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第1章 线性代数行列式
第一章 行列式一. 行列式的基本概念 二. 行列式的性质与计算三. 克莱姆法则暨大珠院行列式产生的背景追求代数方程的公式解1. 《九章算术》（约公元前1世纪，西汉时期） ， 已有解一般一元二次方程的算法 2. 阿拉伯数学家花拉子密（约公元783―公元850） 给出了相当于一般形式的一元二次方程求根公式 3. 1545年意大利数学家塔塔利亚发现一元三次方 程的公式解暨大电气 信息学院4. 1545年一元四次方程的公式解由意大利数学 家费拉里（Ferrari，）所解决5. 1770年，法国数学家拉格朗日（Lagrange ）指出五次及更高次方程不可能做到这点 6. 1824年，挪威数学家阿贝尔（Abel，1802 －1829）证明了五次及更高次方程没有根式解7.什么样的代数方程能根式可解最终被法国数学家伽 罗瓦（Galois，）所解决暨大电气 信息学院一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组?1? ? a22 : a11a22 x1 ? a12a22 x2 ? b1a22 , ?2? ? a12 : a12a21 x1 ? a12a22 x2 ? b2a12 ,两式相减消去 x2，得暨大珠院?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2 .?1??2 ?（a11a22 ? a12a21）x1 ? b1a22 ? a12b2 ;类似地，消去 x1，得（a11a22 ? a12a21）x2 ? a11b2 ? b1a21 ,方程组的解为 当 a11a22 ? a12a21 ? 0 时，a11b2 ? b1a21 b1a22 ? a12b2 x1 ? ， x2 ? . a11a22 ? a12a21 a11a22 ? a12a21 （3）由方程组的四个系数确定.暨大珠院定义: 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 a11 a12 a21 a22并规定： D ?a11 a21 a12 a22 ? a11a22 ? a12a21 .则 D 称为二阶行列式暨大珠院?a11 x1 ? a12 x2 ? b1 , 对于二元线性方程组 ?a x ? a x ? b . ? 21 1 22 2 2记D?a11 a21a12 a22b1, D1 ?b1 b2a12 a22, D2 ?a11 a21b1 b2.则二元线性方程组的解为a12 a22 , a12 a22a11b1b2 D1 x1 ? ? a11 D a21 暨大珠院a21 b2 D2 x2 ? ? . D a11 a12 a21 a22?3 x1 ? 2 x2 ? 12, 例1 求解二元线性方程组 ? ? 2 x1 ? x2 ? 1. 3 ? 2 解 ? 3 ? ( ?4) ? 7 ? 0, D? 2 1D1 ? 12 ? 2 1 1? 14, D2 ?3 12 2 1? ?21,D2 ? 21 D1 14 ? ? ?3. ? x1 ? ? ? 2, x 2 ? D 7 D 7暨大珠院二、三阶行列式 定义：由9个数排成3行3列构成的数 表，并规定a11 a12 a13 ? a11a22 a33 ? a12 a23 a31 D ? a21 a22 a23 ? a13 a21a32 ? a11a23 a32 a31 a32 a33 ? a12 a21a33 ? a13 a22 a31,称为三阶行列式.暨大珠院对 角 线 法 则a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23a33 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? a13a22a31 ? a12a21a33 ? a11a23a32 .注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号． 说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素乘积,其中三项为正,三项为负.暨大珠院12 -4 1例２ 计算三阶行列式 D ? - 2 2 解 按对角线法则，有-3 4 -2D ? 1 ? 2 ? (?2) ? 2 ? 1 ? (?3) ? (?4) ? (?2) ? 4? 1 ? 1 ? 4 ? 2 ? (?2) ? (?2) ? (?4) ? 2 ? (?3)? ?4 ? 6 ? 32 ? 4 ? 8 ? 24 ? ?14.暨大珠院1 1例3 求解方程 解: 方程左端1 x ? 0. x22 3 4 9D ? 3 x ? 4 x ? 18 ? 9 x ? 2 x ? 122 2? x ? 5 x ? 6,2由 x ? 5 x ? ? 0 解得2暨大珠院x ? 2 或 x ? 3.利用三阶行列式求解三元线性方程组? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? ? 31 1 32 2 33 3 3D ? a21 a22 a23 ? 0, a31 a32 a33 a11 a12 a13系数行列式暨大珠院b1 D1 ? b2 b3a12 a22 a32a13 a23 , a33则解为:a11b1a13D2 ? a21 b2 a23 , a31 b3 a33 a11 a12 b1D3 ? a21 a22 b2 .暨大珠院D1 ? x ? , 1 ? D ? D2 ? , ? x2 ? D ? D3 ? ? x3 ? D . ?a31 a32 b3例4 解1? x1 ? 2 x2 ? x3 ? ?2, ? 解线性方程组 ? 2 x1 ? x2 ? ?3 x3 ? 1, ? ? x ? x ? x ? 0. ? 1 2 3由于方程组的系数行列式?2 1 1 1 ?3 ?1? 1 ? 1 ? ?? 1? ? ?? 2? ? ?? 3? ? ?? 1?? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? ?? 1? ? ? 5 ? 0,D? 2 ?1暨大珠院? ?? 2? ? 2 ? ?? 1? ? 1 ? ?? 3? ? 1同理可得?2 ?2 D1 ? 1 0 1 11 ? 3 ? ?5, ?1故方程组的解为:D1 x1 ? ? 1, DD2 x2 ? ? 2, D D3 x3 ? ? 1. D1 D2 ? 2 ?11 D3 ? 2暨大珠院?2 1 01 ?3 ?1? ?10,?2 ?2 1 1 01 ? ?5,?1三、小结二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.二阶与三阶行列式的计算a11 a21a11 a21 a31暨大珠院对角线法则a12 a22a12 a22 a32? a11a22 ? a12 a21 .a13a23 ? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31, a33思考题 求一个二次多项式f ? x ?, 使f ?1? ? 0, f ?2? ? 3, f ?? 3? ? 28.暨大珠院思考题解答解 设所求的二次多项式为f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,由题意得f ?1? ? a ? b ? c ? 0, f ?? 3? ? 9a ? 3b ? c ? 28,f ?2? ? 4a ? 2b ? c ? 3,得一个关于未知数 a , b, c 的线性方程组, 又 D ? ?20 ? 0, D1 ? ?40, D2 ? 60, D3 ? ?20. 得 a ? D1 D ? 2, b ? D2 D ? ?3, c ? D3 D ? 1 故所求多项式为暨大珠院f ? x ? ? 2 x 2 ? ?3 x ? 1.排列与逆序定义1：由自然数1,2 , ? ? ? ? ? ? , n组成例如：12345的一个有序数组称为一个n级(元)排列。5123453214都是数1,2, 3 , 4 , 5的5级排列。n个数的所有n级排列共有n! 个。暨大珠院自然排列： 按数的大小次序，由小到大排列。 n元排列中，自然排列只有一种 除此之外，任一n元排列都一定出 现较大数码排在较小数前面暨大珠院定义2： 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中出现的逆序的总数 称为这个排列的逆序数, 通常记为? (i1 , i2 ,?, in ), 或 N(i1, i2 ,?, in ) 奇排列：逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。暨大珠院计算排列a1a2 ? an 的逆序数的方法： 先看左数第一个数 a1 , 看有多少个比 a1 大的数排在 a1 前面，记为 m1 ; 再看左数第二个数 a2 , 看有多少个比 a2大的数排在 a2 前面，记为 m 2 ;继续下去，最后至数 an，前面比 an大 的数记为 则此排列的逆序数为 ? ? m1 ? m2 ? ? ? mn暨大珠院例1：求排列 32514 的逆序数。解：? ( 32514 ) ? 0 ? 1 ? 0 ? 3 ? 1 ? 5 例2：求排列 453162 的逆序数。 ? ?9 练习： （1）1，3，? ? ? ，2n－1，2，4，? ? ? ，2n（2） 1，3，? ? ? ，2n－1，2n， 2n－2，? ? ? ，4，2暨大珠院例2求13…(2n ? 1)24…(2n)的逆序数。解：在该排列中，1 ～(2n?1)中每个奇数 的逆序数全为0，2的逆序数为(n ? 1)，4 的逆序数为(n ? 2),…，(2n ? 2)的逆境序 数为1，2n的逆序数为0，于是该排列的 逆序数为 n( n ? 1) ? ? ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ... ? 1 ? 0 ? 2暨大珠院例3在1~9构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列解：由题可知， j、k 的取值范围为{3，8}当 j = 3、k = 8时，经计算可知，排列 的逆序数为5，即为奇排列 当 j= 8、k = 3时，经计算可知，排列 的逆序数为10，即为偶排列 ∴ j = 8，k = 3暨大珠院例4 设排列 p1 p2 p3…pn的逆序数为k，求pn…p3 p2 p1的逆序数 (p1 p2 p3…pn是1～ n的某一排列) 解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1 的逆序数之和等于1～ n 这 n 个数中任取 两个数的组合数即 ：n( n ? 1) ? ( p1 p2 ... pn ) ? ? ( pn pn?1 ... p1 ) ? C ? 2 n( n ? 1) ? ( pn pn?1 ... p1 ) ? ?k 2 暨大珠院2 n例5 求排列( 2k ) 1( 2k ? 1)2(2k ? 2)...( k ? 1)k 的逆序数, 并讨论奇偶性。解： ? ? 0 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? ( k ? 1) ? ( k ? 1) ? k ? 2 ?1 ? 2 ? ... ? ? ( k ? 2) ? ( k ? 1) ? ? k ? k2当k为偶数时,k 2为偶数,当k为奇数时,k 2为奇数。暨大珠院考虑，在 1，2，3 的全排列中有3个偶排列： 123，231，312 有3个奇排列： 132，213，321 定理1.在n个数码（n&1)的全排列中，共有 n! 个 n 级排列，其中奇偶排列 各占一半。暨大珠院定义3：把一个排列中的任意两个数交换位置， 其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。将相邻的两个数对换，称为相邻对换。暨大珠院定理 2.对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排 列，偶排列变成奇排列．任意一个排列与标准排列 123?n都可经过一系列对换互换， 并且所作对换的次数与这个排列的 奇偶性相同．暨大珠院定理3.一、n 阶行列式的定义 1. 二级行列式a11 a12 ? a a ? a a 11 22 12 21 a21 a22暨大珠院2. 三级行列式a11 a12 a13 a21 a22 a23 ? a31 a32 a33 a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32?a13a22a31 ? a12a21a33 ?a11a23a32暨大珠院观察上述三阶行列式, 寻找规律：1. 三阶行列式是 3！项的代数和。 2. 每一项取自不同行、不同列的 3 个a1 j a2 j a3 j 元素的积。其任一项可写成：1 23其中 j1 j2 j3 是123的一个排列。3.当 j1 j2 j3 是偶排列时，项 a a a1 j1 2 j2 1 j1 2 j2 3 j33 j3取正号；当 j1 j2 j3是奇排列时，项 a a a 取负号。暨大珠院a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n 定义： n 级行列式 D ? ????? an1 an 2 ? ann3. n 级行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元 素的乘积 a1 j1 a2 j2 ? anjn 的代数和， 这里 j1 j2 ? jn 为 1,2,?, n 的排列.每一项都按下列规则带有符号： 当 j1 j2 ? jn 为奇排列时带负号；暨大珠院当 j1 j2 ? jn 为偶排列时带正号；即a11 a21 ? an1?j1 j2 ? jna12 a22 ? an 2? a1 n ? a2 n ? ? ? anna1 j a2 j ?anj1 2 n? (?1)? ( j1 j2 ? jn )其中暨大珠院j1 j 2 ? j n?表示对所有n元排列取和.注:a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n 1) 行列式 常简记为 det( aij ) 或 aij . ????? an1 an 2 ? ann副对角线 a11 a12 ? a1n a a ? a 21 22 2 n 中的数 a ij 称为行列式D处于 2) D ? ????? an1 an 2 ? ann主对角线第 i 行第 j 列的元素， i 称为行指标， j 称为列指标. 3) n级行列式定义展开式中共有n！项．暨大珠院注：(1) 当n=1时，一阶行列式 a此处?aa不是a的绝对值(2)定义表明，计算n阶行列式，首 先必须作出所有的可能的位于不同行、 不同列的n个元素的乘积，把这些乘积 的元素的第一个下标（行标）按自然顺 序排列, 然后看第二个下标(列标), 所成 的奇偶性来决定这一项的符号。暨大珠院例1计算行列式2 ?1 ? 2 ? (?3)?( ?1) ? 4 ? ?2 4 ?31 2 3 2 1 3 3 2 1 ? 1 ?18 ?12 ?9 ?4 ?6 ? 12暨大珠院例2.1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 ? ( ?1)? (1234) a a a a ? 24 11 22 33 44 0 43 2 1654? ( ?1)? (654321)a16a25a34a43a52a61? ?6! ? ?720暨大珠院一般地, d1 d2对角形行列式?? d 1d 2 ? d n dndn暨大珠院?d2d1 ? ( ?1)n ( n?1) 2d1d 2 ? d n类似可得：a11 a12 0 a22 ? ? 0 0? ? ? ?? ? ? ?a1n a2 n ? a11a22 ? ann ? ann上三角形行列式a11 0 a21 a22 ? ? a n1 a n 2暨大珠院0 0 ? a11a22 ? ann ? ann下三角形行列式x 1 例3. 已知 f ( x ) ? 3 1 3 求 x 的系数 .1 1 2 x 1 ?1 , 2 x 1 1 2x 1解: 由n级行列式定义，f ( x ) 是一个的多项式函数，且最高次幂为 x 3 ,显然含 x 3 的项有两项:( ?1)? (1234) a11a22a33a44 与 ( ?1)? (1243) a11a22a34a433 3 ? 2 x x 即 与暨大珠院3 x ? f ( x ) 中 的系数为-1.二、n 级行列式的等价定义a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n D? ? ???? an1 an 2 ? anni1i2?in? ( ?1)i1i2?in? ( i1i2?in )ai1 1ai2 2 ? ainn这里暨大珠院?表示对所有1、2、… 、 n的n级排列和．类似地，有a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n D? ???? an1 an 2 ? ann? ?(?1)暨大珠院? ( i1i2?in )?? ( j1 j2? jn )ai1 j1 ai2 j2 ?ain jn四个结论： (1) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）a11 a12 ? a1 n D? 0 ? 0暨大珠院a22 ? a2 n ? 0 ? ? ? ann? a11a22 ?ann(2) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）a11 D? ?0 ?? ?0 0 ?a21 a22 ?? a11a22 ?annan1 an 2 ? ann暨大珠院(3) 左上三角形行列式 （副对角线右下侧元素都为0）a11 D? a21 ? an1 a12 a22 ? 0n( n ?1) 2? a1n ? ? ? 0 ? 0? (?1)暨大珠院a1n a2,n?1 ? an1(4) 右下三角形行列式 （副对角线左上侧元素都为0）0 D? 0 ? 0 ? a1n ? ? a2,n?1 a2n? ?an1 ? an,n?1 ann? ( ?1)暨大珠院n ( n ?1 ) 2a1 n a2 ,n?1 ?an1三. 行列式的性质性质1： 行列式与它的转置行列式相等。a11 a12 ? a1n D? a21 a22 ? a2 n ? ? ? ? an1 an 2 ? annT暨大珠院a11 a21 ? an1 D ?Ta12 a22 ? an 2 ? ? ? ? a1n a2 n ? annD 称为D的转置行列式性质2： 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 推论： 如果行列式有两行（列） 相同，则行列式为 0 。性质3： 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。暨大珠院推论： 行列式中某一行(列)的公因 子可以提到行列式符号外面 推论： 若行列式有一行(列)的元素 全为0，则行列式等于0推论： 若行列式有两行(列)的对应元 素成比例，则行列式等于0 。暨大珠院性质4：a11 ? ? an1a12 ? ? an 2? ? ? ?a1n ? ? annb1 ? c1 b2 ? c2 ? bn ? cn暨大珠院性质4： a11 a12 ? a1na11 ?＋a12 ? a1 n ? c2 ? ? ? ? ? cn ?? ? b1 ?? b2 ?? ?? ?? bnc1 ?an1 an 2 ? annan1 an 2 ? ann即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。暨大珠院性质5：行列式的某一行（列）的所 有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。暨大珠院定义：在 n 阶行列式中，把元素aij所在的第 i 行第 j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫元素 aij 的余子式， 记作 M ij称 Aij ? ? ?1 ?暨大珠院i? jM ij为元素 aij 的代数余子式。性质6：行列式D等于其任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即： D= ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ? ... ? ain Ain? D=a1jA 1j ? a2j A2j ? ? ? anj Anj?暨大珠院性质7：行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代 数余子式乘积之和等于零, 即a k1 A i1? ak 2 A i 2 ? ? ? a kn A in ? 0 (k ? i.) a 1k A 1 j ? a2k A 2 j ? ? ? a nk A nj ? 0 (k ? j.)暨大珠院性质8：a11 ? D? 0 ? 0 ? ? ? ? ? a1m ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? a11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1m ? ? ? ? 0 0 ? ? 0 0 ? ? ? b11 ? b1n ? ? ? bn1 ? bnn ? ? ? b11 ? b1n ? ? ? bn1 ? bnn am1 ? amm am1 ? amma11 ? ?暨大珠院? ?a1mb11 ? b1n ? bn1 ? bnn? ?? ?am1 ? amm性质9：? ? ? ? ? ? a11 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? a1m ? 0 ? 0 ? 0 0 ? ? 0 0 a11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1m ? ? ? ? ? ? ? D? b11 ? b1n ? ? ? bn1 ? bnn ? ? ? b11 ? b1n ? ? ? bn1 ? bnn am1 ? ammam1 ? amma11 ? ( ?1)暨大珠院? ?a1mb11 ? b1n ? bn1 ? bnnmn?? ?? ?am1 ? amm例11 2 已知 D ? 4 12 4 1 43 3 3 34 1 ， 2 2求(1) A11 ? A21 ? A31 ? A41 (2) M 11 ? M 21 ? M 31 ? M 411 1 解： (1) D1 ? 1 12 4 1 43 3 3 34 1 ? 0，又 D1 与 D 的第一列元素 2 2的代数余子式相同，所以 A11 ? A21 ? A31 ? A41 ? D1 ? 0暨大珠院另解：由于 D 的第 3 列元素与第 1 列对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，所以： 3A11 ? 3A21 ? 3A31 ? 3A41 ? 0， 即 A11 ? A21 ? A31 ? A41 ? 0(2) M 11 ? M 21 ? M 31 ? M 41 ? A11 ? A21 ? A31 ? A41 1 ?1 ? 1 ?1暨大珠院2 4 1 43 3 3 34 1 ?6 2 2例2计算a b b Dn ? ... b bb a b ... b bb b a ... b b... ... ... ... ... ...b b b ... a bb b b ... b a解：采用“行（列）和相等型”法暨大珠院1 b b ? ? Dn ? ? a ? ? n ? 1? b ? ... b b1 a b ... b b1 b a ... b b... ... ... ... ... ...1 b b ... a b ... ... ... ...1 b b ... b a 1 0 0 ... 1 0 0 ... 0 0 a?b1 1 1 0 a?b 0 0 0 a?b ... ?? ? a ? ? n ? 1? b ? ? ... ... 0 0 0 0暨大珠院... a ? b ... 00n ?10?? ? a ? ? n ? 1? b ? ? ?a ? b?例3x ?1 0 0 x ?1 0 0 x 计算Dn ? ... ... ... 0 0 0 an an ?1 an ? 2... ... ... ... ... ...0 0 0 0 0 0 ... ... x ?1 a2 x ? a1解 采用“先角后边再中间”法 x ?1 0 0 x ?1 0 0 x Dn ? x ... ... ... 0 0 0 a n ?1 a n ? 2 a n ? 3暨大珠院... ... ... ... ... ...0 0 0 0 0 0 ? ( ?1)n?1 an ( ?1) n?1 ... ... x ?1 a2 x ? a1Dn ? xDn?1 ? an Dn?1 ? xDn? 2 ? an?1 Dn? 2 ? xDn? 3 ? an? 2 ....... x ?1 D2 ? ? xD1 ? a2 a2 x ? a1 D1 ? x ? a1 ? Dn ? x ? a1 xn暨大珠院n ?1? a2 xn? 2? ... ? an?1 x ? an1 x1 2 例4 证明 Vn ? x1 ... x1n?11 x2 2 x2 ... n ?1 x2... ... ... ... ...1 x n ?1 2 x n ?1 ... n ?1 xn ?11 xn 2 xn ? ? ( xi ? x j ) ... 1? j ? i ? n n ?1 xn该行列式称为n阶范德蒙(Vandermonde)行列式暨大珠院证：从第n行开始，后行减去前行的 x1 倍1 1 L 1 1 0 ( x 2 ? x1 ) L ( x n ? 1 ? x1 ) ( x n ? x1 ) 2 2 2 ( x 2 ? x1 ) L x n ( x n ? 1 ? x1 ) x n ( x n ? x1 ) Vn ? 0 x2 L L L L L n? 2 n? 2 n? 2 0 x2 ( x 2 ? x1 ) L x n ( x n ? 1 ? x1 ) x n ( x n ? x1 ) 1 x2 2 ? ( x 2 ? x1 )( x 3 ? x1 )...( xn ? x1 ) x2 L n? 2 x2 ? ( x2 ? x1 )( x 3 ? x1 )...( xn ? x1 )Vn ? 1 ?暨大珠院1 x3 2 x3 L n? 2 x3L 1 L xn ? 1 2 L xn ?1 L L n? 2 L xn ?11 xn 2 xn L n? 2 xn1? j ? i ? n?( xi ? x j )1 1 x1 x2 2 2 x1 x2 例 5 计算 Dn ? ... ... n? 2 n? 2 x1 x2 n n x1 x21 1 x1 x2 2 2 x1 x2 ... f ( x ) ? ... n? 2 n? 2 x1 x2 n ?1 n ?1 x1 x2 n n x1 x2... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ...1 1 x n ?1 x n 2 2 x n ?1 x n ... ... n? 2 n? 2 xn x ?1 n n n xn x ?1 n1 1 1 x n ?1 x n x 2 2 2 xn x x ?1 n ... ... ... n? 2 n? 2 n? 2 xn x x ?1 n n ?1 n ?1 n ?1 xn x x ?1 n n n n xn x x ?1 n解：令暨大珠院则一方面按n+1阶范德蒙行列式有f ( x ) ? ? x ? x1 ?? x ? x2 ? L? x ? xn ? ? ? xi ? x j ?1? j ? i ? n另一方面按第n+1列展开有f ( x ) ? A1( n ?1) ? A2( n ?1) x ? L ? An ( n ?1) x n ?1 ? A( n ?1)( n ?1) x nxn ?1的系数 An( n?1) ? ? ?1?n ? ( n ?1)Dn ? ? Dn? x j ? ? Dni故 ? ? x1 ? x2 ? L ? xn ?1? j ? i ? n? ?xi?Dn ? ? x1 ? x 2 ? L ? x n ?暨大珠院1? j ? i ? n? ?x? xj?a1 ? b1 a2 a1 a2 ? b2 例6. Dn ? ... ... a1 a2... an ... an (bi ? 0) ... ... ... an ? bn解：采用&加边法& 1 a1 a2 0 a1 ? b1 a2 Dn ? 0 a1 a2 ? b2 ... ... ... 0 a1 a2暨大珠院... an ... an ... an ... ... ... an ? bn1 ?1 ? ?1 ... ?1a1 b1 0 ... 0a2 0 b2 ... 0... ... ... ... ...t a1 an 0 b1 0 0 ? 0 0 ... ... ... bn 0 0a2 0 b2 ... 0... ... ... ... ...an 0 0 ... bn? an ? a1 a2 ? t b1b2 ...bn ? b1b2 ...bn ? 1 ? ? ? ... ? ? b1 b2 bn ? ? an a1 a2 其中 t ? 1 ? ? ? ... ? b1 b2 bn如上行列式称为“爪型”行列式暨大珠院四.Cramer 法则如果线性方程组1. Cramer 法则? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ? ?? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn暨大珠院(1)的系数行列式不等于零，a11即 D?a12 a22 an 2? a1 n ? a2 n ? anna21 an1????????0则线性方程组(1)有唯一解，且D1 D2 D2 Dn x1 ? , x2 ? , x3 ? ,?, xn ? . D D D D暨大珠院其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组右端的常数项代替后 所得到的Djn阶行列式，即a11 ?a1, j ?1 b1 a1, j ?1 ?a1n D j ? ??????????? an1 ?an, j ?1 bn an, j ?1 ?ann暨大珠院注:Cramer法则仅适用于： （1）方程个数与未知量个数相等，（ 2）系数行列式不等于零的情形。暨大珠院定理1： 如果n个方程n个未知量的线性方程组系数行列式 D ? 0, 则一定 有解,且解是唯一的 . 定理2： 如果n个方程n个未知量的线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.暨大珠院非齐次与齐次线性方程组的概念:? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ? ?? a x ? b 2n n 2 线性 ? 21 1 22 2 ? 方程组 ? ???????????? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? bn 若常数项 b1 , b2 ,?, bn不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组。 若常数项 b1 , b2 ,?, bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组。暨大珠院齐次 线性 方程组 易知? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? 0?2 ?x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0一定是(2)的解，称为零解。 若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。暨大珠院定理3： 如果n个方程n个未知量的 齐次线性方程组的系数行列式 D ? 0, 则该齐次线性方程组只有零解。 定理4： 如果n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为0。暨大珠院推论： 系数行列式 D ? 0? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? ann xn ? 0有非零解.暨大珠院? 1, ? 5 x1 ? 6 x2 ? ? 0, ? x1 ? 5 x2 ? 6 x3 ? 例7. 求解方程组 ? x 2 ? 5 x 3 ? 6 x4 ? 0, ? x3 ? 5 x4 ? 6 x5 ? 0, ? ? x4 ? 5 x5 ? 1. ?解：由于D ? 665 ? 0, 所以方程组有唯一解.而 D1 ? 1057, D2 ? ?1145, D3 ? 703, D4 ? ?395, D5 ? 212,所以
x1 ? ; x2 ? ? ; 665 665 ?395 212 x4 ? ; x4 ? 665 665 703 x3 ? ; 665暨大珠院例8. 问? 取何值时, 齐次线性方程组 ? (1 ? ? ) x1 ? 2 x2 ? 4 x3 ? 0 ? ? 2 x1 ? (3 ? ? ) x2 ? x3 ? 0 有非零解? ? x ? x ? (1 ? ? ) x ? 0 2 3 ? 11 ? ? ?2 4 1 ? ? ?3 ? ? 4 解: D ? 2 3 ? ? 1 ? 2 1 ? ? 1 1 1 1? ? 1 0 1? ? ? (1 ? ? )3 ? (? ? 3) ? 4(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? )( ?3 ? ? ) ? (1 ? ? )3 ? 2(1 ? ? )2 ? ? ? 3 ? (3 ? ? )( 2 ? ? )? 齐次方程组要有非零解，必有D ? 0， 故 ? ? 3 or ? ? 2 or ? ? 0时方程组有非零解.暨大珠院
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上次介绍了用来计算多元线性方程的克拉默法则及其所需的行列式，这次来全面地接触一下行列式。
今天的主要任务有三：行列式的定义，行列式的性质，和行列式的计算&
（日妖：月狂还没出院，靠我来撑场面了……）
（一）先给出n阶行列式的定义式
D可以简记作det（aij）其中aij为行列式D的第（i,j）项，叫做“元”。
可以参考下三阶行列式
通俗地解释一下：一个n阶行列式的值，就是从里面拿出n个元来相乘，前面加个正号或者负号，然后把所有能取到的像这样的组合全部加起来。
这样解释有三个地方不明确：（1）要取出n个元来相乘，但是按照什么规律取？（2)随机元的组合一共有几组？(3）每一组前面的正负号是如何确定的？
详细拆解：
（1）p1，p2，……，pn是一个由自然数1,2，……，n组成的随机数列，每个数都不重复。也就是说，无论怎么取，这n个元一定是出自不同行且不同列的。沿行看，每行上都有有且只有1个元被取到，沿列看，每列上也都有且只有一个元被取到。只要满足这个条件，随便取。定义上是采用固定行，取列的方法，即第一行取第p1列的元，第二行取p2列的元，……第n行取pn列的元。同时，我们也可以采用固定列，取行的方法，即第一列取第p1行上的元，以此类推。两种取法实际效果是一样的。
（日妖：这好比设法在国际象棋棋盘上放8个车，要求每两个车之间相互攻击不到对方。）
（2）前面既然说了，从第一行开始，按照p1，p2，……pn的顺序逐行取元，那么，p1，p2，……pn有几种排列方式，就有几个需要累加的项目，于是对于n阶行列式而言，就有n！个项累加。例如三阶行列式一共有3！=6项。
（3）每一项的符号是由一个t决定的，t为奇数时符号为负，t为偶数时符号为正。t是什么？答：t是p1，p2，……，pn这个排列的逆序数。
（日妖：所谓逆序数，就是一个排列中元素的位置违反排列规则（比如从小到大排列）的次数，比如123的逆序数为0,132的逆序数为1,321的逆序数为3。逆序数的计算方法为从第一位数开始，把每个数前面出现逆序的次数累加起来。）
补充两点：
（1）行列式的转置
行列式DT称为D的转置行列式（日妖：其实就是沿左上-右下这条对角线镜像过去。）
（2）ri表示行列式第i行，ci表示第i列。ri&rj表示i行和j行互换，ci&cj表示i列与j列互换。
（二）接下来是行列式的性质
行列式的性质，一言以蔽之，就是行列式的行与行之间，以及列与列之间，都可以进行加减和交换的运算。
（1）行列式与其转置行列式相等（日妖：行列式按行取元素，等于对它的转置行列式按列取元素）
（2）互换行列式两行（列），行列式变号。（日妖：因为逆序数的奇偶性质改变了，原来是奇数的现在变成偶数了，原来是偶数的现在变成奇数了。）
&（日妖：另外请注意，如果行列式两行完全相同，互换这两行，就有D=-D，因此D=0，行列式的值为0）
（3）行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘以此行列式。
（日妖：既然如此，行列式某一行或者某一列的所有公因子都可以提到行列式以外。提出第i行的公因子k记作ri&k）
（日妖：既然可以把公因子从行列式中提出来，刚才提到的“有相同行或列的行列式值为0”就可以拓展为“有成比列的行或列的行列式值为0”。）
（4）行列式可以按行或列拆开或合并，如下
（5）行列式行或列之间可以进行线性运算，行列式的值不变
（日妖：例如行列式第j列乘以k加到i列上，如下）
（日妖：ci+kcj与kcj+ci有什么不同？）
（三）下面来计算行列式的值了，计算行列式的值可以考虑三种方法
（1）定义法。（日妖：找出所有n!种元的组合，每种各元乘起来再根据列表的逆序数决定正负号，然后累加。呵呵，举例来说就是一个八阶矩阵需要找出8!=40320项，每项8个元相乘，然后还要算出一个8元素排列的逆序数，然后全部累加……）
（2）三角形行列式法。
其中没写出的元为0。
（日妖：记得上面所说的从行列式选元的原则吗？是滴，每行一个并且每列一个，像上面这样的三角形行列式，无论你怎么选，总会选中一个0（这个可以证明，此处忽略），只有按对角线选才不会有0，对角线的列序号的逆序数为0，于是这项就是a11a22……ann，其他项目中由于都有至少一个元是0，因此行列式的值就是左上-右下对角线上各元的乘积。）
（日妖：那么，如果是左下-右上对角线的三角形行列式呢？）
三角形行列式法，就是先利用行列式各行间可以进行线性运算的性质，将行列式转化为三角行列式，从而简化行列式计算的方法。参见下例。
（3）行列式按行（列）展开法（行列式降阶法）
预备概念：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
（日妖：我知道你想问什么是代数余子式，现在就给你解释）
在n阶行列式中，把（i，j）元aij所在的第i行和第j列划去后，剩下n-1阶行列式叫做（i，j）元aij的余子式，记作Mij，在此基础上，定义aij的代数余子式Aij为
（日妖：什么？用这个怎么求行列式的值？真不可爱，给你几个提示吧：第一，把n阶行列式按照某一行或者某一列展开后，会出现n个n-1阶的行列式之和；第二，如果你展开的这行（列）事先经过变换，只剩下一个非0的元，展开后就只剩下一个n-1阶行列式；第三，你可以对剩下的这个n-1阶行列式继续展开，再次降阶，直到出现可以口算解决的二次行列式为止。）
还是刚才三角行列式解法的那个题，现在我们尝试通过展开降阶来解决。
解题思路：先把第3行除第三个元素外其他元素转化为0，然后按第三行展开，4阶行列式降阶为三阶行列式，再次按第一行第三个元素展开，降阶为二阶行列式求解。
以上就是行列式的三种求解方法
关于行列式，还需要补充一些内容：
（1）用数学归纳法和展开，可以证明范德蒙德（Vandermonde）行列式
“&”为累乘符号
（2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
（3）综合行列式展开法则和上述（2）的结果，可以写成
代数余子式的这个性质以后会用到
呼，终于结束了。
那么，下次会引入一个新的概念——矩阵
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