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复合函数单调性练习题
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复合函数单调性练习题
北京二十二中 刘青
1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.
2.会求复合函数的单调区间.
3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.
教学重点与难点
1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.
2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.
教学过程设计
师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.
生：设y=f的定义域为A，u=g的值域为B，若A?B，则y关于x函数的y=f［g］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.
例求下列函数的单调区间.
1.一次函数y=kx+b.
当k＞0时，是这个函数的单调增区间；当k＜0时，是这个函数的单调减区间.
2.反比例函数y=x.
当k＞0时，和都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，和都是这个函数的单调增区间.
23.二次函数y=ax+bx+c.
解 当a＞0时是这个函数的单调减区间，是它的单调增区间；当a＜0时是这个函数的单调增区间，是它的单调减区间；
4.指数函数y=ax.?解当a＞1时，是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，是这个函数的单调减区间.
5.对数函数y=logax.
解当a＞1时，是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，是它的单调减区间.
n师：我们还学过幂函数y=x，由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不
妨遇到具体情况时，再具体分析.
2师：我们看看这个函数y=2x+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何?
生：它在上是增函数.
师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为，所以你就得到了以上
2的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单
调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.
引理1已知函数y=f［g］.若u=g在区间上是增函数，其值域为，又函数y=f在区间上是增函数，那么，原复合函数y=f［g］在区间上是增函数.
证明 在区间内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为u=g在区间上是增函数，所以g＜g,记u1=g,u2=g即u1＜u2,且u1,u2∈.
因为函数y=f在区间上是增函数，所以f＜f,即f［g］＜f［f］，
故函数y=f［g］在区间上是增函数.
师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢?
生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.
引理 已知函数y=f［g］.若u=g在区间上是减函数，其值域为，又函数y=f在区间上是减函数，那么，复合函数y=f［g］在区间上是增函数.证明在区间内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为函数u=g在区间上是减函数，所以g＞g,记u1=g,u2=g即u1＞u2,且u1,u2∈. 因为函数y=f在区间上是减函数，所以f＜f,即f［g］＜f
［f］，故函数y=f［g］在区间上是增函数.
师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.
师：你准备怎样记这些引理?有规律吗?
师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目..
例1求下列函数的单调区间：
师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.
师：下面谁说一下自己的答案?
2生：这是由 y=log4u与u=x－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数 y=log4u在定义域上是增函数，
2而二次函数u=x－4x+3，当x∈时，它是减函数，当x∈时，它是增函数，.因此，根据今天所学的
引理知，为复合函数的单调减区间；为复合函数的单调增区间.
师：大家是否都同意他的结论?还
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高一函数单调性的一些问题,没能理解
已知 f(x)是一次函数，且f[f(x)]=2x-1 求f(x)
已知 f(√x + 1）=x²+2x-1
已知 f(x+1/x）=x²+1/x² 求f(x)
我们老师给的解法分别是
解:设 f(x)=ax+b
f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a²x+ab+b
所以 a²=2
我有更好的答案
什么t呀,x呀之类的都是一个符号而已，不影响函数本身。比如f(x)=x+1。括号里的东西是一个符号。就可以了。所以因为f(一个东西)=a乘以一个东西+b,
这时f(f(x))，里面的f(x)这个时候就变成了一个东西，把这个东西代入，变成了a乘以一个东西+b。 所以如果算出f(t)=t的平方+2t-1就错了。为了算出答案..。所以就可以把1/x。 根据这种方法，括号里的x是自己变量，但是自变量可以是然和东西，把x当成是一个符号;x)=(1&#47，随便换的，你写回x就好了。 第三个是配成括号里的形式。举个例子。你那个老师的做法就是这个意思。记住f()=，和f(x)=x²+2x-1是不一样的;x)+(1&#47。。..，做一个变量代换。。.的形式，不一定只能是一个数, 和f(t)=t+1其实是同一个函数。f(√x + 1）=x&#178，比如f(1/+2x-1。你可以灵活点看;x随便换成另外一个符号。f()，可以算出f(t)=，把括号里面的东西，代回到式子的右边，那个t跟x没什么不同，只是符号;x)^2，这个时候方程两边所有和x相关的东西都是1&#47f(x)是一个函数，f是运算法则
f(x)=x+1, 和f(t)=t+1其实是同一个函数 我能理解f()，把括号里面的东西，代回到式子的右边的话f(√x + 1）=x²+2x-1
√x + 1 经过 运算法则F之后 等于 x²+2x-1 没错吧√x + 1=t →x=(t-1)²
向里面带的话应该是f(t-1)²=(t-1)的四次方+2(t-1)²-1
才对啊 为什么之前是写成f(t)=(t-1)的四次方+2(t-1)²-1求解释细一点 罗嗦一点也无所谓 能让我理解就好= = .. 3Q
总之目的是要求出，f(x)=什么什么的形式。令√x + 1=t 的话，f(√x + 1）=x²+2x-1 中的f(√x + 1）就变成f(t)了，这样左边就满足所求的形式了。之后等号右边的所有x也要变成t才符合题目要求的形式。所以把x解出来，x=(t-1)² ，之后代回去就得出答案了，等号是可以保持的。其实相当于解一个方程组而已。把x都换成t. 举个简单的例子，比如 x=x^2+3， 然后3t=x， 所以3t=(3t)^2+3。你不要想得太复杂，无非就是一个变换而已。你那个跟我给的那个例子是一码事，只是你那个是用在函数里面。不要把问题想得太复杂。f(√x + 1）=x²+2x-1 是把√x + 1根据一个规则运算后得到x²+2x-1。题目只是要你把那个规则求出来而已。
采纳率：44%
x)=x&#178f是函数;}²+2[(√x + 1)-1]²-1;x)²=(x+1&#47；你问f[f(x)]=af(x)+b，你把里面的f(x)看成自变量，它还是得满足f(x)→af(x)+b的对应关系。所以f[f(x)]=af(x)+b。（或者你可以直接设y=f(x)，f[y]=ay+b会不会好理解一点）再如二中;+1/x&#178，对应关系为√x + 1→x²+2x-1，你把√x + 1看成一个整体(这也是老师为什么设它为t的原因)，上面的对应关系写成√x + 1→{[(√x + 1)-1]&#178，就是(t-1)的四次方+2(t-1)的平方-1最后一个应该是f(x+1&#47，表现的是一种对应关系比如1中，是x→ax+b的对应关系
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，对吧？f(√x + 1）=(√x + 1)^4-4(√x + 1）^3+8(√x + 1）^2-4(√x + 1)+2前后要对应第三题=(x+1&#47，自己配方配出来的，多做题你就会发现了f(x+1&#47，整体思想，这三题其实都是整体思想f(x)这样的格式里
F应该是运算法则 括号内的X应该是自变量才对
“按照我想的
那样f(t)=t的平方+2t-1才对啊 .，f（x）代入x的位置，你可以假设f（x）为一未知数y简单来说，此时的f（x）是一个整体？ 理解不了的地方这是”这个f(x)是关于x的函数， f(√x + 1）=x²+2x-1是关于√x + 1的函数但显然要把 f(√x + 1）=x²+2x-1改成√x + 1的形式，然后系数代换第二题x)&#178.
这一步为什么代入的值是(t-1)的平方 却写成f(t)呢;x)=x²+1/x&#178
把f(x)当成Y来作为一个整体来理解那么 f[f(x)]=2x-1就应该等于 f(y)=2x-1
可以这样理解么y=ax+b
则应该就是f(y)= 2(ax+b)+1才对啊
然而答案却是 =af(x)+b
这点让我理解不了
第一问，把f(x)看成一个未知数，比如x之类的。。
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