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对应法则和值域相同的两个函数的定义域也相同
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不对,反例如下：y=x^2 (x的平方)值域都是[0,无穷大)但是一个定义域可以是整个数轴另外一个的定义域可以是[0,无穷大)
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1.2.1函数的概念
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函数的概念(2)
http://www.zhnet.com.cn或；第2课时函数相等；复习；1.函数的概念.；2.函数的定义域的求法.导入新课；思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实；提出问题；①指出函数y=x+1的构成要素有几部分？；②一个函数的构成要素有几部分？；③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域；④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？由；
http://www.zhnet.com.cn 或http://www.e12.com.cn
函数相等 复
习 1.函数的概念. 2.函数的定义域的求法. 导入新课 思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等. 思路2.我们学习了函数的概念,y=x与y=出课题:函数相等. 推进新课 新知探究 提出问题 ①指出函数y=x+1的构成要素有几部分？ ②一个函数的构成要素有几部分？ ③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同. ④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？ ⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？ 讨论结果：①函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R. ②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同. ③定义域和对应关系分别相同. ④值域相同. ⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 应用示例 思路1 1.下列函数中哪个与函数y=x相等？ (1)y=(x);(2)y=x;(3)y=x2332x2x是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,引;(4)y=x2x. 活动： 让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等. 解：函数y=x的定义域是R,对应关系是x→x. 2(1)∵函数y=(x)的定义域是［0,+∞), 2∴函数y=(x)与函数y=x的定义域R不相同. 2∴函数y=(x)与函数y=x不相等. 中鸿智业信息技术有限公司
http://www.zhnet.com.cn 或http://www.e12.com.cn (2)∵函数y=x的定义域是R, ∴函数y=x与函数y=x的定义域R相同. 又∵y=33333x=x, 333∴函数y=x与函数y=x的对应关系也相同. ∴函数y=x与函数y=x相等. (3)∵函数y=x2的定义域是R, 2∴函数y=x与函数y=x的定义域R相同. 33又∵y=x2=|x|, 2∴函数y=x与函数y=x的对应关系不相同. 2∴函数y=x与函数y=x不相等. (4)∵函数y=x2x的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∴函数y=x2x与函数y=x的定义域R不相同, ∴函数y=(x)2与函数y=x不相等. 点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数. 变式训练 判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由. ①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N; 2②y=x-4与y=x?2?x?2; ③y=1+1x与u=1+1x; 22④y=x与y= ?2x,x?0,⑤y=2|x|与y=? ?2x,x?0;?⑥y=f(x)与y=f(u). 中鸿智业信息技术有限公司
http://www.zhnet.com.cn 或http://www.e12.com.cn 是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可). 解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可. ①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数; ②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数; ③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数; ④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数; ⑤函数y=2|x|=??2x,x?0,??2x,x?0,则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数; ⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数. 故填③⑤⑥. 思路2 1.判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数,说明理由. (1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1. 2(2)f(x)=x-1,g(x)=x-2x?1. (3)f(x)=x,g(x)=(x+1). (4)f(x)=x-1,g(u)=u-1. 活动：学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同. 解：(1)∵f(x)=(x-1)0的定义域是{x|x≠1},函数g(x)=1的定义域是R, ∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不同. ∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数. 2(2)∵f(x)=x-1的定义域是R,g(x)=x-2x?1=(x-1)2的定义域是R, 22222∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x-2x?1的定义域相同. 22又∵g(x)=x-2x?1=(x-1)=|x-1|, 2∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x-2x?1的对应关系不同. 2∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x-2x?1不表示同一个函数. (3)很明显f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R, 又∵f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的对应关系不同, ∴函数f(x)=x和g(x)=(x+1)不表示同一个函数. (4)很明显f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R, 22又∵f(x)=x-1与g(u)=u-1的对应关系也相同, ∴函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数. 变式训练 1.2007湖北黄冈模拟,理13已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_______. 解：由题意得f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2［f(2)+f(3)］=2p+2q. 22中鸿智业信息技术有限公司
http://www.zhnet.com.cn 或http://www.e12.com.cn 答案：2p+2q 2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有(
C.0个或1个
D.不确定 答案：C 2.设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M表示u=g(x)的定义域,N是函数y=f(u)的值域,当M∩N≠?时,则y成为x的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为M∩N,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数. (1)y=1x?122;(2)y=(x-2x+3);(3)y=1x2?1x-1. 活动：让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么. 解：(1)设y=即y=1x?121u,u=x+1, 1u的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1. (2)设y=u2,u=x2-2x+3, 即y=(x-2x+3)的外层函数是二次函数y=u,内层函数是二次函数u=x-2x+3. (3)设y=u2+u-1,u=即y=1x22221x, 2?1x-1的外层函数是二次函数y=u+u-1,内层函数是反比例函数u=1x. 点评：到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视. 变式训练 1.2004重庆高考,文2设f(x)=x?1x?122,则f(2)f()21=_______. 答案：-1 2.2006安徽高考,理15函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)==. 分析:∵函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)= ∴f(1)=f(1+4)=f(5). 又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5. ∴f［f(5)］=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)=151f(x),若f(1)=-5,则f［f(5)］1f(x),∴f(x+4)=f［(x+2)+1］=1f(x?2)=f(x). 1f(1)=?15. 答案：? 中鸿智业信息技术有限公司
http://www.zhnet.com.cn 或http://www.e12.com.cn 知能训练 1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是(
图1-2-1-2 答案：B 2.函数y=f(x)的定义域是R,值域是［1,2］,则函数y=f(2x-1)的值域是_______. 答案：［1,2］ 3.下列各组函数是同一个函数的有________. ①f(x)=x,g(x)=②f(x)=x0,g(x)=31x0; ③f(x)=?2u,g(u)=?2u;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u. 答案：②③④ 拓展提升 问题:函数y=f(x)的图象与直线x=m有几个交点？ 探究:设函数y=f(x)定义域是D, 当m∈D时,根据函数的定义知f(m)唯一, 则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m,f(m)), 即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m仅有一个交点; 当mD时,根据函数的定义知f(m)不存在, 则函数y=f(x)的图象上横坐标为m的点不存在, 即此时函数y=f(x)的图象与直线x=m没有交点. 综上所得,函数y=f(x)的图象与直线x=m有交点时仅有一个,或没有交点. 课堂小结 (1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素; (2)学习了复合函数的概念; (3)判断两个函数是否是同一个函数. 作业 1.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列4个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系是(
图1-2-1-3 分析:A中,当0<x≤2时,N中没有元素与x对应,不能构成函数关系;C中一个x有两个y与之中鸿智业信息技术有限公司
http://www.zhnet.com.cn 或http://www.e12.com.cn 对应,所以不是函数关系;D中,表示函数关系,但是表示的函数值域不是N. 答案：B 2.某公司生产某种产品的成本为1000元,以1100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入_______,它们之间是关系________. 分析:由题意,多生产一单位产品则多收入100元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成是因变量,容易得出对于自变量的每一个确定值,因变量都有唯一确定值与之对应,从而判断两者是函数关系. 答案：增加
函数 223.函数y=x与S=t是同一函数吗? 答:函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此y=x2与S=t2表示的是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的. 设计感想 本节教学内容主要是依据高考说明,对课本内容适当拓展,重点对函数的相等问题进行了引申,设计时对拓展的内容采取渐进式,设计时本着逐步提高、拓展,不能急于求成,否则事倍功半.
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函数的概念(2)等内容。　
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