3 倍数，所以人数是 37 均每人种 了 29 棵。 【例 10】 在 865 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被 3、4、5 整除，且使这个数值尽可 能的小。 【解析】 方法一：设补上数字后的六位数是 865abc ，因为这个六位数能分别被 3、4、5 整除，所以它应满 足以下三个条件： 第一：数字和 (8 ? 6 ? 5 ? a ? b ? c) 是 3 的倍数； 第二：末两位数字组成的两位数 bc 是 4 的倍数； 第三：末位数字 c 是 0 或 5。 由以上条件，4| bc ，且 c 只能取 0 或 5， 又? 能被 4 整除的数的个位数不可能是 5， ∴c 只能取 0，因而 b 只能取 0，2，4，6，8 中之一。 又? 3| 865ab0 ，且（8+6+5）除以 3 余 1，∴ a ? b 除以 3 余 2。 为满足题意“数值尽可能小” ，只需取 a ? 0 ， b ? 2 。∴要求的六位数是 865020。 方法二：利用试除法，由于要求最小数，用 865000 进行试除分别被 3、4、5 整除，就是被 60 整 除， 865000 ? 60 ? 14416? 40 ，所以 865000 ? 20 ? 865020 能被 60 整除 ∴要求的六位数是 865020。 【巩固】 在 523 后面写出三个数字，使所得的六位数被 7、8、9 整除．那么这三个数字的和是多少? 【解析】 7、8、9 的最小公倍数是 504，所得六位数应被 504 整除 524000 ? 504 ?
，所以所得六 位数是 524000 ? 344 ? 523656 ，或 523656 ? 504 ? 523152 ．因此三个数字的和是 17 或 8． 【巩固】 要使 15abc6 能被 36 整除，而且所得的商最小，那么 a , b, c 分别是多少？ 【解析】 分解为互质的几个数的乘积，36 ? 4 ? 9 分别考虑所以 c6 能被 4 整除,从而 c 只可能是 1，3， 5，7， 9.要使商最小， a , b 应尽可能小，先取 a ? 0 ，又 1 ? 5 ? 6 ? a ? b ? c ? 12 ? b? c ，所以 3 ? b ? c 是 9 的倍数所以 b ? 1 ， c ? 5 时，取得最小值. 【例 11】 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能 被 3、5、7、13 整除，这个数最大是多少？ 【解析】 本题采用试除法。 因为 3，5，7，13 的最小公倍数为 1365，在 100000 之内最大的 1365 的倍数为 9〔1365=73……355，=99645)，但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减 1365 依次寻找第二大，第三大的数，看是否符合即可。 有 =9-．=9-． 所以，满足题意的 5 位数最大为 94185． 【巩固】 请求出最大的七位数，使得它能被 3、5、7、11、13 整除，且各位数字互不相同，这个七位数是 多少？ 【解析】 解法一： 因为 7〓11〓13＝〓 不是七位数，这个七位数是 1001〓abcd＝abcd000 ＋abcd，如果 c 不是 9，那么 b 就会重复，所以 c＝9，因为是 5 的倍数，所以 d＝5，要使最大， 先假设 a＝8 时，b 取 8，5，2 都不符合要求，当 a＝7 时，b 取 9，6，3，0 中 3 符合要求，所以 最大的是 7402395 分析题意知，这个七位数是 7〓11〓13＝1001 的倍数，根据 1001 的特点，5-2.数的整除.题库 教师版 page 4 of 12解法二: 假设这个七位数是 abcdefg，满足 abcd－efg＝n00n，很容易得出 c＝0，f＝9，b 和 e 相差 1，如 果 g＝0，那么 a＝d，所以 g＝5。假设 a＝8，那么 d＝3，b 和 e 就是 2，1 或者 7，6，经检验都 不符合要求。假设 a＝7，那么 d＝2，b 和 e 就是 4，3，经检验刚好可以。这个七位数是 7402395. 【例 12】 修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数。问修改后的这个数是几？ 【解析】 本题采用试除法。823 是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，3……469， 于是 31743 除以 823 可以看成余 469 也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得 到的新数比原来大 354 或 354+823n 也是满足题意的改动．有 n=1 时，354+823：1177，n=2 时， 354+823〓2=2000，所以当千位增加 2，即改为 3 时，有修改后的五位数 33743 为 823 的倍数． 【例 13】 某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也能写成 11 个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？ 【解析】 本题所体现的是一个常用小结论，即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。任意偶 数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数，并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个 奇数。证明方法很简单，以连续 9 个奇数为例子： 我们可以令连续 9 个奇数为：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4 则他们的和为 9a，即为 9 的 倍数。对于连续 10 个自然数，可以为 a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5 则它们的和为 10a+5=5（2a+1） ，即是 5 的倍数且除以 5 后商是奇数。 所以本题中要求的数是 5，9，11 的最小公倍数的倍数即 495 的倍数，最小值即 495. 【巩固】 a 是一个三位数.它的百位数字是 4， a ? 9 能被 7 整除， a ? 7 能被 9 整除，问 a 是多少？ 【解析】 a ? 9 能被 7 整除，说明 a ? 9 ? 7 ? a ? 2 能被 7 整除； a ? 7 能被 9 整除，说明 a ? 7 ? 9 ? a ? 2 能被 9 整除； 7 ? 9 ? 63 ，则 63 ? 2 ? 61 符合上述两个条件.(因 63 ? 2 ? 61 ，则 a 可以写成这样的形式： a ? 63 ? ?? 61 ).又 a 是一个百位数字是 4 的三位数，估算知， a ? 63 ? 6 ? 61 ? 439 . 【巩固】 有些数既能表示成 3 个连续自然数的和，又能表示成 4 个连续自然数的和；还能表示成 5 个连续 自然数的和．请你找出 700 至 1000 之间，所有满足上述要求的数，并简述理由. 【解析】 3 个连续自然数的和，一定能够被 3 整除；4 个连续自然数的和，一定能够被 2 整除，且除以 2 所得的商是奇数，也就是说它不能被 4 整除，除以 4 所得余数为 2；5 个连续自然数的和，一定 能够被 5 整除．3、2、5 的最小公倍数是 30，所以满足上述三个条件的最小的数是 30．3、4、5 的最小公倍数是 60，所以 60 的整数倍加上 30 就可以满足条件． 700 ? 60 ? 11 ? 40 ，所以第一个 符合题意的数是 750 ? 60 ? 12 ? 30 ，最大的一个数是 990 ? 60 ? 16 ? 30 ，共计 16 ? 12 ? 1 ? 5 个数， 分别为 750、810、870、930、960． 【例 14】 用数字 6，7，8 各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除。这个六位数是多少？ 【解析】 因为 168=8〓3〓7，所以组成的六位数可以被 8、3、7 整除． 能够被 8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8 的倍数，末两位组成的数一定是 4 的倍数， 末位为偶数．在题中条件下，验证只有 688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是 688 或 768，而 又要求是 7 的倍数，由例 8 知 abcabc 形式的数一定是 7、11、13 的倍数，所以 768768 一定是 7 的倍数，□□□688 的□不管怎么填都得不到 7 的倍数． 至于能否被 3 整除可以不验证，因为整除 3 的数的规律是数字和为 3 的倍数，在题中给定的条件 下，不管怎么填数字和都是定值。 所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其他满足条件的六位数． 【例 15】 将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数除以 667 的结果是多少？ 【解析】 本题考察对数字 667 的特殊认识，即 667〓3=2001。 本题要求用 4，5，6，7，8，9 组成一个 667 的倍数，其实发现 4，5，6，7，8，9 组合出的数一 定是 3 的倍数， 那么只要考虑组成一个 2001 的倍数即可， 2001 的六位数倍数具有明显的特征， 而 即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是 900 多的数字，后三位是 400 多，很 容易得到 956478。那么 7=1434。5-2.数的整除.题库 教师版page 5 of 12【例 16】 一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数” ，例如， 就是一 个十全数．现已知一个十全数能被 1，2，3，?，18 整除，并且它的前四位数是 4876，那么这 个十全数是多少？ 【解析】 这个十全数能被 10 整除， 个位数字必为 0； 能被 4 整除， 十位数字必为偶数， 末两位只能是 20． 设 这个十全数为 4876abcd 20 ．由于它能被 11 整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之 和的差能被 11 整除，即 8 ? 6 ? b ? d ? 0 ? (4 ? 7 ? a ? c ? 2) ? b ? d ? 1 ? (a ? c) 被 11 整除，可能是 b ? d ? 1 ? a ? c ? 11 、 b ? d ? 1 ? a ? c 、 b ? d ? 1 ? 11 ? a ? c ．由于 a 、 b 、 c 、 d 四个数分别为 1、 3、5、9 中的一个，只能是 b ? d ? 1 ? a ? c ? 11 ，即 b ? d ? a ? c ? 10 ．所以 b 、 d 是 9 和 5； a 、 c 是 3 和 1，这个十全数只能是 ，，， 中的一个．由 于它能被 7、13、17 整除，经检验，只有
符合条件． 【例 17】 把若干个自然数 1、2、3、??连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那 么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【解析】 乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2 和 5 的个数决定的， 有一对 2 和 5 乘积末尾就有一个零． 由 于相邻两个自然数中必定有一个是 2 的倍数，而相邻 5 个数中才有一个 5 的倍数，所以我们只要 5 10 15 20 25 30 观察因数 5 的个数就可以了． ? 5 ? 1 ， ? 5 ? 2 ， ? 5 ? 3 ， ? 5 ? 4 ， ? 5 ? 5 ， ? 5 ? 6 ， ……， 发现只有 25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数 5，乘到 55 时共出现 11 ? 2 ? 13 个 因数 5，所以至少应当写到 55，最多可以写到 59． 【巩固】 从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0？ 【解析】 首先，50、60、70、80、90、100 中共有 7 个 0．其次，55、65、85、95 和任意偶数相乘都可以 产生一个 0，而 75 乘以偶数可以产生 2 个 0，50 中的因数 5 乘以偶数又可以产生 1 个 0，所以一 共有 7 ? 4 ? 2 ? 1 ? 14 个 0． 【巩固】 975 ? 935 ? 972 ?? ，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？ 【解析】 积的最后 4 个数字都是 0，说明乘数里至少有 4 个因数 2 和 4 个因数 5． 975 ? 5 ? 5 ? 39 ， 935 ? 5 ? 187 ， 972 ? 2 ? 2 ? 243 ，共有 3 个 5，2 个 2，所以方框内至少是 2 ? 2 ? 5 ? 20 ． 【巩固】 11 个连续两位数的乘积能被 343 整除， 且乘积的末 4 位都是 0， 那么这 11 个数的平均数是多少？ 3 【解析】 因为 343 ? 7 ，由于在 11 个连续的两位数中，至多只能有 2 个数是 7 的倍数，所以其中有一个必 须是 49 的倍数，那就只能是 49 或 98．又因为乘积的末 4 位都是 0，所以这连续的 11 个自然数 至少应该含有 4 个因数 5． 连续的 11 个自然数中至多只能有 3 个是 5 的倍数， 至多只能有 1 个是 25 的倍数，所以其中有一个必须是 25 的倍数，那么就只能是 25、50 或 75．所以这 11 个数中应 同时有 49 和 50，且除 50 外还有两个是 5 的倍数，只能是 40，41，42，43，44，45，46，47， 48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项 45． 【巩固】 把若干个自然数 1、2、3、??连乘到一起，如果已知这个乘积的最末 53 位恰好都是零，那么 最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？ 【解析】 1 到 10 的乘积里会出现 2 ? 5 和 10 两次末尾添零的情况，估算从 200 开始，是 40 ? 8 ? 1 ? 49 个 0， 还要扩大至 220 时再增加 4 个 0，所以最小的数应该是 220，而最大应该是 224． 【例 18】 从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行．从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同 学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学留下， 其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 至 1l 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出 列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 【解析】 第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是 11 的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初 编号都是 112 ? 121 的倍数； 第三次报数后留下的同学， 他们最初编号都是 113 ? 1331 的倍数． 因此， 第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 13315-2.数的整除.题库教师版page 6 of 12【例 19】 在 1、2、3、4??2007 这 2007 个数中有多少个自然数 a 能使 2008+a 能被 2007-a 整除。 【解析】 本题考察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目。要使得 2008+a 能被 2007-a 整除，我们 2008 ? a 可以将条件等价的转化为只要让 是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧，我们知道 2007 ? a 2008 ? a 若 a 可 以 使 得 是 一 个 整 数 ， 那 么 a 也 同 样 可 以 使 得 2007 ? a 2008 ? a 2008 ? a ? 2007 ? a 4015 是一个整数，这样只要 2007-a 是 4015 的约数即可， ?1 ? ? 2007 ? a 2007 ? a 2007 ? a 将 4015 分解可知其共有 8 个因数，其中 4015 是最大的一个，但是显然没有可以让 2007-a 等于 4015 的 a 的值，其余的 7 个均可以有对应的 a 的值，所以满足条件的 a 的取值共有 7 个。 【例 20】 以多位数 142857 为例，说明被 11 整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的 差能否被 11 整除. 【解析】 142857 ? 1 ? 100000 ? 4 ? 10000 ? 2 ? 1000 ? 8 ? 100 ? 5 ? 10 ? 7 ? 1 ? 1 ?(100001 ? 1)? 4 ?(1 ? 9999)? 2 ?(1001 ? 1)? 8 ?(1 ? 99)? 5 ?(11 ? 1)? 7 ? 1 ?(1 ? 100001 ? 4 ? 9999 ? 2 ? 1001 ? 8 ? 99 ? 5 ? 11)?(4 ? 1 ? 8 ? 2 ? 7 ? 5) 因为根据整除性质 1 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 11 整除，再根据整除性质 1，要 判断 142857 能否被 11 整除，只需判断 4 ? 1 ? 8 ? 2 ? 7 ? 5 ?(4 ? 8 ? 7)?(1 ? 2 ? 5) 能否被 11 整除， 因此结论得到说明. 【巩固】 以多位数
为例，说明被 7、11、13 整除的规律. 【解析】
? 857 ? 1000000 ? 314 ?1000 ? 275 ? 142 ? ( ? 1) ? 857 ? (999999 ? 1) ? 314 ? (1001 ? 1) ? 275 ? 142 ?
? 142 ? 857 ? 999999 ? 857 ? 314 ? 1001 ? 314 ? 275 ? (142 ?
? 857 ? 999999 ? 314 ?1001) ? (857 ? 142 ? 275 ? 314) 因为根据整除性质 1 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被 7、11、13 整除，再根据整除性 质 1，要判断
能否被 7、11、13 整除，只需判断 857 ? 142 ? 275 ? 314 能否被 7、11、 13 整除，因此结论得到说明. 【例 21】 已知两个三位数 abc 与 def 的和 abc ? def 能被 37 整除，试说明：六位数 abcdef 也能被 37 整除． 【解析】 abcdef ? abc ?1000 ? def ? abc ? 999 ? (abc ? def ) ，因为 999 能被 37 整除，所以 abc ? 999 能被 37 整除，而 (abc ? def ) 也能被 37 整除，所以其和也能被 37 整除，即 abcdef 能被 37 整除． 【巩固】 如果 abcde 能被 6 整除，那么 2(a ? b ? c ? d ) ? e 也能被 6 整除． 【解析】 ∵ 6 ? 2 ? 3 ∴2| abcde ∴2|e ∴6|3e ∵3| abcde ∴3|a+b+c+d+e ∴6|2(a+b+c+d+e) ∴6|2(a+b+c+d+e)-3e ∴6|2（a+b+c+d）-e 【巩固】 若 4b ? 2c ? d ? 32 ，试问 abcd 能否被 8 整除?请说明理由． 【解析】 由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被 8 整除即可. bcd ? 100b ? 10c ? d ，有 而 所以 abcd bcd ? (4b ? 2c ? d ) ? 96b ? 8c ? 8(12b ? c) 能被 8 整除， 4b ? 2c ? d ? 32 也能被 8 整除， 能被 8 整除.5-2.数的整除.题库 教师版 page 7 of 12【例 22】 两个四位数 A275 和 275B 相乘，要使它们的乘积能被 72 整除，求 A 和 B . 【解析】 考虑到 72 ? 8 ? 9 ，而 A275 是奇数，所以 275B 必为 8 的倍数，因此可得 B ? 2 ；四位数 2752 各位 数字之和为 2 ? 7 ? 5 ? 2 ? 16 不是 3 的倍数也不是 9 的倍数，因此 A275 必须是 9 的倍数，其各位 数字之和 A ? 2 ? 7 ? 5 ? A ? 14 能被 9 整除，所以 A ? 4 . 【巩固】 若四位数 9a8a 能被 15 整除，则 a 代表的数字是多少？ 【解析】 因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以 9a8a 既能被 3 整除，也能被 5 整除．能被 5 整除的数的个位数字 是 0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数．当 a ? 0 时， 9 ? a ? 8 ? a ? 17 ，不是 3 的倍数；当 a ? 5 时， 9 ? a ? 8 ? a ? 17 ，是 3 的倍数．所以， a 代表的数字是 5 【例 23】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是 1、2 就是 3．在密码中 1 的 数目比 2 多，2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 16 所整除．试问密码是多少？ 【解析】 密码由 7 位数字组成，如果有两个 3 的话，那么至少是 2 ? 3 ? 4 ? 9 位数，与题意不符；只有一个 3 的话，那么至少有两个 2.如果有三个 2，那么 1 至少有四个，总共至少有 1 ? 3 ? 4 ? 8 个数字， 与题意不符，所以 2 只有两个，1 有四个，如此，各数位数字和为 4 ? 4 ? 3 ? 11 ，不是 3 的倍数， 所以密码中没有 3，只有 1、2，由 1、2 组成的四位数中只有 2112 能被 16 整除（从个位向高数 位推得） ，所以密码的后四位是 2112，所以前三位数字和是 3 的倍数，只有 111 和 222 满足条件， 其中 2222112 的 2 多于 1，应予排除，所以这个密码是 1112112. 【巩固】 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是 2 就是 3．在密码中 2 的数目 比 3 多，而且密码能被 3 和 4 所整除．试求出这个密码． 【解析】 密码中的 2 比 3 要多，所以 2 可能有 4、5、6 或 7 个．当 2 有 4 个时，密码的数字和为 17；当 2 有 5 个时，数字和为 16；当 2 有 6 个时，数字和为 15；当 2 有 7 个时，数字和为 14．由于一个 数能被 3 整除时， 它的数字和也能被 3 整除， 所以密码中 2 应当有 6 个， 这样 3 就只能有 1 个． 另 外，一个数能被 4 整除，那么它的末两位数也应当能被 4 整除，所以末两位数必定是 32．所以， 密码是 2222232． 【例 24】 一个 19 位数 77 ?? 0 444?? 能被 13 整除，求О 内的数字． ? ??? ? ? ??? ? ? 77 ? 449个 9个【解析】 ∵13| 77 ?? 0 444?? ，∴13| 77 ?? 0444 ，∴13|0+ 7770444 ? ??? ? ? ??? ? ? 77 ? 44 ????? ? 779个 9个 9∵13|777777，∴13|0，∴13| 7770444 ，∴13| 7770 ? 444 ∵ 444 ? 13 ? 43? 2 ，∴13| 7770 ? 2，∴设
7770 ? 13 ? 597 ? 9 ，∴0 ? 13 ? (9 ? 2) ? 6 【巩固】 应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数 66? 6?55?5 可被 7 整 ? ? ? ? ? ?50 个6 50 个5除？ 【解析】 由于 111111 ? 111 ? 1001 可被 7 整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉 48 个数码，并不改变 55 ．从中减去 63035，并除以 100，即得“ 3？ ”可被 7 整 2 其对 7 的整除性，于是还剩下“ 66？ ” 除.此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有 322 和 392 可被 7 整除．所以？处应填 2 或 9. 【例 25】 多位数 09736 ，能被 11 整除， n 最小值为多少？ ??? ???? ? ?n个 2009【解析】 奇 数 位 数 字 之 和 为 6 ? 7 ? 2n ， 偶 数 位 数 字 之 和 为 3 ? 9n ， 这 个 多 位 数 整 除 11 ， 即 ( 3? 9 ) ( 6 7 n 2 ? n 7? 能整除 11，n 最小取 3． n ? ? ? ) 105-2.数的整除.题库教师版page 8 of 12【巩固】 0909 能被 11 整除，那么， n 的最小值为多少？ ??? ???? ? ?n个 2009【解析】 0909 中奇位数减偶位数的差为 (9 ? 2) ? n ? 9 ? 7n ? 9 ，当 n ? 5 时，(7 n ? 9) 是 11 的 ??? ???? ? ?n个 2009倍数，所以 n 的最小值是 5. 【例 26】 三位数的百位、 十位和个位的数字分别是 5， 和 b， a 将它连续重复写 2008 次成为： ab5ab??5? . 5 ab ??? ???2009个5ab如果此数能被 91 整除，那么这个三位数 5ab 是多少？ 【解析】 因为 91 ? 7 ? 13 ， 所以 5ab5ab??5? 也是 7 和 13 的倍数， 因为能被 7 和 13 整除的特点是末三位 ab ??? ???2009个5ab和前面数字的差是 7 和 13 的倍数，由此可知 5ab5ab??5? ? 5ab ? 5ab5ab??5? 000 也是 7 和 ab ab ??? ??? ??? ???2008个5ab 2007 个5 ab13 的倍数，即 5ab5ab??5? 也是 7 和 13 的倍数，依次类推可知 5ab5ab??5? 末三位和前面 ab ab ??? ??? ??? ???2007个5ab 2007个5ab数字的差即为： ab5ab??5? ? 5ab ? 5ab5ab??5? 000 也是 7 和 13 的倍数， 5ab5ab??5? 即 ??? 5 ab ab ab ??? ??? ??? ??? ???2006个5ab 2005个5 ab 2005个5ab也是 7 和 13 的倍数，由此可知 5ab 也是 7 和 13 的倍数，百位是 5 能被 7 和 13 即 91 整除的数字 是： 91 ? 6 ? 546 ，所以 ab ? 46 . 【例 27】 试说明一个 4 位数，原序数与反序数的和一定是 11 的倍数(如：1236 为原序数，那么它对应的 反序数为 6321，它们的和 7557 是 11 的倍数．) 【解析】 设原序数为 abcd ，则反序数为 dcba ，则 abcd ＋ dcba ?(1000a ? 100b ? 10c ? d )?(1000d ? 100c ? 10b ? a) ? 1001a ? 110b ? 110c ? 1001d? 11 91a ? 10b ? 10c ? 91d )，因为等式的右边能被 11 整除，所以 abcd ? dcba 能被 11 整除 (【巩固】 试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差 一定能被 9 整除. 【解析】 设 原 来 的 两 位 数 为 ab ， 则 新 的 两 位 数 为 ba . ba － ab ? (10b ? a) ? (10a ? b) ? 9(b ? a) . 因 为 9 (b ? a )能被 9 整除，所以他们的差能被 9 整除. 【巩固】 试说明一个 5 位数，原序数与反序数的差一定是 99 的倍数(如：12367 为原序数，那么它对应的 反序数为 76321，它们的差 63954 ? 99 ? 646 是 99 的倍数．) 【解析】 设原序数为 abcde ，则反序数为 edcba ，则 abcde － edcba ?(10000a ? 1000b ? 100c ? 10d ? e)?(10000e ? 1000d ? 100c ? 10b ? a) ? 9999a ? 990b ? 990d ? 9999e ? 99 101a ? 10b ? 10d ? 101e) ( 因为等式的右边能被 99 整除，所以 abcde ? edcba 能被 99 整除 【巩固】 1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针 和 逆 时 针 次 序 形 成 两 个 九 位 数 ( 例 如 ， 在 1 和 7 之 间 剪 开 ， 得 到 两 个 数 是
)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字 的乘积是多少?5-2.数的整除.题库教师版page 9 of 121 7 5 8 6 2 4 9 3【解析】 互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除．而 396 ? 99 ? 4 ，所以我们只用考察它能否能被 4 整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 4 整除，显然只有当剪开处两个 数的奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有(3，4)处、 （8，5)处的两个数字奇偶性均 不相同，所以一定不满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．进一步验证，有(9，3) 处剪开的末两位数字之差为 43 ? 19 ? 24 ，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9) 处剪开的末两位数字之差为 62 ? 3 ? 28 ． 86 ? 42 ? 44 ， 58 ? 26 ? 32 ， 85 ? 17 ? 68 ， 91 ? 57 ? 34 ， 71 ? 39 ? 32 ．所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互 为反序的九位数的差才是 396 的倍数．(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左 右两个数的乘积为 27，8，12，48，35，9． 【例 28】 一 个 六 位 数 abcdef ， 如 果 满 足 4 ? abcdef ? fabcde ， 则 称 abcdef 为 “ 迎 春 数 ” ( 如 4 ? 102564 ? 410256 ，则 102564 就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总和. 【解析】 方法一：显然， f 不小于 4，原等式变形为 4 ? (abcde ?10 ? f ) ? 100000 f ? abcde 化简得 abcde ? 2564 f ，当 f ? 4 时， abcde ? 10256 ，于是 abcdef 为 102564 ．同理． f ? 5 ，6，7， 8，9，可以得到 abcdef 为 128205 ， 153846 ， 179487 ， 205128 ， 230769 . 所有的和是 999999 ． 方法二：显然， f 不小于 4，若 f ? 4 ， e 为 4 ? f 末尾数字，所以 e ? 6 ；de 为 4 ? ef 的末 2 位，所以 d ? 5 ； cde 为 4 ? def 的末 3 位，所以 c ? 2 ； bcde 为 4 ? cdef 的末 4 位，所以 b ? 0 ；abcdef 为 4 ? bcdef 的末 5 位，所以 a ? 1 ；于是 abcdef 为 102564 ． 同理． f ? 5 ，6，7，8，9，可以得到 abcdef 为 128205 ， 153846 ， 179487 ， 205128 ， 230769 . 所有的和是 999999 ． 【例 29】 一个 4 位数， 把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数.已知这两个 4 位数的和是以下 5 个 数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个 4 位数的和到底是多少? 【解析】 设这个 4 位数是 abcd ，则新的 4 位数是 bcda .两个数的和为 abcd ? bcda ? 1001a ? 1100b ? 110c ? 11d ,是 11 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9867 是 11 的倍数， 故正确的答案为 9867． 【巩固】 一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数.再将新的 4 位数的千位数字移到右 端构成一个更新的四位数，已知最新的 4 位数与最原先的 4 位数的和是以下 5 个数的一个：① 9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个 4 位数的和到底是多少? 【解析】 设这个 4 位数是 abcd ，则最新的 4 位数是 cdab .两个数的和为 abcd ? cdab ? 1010a ? 101b ? 1010c ? 101d ,是 101 的倍数.在所给的 5 个数中只有 9696 是 101 的倍 数，故正确的答案为 9696.模块三、整除与其他知识综合性题目【例 30】 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有多少个.5-2.数的整除.题库 教师版 page 10 of 12【解析】 两位数字中能被 11 整除的数字是 11、22、……99 这些数字中显然没有这样的数.三位数，设这 个三位数为 abc ，有 a ? b ? c ? 13 和 a ? c ? b ? 11 ，显然有 a ? c ? 12 ， b ? 1 ，所以就有 913 ，814， 715，616，517，418，319 这 7 个.四位数，设这个四位数为 abcd ，⑴ 有 a ? b ? c ? d ? 13 和 ( a ? c ) ? ( b ? d ) ? 11 中，若 a ? c ? 12 ， b ? d ? 1 则 a ? 3 或 4 有 2 种组合，b 和 d 有 2 种.因此有 4 种； 有 a ? b ? c ? d ? 13 和( b ? d ) ? ( a ? c ) ? 11 ，a ? c ? 1 ，b ? d ? 12 ， ⑵ 则只能 a ? 1 ，c ? 0 ， b 和 d 有 7 种组合.综上所述，这样的数有 7 ? 4 ? 7 ? 18 个. 【巩固】 用 1，9，8，8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数? 【解析】 现在要求被 11 除余 8，我们可以这样考虑：这样的数加上 3 后，就能被 11 整除了．所以我们得 到“一个数被 11 除余 8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加 3， 得另一个和数， 如果这两个和数之差能被 11 整除， 那么这个数是被 11 除余 8 的数； 否则就不是． 要 把 1，9，8，8 排成一个被 11 除余 8 的四位数，可以把这 4 个数分成两组，每组 2 个数字．其中 一组作为千位和十位数， 它们的和记作 A ； 另外一组作为百位和个位数， 它们之和加上 3 记作 B ． 我 们要适当分组，使得能被 11 整除．现在只有下面 4 种分组法： 偶位 奇位 ⑴ 1，8 9，8 ⑵ 1，9 8，8 ⑶ 9，8 1，8 ⑷ 8，8 1，9 经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求： A ? 1 ? 8 ? 9 ， B ? 9 ? 8 ? 3 ? 20 ， B ? A ? 11 能被 11 整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被 11 除余 8，那 么在奇位的任意两个数字互换， 或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被 11 除也余 8． 于是， 上面第⑴种分组中，1 和 8 任一个可以作为千位数，9 和 8 中任一个可以作为百位数．这样共有 4 种可能的排法：，． 【例 31】 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有多少个？ ? 2008 ? ? 2008 ? ? 133 个，3 和 7 的倍数有 ? 【解析】 1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有 ? ? ? 95 个， 15 ? ? ? ? 21 ?? 2008 ? ? 2008 ? ? 57 个，3、5 和 7 的倍数有 ? 5 和 7 的倍数有 ? ? ? 19 个．所以，恰好是 3、5、7 中两 35 ? ? ? ? 105 ? 个数的倍数的共有 133 ? 19 ? 95 ? 19 ? 57 ? 19 ? 228 个．【例 32】 有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号，1 号同学写了一个自然数，其余各位 同学都说这个数能被自己的编号数整除．1 号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对， 其余同学都对，问：⑴说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你 1 号写的数是五位数，请找出这个数． 【解析】 ⑴为了表达方便，不妨设 1 号同学写的自然数为 a ．根据 2 ? 15 号同学所述结论， 2 ? 15 中只有 两个连续的自然数不能整除 a ，其他的数都能整除 a ．由于 2 ? 7 中的每一个数的 2 倍都在 15 以 内，如果 2 ? 7 中有某个数不能整除 a ，那么这个数的 2 倍也不能整除 a ，然而 2 ? 7 中的这个数 与它的 2 倍不可能是两个连续的自然数，所以 2 ? 7 中每一个数都是 a 的约数．由于 2 与 5 互质， 那么 2 ? 5 ? 10 也是 a 的约数．同理可知，12、14、15 也都是 a 的约数．还剩下的四个数为 8、9、 11、13，只有 8、9 是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编号分别是 8 和 9． ⑵1 号同学所写的自然数能被 2，3，4，5，6，7，lO，11，12，13，14，15 这 12 个数整除，也 就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是： 22 ? 3 ? 5 ? 7 ? 11 ? 13 ? 60060 ．因为 60060 是一位五位 数，而这 12 个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数 60060 的倍数，且最小为 2 倍，所以均不 是五位数，那么 l 号同学写的五位数是 60060． 【巩固】 某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是 1，2，?，12．他们的电话号码依次是 12 个连续 的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都 小于 6，并且门牌号是 9 的这一家的电话号码也能被 13 整除，问：这一家的电话号码是什么数？ 【解析】 设第一户电话号是 x ? 1 ，第二户的电话号是 x ? 2 ，…．第 12 户的电话号是 x ? 12 ．5-2.数的整除.题库 教师版 page 11 of 12根据条件可知 x ? i 是 i 的倍数( i ? 1 ，2，…，12)，因此 x 是 1，2，…，12 的公倍数． 而 ?1, 2,?,12? ? 27720 ，所以 x ? 27720m ． 又 27720 m ? 9 是 13 的倍数，而 27720 除以 13 余数为 4，所以 4m ? 9 是 13 的倍数，则 m ? 1 ，14， 27，…… 第 9 户的电话号码是 27720 m ? 9 ，是一个首位数字小于 6 的六位数，所以 m 取 14 合适； 因此这一家的电话号码是 27720 ? 14 ? 9 ? 388089 ． 【例 33】 已知： 23! ? 258D20C AB000 ．则 DCB ? A ? ？ 【解析】 由于 1～23 中有 4 个 5 的倍数，所以 23! 的末尾有 4 个 0，所以 B ? 0 ． 由于 23! ? 2 ? 5 ? 10 ? 15 ? 8 ? 20 ? M ? 10000 ? 8 ? 3M ( M 为正整数)，所以258D20C
AB000 去掉末尾的 4 个 0 后得到的数是 8 的倍数，那么 66A 是 8 的倍数， 所以 A ? 4 ． 易知 258D20C
是 9 和 11 的倍数，所以 2 ? 5 ? 8 ? D ? 2 ? 0 ? C ? 6 ? 7 ? 3 ? 8 ? 8 ? 8 ? 4 ? 9 ? 7 ? 6 ? 6 ? 4 ? 93 ? C ? D 是 9 的倍数； ? 2 ? 8 ? 2 ? C ? 7 ? 8 ? 8 ? 9 ? 6 ? 4? ? ?5 ? D ? 0 ? 6 ? 3 ? 8 ? 4 ? 7 ? 6? ? 15 ? C ? D 是 11 的倍数，那么 C ? D ? 6 或 15， C ? D ? 7 或 D ? C ? 4 ． 若 C ? D ? 15 ，由于 C ? D 与 C ? D (或 D ? C )奇偶性相同，所以此时 C ? D ? 7 ，得 C ? 11 ，不 合题意．所以 C ? D ? 6 ， D ? C ? 4 ，得 C ? 1 ， D ? 5 ，所以 DCB ? A ? 510 ? 4 ? 2040 ． 【巩固】 有一个九位数 abcdefghi 的各位数字都不相同且全都不为 0，并且二位数 ab 可被 2 整除，三位数abc 可被 3 整除，四位数 abcd 可被 4 整除，??依此类推，九位数 abcdefghi 可被 9 整除．请问这个 九位数 abcdefghi 是多少？ 【解析】 由题可知这个九位数由数字 1～9 组成，其中每个数字出现一次，且 b 、 d 、 f 、 h 都是偶数，a 、c 、 e 、 g 、 i 是奇数．由于 abcde 可被 5 整除，所以 e ? 5 ．由于 abc 可被 3 整除，所以 a 、 b 、 c 三个数之和可被 3 整除．由于 abcdef 可被 6 整除，所以 d 、 e 、 f 三个数之和可被 3 整除． 由于 abcd 可被 4 整除，所以 cd 可被 4 整除，而 c 是奇数，所以 d 只能为 2 或 6．由 abcdefgh 可被 8 整除知 abcdefgh 可被 4 整除，所以 gh 可被 4 整除，同上可知 h 也只能为 2 或 6．所以有如下两 种情况： ⑴ d ? 2 ， h ? 6 ．此时 def ? 25 f 可被 3 整除， f 只能为 8．那么 b 为 4．由于 a 、 b 、 c 三个数之 和可被 3 整除，而 a 、 c 为 1、3、7、9 中的某两个，所以 a 、 c 为 1 和 7．那么 g 为 3 或 9，其中 满足 fgh ? 8 g 6 可被 8 整除的只有 9，所以 g 为 9， i 为 3．此时 abcdefg 为 1472589 或 7412589， 但这两个数都不能被 7 整除，不符题意； ⑵ d ? 6 ， h ? 2 ．此时 def ? 65 f 可被 3 整除， f 只能为 4．那么 b 为 8．此时 fgh ? 4g 2 可被 8 整除，所以 g 为 3 或 7．又 a 、 b 、 c 三个数之和可被 3 整除，而 b 为 8，所以 a 、 c 可以为(1， 3)、 9)、 3)或(7， 所以此时 abcdefghi 有 8 种可能情况： (1， (7， 9)， ； ； ； ；；；；．经检验，其中只有
满 足 abcdefg 能被 7 整除，所以所求的 abcdefghi 是 ．5-2.数的整除.题库教师版page 12 of 12
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