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Fourier积分算子和Marcinkiewicz积分算子的交换子的有界性
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3秒自动关闭窗口关于Hardy-Lorentz空间的几个有界结果
文章首先介绍了加权弱H1空间的概念和相关理论，利用其加权空间的原子刻画，得到了Marcinkiewicz积分算子在弱H1上的加权有界性；然后介绍了Hardv空间的中间空间Hardy-Lorentz空间Hp·q的相关概念以及它的原子分解，受弱Hardy空间原子空间定义以及弱Hardy空间有界性研究的启发，对Hardy-Lorentz空间做了进一步研究，利用Hardv-Lorentz空间原子分解定理和算子的Lp有界性，并借助于不等式的估计，讨论了经典算子及交换子的有界性问题，得到Marcinkiewicz积分算子是（Hp·q，Lp∞）型算子；CalderónZygmund奇异积分算子与BMO函数b生成的交换子以及Littlewood-Pal...展开
文章首先介绍了加权弱H1空间的概念和相关理论，利用其加权空间的原子刻画，得到了Marcinkiewicz积分算子在弱H1上的加权有界性；然后介绍了Hardv空间的中间空间Hardy-Lorentz空间Hp·q的相关概念以及它的原子分解，受弱Hardy空间原子空间定义以及弱Hardy空间有界性研究的启发，对Hardy-Lorentz空间做了进一步研究，利用Hardv-Lorentz空间原子分解定理和算子的Lp有界性，并借助于不等式的估计，讨论了经典算子及交换子的有界性问题，得到Marcinkiewicz积分算子是（Hp·q，Lp∞）型算子；CalderónZygmund奇异积分算子与BMO函数b生成的交换子以及Littlewood-Paley算子与BMO函数b生成的交换子是从H(?)(Rn)到Lp.∞(Rn)有界的．收起
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&&8:00-11:30,13:00-17:00(工作日)非双倍测度下参数型Marcinkiewicz积分多线性交换子的有界性
李倩, 赵凯. 非双倍测度下参数型Marcinkiewicz积分多线性交换子的有界性[J].云南大学学报(自然科学版), ): 165-171.
LI Qian, ZHAO Kai. Boundedness of multilinear commutators of parameter Marcinkiewicz integral with non-doubling measures[J]. Journal of Yunnan University(Natural Sciences),
): 165-171.DOI:10.7540/j.ynu.&&
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非双倍测度下参数型Marcinkiewicz积分多线性交换子的有界性
青岛大学 数学与统计学院,山东 青岛 266071
通讯作者: 赵 凯(1960-),男,山东人,教授,博士,主要从事调和分析及其应用方面的研究.E-mail:.
李 倩(1990-),女,河南人,硕士生,主要从事调和分析及其应用方面的研究.E-mail:.
基金资助: 国家自然科学基金(); 山东省自然科学基金博士基金(BS).
在参数型Marcinkiewicz积分M ρ的核函数满足较强的Hörmander条件下,利用非双倍测度的特性,证明了参数型Marcinkiewicz积分与Lipschitz函数生成的多线性交换子Mbρ( f)在非双倍测度Morrey空间Mqp( &#x003)上的有界性,并得到了从非双倍测度Morrey空间分别到Lipschitz空间Lipβ-np( &#x003)和RBMO( &#x003)空间有界的结果.
非双倍测度;
参数型Marcinkiewicz积分;
Morrey空间;
中图分类号:O174.2
文献标志码:A
文章编号:17)02-0165-07
Boundedness of multilinear commutators of parameter Marcinkiewicz integral with non-doubling measures
School of Mathematics and Statistics,Qingdao University,Qingdao 266071,China
Under the assumption that the kernel of M ρ satisfies certain slightly stronger Hörmander-type condition,by the properties of non-doubling measures,it proves that the multilinear commutators of parameter Marcinkiewicz integral Mbρ( f) is bounded on the Morrey spaces for non-doubling measures.The boundedness from the Morrey spaces to the Lipschitz space Lipβ-np( &#x003) and RBMO( &#x003) space for non-doubling measures is obtained,respectively.
non-doubling;
parameter Marcinkiewicz integral;
Morrey space;
boundedness
交换子理论在调和分析中具有重要的作用.2001年, Tolsa[, ]研究了非双倍测度下的Hardy空间及其刻画, 并讨论了Calderó n-Zygmund奇异积分算子的有关问题, 并通过引进RBMO(&#x003 )空间, 得到了该算子从L∞ (&#x003 )到RBMO(&#x003 )的有界性, 这些结论丰富了非双倍测度下的调和分析理论.其后, 非双倍测度的调和分析理论得到了很好的发展[, , , ].1958年, Stein[]研究了高维的Marcinkiewicz积分, 给出了Marcinkiewicz积分在Lp(Rn)上的有界性.Marcinkiewicz积分作为重要的奇异积分算子在双倍测度和非双倍测度下有许多结论[, , , , , ].基于以上的研究, 这里讨论一类非双倍测度下参数型Marcinkiewicz积分多线性交换子的有界性问题.1 预备知识称Rd上的一个Radon测度&#x003 是非双倍的, 如果它仅满足增长条件&#x003 (B)(x, r))≤ C0rn, 0< n≤ d. (1)其中B(x, r)是以x为中心r为半径的球; C0为常数.&#x003 也称为n-维非双倍测度.对于Rd中边平行于坐标轴的任意方体Q, R(Q?R), 定义
其中NQ, R是第一个满足l (2kQ)≥ l (R)的整数k.设核函数K(x, y)是定义在Rd× Rd\{(x, y):x=y}上的局部可积函数且满足下列条件:存在常数C> 0, 使得对所有的x, y∈ Rd且x≠ y, 有|K(x, y)|≤ C|x-y|-(n-1), (2)∫ |x-y|≥ 2|y-y'| |K(x, y)-K(x, y')|+|K(y, x)-K(y'+x)||x-y|d&#x003 (x)≤ C. (3)定义关于上述K(x, y)的参数型Marcinkiewicz积分算子为M ρ (f)(x)= ∫0∞1tρ∫|x-y≤tK(x, y)|x-y|1-ρf(y)dy2dtt12, ρ > 0, x∈ Rd. (4)当K(x, y)= Ω(x, y)|x-y|d-1时(其中Ω 为0次齐次函数, 且Ω ∈ Lipα (Sd-1)(0< α < 1)), 则容易验证K(x, y)满足条件(2)和(3).又若&#x003 是Rd中的d维Lebesgue测度, 当ρ =1时, 则(4)式定义的M ρ 恰为Stein引入的标准的Marcinkiewicz积分算子[].定义1 如果
fLipβ= supx≠y, x, y∈supp(μ)|f(x)-f(y)||x-y|β< ∞ , 则称f∈ Lipβ (0< β < 1)(非双倍Lipschitz).定义2 令υ > 1, 1≤ q≤ p< ∞ .则非双倍Morrey空间定义为
Mqp(&#x003 )={f∈
Llocq(&#x003 ):
fMqp< ∞ }, 其中
fMqp(μ)= supQ?Rd&#x003 (υ Q )1p-1q(∫ Q|f|qd&#x003
)1q.定义3 设有局部可积函数bi, i=1, 2, …, m, 记b=(b1, …, bn), 则参数型Marcinkiewicz积分多线性交换子M
bρ(f)(x)定义为(5)2 M
bρ在非双倍Morrey空间的有界性这节主要证明参数型多线性交换子M
bρ在非双倍Morrey空间的有界性.为此, 先看分数次积分.定义4 设0< α < ∞ , 定义与非双倍测度&#x003 相关的分数次积分Iα 为:Iα (f)(x)= ∫Rdf(y)|x-y|n-αd&#x003 (x), x∈ supp(&#x003 ). (6)Sawano和Tanaka在文献[6]中得到如下结论.引理1[] 设0< α < n, Iα 为(6)式定义的分数次积分, 1< q≤ p<
nα, 1< s≤ t<
1s= 1p- αn.则存在常数C> 0, 使得
Iα(f)Mts(μ)≤ C fMqp(μ).定理1 设K(x, y)满足条件(2)和(3), M
bρ为(5)式中定义的参数型Marcinkiewicz积分多线性交换子.假设M ρ 在L2(&#x003 )有界, bi∈ Li
pβi(&#x003 )(0< β i< 1), i=1, 2, …, m, β = β i, 1< q≤ p<
nβ, 1< s≤ t<
1s= 1p- βn.则M
Mqp(&#x003 )到
Mts(&#x003 )有界的多线性交换子, 即
Mbρ(f)Mts(μ)≤ C fMqp(μ).证明 因为bi∈ Lipβ (&#x003 ), 由Minkowski不等式和(2)式, 易得 再利用引理1得
bρ在非双倍Lipschitz空间的有界性这里主要讨论参数型多线性交换子M
bρ在其核函数满足条件(2)及下述Ls-Hö rmander条件时的有界性.定义5[] 设l≤ s< ∞ , 0< ε ≤ 1.若存在cs> 1, Cs> 0, 使得对任意x∈ Rd且l> cs|x|, 有 则称核函数K(x, y)满足Ls-Hö rmander条件.为了方便, 将上述Hö rmander条件记为Hs条件.显然, 设Ω ∈ Ls(Sd-1)且
∫Sd-1Ω (x')dσ (x')=0, 则K(x, y)= Ω(x-y)|x-y|d-1必满足Hs条件.在此意义下, Hs是更弱的一类条件.定理2 设
.若bi , 核函数K(x, y)满足条件(2)和Hp'条件, 则(5)式所定义的
有界的多线性交换子, 即
.在给出证明之前, 需要叙述Lipβ (&#x003 )(0< β < 1)的刻画.引理2[] 设函数b∈
Lloc1(&#x003 ), 下述条件等价:(i) 存在常数C1≥ 0, 使得对supp(&#x003 )中几乎处处的x, y满足|b(x)-b(y)|≤ C1|x-y|β .(ii) 对某一固定方体Q存在常数C2≥ 0及数集{bQ}满足下列性质:对任意方体Q, 有∫ Q |b(x)-bQ|μ2Q)d&#x003 (x)≤ C2l (Q)β , (7)且对满足Q?R及l (R)≤ l (Q)的方体R, 有|bQ-bR|≤ C2l (Q)β , (8)其中bQ=mQ(b)=∫ Q b(y)μ(Q)d&#x003 (y).这里inf{C1}和inf{C2}等价.当0< β < 1时, 对满足l (R)≤ 2l (Q)的2个方体Q?R, (8)式与下式等价:|bQ-bR|≤ C '2KQ, Rl (R)β . (9)另外, 当β =0时, (7)式和(9)式恰好为Tolsa在文献[2]中定义的RBMO(&#x003 )空间.定理2的证明 对于任意的方体Q?Rd以及满足Q?R和l (R)≤ 2l (Q)的方体R, aQ=mQ Mbρf χRd\32Q, aR=mR Mbρf χRd\32Q.由文献[3]定理2.3知, 只需验证存在常数C满足下面的(10)和(11)式即可.∫ Q |Mbρ(f)(x)-aQ|μ2Q)d&#x003 (x)≤ C fMqp(μ)l (Q )β-np, (10)|aQ-aR|≤ C fMqp(μ)l (Q )β-np. (11)首先估计(10)式, 对于任意的方体Q且x∈ Q, 设f1=f χ
32Q, f2=f-f1, 于是f=f1+f2, 由此得∫ Q |Mbρ(f)(x)-aQ|μ2Q)d&#x003 (x)=∫ Q |Mbρ(f1+f2)(x)-aQ|μ2Q)d&#x003 (x)≤ ∫ Q |Mbρ(f1)(x)|μ2Q)d&#x003 (x)+∫ Q |Mbρ(f2)(x)-aQ|μ2Q)d&#x003 (x)=I1+I2.取1< p1<
nβ< q≤ p及
1q1= 1p1- βn, 类似于文献[9]定理1的证明, 可以得到M
bρ是从Lp(&#x003 )到Lq(&#x003 )有界的.进而由Hö lder不等式得 对于I2, 有I2=∫ Q |Mbρ(f2)(x)-aQ|μ2Q)d&#x003 (x)≤ ∫ Q∫ Q |Mbρ(f2)(x)-Mbρ(f2)(y)|μ(Q)μ2Q)d&#x003 (x)d&#x003 (y).下面估计|M
bρ(f2)(x)-M
bρ(f2)(y)|.为了方便, 只考虑m=2的情况, m&#x0003E; 2时类似. 其中D1= ∫0∞1tρ∫|x-z≤t|K(x, z)||x-z|1-ρb1(x)-mQ(b1)b2(x)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D2= ∫0∞1tρ∫|y-z≤t|K(y, z)||y-z|1-ρb1(y)-mQ(b1)b2(y)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D3= ∫0∞1tρ∫|x-z≤t< |y-z||K(x, z)||x-z|1-ρb1(z)-mQ(b1)b2(z)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D4= ∫0∞1tρ∫|y-z≤t< |x-z||K(y, z)||y-z|1-ρb1(z)-mQ(b1)b2(z)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D5= ∫0∞1tρ∫|x-z≤t|y-z≤t|K(x, z)||x-z|1-ρ-|K(y, z)||y-z|1-ρb1(z)-mQ(b1)b2(z)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D6= ∫0∞1tρ∫|x-z≤t< |y-z||K(x, z)||x-z|1-ρb1(z)-mQ(b1)b2(x)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D7= ∫0∞1tρ∫|x-z≤t< |y-z||K(x, z)||x-z|1-ρb1(x)-mQ(b1)b2(z)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D8= ∫0∞1tρ∫|y-z≤t< |x-z||K(y, z)||y-z|1-ρb1(z)-mQ(b1)b2(y)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D9= ∫0∞1tρ∫|y-z≤t< |x-z||K(y, z)||y-z|1-ρb1(y)-mQ(b1)b2(z)-mQ(b2)f2(z)dμ(z)2dtt12, D10= ∫0∞1tρ∫|y-z≤tK(x, z)|x-z|1-ρ(mQ(b1)-b1(z))(b2(x)-mQ(b2))f2(z)dμ(z)- 1tρ∫|x-z≤tK(y, z)|y-z|1-ρ(mQ(b1)-b1(z))(b2(x)-mQ(b2))f2(z)dμ(z)2dtt12, D11= ∫0∞1tρ∫|y-z≤tK(x, z)|x-z|1-ρ(b1(x)-mQ(b1))(mQ(b2)-b2(z))f2(z)dμ(z)- 1tρ∫|x-z≤tK(y, z)|y-z|1-ρ(b1(y)-mQ(b1))(mQ(b2)-b2(z))f2(z)dμ(z)2dtt12.而 类似于D1的证明, 有D2&#x02264; C fMqp(μ)l (Q )β-np.注意到, 对任意z&#x02208;
322kQ\ 322k-1Q, k&#x02265; 1, 有|bi(z)-mQ(bi)|&#x02264; Cl (2kQ )βibiLipβi(μ), 所以 类似于D3的证明, 有
同样, 再利用H&#x000f6; rmander条件可得
类似D1和D3的估计, 有 综上所述, 可以得到
, 因此(10)式成立.下面考虑(11)式的估计.设Q为任意方体, R为倍方体且满足x&#x02208; Q?R, 简记NQ, R+1为N, 则|aQ-aR|&#x02264; |mQ[M
bρ(f &#x003c7; (Rd\2NQ))]-mR[M
bρ(f &#x003c7; (Rd\2NR))]|+ mQMbρf χ2NQ\32Q+ mRMbρf χ2NQ\32R=E1+E2+E3.显然, E1与上面的估计式(12)相同.对于y&#x02208; R, z&#x02208; Rd\ 32Q, 有 对y在R上取平均得E3&#x02264; C fMqp(μ)l (Q )β-np.类似地, 有
证毕.由RBMO(&#x003 )的等价定义和(7)~(9)式, 立即可得下面的结论.定理3 设0&#x0003C; &#x003b2; &#x0003C; 1, &#x003b2; =&#x003b2; 1+&#x003b2; 2+…+&#x003b2; m, 若
, 核函数K(x, y)满足条件(2)和Hp'条件,
是由(5)式定义的多线性交换子.当
The authors have declared that no competing interests exist.
Calder&#x000f3;n-Zygmund operators for non-doubling measures[J].
[本文引用:1]
Littlewood-Paley theory and
T(1) theorem with non-doubling measures[J].
[本文引用:1]
GARC&#x000A-CUERVA J, GATTO A E.
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Calder&#x000f3;n-Zygmund operators associated to non-doubling measures[J]. Publ Mat, 2005, 49(2): 258-296.
[本文引用:2]
HU G E, MENG Y, YANG D C.
Boundedness of some maximal commutators in Hardy spaces with non-doubling measurs[J].
[本文引用:1]
ZHAO K, WANG Y G, WANG L.
Boundedness of commutators of Calder&#x000f3;n-Zygmund operator on Morrey-Herz spaces for non-doubling Measures[J]. Mathematica Applicata, 2012, 25(1): 40-46.
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Morrey spaces for non-doubling measure[J].
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[本文引用:1]
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Boundedness of generalized higher commutators of Marcinkiewicz integrals[J]. Acta Math Sci, 2007, 27B(4): 852-866.
[本文引用:2]
赵凯, 郝春燕, 王磊.
Marcinkiewicz积分在加权弱Hardy空间的有界性[J]. ZHAO K, HAO C Y, WANG L.
Boundedness of Marcinkiewicz integrals on weighted weak Herdy spaces[J].
[本文引用:1]
赵凯, 王振, 王磊.
Littlewood-Paley算子及其交换子的有界性[J]. ZHAO K, WANG Z, WANG L.
Boundednoess of Littlewood-Paley operators and
commutator[J].
[本文引用:1]
ZHOU J, MA B L.
Marcinkiewicz commutators with Lipschitz functions in non-homogeneous spaces[J].
[本文引用:2]
逯光辉, 周疆.
具有非倍测度的参数型Marcinkiewicz积分交换子在Morrey空间的有界性[J]. LU G H, ZHOU J.
Boundedness of commutators of parameter Marcinkiewicz integrals on Morrey spaces with non-doubling measures[J].
[本文引用:1]
... 2001年,Tolsa[1,2]研究了非双倍测度下的Hardy空间及其刻画,并讨论了Calder#cod#x000f3 ...
... 2001年,Tolsa[1,2]研究了非双倍测度下的Hardy空间及其刻画,并讨论了Calder#cod#x000f3 ...
... 其后,非双倍测度的调和分析理论得到了很好的发展[3,4,5,6] ...
... 引理2[3] 设函数b#cod#x02208 ...
... 其后,非双倍测度的调和分析理论得到了很好的发展[3,4,5,6] ...
... 其后,非双倍测度的调和分析理论得到了很好的发展[3,4,5,6] ...
... 其后,非双倍测度的调和分析理论得到了很好的发展[3,4,5,6] ...
... 引理1[6] 设0#cod#x0003C ...
... 1958年,Stein[7]研究了高维的Marcinkiewicz积分,给出了Marcinkiewicz积分在Lp(Rn)上的有界性 ...
... Marcinkiewicz积分作为重要的奇异积分算子在双倍测度和非双倍测度下有许多结论[8,9,10,11,12,13] ...
... Marcinkiewicz积分作为重要的奇异积分算子在双倍测度和非双倍测度下有许多结论[8,9,10,11,12,13] ...
... 恰为Stein引入的标准的Marcinkiewicz积分算子[9] ...
赵凯, 郝春燕, 王磊.
Marcinkiewicz积分在加权弱Hardy空间的有界性[J]. ZHAO K, HAO C Y, WANG L.
Boundedness of Marcinkiewicz integrals on weighted weak Herdy spaces[J].
摘　要： 介绍了加权弱Hardy空间的相关概念,在其原子分解的基础上,研究了Marcinkiewicz积分在弱Hardy空间的加权有界性,借助于权函数的性质及不等式估计,得到了Ω满足Lipα（0〈α≤1）条件时,Marcinkiewicz积分在加权弱Hardy空间WH1Ω（Rn）上是有界的结果.
... Marcinkiewicz积分作为重要的奇异积分算子在双倍测度和非双倍测度下有许多结论[8,9,10,11,12,13] ...
赵凯, 王振, 王磊.
Littlewood-Paley算子及其交换子的有界性[J]. ZHAO K, WANG Z, WANG L.
Boundednoess of Littlewood-Paley operators and
commutator[J].
The Littlewood-Paley operators and its commutators were discussed.By the atomic and molecular decompositions of Herz-type Hardy spaces,the boundedness of the Littlewood-Paley operator g ψ and the commutator g ψ,b on Herz-type Hardy spaces are obtained.
运用Herz型Hardy空间的原子和分子分解理论,对Littlewood-Paley算子及其交换子进行了讨论,证明了Littlewood-Paley算子g ψ 及其与BMO函数生成的交换子g ψ,b 在Herz型Hardy空间上的有界性.
... Marcinkiewicz积分作为重要的奇异积分算子在双倍测度和非双倍测度下有许多结论[8,9,10,11,12,13] ...
... Marcinkiewicz积分作为重要的奇异积分算子在双倍测度和非双倍测度下有许多结论[8,9,10,11,12,13] ...
... 定义5[12] 设l#cod#x02264 ...
逯光辉, 周疆.
具有非倍测度的参数型Marcinkiewicz积分交换子在Morrey空间的有界性[J]. LU G H, ZHOU J.
Boundedness of commutators of parameter Marcinkiewicz integrals on Morrey spaces with non-doubling measures[J].
摘　要： 该文证明了具有非倍测度的Marcinkiewicz积分交换子μ_b不仅是（M_q~p（v）,M_t~s（v））有界,（M_q~p（v）,Lip_（（β-n/p）））有界,而且还是（M_q~p（v）,RBMO（v））的有界算子.
... Marcinkiewicz积分作为重要的奇异积分算子在双倍测度和非双倍测度下有许多结论[8,9,10,11,12,13] ...
非双倍测度下参数型Marcinkiewicz积分多线性交换子的有界性
[李倩, 赵凯]marcinkiewicz
事发之后，波兰总理马尔钦凯维奇（Marcinkiewicz）也刻赶抵现场了解情况。
基于10个网页-
依沃娜·马尔钦凯维奇
Marcinkiewicz积分算子
参数型Marcinkiewicz
马辛基维茨
马尔钦凯维奇
玛金兹维奇
Marcinkiewicz算子
超奇异Marcinkiewicz积分
多线性Marcinkiewicz算子
Marcinkiewicz强大数律
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Marcinkiewicz
Marcinkiewicz is a Polish family name of patronymic origin, meaning "son of Marcin (Martin)". People named Marcinkiewicz include:
以上来源于:
Mr Marcinkiewicz's office is strikingly underpowered, both in people and in clout.
On Tuesday, Law and Justice announced that it had chosen not Mr Kaczynski but the little-known Kazimierz Marcinkiewicz to lead the next government.
But even if Mr Marcinkiewicz continues as prime minister thereafter, few doubt that the party boss will be pulling his strings from the shadows.
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