如何自学线性代数？_百度知道
如何自学线性代数？
线性代数和高等数学有什么相同点不同点？我打算自学，但时间不多，请各路高手谈谈线代有什么特点，自学的时候可以注意什么，重点放在哪里？比如用课件，看书，做题目，这些怎么协调?我现在每天空余时间很多，希望短期内较好的成效，谢谢，谢谢！！
你如果不是数学专业的话，高数很简单，方法在我空间里有，主要是记基础知识和总结题型，具体的有兴趣自己去看看，希望对你有帮助。线性代数也不算太难，关键是死题型太死，活题型太活，尤其是考研题，很不好把握。另外，他有大量文字型选择题，这不仅是考察基础知识的扎实程度，更考察智力。我分别说一下重点：高数：1、极限的求法（七大类型，重点掌握洛必达法则，等价无穷小，两个重要极限，无穷小乘有界量；考研的话还有单调有界数列必有极限，夹逼定理，泰勒公式。）2、导数和高阶导公式（分段函数可导，微分，连续的证明）3、中值定理（零点定理，介值定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理）4、泰勒级数（五种常见函数的迈克劳林公式，这是后面无穷级数的基础，考试不怎么考。）5、导数的应用（单调性，极值，最值，凹凸性和拐点，渐近线）6、不定积分（这是重要的过度章，熟练掌握积分公式，三类积分法。）7、定积分和其应用（都看吧，很重要）8、空间解析（知道直线和平面的方程和其求法就行了）9、多元函数微分（偏导和高阶偏导，全微分，复合函数隐函数求导法，几何应用，拉格朗日函数。）10、重积分，曲线积分，曲面积分（不理解没关系，背方法）11、无穷级数（没捷径，背吧，做吧）12、微分方程（高阶微分方程是重点）线性代数：1、行列式的计算和克拉默法则（看参考书，主要是行列式定义的应用，用性质计算，箭型行列式，可化为箭型的，相邻元素差1的，降、升阶法，递推法，叉形行列式，范德蒙德横列式的应用，代数余子式的计算；克拉默法则的结论：齐次和非齐次的不同。）2、矩阵乘法，转置，方阵行列号式，逆矩阵，伴随阵（这里有好多小公式和小结论，看看参考书，我不一一写了，比如：矩阵A伴随的伴随等于多少？K倍的A的伴随呢？）3、初等变换，秩（这是现代中最重要的一个概念），线性方程组的求解（关于秩应用和方程的解的条件是选择题的重头戏）4、向量组的线性相关性（线性相关和线性无关的证明题是必考的，他们那晦涩的概念和那堆互推定理也是选择题里比较妖娆的一块。向量组的秩很难懂也很重要，一定要深刻理解它与前一章的区别，祝你幸运！求极大无关组很简单，所以填空题很喜欢考。方程组解的结构大题必考。）5、特征值和特征向量是这章考试的重点（这章有很多的概念和要背的方法，幸运的是，这些是死的，比如：正交化，对角化，化二次型。）第六章，我们不讲，考研也考得不多，所以不用看了。这两门大体的重点就这么多了，祝你学得愉快！
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短期不可能的，不信你就试试。
也不太对 但是联系不是很大 线性代数 主要讲代数方面的
算法 高等数学研究的就多了 涉及到一些线性代数 比如 向量中要用到线性代数中的行列式
宗旨 两个的逻辑性都大 这方面的书也多 好书也多 选择的余地也多
线性代数和高等数学几乎没有多大联系。线性代数特点是概念多，公式多，但总的来说还是比较简单的。自学的话可以选择同济大学或北京大学的教材，结合课件，做一下课后题。矩阵、向量和行列式是线性代数的基础，一定好好学。把前边几章学好后边的就比较容易了！
可以参考，满意请采纳，谢谢
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|个人分类:|系统分类:|关键词:子空间,同态,直和,基本定理|
把线性空间分解成为对其运算封闭的子空间，了解子空间的直和，正交子空间，以及由算子生成的零空间和像空间，这对分析算子，简化计算以及了解结构都是一把犀利的解剖刀。5.1 子空间线性空间是对线性运算封闭的集合。线性空间中的一个子集，如果也对线性运算封闭，即它里面任何几个向量经过线性组合后仍在这子集中，则称为线性子空间，在没有歧义的情况简称为子空间。很明显，线性空间本身以及单个零向量都是平凡的子空间。一切子空间都包含着零向量。不要把子空间想象成空间中一个有边缘的几何体，子空间中任何向量的数乘，即任意的延伸都在这子空间里。高于一维的线性空间有无数不同的子空间。在三维空间中，一维的子空间是过原点的一条直线，二维子空间是过原点的一个平面，你以此来推想高维的子空间。一组向量的线性组合构成了一个子空间，称为这组向量张成的子空间。这子空间的维数，等于这组向量中线性无关向量的个数。一组线性无关的向量，意味着其中任何一个向量都不能在其它几个张成的子空间里，这就像平行六面体的三条棱边不在任何两边确定的平面里。子空间的交集仍是一个子空间，它们的并集一般则不是，但可用里面向量的线性组合扩充成一个子空间。任取一组向量，它们所有线性组合的集合是个子空间，称为这组向量张成的线性子空间。显然任何一个向量都可以张成一维子空间，k个线性无关的向量张成k维子空间，线性空间中的基张成了整个线性空间。线性空间中的几个子空间，如果它们相互间除了零向量外没有交集，它们张成的空间，称为这些子空间的直和。直和空间中的向量，都可以用这几个子空间中各有一个向量之和组成，这种分解是唯一的。直和空间里向量运算，等于它分别在子空间里的运算之和。例如： $ a\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\; b\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}, \;\; \forall
a,b \in \mathbb{R} $ 分别都是
$ \mathbb{R}^2 $ 的一维子空间， $ \mathbb{R}^2 $ 是它们的直和。分别来自两个子空间中的向量，如果它们的内积都为零，则称这两个子空间是正交的。它们张成的空间是它们的直和。不是全空间或单个零向量的子空间称为真子空间。与真子空间正交的向量构成与它正交的子空间，它们的直和是全空间。矩阵 & $ A=\begin{pmatrix} 1&1&0 \\1&0 &1\end{pmatrix} $
&的两个行向量张成 $ \mathbb{R}^3 $ 的二维子空间。方程 Ax=0 的所有的解 & $ x= a\begin{pmatrix}1&-1&-1 \end{pmatrix}^T,a\in \mathbb{R} $
构成 $ \mathbb{R}^3$ 的一维子空间。不难验证A的行向量张成的空间和这方程的解空间是正交的，它们的直和是 $ \mathbb{R}^3$ 。假设线性空间X是子空间W和V的直和，因为向量对子空间直和的分解是唯一的， X中每个向量都对应着子空间W中的一个向量，这个映射称为X对W子空间的投影。空间X中的向量线性运算与它们在W子空间中的投影也保持这种对应，这个性质称为线性空间X与它的子空间W是同态的。同态是在两个代数结构中保持运算不变的映射，对子空间的投影映射是一个同态映射。以前介绍的“同构”，则要求这种映射还是一一满映射。同态映射定义了一种等价关系，它把等价的元素映成同一个像元素，而令其等价的称为同态映射的核。子空间V是X投影到W映射的核，它的投影是零向量，如果X中任何两个向量之差在V中，它们对投影映射则是等价的，投影到W中同一个向量。由此可以进一步学习泛代数的概念，定义在等价关系下的商空间，以及商空间与映射像同构关系的基本定理。5.2算子的零空间和像空间线性算子保持两个空间的线性运算不变，所以它是一个同态映射。线性算子 f : X → Y 它的核 Ker(f) 和像 Im(f) &定义如下：Ker ( f ) = { x ∈ X | f( x )= 0 } ，Im ( f ) = { f ( x ) | x ∈X } &Ker(f) 是 X 中被f映射为0的向量构成的子空间，也称为算子的零空间。X中两个向量之差如果在零空间中，它可以被线性算子看成是等价的，它们被映到Y中的同一个向量。而Im(f) 是 X中所有向量被f映射到Y的像构成的子空间，也称为算子的值域。对这些子空间的维数有秩-零度定理: &dim ( Ker ( f ) ) + dim ( Im ( f ) ) = dim (X)，它是线性代数的一个基本定理。 & &维数 dim(Im(f)) 叫做线性算子f的秩，记为 rank f，dim(Ker(f))叫做线性算子f的零度，记为nullity f。满映射的线性算子称为是满秩的，满秩的线性算子的零度为0. 这个定理似乎很抽象，下面我们从矩阵和方程的角度来看它。线性算子f将X中的向量x映成Y中的向量，如果存在着Y上的一个线性算子f*，它将Y中的向量y映成X中的向量，使得内积〈y, f(x)〉=〈f*(y), x〉，算子f*称为f的共轭算子。不难证明，在实数域算子的矩阵表示中，A的共轭算子是它的转置矩阵AT（在复数域上是A的共轭转置矩阵A*，为直观起见，我们只介绍实数域的情况，读者自行修正复数域上表示。）将线性算子f表示为矩阵A，A的列向量张成的子空间称为A的列空间，它是算子A的像空间。Ax=0解构成的子空间称为A的右零空间，它是算子A的零空间。A的行向量张成的子空间称为A的行空间，它是共轭算子的列空间。共轭算子AT的零空间称为A的左零空间。齐次线性方程Ax=0的解构成A的零空间，这方程式说明矩阵的行向量与方程解列向量的内积为零。所以，矩阵的行空间与右零空间总是正交的，它们的直和是矩阵作为线性算子定义域的线性空间。将矩阵转置，对AT也有相同的结论，即矩阵A的列空间与左零空间也总是正交的，它们的直和是矩阵作为线性算子值域所在的线性空间。矩阵把它的定义域空间X分解为正交的右零空间和行空间的直和，把值域空间分解为正交的左零空间和列空间的直和。试着用内积式子〈y, f(x)〉=〈f*(y), x〉= 0做出上述的解释。通过矩阵的行和列的操作，可以证明：矩阵的行秩等于列秩。这是线性代数另一个基本定理。我们不再区分矩阵列空间和行空间的维数，统称为矩阵的秩，或算子的秩。5.3线性算子的核与像空间的分解联系着算子和共轭算子的子空间分解对理解它们的结构十分重要，这里从矩阵的角度来总结。表示线性算子的矩阵A，它的核Ker(A)是所有映射成零的向量集合，构成了X中的一个子空间；它的像Im(A)是所有映射得到向量的集合，构成了Y中的一个子空间。算子或矩阵的秩k，是像空间的维数 dim(Im(A)) = k。秩-零度定理说： dim(Im(A))+dim(Ker(A)) = dim(X) = n. 这矩阵的转置AT表示从Y到X，是与原来对偶的线性算子。同样依秩-零度定理有：dim(Im(AT)) + dim(Ker(AT)) = dim(Y) = m. 线性代数的另一个基本定理说：矩阵的行秩等于列秩，即dim(Im(A)) = dim(Im(AT)) = k，算子与它的对偶算子有相同的秩，所以算子与它的对偶算子的零度分别是：dim(Ker(A)) = n-k， dim(Ker(AT)) = m-k. 算子A将核空间Ker(A)中的向量映射为零向量，即矩阵中的行向量与它正交，而矩阵中的行向量张成转置矩阵的像空间Im(AT)。所以线性空间X可以分解成正交的k维子空间Im(AT)与n-k维子空间Ker(A)的直和，Y可以分解成正交的k维子空间Im(A)与m-k维子空间Ker(AT)的直和。这意味着X的Im(AT)子空间中，线性无关向量在A映射下的像也是线性无关的。对Y也有相应的结论。 & & $ Im(A^T)\oplus Ker(A)=X
Im(A)\oplus Ker(A^T)=Y $ 5.4 线性空间和算子的不变量线性空间的特征是维数，它是空间中线性无关向量的最大个数，无论空间中的元素是什么具体的数学实体，同一维数的线性空间都对线性运算同构，都可以用相同维数坐标的列向量来表示。算子的秩是象空间的维数。n维到m维线性空间上的线性算子，在给定基的坐标下表示为一个m*n矩阵。算子的象空间对应着矩阵列向量所张成的线性子空间，所以矩阵的秩等于它列向量中最大线性无关的个数。改变映射两边线性空间的基，表示线性算子的矩阵也随之改变。它们是同一个线性算子的不同表示，所以这些矩阵的秩都是一样的，秩是在基的变动中，矩阵表示保持不变的固有性质。空间中不同基之间对应着一个线性变换满映射，将一组基映射成另一组基，它可以表示为一个满秩的方阵。反之，满秩的方阵对应着两组基坐标间的变换。相同秩的m*n矩阵，总是可以通过左右两边各乘以一个满秩的方阵变成一样。所以它们是同一个线性算子在不同基坐标下的矩阵表示。秩是m*n矩阵在坐标变换中的不变量，它们对应着同一个线性算子。5.5 无穷维线性空间可以找到任意多个线性无关向量的线性空间，称为无穷维线性空间，例如多项式空间，解析函数空间等等。我们知道所有解析函数都可以展开成泰勒级数，即等于无穷多个基向量的线性组合，是不是所有无穷维线性空间都能如此？大致是如此，但无穷多个基不一定都是可数的，也可能是连续谱的，其线性组合不限于无穷级数形式的和，还可能是积分形式的和。无穷多项的线性组合的含义，涉及到收敛和完备性的概念，这依赖于空间中的拓扑结构。代数只关心集合中元素运算的性质，而不涉及集合中元素的“相邻”和“远近”，这后者是拓扑关系，需在集合中另行定义。所以通常线性代数的课程只介绍有限维空间的向量和算子，这不需要了解空间拓扑的性质。但它的内容同样适用于无穷维的空间，只是涉及到向量“无穷和”时，需要收敛的概念。无穷维线性空间的内容多在泛函分析中介绍。我们脑中对向量想象的图像，通常是三维的几何空间，这是在实数域上以向量的内积赋予长度的概念，从而有可以度量远近的欧几里德空间。抽象的线性空间未必如此，所以我们以直观的图像想象抽象世界时，必须清醒地认识这些不同，头脑中“看到”的结果必须从定义出发用严谨的逻辑推理来验证它。在加法和数乘下封闭的一族函数集合是个线性空间，可以定义不同的“距离”，就有不同的收敛，例如点点收敛，一致收敛，几乎处处收敛等等。收敛性保证这无穷线性组合的分解有意义，完备性是说任何这类无穷线性组合的向量仍在这线性空间中。对此有兴趣可以看我“重修微积分”系列的博文。在无穷维线性空间中应用最多的是用内积定义距离完备的线性空间，称为希尔伯特空间。函数表示为傅立叶级数，贝塞尔函数级数等特殊函数都是在线性空间基上的分解。因为微分算子是线性的，在物理中许多微分方程都可以看成一个线性系统，而线性系统可以用叠加原理，当方程的解可以表示为一个函数族基向量的线性组合，微分算子作用在这些函数上仍然是它们的线性组合，微分方程以此化为代数方程组。这是在计算机时代前，历史上为微分方程的解法，发展出物理图像解释的数学根据。 （待续）
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Copyright &麻省: 线性代数(1) 方程组的几何解释
讲师：吉尔伯特-斯特朗
吉尔伯特-斯特朗：日出生，是美国享有盛誉的数学家，在有限元理论、变分法、小波分析及线性代数方面均有所建树。他对教育的贡献尤为卓著，包括所著有的七部经典数学教材及一部专著。
它的研究对象是向量，向量空间。线性变换和有限维的线性方程组。本课程讲述了矩阵理论及线性代数的基本知识，侧重于那些与其他学科相关的内容，包括方程组、向量空间、行列式、特征值、相似矩阵及正定矩阵。
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?线性代数术语
（线性代数术语）
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在线性代数中，基（也称为）是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。
基对向量空间的定义
向量空间V的一组向量若满足
1）线性无关
2）V中任一向量可由此向量线性表出，则称该组向量V中的一个基（亦称基底）。
一个向量空间的基有很多，但每个基所含向量个数却是个定数。
均为向量空间W的基的向量。那么必有s=t。
由基的定义，W的向量
线性表出，而
同理也可由
，因此两个线性无关向量组等价，两组线性无关的向量如果等价则所含向量个数相等。因此s=t。
基对矩阵的定义
若B是矩阵A中n×n阶（，），即矩阵的行列式|B|≠0，则B是A的一个基。
李国 王晓峰．线性代数： 科学出版社，2012：76
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