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在合并同类项时,如果有大括号的话,并且括号外是负号,那么是不是里面所有的符号都要和原来的符号相反呢例如：5a^2-[a^2+(5a^2-2a)-2(a^2-3a)我要的不是结果。
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有两种做法,第一种是从内到外,先去小括号,再去中括号：原式=5a^2-[a^2+5a^2-2a-2a^2+6a]= 5a^2-a^2-5a^2+2a+2a^2-6a第二种是从外到内,先去中括号,再去小括号：原式=5a^2-a^2-(5a^2-2a)+2(a^2-3a)=5a^2-a^2-5a^2+2a+2a^2-6a注意：用第一种方法的时候,小括号先去掉,括号外的是负号时,里面的符号要变号,但中括号要保留,等到第二步去中括号的时候,括号外的是负号时,再把第一步的中括号里面的都变号；用第二种方法的时候,要把小括号里面的多项式看成一个整体保留下来,去掉中括号的时候,变号的是小括号外面的符号,小括号里面的符号不变.明白了吗?不明白的话可以问我,我今天刚刚教完这个课时的内容……
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一点一点的扒皮,5a^2-[a^2+(5a^2-2a)-2(a^2-3a) ]= 5a^2 -a^2 -(5a^2-2a)+2(a^2-3a)
//先去[]=5a^2 -a^2 -5a^2 +2a +2a^2-6a
//再去各个()=
//合并同类项自己做吧
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浙教版数学七年级上册《4.5合并同类项》教案
ID:5932689
资源大小：304KB
4.5合并同类项
知识技能目标:
使学生理解同类
项的概念和合并同类项的意义
,学会合并同类项。
过程与方法目标:
培养学生观察、分析、归纳和动手解决问题的能力,初步使学生了解数学的分类思想。
情感、态度目标:
借助情感因素,营造亲切和谐活泼的课堂气氛,激励全体学生积极参与教学动。培养他们团结协作,严谨求实的学习作风和锲而不舍,勇于创新的精神。
本节教学的重点是合并同类项法则。
范例的多项式较为
复杂,并涉及求值,是本节课的难点。
（一）创设情境,引入新课
老师想和同学们进行一场比赛,看谁最快得到答案,你们愿
意吗?（引起学生的注意）
请看题目:求代数式
—4x2+7x+3x2—4x+ x2的值,请一名学生任意说出一个一至两位整数,教师和另一学生比赛,结果教师很快说出答案。在学生感到惊讶时,师:你们想知道为什么吗?学了这节课后你们也可以像老师一样算得那么快
了,这节课我们就一起来学习4.5合并同类项（板书课题）
（二）合作交流,探究新知
1、如果一块砖的外侧面面积为
,怎样计算图中残留墙面的面积? [来自e网通客户端]
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初中数学知识点总结PPT
考点知识精讲考点一 1．数轴 单位长度 的直线，叫做数轴． 原点 、 _______ 正方向 、 _________ 规定了_______ 实数 和数轴上的点是一一对应的． _______ 2．相反数 －a ； (1)实数a的相反数为_______ (2)a与b互为相反数? _________ a＋b＝0 ； 实数的有关概念首页(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的相等 ．这两个点关于_______ 原点 对称． 两侧，且到原点的距离_______ 3．倒数上一页下一页宇轩图书考点知识精讲1 ≠ ； (1)实数a的倒数是____ a ，其中a___0首页ab＝1 (2)a和b互为倒数?_________. 4．绝对值 在数轴上表示一个数的点离开______ 原点 的距离叫做这个数的绝对值． 即一个正数的绝对值是它 _____，0的绝对值是 0 本身 的相反数 _________.a ?a＞0? ? ? 即|a|＝?0 ?a＝0? ? ?－a ?a＜0?，负数的绝对值是它上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示： (1)绝对值是a(a＞0)的数有两个，它们互为相反数，即为±a.首页(2)绝对值相等的两个数相等或互为相反数.即：若|a|=|b|,则a=b或a+b=0. (3)任意实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0. (4)去掉绝对值符号进行化简运算时，关键是判断绝对值符号里面的 代数式的正负.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 实数的分类首页1．按定义分类? ? 正整数? ? ? ? ?自然数 ? ? 整数? 零 ? ? ? ? 有理数 ? ?负整数 ? ? 实数? ?正分数?有限小数或无 ? ? 分数? ? 负分数 ? ? ?限循环小数 ? ? ?正无理数? ?无理数?负无理数?无限不循环小数 ? ? ?上一页下一页宇轩图书考点知识精讲2．按正负分类首页? ?正整数 ? ? ?正有理数? ?正分数 ?正实数? ? ? ?正无理数 ? 既不是正数也不是负数? 实数实数?零? ? ?负整数 ? ? ?负有理数? ?负分数 ?负实数? ? ? ?负无理数 ?温馨提示： π是无理数，不是分数；22是分数，不是无理数. 正确理解实数的分类，如： 7 2上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 平方根、算术平方根、立方根首页≥ 0)，则 x 叫做 a 的________ 平方根 ，记作± a；正数 a 1．若 x2＝a(a___ 正的平方根 的______________ 叫做算术平方根，记作 a. 2．平方根有以下性质 互为相反数 ； (1)正数有两个平方根，它们______________ (2)0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根．3．如果 x ＝a，那么 x 叫做 a 的立方根，记作 a.温馨提示:在应用x2=a时，一定不要忘记a≥0这一条件.注意算术平方根与平方 根的区别与联系.如1的平方根是±1，而1的算术平方根是1.上一页下一页33宇轩图书考点知识精讲考点四 科学记数法、近似数与有效数字首页把一个数N表示成a?10n(1≤|a|＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当|N|≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当|N|＜1且N≠0时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数 位上的零)．2．近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位， 这时从左边第一 个非零数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 实数的运算首页乘除 ，最后 在实数范围内运算顺序是：先算乘方（或开方） _____________，再算______ 加减 ，有括号的先算括号内的.同一级运算，从左到右依次进行计算. 算_____ 考点二 零指数、负整数指数幂1 ；若 a≠0，n 为正整数，则 a－n＝ 1n. 若 a≠0，则 a0＝__ a 考点三 实数大小比较 1.在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示大 小 的数 ___;两个负数比较，绝对值大的反而 ___.＞ ；若a-b=0，则a___b 2.设a、b是任意两个数，若a-b＞0，则a___b = ； 若a-b＜0，则a___b. ＜上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页＞ 2； 3．实数大小比较的特殊方法：①开方法：如 3＞2，则 3____ a a ＞ ； ②作商比较法： 已知 a＞0、 b＞0， 若 ＞ 1， 则 a____b 若 ＝1， 则 a = b； b b a 若 ＜1，则 a ＜ b.③近似估算法；④中间值法；⑤平方法；⑥倒数法． b 4．n 个非负数的和为 0，则这 n 个非负数同时为 0. 如：若|a|＋b2＋ c＝0，则 a＝b＝c＝0.温馨提示 1.注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝 对值符号再进行计算. 2.三个重要的非负数a（a≥0）、|a|、a2.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 整式的有关概念首页1．单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而 和 成的式子，而多项式是指几个单项式的_____. 2．单项式中的数字因数叫做单项式的 系数 ；单项式中所有字母的 指数和 叫做单项式的次数． _______ 3．多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫 做常数项；多项式中次数 最高项 的次数就是这个多项式的次数．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 整式的运算首页1.整式的加减（1）同类项与合并同类项相同字母的指数 也分别相同的单项式叫 所含的_____ 字母 相同，并且_________________ 做同类项.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则 是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的 ______不变. 指数 （2）去括号与添括号 ①括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里的各项 都不改变符号；括号前是“-”号，去掉括号和它前面的“-”号，括号里 都改变符号 的各项 ___________.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲“-”号，括到括号里的各项都改变符号.首页②括号前是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是（3）整式加减的实质是合并同类项.温馨提示： 在进行整式加减运算时,如果遇到括号，应根据去括号法则，先去括 号，再合并同类项.当括号前是负号，去括号时，括号内每一项都要变号 ________. 2.幂的运算 am+n（m、n都是整数） 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am?an=____ amn （m、n都是整数）. 幂的乘方,底数不变,指数相乘,即（am）n=_____ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，上一页下一页宇轩图书考点知识精讲即（ab）n=anbn（n为整数）.首页am-n （a≠0，m、n都为 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=_____整数）.3.整式的乘法 单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在 一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再ma+mb+mc 把所得的积相加，即m（a+b+c）=____________.多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加，即（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲4.整式的除法首页单项式除以单项式，把_______________ 系数、同底数幂 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后 把所得的商相加. 5.乘法公式 （1）平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即（a+b a2-b2 ）（a-b）=_______. （2）完全平方公式上一页下一页宇轩图书考点知识精讲a±2ab+b2 积的2倍，即（a±b）2=___________.首页两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的考点三因式分解1.因式分解的定义及与整式乘法的关系 把一个多项式化为几个整式的积的形式 这种运算就是因式分解. (1)__________________________________, (2)因式分解与整式乘法是互逆运算． 2．因式分解的常用方法(1)提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式，那么这个相同的因 式，就叫做公因式．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页m(a＋b＋c) 其分解步骤为： 提公因式法用公式可表示为ma+mb+mc=___________,①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． (2)运用公式法 将乘法公式反过来对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做公式 (a____________ ＋b)(a－b) ，a2±2ab＋b2＝ 法，即a2－b2＝ ________. (a ± b) 2 温馨提示： 在运用公式法分解因式时，公式中的字母，可以是一个数，也可以 是一个单项式，还可以是一个多项式.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲3．因式分解的一般步骤 (1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；首页(2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；(3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 分式首页≠0 ）的式子叫做分式. 形如 A（A、B是整式，且B中含有字母，B______ B （1）分式有无意义：B=0时，分式无意义；B≠0时，分式有意义. （2）分式值为0：A=0且B≠0时，分式的值为0. 考点二 分式的基本性质不等于零 的整式，分 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个________ 式的值不变.a a a?m a ÷m (1) ＝____ ＝____ b ， b (m≠0)； b ?m b ÷m －b b b ＝ ＝ ___ ____ － . a －a a上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页最简公分母 确定最简公分母的一 (2)通分的关键是确定n个分式的____________. 因式分解 ，再取系数的最小公倍数， 般步骤是：当分母是多项式时，先__________最高次幂 的积为最简公分母. 所有不同字母（因式）的_________最大公因式 确定最大 (3)约分的关键是确定分式的分子与分母中的___________. 因式分解 ，取系数 公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先_________ 最大公因式 ，相同字母（因式）的_____________ 最低次幂 的___________ 的积为最大公因式. 温馨提示： 1.若原分式的分子（或分母）是多项式，运用分式基本性质时，要先把分式的分子（或分母）用括号括上，再乘以（或除以）整式.2.应用分式基本性质时，要深刻理解“都”与“同”这两个字的含 义，避免犯只乘分子或分母一项的错误.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 分式的运算首页a b a ±b 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ± ＝_____. c c c a c 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 ± b d ad±bc ＝________. bd2．分式的乘除法 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即 a c ac ? ＝_____. 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除 bd b d ad a c a? d bc 式相乘，即 ÷ ＝_______ b c ＝_____.b d3．分式的乘方k n n k 分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即( ) ＝_____( k 是正整数)． mk m上一页下一页宇轩图书考点知识精讲4．分式的混合运算首页在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简 分式或整式． _______ 考点四 分式求值分式的求值方法很多，主要有三种：(1)先化简，后求值；（2）由值的形式直接转化成所求的代数式的值；（3）式中字母表示的数未明确 告知，而是隐含在方程等题设条件中.解这类题，一方面从方程中求出未 知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简.只有双管齐下，才 能获得简易的解法.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 二次根式首页≥0 )叫做二次根式． 式子 a(a_____温馨提示： （1） aa≥0)表示 a 的算术平方根，它是一个非负数，即 a≥0. （2）二次根式 a (a≥0)中 a可以表示数、单项式、多项式以及符 合条件的一切代数式.考点二最简二次根式最简二次根式必须同时满足条件：（1）被开方数的因数是__________ 正整数 ，因式是整式； （2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 同类二次根式首页最简二次根式 后，如果_________ 被开方数 相同，这几个 几个二次根式化成_____________ 二次根式就叫做同类二次根式. 温馨提示： 判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式后再判断，否则很容易出错.考点四 二次根式的性质1. a(a≥0)是 非负 数； 2 2．( a) ＝ a (a≥0)；上一页下一页宇轩图书考点知识精讲a? b 4. ab＝___________( a≥0，b≥0)；首页a a ＝ (a≥0，b______) ． ＞0 b b 考点五 二次根式的运算5.1．二次根式的加减法 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式． 先将各根式化为_____________2．二次根式的乘除法 ≥0 )； 二次根式的乘法： a? b＝ ab(a≥0，b_____a 二次根式的除法： ＝ ba (a≥0，b＞0)． b 最简二次根式 二次根式的运算结果一定要化成_______________.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 等式及方程的有关概念首页1.等式及其性质用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0 ），所得结果仍是等式. 温馨提示： 在等式两边都除以同一个代数式时，一定要保证这个代数式的值 ___________. 不为零上一页下一页宇轩图书考点知识精讲2.方程的有关概念 等式 ，叫做方程. （1）含有未知数的________首页（2）使方程左、右两边的_____ 值 相等的未知数的值，叫做方程的解（只含有一个未知数的方程的解，也叫做根）. （3）求方程解的过程，叫做解方程. 整式 ，这样的方程叫做整式 （4）方程的两边都是关于未知数的_______ 方程.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 一元一次方程首页1．一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的标准形式是 ax＋b＝0(a≠0) ____________________ ． 2．解一元一次方程的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 考点三 二元一次方程组及解法1.二元一次方程组 （1）二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a≠0,b≠0).上一页下一页宇轩图书考点知识精讲方程组.首页（2）几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次2.解二元一次方程组的基本思路：消元.3.二元一次方程组的解法：（1）代入消元法；（2）加减消元法； （3）图象法. 解方程组其实就是把方程组转化为方程.解二元一次方程组就是通过 消元，把它转化为一元一次方程求解. 温馨提示： 解方程组其实就是把方程组转化为方程.解二元一次方程组就是通过 消元，把它转化为一元一次方程求解.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四列方程（组）解应用题 1.列方程（组）解应用题的一般步骤首页（1）把握题意，搞清楚条件是什么，求什么；（2）设未知数;?直接设未知数，就事论事，问什么设什么. ? ?间接设未知数.（3）找出能够包含未知数的等量关系（一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系）；上一页下一页宇轩图书考点知识精讲（4）列出方程（组）； （5）求出方程（组）的解（注意排除增根）；首页（6）检验（看是否符合题意）；（7）写出答案（包括单位名称）. 2.列方程（组）解应用题的关键是： 确定等量关系 .上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 一元二次方程的定义首页一 个未知数，并且含未知数项的最高次数 在整式方程中，只含有_____ 2 ，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是 是____ ax2＋bx＋c＝0(a≠0) . _______________________ 考点二 一元二次方程的常用解法21.直接开平方法:如果 x =a(a≥0),则 x=± a，则 x1= a,x2=－ a.? ?p?2 p ?2 ? ? x ＋ 2．配方法：如果 x ＋px＋q＝0 且 p －4q≥0，则 ＝－q＋? ? . 2 ? ? ?2? ?p?2 ?p?2 p p x1＝－ ＋ －q＋? ? ，x2＝－ － － q ＋? ? . 2 2 ?2? ?2?2 23 ． 公 式 法 ： 如 果 方 程 ax ＋ bx ＋ c ＝ 0 且 b － 4ac≥0 ， 则 x ＝ 2 －b± b －4ac . 2a上一页下一页22宇轩图书考点知识精讲2 2首页4．因式分解法：若 ax ＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则 ax ＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－ ，x2＝－ . 考点三一元二次方程根的判别式 关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为 b － 4ac，一般用符号 Δ 表示． (1)b －4ac＞0?一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的2 2 2 2f en m－b± b －4ac 实数根，则 x1,2＝ ； 2a (2)b －4ac＝0?一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实2 22上一页下一页宇轩图书考点知识精讲数根，即 x1＝x2＝－ ； 2a首页b(3)b －4ac＜0?一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．2 2温馨提示： 只有一元二次方程，才具有根的判别式.因此在逆用判别式时，一定 要保证二次项系数不等于零.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 一元二次方程根与系数之间的关系2首页1．若关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为 x1、b c x2，则 x1＋x2＝－ ，x1?x2＝ . a a2．(简易形式)若关于 x 的一元二次方程 x ＋px＋q＝0 有两个根分别 为 x1、x2，则 x1＋x2＝－p，x1?x2＝q. 考点五 列一元二次方程解应用题2列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 ( 组 ) 解应用题步 骤一样，即审、找、设、列、解、答六步． 温馨提示： 在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 分式方程及解法 1．分式方程首页未知数 的方程，叫做分式方程． 分母里含有________2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即去分母 D D → 分式方程___________ 整式方程 转化(1)去分母，转化为整式方程；(2)解整式方程，得根；(3)验根． 4．增根在方程变形时,使原分式方程的分母为零的根,称为原方程的增根.解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方程要验根(其方法是代入最 简公分母中，使最简公分母为0的是增根，否则不是)．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 与增根有关的问题首页1．分式方程的增根必须同时满足两个条件 使最简公分母为零 (1)__________________________ ；是由分式方程化成的整式方程的根 (2)________________________________.2．增根在含参数的分式方程中的应用 由增根求参数的值．解答思路为：(1)将原方程化为整式方程；(2) 确定增根；(3)将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 列分式方程解应用题首页1.列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样,不同之处是列出的方程是分式方程.求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根，不要 缺少了这一步. 2.应用问题中常用的数量关系及题型 （1）数字问题.（包括日历中的数字规律） ①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是 100a+10b+c ____________； 7 ②日历中前后两日差___ 1 ，上下两日差_____.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲（2）体积变化问题. （3）打折销售问题.首页售价 成本； ①利润=_______利润 ②利润率=_________ ?100%. 成本（4）行程问题. 速度?_____. 时间 路程=____ 若用v表示轮船的速度，用v顺、v逆、v水分别表示轮船顺水、逆 水和水流的速度，在下列式子中填空.v 顺 ＝ v ＋ v水 v顺－v逆 v＝__________ 2v水 v逆＝v－____ v顺－v逆 v水＝_________ 2上一页下一页宇轩图书考点知识精讲其他的量．首页在轮船航行问题中，知v顺、v逆、v、v水中的任何两个量，总能求出(5)教育储蓄问题．本金?利率?期数 ； ①利息＝___________________ 本金＋利息 ＝本金?(1＋利率?期数)； ②本息和＝_______________ 利息?利息税率 ； ③利息税＝_______________ ④贷款利息＝贷款数额?利率?期数．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 不等式的基本概念首页不等号 连接起来的式子，叫做不等式． 1．不等式 用_______2．不等式的解 使不等式成立的_________ 未知数的 值，叫做不等式的解．3．不等式的解集 一个含有未知数的不等式的__________ 解的全体 叫做不等 式的解集． 4．一元一次不等式 只含有__ 一 一个未知数，并且未知数的次数是___ ax ＋b＜0 0___的不等式，叫一元一次不等式．其一般形式为 且系数不等于 ________0(a≠0) 或 ax＋b＞ ___________.的过5．解不等式 求不等式 解集 的过程或证明不等式 无解 程，叫做解不等式．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 不等式的基本性质首页整式 ，不等号 1．不等式两边都加上(或减去)同一个 数 或同一个______ 的方向 不变 ，即若 a＜b，则 a＋c＜b＋c(或 a－c＜b－c)； 2．不等式两边都乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向不变 即a b 若 a＜b，且 c＞0，则 ac＜bc(或 ＜ )； c c3．不等式两边都乘以( 或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变，a b 即若 a＜b，且 c＜0，则 ac＞bc(或 ＞ )． c c 温馨提示：一定要注意应用不等式的基本性质3时，要改变不等号的方向.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 一元一次不等式的解法首页解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去______ 括号 ，_______ 移项 ，合并________ 同类项 ，系数化为1.温馨提示： 用数轴表示不等式的解集时，注意实心点和空心圆圈的意义. 考点四 一元一次不等式的应用列不等式解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）确定包含未知数的不等量关系；（4）列出不等式；（5）求出不等式的解集；（6）检验不等式的解是否 符合题意；（7）写出答案.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 一元一次不等式组的有关概念首页一元一次不等式 合 1.定义类似于方程组，把几个含有相同未知数的_______________起来，就组成了一个一元一次不等式组.公共部分 叫做由它们所组成的不等式组 2.解集几个不等式的解集的________的解集. 考点二 一元一次不等式组的解法解集 ，再 1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的_____公共部分 求出它们的 _________(一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来解集 ，由图形得出公共部分)，就得到不等式组的 _____.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲＜b ) ：不等式组 ?x＜a ? ?x＜b ?x＞a ? ?x＞b ?x＞a ? ?x＜b ?x＜a ? ?x＞b 在数轴上表示 口 诀 小小取小 解 集首页2．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集情况见下表(其中ax ＜a _________ x ＞b _________大大取大大小小大中间 _________ a ＜x ＜b 找 大大小小无解 _________ 无解上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示首页当不等式组中含有“≥”或“≤”时，不等式组的解法和解集取法不变，只是表示在数轴上需要注意区分实心点和空心圆圈的使用.考点三 一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数 解等. 不等式组的特殊解，包含在它的解集中.因此，解决此类问题的关键 是先求出不等式组的解集，然后求其特殊解.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 一元一次不等式组的应用首页利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等量关系，列出的是不等式，解不等式组所得的结果通常为解集， 根据题意需从解集中找出符合条件的答案.在列不等式时，“不超过”“不多于”等用“≤”连接，“至少”“不少于”等用“≥”连接.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 平面内点的坐标首页1．有序数对(1)平面内的点可以用一对 有序实数 来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标． (2)平面内的点和有序实数对是 一一对应 的关系，即平面内的任何 一个点可以用一对 有序实数 来表示；反过来每一对有序实数都表示平面 内的一个点． (3)有序实数对表示这一对实数是有 顺序 的，即(1,2)和(2,1)表示 两个 不同 的点．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲2．平面内点的坐标规律 (1)各象限内点的坐标的特征首页点P(x，y)在第一象限?x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限?x＜0，y＞0； 点P(x，y)在第三象限?x＜0，y＜0； 点P(x，y)在第四象限?x＞0，y＜0. (2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上?y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上?x＝0，y为任意实数； 点P(x，y)在坐标原点?x＝0，y＝0.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 特殊点的坐标特征首页1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上点的 纵坐标 相同，横坐标为不相等的实数． (2)平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上点的 横坐标 相同，纵坐标为 不相等的实数． 2．各象限角平分线上的点的坐标特征相等 (1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标______.互为相反数 _. (2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标_________上一页下一页宇轩图书考点知识精讲3．对称点的坐标特征首页点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．以上特征可归纳为： 互为相反数 (1)关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标____________. 互为相反数 ，纵坐标相同． (2)关于y轴对称的两点，横坐标___________互为相反数 (3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均____________.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 确定物体位置的方位 1．平面内点的位置用 一对有序实数 来确定．首页2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法 用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物 体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注 意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 函数及其图象首页1．函数的概念 发生变化 的量为变量，有些数 (1)在一个变化过程中，我们称数值__________ 值是 始终不变 的，称它们为常量． (2)一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x 唯一确定 在其取值范围内的每一个确定的值，y都有 自变量 么就说，x是 ，y是x的函数． 的值与其对应，那(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲2．函数的表示法及自变量的取值范围 (1)函数有三种表示方法： 解析法 ， 列表法首页， 图象法 ，这三种方法有时可以互相转化．(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围 必须符合 实际 意义或 几何 意义．3．函数的图象 对于一个函数，把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的 横坐标 与 纵坐标 在平面内描出相应的点，组成这些点的图 形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程 的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点五 自变量取值范围的确定方法首页求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数． 2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数． 3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非 负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数． 4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数 ． ________________5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范 围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 一次函数的定义首页一般地,如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数．特别地，当b＝ 0 时，一次函数y＝kx＋b就成为 y＝kx(k是常数，正比例函数． k≠0)，这时，y叫做x的______________. 1．由定义知：y是x的一次函数?它的解析式是 y＝kx＋b ，其中k 、b是常数，且k≠0. 2．一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征： (1)k ≠ 0；(2)x的次数是1；(3)常数项b可为任意实数． 3．正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征： (1)k ≠ 0；(2)x的次数是 1 ；(3)没有常数项或者说常数项为 0 .上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页正比例函数是一次函数，但一次函数y=kx+b(k≠0)不一定是正比例函数，只有当b=0时，它才是正比例函数.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 一次函数的图象首页b 1．一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(－ ，0)的一 k条直线． 2． 正比例函数 y=kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1， k)的一条直线．温馨提示：b 两点. 画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取? 0，b? 、? － ，0? k上一页下一页宇轩图书考点知识精讲3.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与k,b符号的关系： （1）k＞0，b＞0?图象经过第一、二、三象限.首页（2）k＞0，b＜0?图象经过第一、三、四象限.（3）k＜0，b＞0?图象经过第一、二、四象限. （4）k＜0，b＜0?图象经过第二、三、四象限.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 一次函数图象的性质首页一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而 增大 ，图象一定经 过第 一、三 象限；当k＜0时，y随x的 增大 而减小，图象一定经过第 二、四 象限． __________ 考点四 一次函数的应用用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量 ；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解 决问题；⑤答．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页1.题目中的条件在列等式、不等式时不能重复使用，要仔细寻找题目中的隐含条件；2.正确理解题目中的关键词语：盈、亏、涨、跌、收益、利润、赚、赔、打折、不大于、不小于等；3.设未知数相关量要有依据 ，而代数式为多项式时要加括号，带上单位，列方程时相关量的单位要保持一致.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一首页反比例函数的定义 k －1 一般地， 函数 y＝ 或 y＝ kx (k 是常数， k≠0)叫做反比例函数． x1．反比例函数 y＝ 中的 是一个分式，所以自变量 xk xk x≠0，函数与 x 轴、y 轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成 xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数 中自变量 x 与其对应函数值 y 之积，总等于已知常数 k.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 反比例函数的图象和性质 k 1．反比例函数 y＝ (k≠0)的图象是 双曲线 x首页因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0，所以反比例函数的图象无限 接近 x 轴和 y 轴，但永不与 x 轴、y 轴 相交 2．反比例函数的图象和性质 反比例函数 y＝ (k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受 .k xk 的符号的影响．(1)k＞0?图象(双曲线)的两个分支分别在第一、 三象限， 如图①所示． 图 象自左向右是下降的?当 x＜0 或 x＞0 时，y 随 x 的增大而 减小 (或 y 随 x 的减小而增大)．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页(2)k＜0?图象(双曲线)的两个分支分别在第 二、四象限，如图②所示．图象自左向右是上升的?当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小)．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 反比例函数解析式的确定首页由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以．待定系数法求解析式的步骤： (1)设出含有待定系数的函数解析式； (2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； (3)解方程求出待定系数．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四首页反比例函数图象中比例系数k的几何意义 k k 反比例函数 y＝ (k≠0)中 k 的几何意义：双曲线 y＝ (k≠0)上任意一点 x x 向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为 |k| .理由：如图①和②，过双曲线上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PA、PB 所k 得的矩形 PAOB 的面积 S＝PA?PB＝|y|?|x|＝|xy|；∵y＝ ，∴xy＝k，∴S＝ x|k|，即过双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|， 1 1 同理可得 S△OPA＝S△AOB＝ |xy|＝ |k|. 2 2上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页根据图象说出性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握.考点五 反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找 取值范围 出解决问题的方案，特别注意自变量的 _________.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 二次函数的定义首页一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二 次函数．二 次式；②x 1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的____的最高次数是2；③二次项系数 a_____ ≠ 0. 2．二次函数的三种基本形式 (1)一般形式： y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0) (2)顶点式： y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 标是 ；，它直接显示二次函数的顶点坐(h，k) ；(3)交点式： y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中x1、x2是图象与x轴交横坐标 ． 点的_______上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 二次函数的图象和性质函数 二次函数 y＝ax ＋bx＋c (a、b、c 为常数，a≠0)2首页a＞0a＜0图象性质(1)当 a＞0 时，抛物线开口向 (1)当 a＜0 时，抛物线开口向下，并 上，并向上无限延伸． 向下无限延伸．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲(2)对称轴是 x＝－ ，顶点坐标是(－ 2a首页bb(2)对称轴是 x＝－ ，顶点坐标是 2ab 4ac－ b2 ， )． 2a 4a bb 4ac－ b2 (－ ， )． 2a 4a b(3)在对称轴的左侧，即当 x＜－ 时， y (3) 在对称轴的左侧，即当 x＜－ 2a 2a 性 质 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧， 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴 即当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而增大， 的右侧，即当 x＞－ 时，y 随 x 的 2a 2a 简记“左减右增”． 增大而减小，简记“左增右减”．bb(4)抛物线有最低点，当 x＝－ 时，y (4)抛物线有最高点，当 x＝－ 时， 2a 2a 4ac－ b 有最小值，y 最小值＝ . 4a2bb24ac－ b y 有最大值，y 最大值＝ . 4a上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 号之间的关系字母 项目 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下首页二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c及b2-4ac的符a ＞0 a a ＜0b ＝0b ab＞0(a与b同号) ab＜0(a与b异号) c ＝0对称轴为y轴对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点cc ＞0c ＜0与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交上一页下一页宇轩图书考点知识精讲b2－4ac＝0 b2－4ac b2－4ac＞0与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点首页b2－4ac＜0与x轴没有交点注意：当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c.若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0.若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 二次函数图象的平移首页任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：温馨提示：二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了 顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点五 二次函数解析式的求法首页1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值． 2．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系 数a，最后将解析式化为一般式．3．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶 点式:y＝a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入，求出待定系数化为一般式.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点六 二次函数的应用首页二次函数的应用包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题变量之间关系．(2)用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求 解，同时注意自变量的取值范围．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 函数的综合应用首页1.直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解，比较大小等问题.2.直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式 方程、分式不等式的解，比较大小等问题. 3.利用数形结合的思路，借助函数的图象和性质，形象直观地解决 有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题. 4.利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关 系来解决抛物线与x轴交点的问题.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲案的可行性.首页5.通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方6.建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合. 7.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立 函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 线段、射线、直线首页1．线段的性质(1)所有连接两点的线中,______ 线段 最短，即过两点有且只有一条直线.(2)线段垂直平分线上的点到这条线段的 两个端点 的距离相等． 2．射线、线段又可看作是直线的一部分，即整体与部分的关系；将 线段无限延长一方得到射线，两方无限延长可得到直线． 3．直线、射线、线段的区别与联系上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页项目 类别 直 线 射 线 线 段端点 可延伸方 个数 0 1 2 向个数 2 1 0表 示 两个大写字母或一个 小写字母 两个大写字母 两个大写字母或一个 小写字母图 形上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 角首页1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；大于直角小于平角的角叫做钝角，大于0°小于直角的角叫做锐角． 2．1周角＝ 360 ___分，1分＝ 60 度，1平角＝ 180 度，1直角＝ 90 度，1°＝_ 6 0 秒．3．余角、补角及其性质 互为补角:如果两个角的和是一个 平角 ,那么这两个角叫做互为补角. 互为余角:如果两个角的和是一个 直角 ,那么这两个角叫做互为余角. 性质：同角(或______) 等角 的余角相等；同角(或等角)的补角相等．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页互为补角、互为余角是相对两个角而言，它们都是由数量关系来定义，与位置无关.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 相交线首页1．对顶角及其性质对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫做对顶角． 相等 性质：对顶角______. 2．垂线及其性质 垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条垂线 直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的 ______.性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一 点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短(简说成：垂线段最短)．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 平行线首页1．平行线的定义在同一平面内，不相交 的两条直线，叫平行线．2．平行公理 经过已知直线外一点，有且只有 一 条直线与已知直线平行． 3．平行线的性质 (1)如果两条直线平行，那么 同位角 相等；(2)如果两条直线平行，那么 内错角 相等；(3)如果两条直线平行，那么同旁内角 互补．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲4．平行线的判定 (1)定义：在同一平面内 不相交 的两条直线，叫平行线；首页(2) 同位角 相等，两直线平行；(3) 内错角 相等，两直线平行； (4)同旁内角 互补 ，两直线平行． 温馨提示： 除上述平行线识别方法外，还有“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行”及“平行于同一直线的两条直线平行”的识别方法.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 三角形的概念与分类首页1．由三条线段 首尾顺次相接所围成的平面图形，叫做三角形．2．三角形按边可分为： 不等边 三角形和 等腰 三角形；按角可分为 锐角 三角形、 钝角 三角形和 直角 三角形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 三角形的性质首页1．三角形的内角和是 180°，三角形的外角等于与它不相邻 的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和 大于 第三边，两边之差 小于 3．三角形中的重要线段 (1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的 内心，它到三角形各边的距离相等． (2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心． (3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心． 第三边．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．首页(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．温馨提示： 三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大 小、线段的长短及求角或线段中经常用到.学习时应结合图形，做到熟练 、准确地应用. 三角形的角平分线、高、中线均为线段.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 全等三角形的概念与性质首页1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的 对应边 、 对应角 分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、 面积相等．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 全等三角形的判定首页1．一般三角形全等的判定(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等 ，那么这两个三角形全等，简记为SSS； (2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角 形全等，简记为SAS； (3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角 形全等，简记为ASA； (4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个 三角形全等，简记为AAS.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲2．直角三角形全等的判定 (1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；首页(2)一边及该边所对锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)如果两个直角三角形的斜边及一条 直角边 分别对应相等，那么 这两个直角三角形全等．简记为HL. 3．证明三角形全等的思路找夹角 ? ? (1)已知两边?找直角 ? ?找另一边 (2)已知一边一角上一页下一页宇轩图书考点知识精讲边为角的对边时，找另一角 ? ? ? 找夹角的另一边 ? ? ? ?边为角的邻边时?找夹边的另一角 ? ?找边的对角 ? ??找夹边 (3)已知两角? ?找任意一边首页温馨提示： （1）判定三角形全等必须有一组对应边相等； （2）判定三角形全等时不能错用“SSA” “AAA”来判定.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 等腰三角形首页1．概念及分类有两边相等 的三角形叫等腰三角形；有 三边相等 的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为 腰和底不相等 和 腰和底相等 ___________的等腰三角形． 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角 相等 ； (2)等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和高互相 重合 ，简 称“三线合一”； 的等腰三角形上一页下一页宇轩图书考点知识精讲(3)等腰(非等边)三角形是轴对称图形，它有一条对称轴．首页(4)等腰三角形边长须满足两腰之和大于底；等腰三角形的底角满足0°＜α ＜90°；顶角满足0°＜β ＜180°.3．等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形； (2)有 两角 相等的三角形是等腰三角形． 温馨提示：应用性质“三线合一”时，一定要注意是顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，利用它可以证明线段相等、角相等及直线垂 直.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 等边三角形的性质与判定首页1．性质：(1)等边三角形的内角都相等，且等于60°；(2)等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴． 2．判定：三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形． 温馨提示： （1）顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形. （2）等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 线段的中垂线首页1．概念：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线．2．性质：线段中垂线上的点到这条线段两端点的距离相等． 3．判定：到一条线段的两个端点距离相等的点在中垂线上，线段的 中垂线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 1．性质 直角三角形的性质、判定首页(1)直角三角形的两个锐角 互余 ；(2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的 一半 ； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为 30° ；(5)直角三角形 斜边 上的中线等于斜边的一半．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲2．判定 (1)有一个角是 直角 的三角形是直角三角形；首页(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 为 直角 三角形； (4)在一个三角形中,如果有两个角互余,那么这个三角形是 直角 三 角形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示： （1）勾股定理的逆定理是判定三角形为直角三角形的重要方法.首页（2）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.（3）若a、b、c为一直角三角形的三边长，则以ma、mb、mc(m＞0) 为三边的三角形也是直角三角形.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 几何作图首页1．尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺2．基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差； (2)作一个角等于已知角，以及角的和、差； (3)作角的平分线； (4)作线段的垂直平分线．3．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形；上一页下一页宇轩图书考点知识精讲(3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；首页(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型 6．作图题的一般步骤 (1)已知;(2)求作;(3)分析;(4)作法;(5)证明;(6)讨论．其中步骤 (5)(6)常不作要求,步骤(3)一般不要求,但作图中一定要保留作图痕迹．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 有关概念 定义、命题、定理、公理首页(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．(2)命题：判断一件事情的语句． ①命题由题设和 结论 两部分组成．②命题的真假:正确的命题称为 真命题 ； 错误 的命题称为假命题. ③互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．首页(3)定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理． 温馨提示： 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举 反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 证明首页1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．2．证明的一般步骤：①审题，找出命题的 题设 和 结论 ；②由 题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出 已知 分析证明的思路；⑤写出 证明过程 、求证 ；④，每一步应有根据，要推理严密．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 多边形首页1．多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次 相接所组成的封闭图形叫做多边形． 多边形的对角线是连接多边形 不相邻 的两个顶点的线段． 注意：从 n 边形的一个顶点出发可以引出(n －3) 条对角线，共有 n(n-3)/2 条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．180° 2．n 边形的内角和是 (n－2)? ，外角和是 360° .上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页（1）多边形包括三角形、四边形、五边形??，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有 锐角（如矩形）. （3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的 相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 平面图形的密铺 1．密铺的定义首页用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形 的镶嵌． 2．平面图形的密铺 (1)一个多边形密铺的图形有：三角形 ， 四边形 和 正六边形 ； (2)两个多边形密铺的图形有： 正三角形和正方形 ，正三角形和正六边形 _________________， 正方形和正八边形和正三角形和正十二边形 ；(3)三个多边形密铺的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形 ， 正方形、正六边形和正十二边形 ____________________________ ， 正三角形、正方形和正十二边形上一页下一页.宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页能密铺的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 平行四边形的定义、性质与判定 1．定义：两组对边 分别平行 的四边形是平行四边形． 2．性质：(1)平行四边形的对边 平行且相等 ； (2)平行四边形的对角 相等 ，邻角 互补 (3)平行四边形的对角线 互相平分 ； ；首页(4)平行四边形是 中心对称图形．3．判定：(1)两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形；(3)一组对边 平行且相等 (4)两组对角分别 相等(5)对角线 互相平分的四边形是平行四边形；的四边形是平行四边形； 的四边形是平行四边形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 矩形的定义、性质和判定首页1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线_________________ 互相平分且相等 ；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有 两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有 一个角是直角 的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形 是矩形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 菱形的定义、性质和判定首页1．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．性质：(1)菱形的四条边 都相等 ，对角线互相 垂直平分 ，并且每条对角线平分一组对角;(2)菱形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)四条边都相 等的四边形是菱形；(3)对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形；(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 正方形的定义、性质和判定首页1．定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是 直角 ，四条边都 相等 ；(2)正方形两条对角线 相等 ，并且互相 垂直平分 ，每条对角线平 分一组对角． (3)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3．判定：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等 的矩形是正方形(正方形的判定可借助平行四边形、矩形、菱形来判定)．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系首页温馨提示： 1.矩形、菱形和正方形具有平行四边形的所有性质. 2.平行四边形及特殊平行四边形的有关知识点较多，要想做到准确而不混淆就要从“边、角、对角线、对称性”这四个方面来研究它们的性质和判定，多用数形结合法，掌握它们的区别及联系，把握它们的特征是 关键.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 梯形的定义、分类及面积首页1．定义：一组对边平行，而另一组对边 不平行的四边形叫做梯形．其中，平行的两边叫做底，两底间的距离叫做梯形的 高.?两腰不相等的梯形； ?等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； 2．分类：梯形：? 直角梯形：一腰与底垂直的梯形叫做直角 ? 梯形 . ?1 3．面积：S 梯形＝ (上底＋下底)?高＝中位线?高． 2上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 等腰梯形的性质与判定首页1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底 平行 ；(2)等腰梯形在同一底边上的两个角 相等 ；(3)等腰梯形的对角线 相等 ；(4)等腰梯形是轴对称图形． 2．判定：(1)定义法；(2)同一底边上的两个角 相等 的梯形是等腰 梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 梯形的中位线 1．定义：连接梯形 两腰中点 的线段叫做梯形中位线．首页2．判定：(1)经过梯形一腰中点与 底平行 的直线必平分另一腰；(2)定义法． 3．性质：梯形的中位线平行于 两底，并且等于 两底和 的一半.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法转化 1．基本思路：梯形问题 D D → 三角形或平行四边形． 分割、拼接 2．常见辅助线的作法：首页上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 成比例线段与比例的定义及性质首页1．对于四条线段 a、b、c、d，如果 做成比例线段，简称比例线段．那么这四条线段叫2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例． 3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． a c 4．比例的基本性质：如果 ＝ ，那么 ad＝bc ，反之也成立．其中 b d a b a 与 d 叫做比例外项，b 与 c 叫做比例内项．特殊地 ＝ ?b2＝ac. b c上一页下一页宇轩图书考点知识精讲5．比例的等比性质 a c m a＋c＋?＋m a 如果 ＝ ＝??＝ ，且 b＋d＋??＋n≠0，那么 ＝ . b d n b＋d＋?＋n b首页上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页（1）求两条线段的比时，对两条线段要采用同一长度单位.如果单位不同，那么必须先化成同一单位，然后再比,且两条线段的比是一个实数、没有单位.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 相似多边形的判断及性质首页1．多边形相似的判断：各角对应相等，各边对应成比例．2．相似多边形的性质成比例 (1)对应角 相等 ，对应边________.相似比的平方 (2)周长之比等于 相似比 ，面积之比等于______________.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 位似图形及性质首页1．定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相 似图形不一定是位似图形．2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，首页AC BC 如果 ＝ ， 则称线段 AB 被点 C 黄金分割， 点 C 叫做 AB 的黄金分割点， AB AC AC 5－ 1 AC 与 AB 的比叫做黄金比(即 ＝ ≈0.618)． AB 2上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 相似三角形的定义首页定义：如果两个三角形的各角对应 相等 ，各边对应 成比例 ，那么这两个三角形相似考点二 相似三角形的性质1．相似三角形的对应角 相等 ，对应边 成比例 . 2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都 相似比 等于________. 3.相似三角形的周长之比等于 相似比，面积之比等于 相似比的平方.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 相似三角形的判定 1．两边对应 成比例 ，且夹角 相等 的两个三角形相似．首页2．两角对应相等的两个三角形相似．3．三边对应 成比例 的两个三角形相似． 温馨提示： 直角三角形相似的条件：（1）两直角边对应成比例的两个直角三角 形相似.（2）有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.（3）有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 锐角三角函数定义首页若在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、ca b a c ＝____，tanA ，则sinA＝____，cosA c ＝ ____. b温馨提示： （1）锐角三角函数是在直角三角形中定义的. （2）sinA,cosA,tanA表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位.（3）锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三 角形的大小无关.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲（4）当A为锐角时，0＜sinA＜1,0＜cosA＜1,tanA＞0. 考点二 特殊角的三角函数值α 30° 45° 60° sinα 1 2 2 2 3 2 cosα 3 2 2 2 1 2 tanα 3 3 1首页3上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页对于特殊角 30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，可结合以上图 表及定义记忆. 2.30°、45°、60°角的正弦值分母都为 2，分子从小到大分别为 1、 2、 3，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30°、45°、60°角的余弦 值，它们的分母也都是 2，而分子从大到小分别为 3、 2、1，余弦值随 角度的增大而减小. 3.30°、60°角的正切值互为倒数，都和 3有关，45°角的正切值是 1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三1．求已知锐角的三角函数值首页用计算器求一个锐角的三角函数值或由三角函数值求锐角方法：将角度单位状态设定为“度”(屏幕显示 D )，按所求函数的书 写顺序去按键． 2．由锐角三角函数值求锐角 在屏幕显示 D 状态下，按“SHIFT”键再按相应函数及数值．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 解直角三角形首页1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素即3条边 和2个锐角) 2．直角三角形的边角关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.a2＋b2 ＝c2 ； (1)三边之间的关系：___________(2)两个锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90° ；上一页下一页宇轩图书考点知识精讲(3)边角之间的关系： a b a sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ， c c b b a b sinB＝ ，cosB＝ ，tanB＝ . c c a (1) 互 余 角 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： 若 ∠ A+ ∠ B=90 ° , 那 么 sinA=cosB 或 sinB=cosA. (2)同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1;②tanA=首页上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 解直角三角形的应用中的相关概念首页1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和 水平距离l 的比叫 h 坡度(或坡比)，即 i＝tanα ＝ ，坡面与水平面的夹角 α 叫坡角． l 3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页注意：东北方向指北偏东 45° 方向，东南方向指南偏东45°方向 ，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．4．方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫 做方位角．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 直角三角形的边角关系的应用首页日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角 形的问题)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 图形的轴对称首页1．轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相 重合 _，那么这个图形叫做轴对称图形． 2．轴对称的定义 把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形重 合，那么这两个图形关于直线对称，两个图形关于直线对称也称轴对称． 这条直线叫做对称轴．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲3．轴对称变换的基本性质 (1)对应点所连的线段被对称轴 垂直平分 .首页(2)对应线段 相等 ，对应角 相等 .4．轴对称和轴对称图形的区别 轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系；轴对称图形是对一 个图形本身而言的． 5．镜面对称原理(1)镜中的像与原来的物体_______. 轴对称(2)镜子中的像改变了原来物体的左右位置，即像与物体左右位置互 换．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 中心对称图形和中心对称首页1．在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，能与原来的图形重合 ，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形 上能够重合的点叫做对称点． 2．在平面内，一个图形绕某一定点旋转180°，它能够与另一个图 形重合，就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心， 旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点． 3．中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别：(1)中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指 具有某种性质的一类图形；(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两 个图形上，而中心对称图形的对称点在同一个图形上．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对 称；若把成中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 平移的定义、条件首页1．定义：在平面内，将某个图形沿某个 方向 移动一定的 距离 ，这样的图形运动称为平移．2．条件：确定一个平移运动的条件是 平移的方向 和 距离 温馨提示： 画平移图形时必须确定平移的方向和距离，还需注意图形上的每个 点都沿同一方向移动相同的距离. .上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 平移的性质首页1．平移不改变图形的 形状 与 大小 ，即平移后所得的新图形与原图形 全等 ；2．连接各组对应点的线段平行且 相等 ； 3．对应线段平行； 相等 4．对应角 _____. 温馨提示：画平移图形的依据是：平移的性质.关键是：正确找出所画图形的关键点 _______.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 图形的旋转首页1．定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度 _____，这样的图形运动称为旋转．这个 定点 称为旋转中心，转动的角度 ____称为旋转角． 旋转角 确定的． 2．条件：图形的旋转是由旋转中心、旋转方向 和 3．性质：图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方 向转动了相同角度；注意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋 转角，旋转角都 相等 ；对应点到旋转中心的距离 相等 ． 绕一点旋转某个角度后能与原图形重合 这一 4．一个图形只要满足____________________________________ 条件，就是旋转对称图形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页5．把一个图形绕某个点旋转 180° 后能与另一个图形完全重合， 则这两个图形成中心对称，对应点连线都经过对称中心 ，且被对称中心平平行或在同一直线上且相等 分，对应线段______________________________ ．温馨提示： 1.一对对应点与旋转中心所形成的角，就是旋转角； 2.图形旋转时，要注意旋转方向，方向不同，旋转后的图形不同； 3.中心对称图形是特殊的旋转对称图形，它是有一个旋转角为180° 的旋转对称图形.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 生活中的立体图形首页1．生活中常见的立体图形有：球体、柱体、 锥体 ，它们之间的关 系可用下面的示意图表示．球体 ? ? ? ?圆柱 ? ? ? ?三棱柱 ? ?四棱柱 ? 柱体? ? ?棱柱?五棱柱 ? ? ? ??? ? ? 立体图形? ? ? ?圆锥 ? ? ?三棱锥 ? ? 四棱锥 ? 锥体?棱锥? ? ? ? 五棱锥 ? ? ? ??? ? ? ?2.多面体：由_____________ 平面图形 围成的立体图形叫 多面体 .上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 由立体图形到视图首页1．视图：从正面、上面和侧面(左面或右面)三个不同方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图．其中从正面看到的图形，称为正视图;从上面看到的图形,称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图． 2．常见几何体的三种视图 几何体 圆 柱 正视图 长方形 左视图 长方形 俯视图 圆圆 锥球三角形圆三角形圆圆和圆心圆上一页下一页宇轩图书考点知识精讲3.三种视图的作用 (1)正视图可以分清长和 高 ，主要提供正面的形状；首页(2)左视图可以分清物体的高度和厚度；(3)俯视图可以分清物体的长和 宽 ，但看不出物体的 温馨提示： 1.在画视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的 轮廓线通常画成虚线；2.在画几何体的三种视图时，正视图和俯视图要长 高 ．对正，正视图和左视图要高平齐，左视图和俯视图要宽相等；3.画圆锥的俯视图时，应注意画上圆心（表示圆锥的顶点），球体不论从哪个方向看 的视图都是圆；4.摆放角度不同，视图也不同.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页根据正视图和左视图确定小方块堆的俯视图的规律为：正视图与俯 视图的列数相同，其每列的方块数是俯视图中该列中的最大数字；左视图的列数与俯视图的行数相同，其每列的方块数是俯视图中该行中的最大数字.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 物体的投影首页?平行投影：阳光下物体的影子 ? ?灯光与影子 投影? 中心投影? ? ?视点、视线和盲区 ?(1)阳光下的影子为平行投影，在同一时刻两物体的影子应在同一方向上，并且物高与影长成正比．(2)灯光下的影子为中心投影，影子应在物体背对光的一侧． (3)盲区是视线不能直接到达的区域范围．温馨提示：在解决物体投影的问题时,一定要先确定出该投影是平行投影还是中 心投影,特别在解决计算解答题时,一定要正确找出比例关系，准确求解.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 圆的定义及其性质首页1．圆的定义有两种方式(1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点叫 圆心 ,线段OA叫做 半径 集合 (2)圆是到定点的距离等于定长的点的______. 2．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴． .(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．(3)圆是旋转对称图形．圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形 重合，这就是圆的 旋转不变性．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 垂径定理及推论首页1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所 对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 温馨提示： 1.注意平分弦的直径不一定垂直于弦. 2.等弧指能完全重合的弧，其度数一定相同，但度数相同的弧不一 定是等弧.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页3.①过圆心；②平分弦；③垂直于弦；④平分弦所对的优弧；⑤平 分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项，其中由①、②得③、④、⑤时，被平分的弦不是直径.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系首页1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等； (3)两条弦相等；(4)两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对 应的三项都成立．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 圆心角与圆周角首页1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．2．性质 (1)圆心角的度数等于它所对弧的度数； (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的 度数的一半 ； (3)同弧或等弧所对的圆周角 相等 ．同圆或等圆中相等的圆周角所弧 相等； 对的___(4)半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ，90°的圆周角所对的弦是 直径．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示： 1.圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起.首页2.同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补.3.半圆所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弧是半圆. 4.已知条件中如果有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中 常添加的辅助线.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点五 圆的性质的应用 1．垂径定理的应用首页用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段 (即弦心 距)，则垂足为弦的中点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角 三角形来达到求解的目的2．圆心角、圆周角性质的应用．3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用． 温馨提示： 借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等，进行角的等量 代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧（或 弦）的等量代换.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 点与圆的位置关系首页1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上?d＝r；(2)点在圆内?d&r；(3)点在圆外?d&r. 2．过三点的圆 (1)经过三点作圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不 在同一直线上的三点，有且只有一个圆． (2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆； 外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页(3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点 即为外心；②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．温馨提示： 锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心在斜边中点处； 钝角三角形的外心在三角形的外部.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系的有关概念首页(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆____ 相交，这时的直线叫做圆的 割线 ； (2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 相切 ，唯一的公共点叫做______ 切点 ，这时的直线叫做圆的 切线 ；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 相离 ． 2．直线和圆的位置关系的性质与判定 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和 ⊙O相交?d&r；(2)直线l和⊙O相切?d＝r；(3)直线l和⊙O相离?d&r.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 切线的判定和性质首页1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线 ； (3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线． 2．切线的性质 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 ；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心；切点 (3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点四 切线长定理首页1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 两圆的位置关系首页设R、r为两圆的半径，d为圆心距．(1)两圆外离?d&R＋r；(2)两圆外切?d＝R＋r； (3)两圆相交?R－r&d&R＋r(R≥r)； (4)两圆内切?d＝R－r(R&r)； (5)两圆内含?d&R－r(R&r)．(注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆)上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 三角形（多边形）的内切圆首页1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做圆的外切三角形； (2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做 圆的外切多边形． 2．三角形的内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等 ，且在三角形内部．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲温馨提示：首页找三角形内心时，只需画出两内角平分线的交点；内心与三角形各顶点连线是三角形各内角平分线.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 相交、相切两圆的性质首页1．相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角．(注：平分两外公切线所夹的角，通过角平分线判定“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，很容易证明) 2．相切两圆的连心线必经过切点． 3．两不等圆相离时，两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线 的夹角．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 弧长、扇形的面积首页1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公 nπ r 式为：l＝______. 180 2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形． nπ r 2 若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝_____ 360 ，或S＝ 1 lr. 2 注：公式中的n表示1°的圆心角的倍数，所以不写单位．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 圆柱和圆锥首页1． 圆柱的侧面展开图是 矩形 ， 这个矩形的长等于圆柱的 底面周长 c， 宽是圆柱的 母线长 l，如果圆柱的底面半径是 r，则 S 圆柱侧＝cl＝2π rl. 2．圆锥的侧面展开图是 扇形 ，这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面 周长 c， 半径 等于圆锥的母线长 l.若圆锥的底面半径为 r，这个扇形r 1 2 的圆心角为 α ， 则 α ＝ ?360°， S 圆锥侧＝ cl＝π rl， S 圆锥全＝π rl＋π r . l 2上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点三 阴影部分的面积首页1．规则图形：按规则图形的面积公式去求．2．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法．把不规则图形的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等转化为 规则图形的面积．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 普查与抽样调查首页1．为一特定目的而对 所有 考察对象作的全面调查叫做普查．2．为一特定目的而对 部分 考察对象作的调查叫做抽样调查．温馨提示： 抽样时必须保证每一个个体被抽取的机会是均等的,而且抽取样本要 足够大,对于一些科技性调查,即使数量大,也不能用抽样调查方法进行.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页考点二统计的有关概念1．总体、个体及样本 在统计中，我们把所要考察对象的 全体 叫做总体，其中每一个考察 对象叫做个体．当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体 ，这一部分个体叫做总体的 样本 ，样本中个体的数目叫做样本容量． 2．平均数上一页下一页宇轩图书考点知识精讲1首页如果有 n 个数 x1，x2，x3，?，xn，那么 x ＝n(x1＋x2＋x3＋?＋xn)叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数．若 n 个数 x1，x2，x3，?，xn 的权分别是 ω 1， ω 2，ω 3 ，?， ω n，则x1ω 1＋x2ω 2＋?＋xnω nω 1＋ω 2＋?＋ω n叫做这 n 个数的加权平均数．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页总体中所有个体的平均数叫做总体平均数．样本中所有个体的平均 数叫做样本平均数．通常用 样本 平均数去估计总体平均数，用样本估计 样本容量 越大，样本对总体的估计也就越精确． 总体时， 3．众数与中位数 (1)在一组数据中，出现次数 最多 的数叫做这组数据的众数(一组 数据的众数有时有几个)．(2)将一组数据按 大小依次排列，把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)众数,中位数与平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(4)当所给数据有单位时，众数、中位数也要有单位，且与原数据单位一致．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲4．方差、标准差与极差首页(1) 在一组数据 x1,x2,x3,x4,?,xn 中, 各数据与它们的平均数 x 的差的 平方的平均数叫做这组数据的方差, 即 s = n [(x1 － x ) +(x2 － x ) +?+(xn －2122x )2].(2) 一 组 数 据 的 方 差 的算术 平 方 根 叫 做 这 组 数 据 的标 准 差 ， 即 s ＝n1 [? x1－ x 2 ? ＋? x2－ x 2 ? ＋?＋? xn－ x 2 ? ].(3)极差＝最大值－最小值 (4)极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小，方差(或标 准差)越大，说明这组数据波动 越大 ．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲首页上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 统计图的概念首页统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间关系的直观表现的反映．考点二 几种常见的统计图表1．条形统计图 用长方形的高来表示数据的图形． 它的特点是：(1)能够显示每组中的 具体数据 ；(2)易于比较数据之间的差别．2．折线统计图 用几条线段连成的折线来表示数据的图形．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲它的特点是：易于显示数据的 变化趋势 ． 3．扇形统计图首页(1)用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表部分，扇形的大小反映部分在总体中所占 百分比 图叫扇形统计图．总体 中的不同的大小，这样的统计(2)百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该 部分所对扇形的圆心角的度数与 360° 的比． (3)扇形的圆心角＝360°? 百分比 ． 4．频数分布直方图 次数 叫频数． (1)每个对象出现的_____上一页下一页宇轩图书考点知识精讲数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．首页(2)每个对象出现的次数与总次数的 比 (或者百分比)叫频率，频(3)频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的 分布情况 ． (4)频数分布直方图的绘制步骤是：①计算最大值与最小值的差；② 决定组距与组数；③确定分点，常使分点比数据 多一位小数 ，并且把第 一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据， 纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方 图．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 确定事件与不确定事件的有关概念及分类首页1．必然事件：一定会发生的事件叫做必然事件．2．不可能事件：一定不会发生的事件叫做不可能事件．3．确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件． 4．不确定事件：可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件， 也叫做随机事件或偶然事件．? ? ?确定事件?必然事件 5．分类：事件? ?不可能事件 ? ?不确定事件上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点二 频率与概率首页1．概率：一个事件发生的可能性的大小，可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率．2．在进行实验的时候，当实验的次数很大时，某个事件发生的频率 稳定在相应的概率附近．我们可以通过多次实验用一个事件的频率来估计 这一事件的概率． 3．概率的计算方法及公式事件A可能发生的结果数 公式：P(A)＝ 所有等可能结果的总数方法：①画树形图法；②列表法．上一页下一页宇轩图书考点知识精讲4．概率的范围 一般地，当事件A为必然事件时，P(A)＝1；首页当事件A为不可能事件时，P(A)＝0；当事件A为不确定事件时，0＜P(A)＜1. 总之，任何事件A发生的概率P(A)都是0和1之间(包括0和1)的数，即 0≤P(A)≤1 温馨提示：1.频率是多次实验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性.2.在计算某事件的概率时要注意：要清楚我们要关注的是发生哪个 或哪些结果；要清楚所有机会均等的结果.上一页下一页宇轩图书考点知识精讲考点一 利用树形图或列表进行概率的预测首页1．画树形图是列举