高三数学压轴题怎么做 数学压轴题的抢分妙招_高三网高三数学压轴题怎么做 数学压轴题的抢分妙招 09:16文/李男 高考数学压轴题难度大，综合性强，想要得满分是很不容易的，但是如果想要尽可能多得分数还是可行的。那么，高三数学压轴题怎么做呢？下面和小编一起来看看吧！一、能做多少算多少高三学生遇到压轴题时，如果真的很困难，确实啃不动，一个非常聪明的解题策略就是，将他们分解成一系列的步骤，或是一个个的小问题，先解决一部分问题，能解决多少就解决多少，能算出几步就写几步。特别是那种解题层次比较明显的题目，或是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然没有得出，但是分数却能拿到大半了，这就是所谓的“大题巧拿分”。二、会做哪问做哪问对于数学来说，解题过程中卡在某一过渡环节上是很常见的。这时，我们可以先承认中间的结论，往后推，看是否能够得到结论，若是题目有两问，第一问想不出来，不妨把第一问当做已知，先做第二问，跳一步解答。三、逆向解答对于学生来说，不仅是数学压轴题，对于每一个问题正面思考发生思维受阻时，都很适用。学生们可以用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，如果顺向推有困难就逆向推，直接证有困难就反证。小编推荐：四、退步解答“以退为进”是解数学压轴题的一个重要策略，对于一般的问题，如果你一时不能解决出问题。那么，不妨从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单。总之，你可以退到一个您能解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到解决的目的。 版权(C) 高三网　吉ICP备号-1让学习驱动您的世界
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小学二年级数学题4+3乘5怎么做
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2012高考数学创新题的必杀技之思维迁移篇
高考数学创新题的必杀技之思维迁移篇崔梦迪 古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽 天涯路”，此第一境界也；“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境界也；“众里 寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，此第三境界也。 ----- 王 国 维 早就说在高中写几个帖子，但由于犯懒，一直没动弹。最近，在北京一模结束后，好多 学生都问我，说在高考的考场上，怎么处理第 8 题、第 14 题和第 20 题得后几问。下面我就 就这个问题，谈一下我的看法，希望对大家有所帮助! 一、积极备战，不要提前说再见！ 首先，要明确的一点是不要过早的放弃！因为在高考考场的 PK 不仅仅是在知识的层面 上，更重要的 PK 是在心态上！有很多同学都认为：我只要把前面简单地做好，后面的直接 放弃就可以了。首先这个想法本身并没有错，但是在实战的时候，这样的想法势必会让你对 前面的简单题给予了很大的希望！如果做得顺手还好，但是一旦有小题卡住，后果将不堪设 想！就好像有很多人英语学的不是特别好，就把希望寄托在理科上，结果总是会因为过度紧 张而出现成绩不稳定，大起大落等等，甚至会导致最后的惨败。 所以，在准备二模的过程中，对于创新题的处理，在心态一定要积极备战，不要提前 说再见！ 二、发散之前先迁移，基本功是关键！ 有很多同学都都把创新题型的处理定位在发散性思维上， 认为只有撒开了想才能解决创 新题，这可能也是很多同学解不出创新题的主要原因。 在这里我想说的是：在发散之前首先要做的事情是思维的迁移！比如以前有没有见过 类似的题目， 在庞杂题目中有没有学过的一些信息， 题目中所表达的含义和平时学的知识有 什么牵连， 而往往这些东西都会成为做题的切入点。 而刚才说的几种迁移的过程也正是我们 思维迁移的三种境界：题目的迁移，知识点的迁移和能力的迁移！当然，能做出这些迁移 的前提是我们必须得有超强的基本功，对做过的题目一定要进行总结。所以，在最后冲刺的 阶段，学校的练习是非常非常重要的，在高考的路上是没有捷径的！ 下面让我们通过最近考得几道题目来看一看这三种迁移应该如何应用！ 思维迁移的第一个境界：题目的迁移； 难度：★★★ 能力要求：要对做过的经典题目有很深刻的了解！ 【题目重现】 ： （浙江金华十校联考） 如图，直线 l ? 平面 ? ，垂足为 O 。已知长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中， AA ' ? 5 ， （1） A ? l ， （2）C ?? 。则 C ' 、 AB ? 6 ， AD ? 8 。该长方体符合以下条件的自由运动： 。 O 两点间的最大距离为以上是金华一模的最后一道填空题，很多北京的考生在拿到这道题时，都没有思路，不 知该如何下手。同志们，下面我们让来思考这样一个问题：在平时的训练中，我们有没有见 过这样的题目，说“题中有两个动点，其中一个在线上动，另一个在面上动”呢？ 【题目迁移】 ： 已知正方体 ABCD ? A 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 1B 1C1 D 1 的棱长为 2， 上运动， 另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动， 则 MN 中点轨迹与正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的表面所围成的较小的几何体的体积为___________。这道题我想大家应该都不陌生吧， 它曾经也在海淀的模拟题中出现过， 咱们在一轮复习 的时候专门处理过这一类的问题:解题的关键在于定值的转化！具体过程如下：最终得到了 MN 中点轨迹与正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的表面所围成的较小的几何体1 1 4 1 ，即 V= ? ? ? ?13 = ? 。 8 8 3 6 那下面让我们回到金华的这道题目， 题目中也提到了 “ A 点在 l 上动， ， C 点在 ? 上动” 把数据代入，不难发现： AC 的长度恒为 10！这和我们刚才的拿到题目真是神似啊！于是为一个半径为 1 的球的体积的 很容易就想到了：我们需要做出 AC 的中点 T ,连接 OT 和 C 'T ，发现 OT 的长度恒为 5， 而由勾股定理也不难得出 C 'T 长度为 5 2 ，如下图。而当 OT 和 C 'T 共线时， OC ' 将取到 最大值： 5 ? 5 2 。这时可能有的同学就会问了 OT 和 C 'T 一定可以共线吗？这时候就是我们需要发散的 时候了！ 题目中的难点是长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 是可以运动的，不好把握，但咱们可是在 物理中学过相对运动的人，能不能让长方体不动，让面 ? 动呢？我们来看一下：通过观察不难发现：如果长方体固定，只要我们过 OC 做出一个平面，使得这个平面和 OA 垂直，这个平面就是 ? 。而本身 OA ? OC ，这个平面一定是存在的！§反思：题目做完了，通过对比，我们发现以上两道题目是如此的相似，金华的模拟题只不 过就是把我们的练习题换了一身衣服出处来了！所以，在冲刺阶段一定要对常见的题型进 行整理,一定要把原因搞清楚，题型的迁移就一定能做到！思维迁移的第二个境界：知识点的迁移； 难度：★★★★ 能力要求：要对课本的概念、定义要有深刻的了解 【题目重现】 ： （2011 海淀一模） 如图，线段 AB =8，点 C 在线段 AB 上，且 AC =2， P 为线段 CB 上一动点，点 A 绕 点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x ， △ CPD 的面积为 f ( x) .则 f ( x) 的定义域为 ； f ' ( x) 的零点是 .DACPB以上是海淀一模的最后一道填空题， 其实今年海淀和西城的一模题还是比较平稳的， 没 有特别夸张的题目。这道题当然可以用正余弦定理通过解三角形做。但是通过观察， 我们发现题中只需要我们求 f ( x) 的定义域和 f '( x) 的零点， 而 f ( x) 的 定义域其实就是 △CPD 成立的条件， 这个用三角形的两边之和大于第三边， 直接就能搞定：?2 ? x ? 6 ? x ? ?2 ? 6 ? x ? x ?6 ? x ? x ? 2 ?解之得： 2 ? x ? 4 ；在求解的过程中，我们发现： CP ? PD ? 6 ！看到它后你想到了什么？ 【知识点迁移】 ： 椭圆是平面上到两点距离之和为定值（该定值大于两点间距离）的点的集合！ 那么，当我们发现 CP ? PD ? 6 ，也就是说，点 P 到点 D 和 C 的距离之和为 6。不难 得到：点 P 的轨迹应该是以 C、D 为焦点的椭圆，尽管这样的椭圆有无数个，但是由于 a 和 c 都是固定的，即椭圆的大小永远都是不变的,如下图：这个秘密和我们的问题有什么联系呢？我们要求的是 f ' ( x) 的零点， 也就是 f ' ( x) ? 0 的点， 也就是 △CPD 面积最大时的 x 的取值。 但问题又出现了： 椭圆是在运动的， 在什么情况下， △CPD 会取到最大值呢？ 我们好像刚处理过这样的问题！这也就是我们所说的能力迁移！ 思维迁移的第三个境界：知识点的迁移； 难度：★★★★★ 能力要求：对技巧和知识的积累要有很高的要求 在做金华一模那道题的时候，我们处理运动的长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 时，思路是：将 运动的长方体固定，让可以控制的面 ? 动起来！这样的思路能在这里用吗？ 让我们把椭圆固定下来，也就相当于点 P 在运动了！显然，当 P 运动到上端点时面积 最大，此时 PC ? PD ，我们不难得出： x ? 3 。这就是咱们思维迁移的三种境界！ 就像引言中王国维说的一样， 任何事情都在于坚持， 很多时候当我们在无数次的无奈、彷徨甚至是失败的阴影中走出来的时候，你会发现最漂 亮的解法原来就在我们身边。 最后让我们来做一个练习题吧，看看大家能不能迁移出最完美的解法！ 【补充练习】 ： 正方体 ABCD ? A' B'C ' D' 的棱长为 2，点 P 在底面 ABCD 上， ?PAC ' 的面积恒为一 个常数，问点 P 的轨迹有可能是： A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分你做出来了吗？这道题应该是把咱们的几种迁移做了一个综合，我们来一起分析一下！ 首先， “ ?PAC ' 的面积恒为一个常数”题中只给了这一个条件， 应该怎么去应用呢？我们显然要进行“定值的转化” ：由 ?PAC ' 的面 积固定，我们不难得出:点 P 到 AC ' 的距离是固定的！再做迁移：到 一条直线距离为定值的点的轨迹是什么呢？应该是一个圆柱的侧面！ 而点 P 又在底面 ABCD 上，那它的轨迹是什么呢？现在问题的难点 是： 我们得到的圆柱的侧面是倾斜放置的， 有什么想法？ “把它放正， 让面倾斜” ，答案就出来了，原来就是用一个平面斜着去切一个圆柱 的侧面，问轨迹是什么？显然是椭圆！ 答案：选 B高考数学创新题的必杀技之条件解读篇崔梦迪 最终你相信什么就能成为什么。 因为世界上最可怕的二个词， 一个叫认真， 一个叫执着， 认真的人改变自己，执着的人改变命运。 ―― 江南春 上次写的思维迁移篇不知对大家有没有帮助， 今天咱们再来谈谈条件解读吧！ 其实很多 时候影响我们做题的，不是说我们的知识点有什么欠缺。或者说经过一轮、二轮的洗礼，在 知识层面上，我们每个人之间的差距已经不会太大了。而最终决定我们成败的，就是我们在 考场上对题目中条件的把握： “你能不能把题目中一个没有见过的、或者没有读懂的条件翻 译成你能理解的东西。 ”这就要求你有超强大的解读能力了！今天就让我们谈谈在平时的练 习中，如何去培养自己条件解读的能力吧 难题必须有，心态是关键！ 很多同学，在做到稍微有一点难度的题目时，总是容易乱了阵脚，题目还没读完，先紧 张的出一身汗，更不要说解读条件了。所以，要想对创新题做到游刃有余，首先要做的就 是调整好心态！高考大纲是固定的，在高考的考场上是不会有超纲的题目的。之所以我们会 这样，有一个非常重要的原因就是：我们心里有阴影！其实，对于高三的学生来说最宝贵的 是你在考场上的斗志！如果你现在有这样的问题，我的建议是：去找大量的选择填空最后 一道题目，每天练十道，把整个的逻辑和原因搞清楚。当你的准确度提升到一定的程度时， 你就会有一种做它的欲望，再稍微加入一些方法，一点经验，创新题也就迎刃而解了！ 下面还是让我们赶快进入今天的正题吧！ 其实对于题目条件的解读也分为很多境界， 不 同的解读，所得出的方法也会千差万别,还是通过几道题目来看几种常见的解读方法吧！ 条件解读第一招：火眼金睛辨真伪 难度：★★★★ 能力要求：要细致入微的对题目中的条件进行观察！ 【题目重现】 ： （黄冈中学一模考试） 若 ? ? ? 0, ? ? , ? ? ? ?? ? ?? , ，λ∈R，且满足： ? 4 4? ?3?? ? 3 ? ? ? ? ? cos ? ? 2? ? 0 ， 4? ? sin ? cos ? ? ? ? 0 ， 2? ?则 cos ??? ? ? ? ? 的值为= ?2 ?．以上是黄冈中学的一模考试题目， 对于这道题目应该如何下手呢？先观察： 题目中给了 几个范围，但重头戏显然是底下的两个等式！那这两个等式隐藏着什么秘密呢？首先，我 们先迁移一下：题中有没有你认识的东西呢？这时发现了 sin ? cos ? ，这里好像有一个二? 3 ? ?(? ? ) ? cos ? ? 2? ? 0 倍角公式，于是想到了对第二个式子进行处理，可以得到： ? 。 2 ?8? 3 ? sin 2 ? ? 2? ? 0 ?继续观察：他们都是由三部分组成，而且第一项都是三次方，第二项都是一个三角函数，第 三项的都是一个含 ? 的常数项。它们之间有什么关系呢？这时发现有两个不同，首先是符 号，这个好解决；还有就是中间的三角函数名称不一样，这个需要用诱导公式换一下。这时? ?? 3 ? ?( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 2? ? 0 你就发现了一个天大的秘密： ? 2 ！原来 ? ? 和 2 ? 都是方 2 2 ?(2 ? )3 ? sin 2 ? ? 2? ? 0 ?程 x3 ? sin x ? 2? ? 0 的根。 那么 x3 ? sin x ? 2? ? 0 的根有几个呢？首先需要明确的是这个方程在高中阶段肯定解 不出来， 这就是咱们以前说过的 “超越方程” ， 对于超越方程的处理办法只有一个就是图像！ 先把两个初等函数放到等号的两边，得到： x3 ? 2? ? ? sin x ，由图像不难发现：在区间[?? ?此方程的根只有一个！ 而根据题中的 ? 和 ? 的范围可以得出： ? ? 和 2 ? 都 , ] 上， 2 2 2?在区间 [?? ?? 2 ? ? 。 , ] 上，所以 ? ? ? 2? ，即 ? ? 2 ? ? ，可以得出： cos( ? ? ) ? 2 2 2 2 2 2题目解完了，让我们来反思一下：看起来很夸张甚至于无从下手的一道题目，看看我 们做了什么，无外乎就是先迁移，再观察！当我们知道了?2? ? 和 2? 都 是 方 程x3 ? sin x ? 2? ? 0 的根的时候，答案也就在眼前了！所以，很多时候，我们真的需要有一颗安静的心， 用平和的心态细致入微的对题目的中的条件进行解读， 那么在高考中就没有难 题了！ 那么，这道题有没有其他的解读方法呢？当然有！ 条件解读第二招：骨中挑刺刺即消 难度：★★★★★ 能力要求：要找到题中影响我们思维的东西，再想办法让它消失掉！逻辑能力要求较高我们再来重新审视一下黄冈这道题目，题中最终让我们求解的是 cos(?2? ? ) ，不妨让我们先来猜一下，最终的结果会是什么呢？换个角度看，什么样的角的余弦值是能求出来 的，无外乎就是几个特殊角！这无疑给我们蒙答案创造了很好的环境！再来看条件，开始 挑刺：题中给了两个等式： (? ??2)3 ? cos ? ? 2? ? 0 和 4? 3 ? sin ? cos ? ? ? ? 0 。其中比较讨厌的就是那个 ? ，也就是说，这道题难就难在 ? 的取值不固定！在做选择填空的时 候，遇到任意的参数，最简单的蒙题方法：就是把任意改成任我意！我们可以把 ? 设为 0，? 3 ? ?(? ? ) ? cos ? ? 0 这时候，那两个很变态的式子变成了什么了呢： ? ，继续走着，既然 2 3 ?4 ? ? sin ? cos ? ? 0 ?已经赋值了，那不如把它进行到底！观察第二个式子，不难发现： ? ? 0 就是它的根；再来 看第一个式子，也很容易就可以知道： ? ??2也是它的根；于是立刻就得出了：cos(?? 2 ? ? ) ? cos( ? 0) ? 。 2 4 2我们再来反思一下： 其实刚才赋值的过程也就是咱们之前正解最后的图像中， 那个三次 函数图像过原点的情形：所以，很多时候，一些必要的科学蒙题方法也会给我们的做题带来很大的帮助，这个 在后续的篇章里，我会把它写出来，以便大家学习！ 在以上的第二种方法中，我们发现最关键的一个思路就是找到了骨中刺“ ? ” ，然后对它进行处理，这也是一种解读条件的办法：找到最不爽的条件，把它改成你认识东东！但 是胆子要大一点，该任我意的时候，一定要早下手！ 条件解读第三招：类比推理减维度 难度：★★★ 能力要求：要通过超强的基本功把题目的维度降低 其实有很多创新题，都是将一些比较简单的知识点，通过增加它的维度，来提升难度 的。 比如， 它会将一些二次函数的性质扩充到三次函数， 它会讲平面几何的知识类比到空间， 这类题目比较简单。但是，你能不能通过类比把维度还原回去，就是问题的关键了。还是 通过一道题目来看一下吧！ 【题目重现】 ： （3 月份 广西桂林二调） 已知 ? ? l ? ? 是大小为 45? 的二面角，C 为二面角内一定点， 且到半平面 ? 和 ? 的距 离分别为 2 和 6 ， A、B 分别为半平面 ? 和 ? 内的动点，则 ?ABC 的周长的最小值为 （ A． 6 2 ? 6 ） B. 5 2 ? 5 C. 15 D. 10 2这是三月份广西桂林第二次调研的一道选择题。 拿到题目后， 你有没有一种很熟悉的感 觉呢？立体几何中没有见过类似的题目， 但是好像平面中这种题好像很多吧！ 我们不妨先看 一下，在平面中这种题是怎么处理的！【维度降低】 ： 如右上图，?MON ? 45? ， P 为角内一点，其中点 P 到射线 OM 和 ON 的长度为 2 和 1， A、B 分别为射线 OM 和 ON 上的动点，问 ?PAB 周长的最小值。 我们发现， 当维度一降低， 就变成一道非常简单的题目了。 再把方法应用到立体几何中: 做出 C 点关于平面 ? 和平面 ? 的对称点 C1 和 C2 ，连接 C1 和 C2 ，线段 C1C2 与平面 ? 和平面 ? 分别交于 A、B 两点，此时， ?ABC 的周长是最小的！而此时 ?ABC 的周长其实也就 是，线段 C1C2 的距离，通过余弦定理，很容易就能得出：C1C2 ? 122 ? (2 2)2 ? 2 ?12 ? 2 2 ? cos135? ? 10 2选：D 由于时间的关系，咱们就先介绍这几种吧。其实解读条件的招式还有很多，比如：去 专译白找本质，逆向迂回求发散等等。咱们下次再探索吧！ 最后，还是留一道作业题：还是黄冈一模的那道题目，请问：要保证 cos ? 果， ? 的取值范围是什么呢？ 你求出来了吗？呵呵，其实很简单！在正解中，我们已经知道了： 程 x3 ? sin x ? 2? ? 0 的根，而且它们的范围也都是 [? 和函数 g ( x) ? ? sin x 在区间 [? 图像向上平移至 f (? 区间 [??? ? ? ? ? 有结 ?2 ??2? ? 和 2? 都是方? ?? ?, ] 。那么，函数 f ( x) ? x3 ? 2? 2 2?? ?) ? g (? ) ，或将函数 f ( x) 的图像向下平移至 f ( ) ? g ( ) 时，在 2 2 2 2?发现： 当将函数 f ( x) 的 , ] 上一定有交点吗？通过图像， 2 2??, ] 上 f ( x) 和 g ( x) 就没有交点了，进而就得出了 ? 的取值范围. 2 2高考数学创新题的必杀技之条件解读篇 （续）崔梦迪 通过对前两篇的阅读我想大家应该找到一些做题的感觉了吧， 今天我们继续来看看条件 解读剩下的几种方法吧！先来看一道题目： 条件解读第四招：先蒙再算抓矛盾 难度：★★★★ 能力要求：思维上一定要灵活！ 【题目重现】 ： （南通二调） 若实数 x，y，z，t 满足 1≤x≤y≤z≤t≤10 000 ，则 x ? z 的最小值为 y t ．以上这是南通二调的第 13 题。其实，题目本身并不难。但很多同学拿到这道题目后的 第一个感觉就是无从下手， 不知道题目在说什么？我想这也是很多学生在做创新题是经常遇 到的情况！ 那么这样的题应该怎么处理呢？我们可以先蒙再算抓矛盾！ 下面我们来仔细分析 一下： 题中让我们求 x ? z 的最小值，其实一个非常简单的思路就是让分子 x ， z 最小，让分 y t 母 y ，t 最大，由此可以得到： x ? z ? 1 ? 1 ? 1 。但是这样的结果显然不对！ y t
5000 那矛盾在什么地方呢？我们来观察一下：已知中所给的条件：1≤x≤y≤z≤t≤10 000 ，不难 发现：当 x 和 z 取到最小值 1 时，我们立马就能得出 1 ? y ? 1 ，即： y ? 1。同理，当 y 和 t 取到最大值 10000 时， z 也会等于 10000！也就是说：因为 x、z 和 y、t 是交叉不等的！我 们不能同时把它们进行放缩！ 当我们找到了这个矛盾点的时候， 正确的方法自然就出来了： 我们可以先只对 x、t 放缩！得到： x ? z ? 1 ? z ，对于 y、z ，我们不妨研究 z ，显然 y t y 10000 若将 z 放缩到 1，则： y ? 1，跟前面的矛盾一样，所以 z 的最小值只能是 y ，原来这道题y 1 ? 1 . ?2 就是把均值不等式改编了一下： x ? z ? 1 ? z ? 1 ? y t y 10000 y
50所以，在很多时候，如果我们拿到题目后没有感觉，甚至读不懂题时：不如先蒙一蒙， 找到最简单的情况，然后去通过矛盾点挖掘题目背后的东西，这也是一种常见的做创新题 的办法！【反思】 ： 其实，这道题已经有一点北京高考压轴题的影子了：题目中涉及的知识点并不难，但 是想解出来还是需要费一些周折！我们不妨看看更一般的情况： 若实数 a1 , a2 , a3 , a4 , ???, a2 n?1 , a2 n 满足 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? ? ? a2 n ?1 ? a2 n ? 102 n ，则：a a1 a3 a5 ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 的最小值为 a2 a4 a6 a2 n．其实，如果南通二调的拿到题目我们真的把它弄懂了，这道题就很简单了！首先，可 以把 a1 放到最小，把 a2 n 放到最大；如果 a3 放缩到 a1 ，则 a2 只能等于 a1 ，此时，a1 只能等 a2于 1，不是最小值，所以 a3 只能放缩到 a2 ；把所有的项都进行这样的处理，不难得出：a a a a1 a3 a5 a a ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? 2 n ?3 ? 2 n2?n2 ? n n 102 n ? n . a2 a4 a6 a2 n a2 a4 a6 a2 n ? 2 10 100条件解读第五招：去专译白找本质 难度：★★★★ 能力要求：在对条件的理解能力上要求较高【题目重现】 ： （厦门高三质量检查） 如图， 四棱柱 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中， 底面 ABCD 为正方形， 侧棱 AA ' ? 底面ABCD ，AB ? 3 2 ， AA ' ? 6 。以 D 为圆心， DC ' 为半径，在侧面 BCC ' B ' 上画弧，当半径的端? 点完整地划过 C ' E 时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积是A. 9 6 ? 4（）B.9 3 ? 4C.9 6 ? 2D.9 3 ? 2我们来看看这道题目，题中最关键的一句话就是： “以 D 为圆心， DC ' 为半径，在侧? 面 BCC ' B ' 上画弧，当半径的端点完整地划过 C ，你能想象出这是一个什么曲面吗？ 'E ” ? 我们可以这样想：弧 C ' E 在平面 BCC ' B ' 上，满足到点 D 的距离都相等；在深入一步：在平面 BCC ' B ' 上到点 D 距离（大于 D 到平面的距离）相等的所有点点轨迹和 D 形成的几何 体是什么呢？圆锥！同志们，这道题就被我们突破了，原来：这个曲面就是圆锥的侧面的一 部分：下面的求解过程就非常简单了！ 因为圆锥的侧面展开图是一个扇形， 所以我们只需要求? 出弧 C 答案就在眼前了： 因为 CC ' 和 CE 都是底面圆的半径， ' E 的长度和母线 DC ' 的长度，即： CC ' ? CE ? 6 ，而 BC ? 3 2 ，这时不难发现： ?BCE 是一个等腰直角三角形，即? 得出：?ECC ' ? 45? ，C ' E ? ? ?12 ?1 81? 9 6 3 ' E ? DC ' ? ?. 该曲面的面积为：S ? C ?， 2 4 2【选：A】其实，很多的创新题都是这样，它就是把我们平时常见的一个图形或几何体抽象成数 学语言，在考场上，只要认真琢磨，把专业的语言，用自己的方式理解了，你会发现很多 题就会变得很简单了！这也就是我们所说的“去专译白找本质”了！ 条件解读第六招：逆向迂回求发散 难度：★★★★ 能力要求：在对条件的理解能力上要求较高 【题目重现】 ： 已知函数 f ( x) ?x2 ? x ? n n ?1 ( x ? R, 且x ? , n ? N * ) 的最大值和最小值分别为 2 x ? x ?1 2an 和 bn ，且 cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ，则 cn ? ________.这是课上一个学生来问的一道题目，是他们学校的练习题，原题是选择题，因为回忆不 起来了，就改成填空题了，那这道题目应该如何处理呢？ 我们先来“去专译白找本质”吧！题中要求一个函数的最大值和最小值，其实，换一个 角度：就是在求这个函数的值域！那问题来了,我们在一轮时学习了七八种求函数值域的方 法：包括：观察、求导、判别式、分离常数、均值，图像、换元等等，应该用哪个呢？这时， 我们不妨先你想考虑一下： 题中，最终要让我们求的是 cn ，而在已知中只给出了： cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ，不妨把它 分解出来，看看能得出什么东西，可以得出： cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ? 1 ? (an ? bn ) ? anbn 。下 面来迁移一下， 在整个高中数学的学习中， 我们在什么地方见过 a ? b 和 ab 呢？韦达定理！ 再发散，在求值域的所有方法中，哪一种方法和韦达定理相关呢？判别式！于是，这道题就 被你突破了！我们来欣赏一下求解过程： 解：? y ?x2 ? x ? n n ?1 ( x ? R, 且x ? , n ? N*) 2 x ? x ?1 2∴关于 x 的方程： ( x 2 ? x ? 1) y ? x 2 ? x ? n 一定有解 化简得： ( y ? 1) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? n ? 0 ……………………① 当 y ? 1时，得出： x ?n ?1 （矛盾） ，∴ y ? 1 。 22∴二次方程①要想有解，则： ? ? ( y ? 1) ? 4( y ? 1)( y ? n) ? 0 化简得： 3 y ? 2(2n ? 3) y ? 4n ? 1 ? 0 ……………………②2由题意可知：②式的结果必为 an ? y ? bn ，即可得出：2(2 n ? 3) 4n ? 1 ， anbn ? 3 3 4n ? 6 4n ? 1 4 而 cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ? 1 ? (an ? bn ) ? anbn ? 1 ? ? ?? 。 3 3 3 an ? bn ?题目解出来了，下面我们来反思一下整个解题的过程：我们先用了“去专译白 ”把最值 ．．．． 的问题转化为函数的值域， 再用 “逆向迂回 ” 反求 cn ， 再做 “知识点迁移 ” ， 最后“发散 ” 。 ．．．． ．．．．． ． ．． ． 其实，很多时候我们解决问题都是这个样子的。在高考仅剩的这几十天里，我们不可能 像一轮那样在对每一个知识点进行系统的复习了，但是在能力和技巧方面，还是有很大的 空间可以去突破！所以我建议：同学们在做大量练习的同时，不妨对卷面上出现的所有的 新题型都这样的一个这样的“逻辑梳理”，反思自己做过的每一道题目，这是短时期内提 升能力的一个非常好的做法!按照惯例，我们还是留一道思考题吧！ （师大附 周练题） 数列 an 为等比数列， S n 为 an 的前 n 项和，已知： a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) ? 8 ，a12 ? a32 ? a52 ? (a2 2 ? a4 2 ) ? 12 ，则： S5 ? _______.你做出来了吗？其实，这道题目难度也不是很大，方法也有很多，我这里列举两种跟咱 们条件解读里有关的方法，一起欣赏一下！ 方法一：逆向迂回求发散！ 题中给的条件中， 有： 而最终要求的是： a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) ， a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) ， 而还知道： a12 ? a32 ? a5 2 ? (a2 2 ? a4 2 ) ，很容易就想到了平方差公式：8S5 ? [a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 )][a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 )] ? (a1 ? a3 ? a5 ) 2 ? (a2 ? a4 ) 2 ? a12 ? a32 ? a5 2 ? 2a1a3 ? 2a1a5 ? 2a3a5 ? a2 2 ? a4 2 ? 2a2 a4 ? a12 ? a32 ? a5 2 ? 2a2 2 ? 2a32 ? 2a4 2 ? a2 2 ? a4 2 ? 2a32 ? a12 ? a32 ? a5 2 ? a2 2 ? a4 2 ? 12可以得出： S5 ?3 。 2方法二：火眼金睛辨真伪 题中给出数列 an 为等比数列，我们不妨设数列 an 的公比为 q ，那么在这个已知的前提 下：a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) 是什么呢？它其实就是一个以 a1 为首项， 以 ? q 为公比的等比数 列的前 5 项之和，可以得出：a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?2 2 2 2 2 同理，再来辨别一下 a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 )a1 (1 ? q5 ) ?8 1? q2它其实就是一个以 a1 为首项，以 q 为公 ，2比的等比数列的前 5 项之和，可以得出：a12 ? a32 ? a52 ? (a2 2 ? a4 2 ) ?a12 (1 ? q10 ) a12 (1 ? q 5 )(1 ? q 5 ) a1 (1 ? q 5 ) ? ? 8 ? 8S5 ? 12 1 ? q2 (1 ? q)(1 ? q) 1? q可以得出：S5 ?3 。 2高考数学创新题的必杀技之条件解读篇 （续）崔梦迪 通过对前两篇的阅读我想大家应该找到一些做题的感觉了吧， 今天我们继续来看看条件 解读剩下的几种方法吧！先来看一道题目： 条件解读第四招：先蒙再算抓矛盾 难度：★★★★ 能力要求：思维上一定要灵活！ 【题目重现】 ： （南通二调） 若实数 x，y，z，t 满足 1≤x≤y≤z≤t≤10 000 ，则 x ? z 的最小值为 y t ．以上这是南通二调的第 13 题。其实，题目本身并不难。但很多同学拿到这道题目后的 第一个感觉就是无从下手， 不知道题目在说什么？我想这也是很多学生在做创新题是经常遇 到的情况！ 那么这样的题应该怎么处理呢？我们可以先蒙再算抓矛盾！ 下面我们来仔细分析 一下： 题中让我们求 x ? z 的最小值，其实一个非常简单的思路就是让分子 x ， z 最小，让分 y t 母 y ，t 最大，由此可以得到： x ? z ? 1 ? 1 ? 1 。但是这样的结果显然不对！ y t
5000 那矛盾在什么地方呢？我们来观察一下：已知中所给的条件：1≤x≤y≤z≤t≤10 000 ，不难 发现：当 x 和 z 取到最小值 1 时，我们立马就能得出 1 ? y ? 1 ，即： y ? 1。同理，当 y 和 t 取到最大值 10000 时， z 也会等于 10000！也就是说：因为 x、z 和 y、t 是交叉不等的！我 们不能同时把它们进行放缩！ 当我们找到了这个矛盾点的时候， 正确的方法自然就出来了： 我们可以先只对 x、t 放缩！得到： x ? z ? 1 ? z ，对于 y、z ，我们不妨研究 z ，显然 y t y 10000 若将 z 放缩到 1，则： y ? 1，跟前面的矛盾一样，所以 z 的最小值只能是 y ，原来这道题y 1 ? 1 . ?2 就是把均值不等式改编了一下： x ? z ? 1 ? z ? 1 ? y t y 10000 y
50所以，在很多时候，如果我们拿到题目后没有感觉，甚至读不懂题时：不如先蒙一蒙， 找到最简单的情况，然后去通过矛盾点挖掘题目背后的东西，这也是一种常见的做创新题 的办法！【反思】 ： 其实，这道题已经有一点北京高考压轴题的影子了：题目中涉及的知识点并不难，但 是想解出来还是需要费一些周折！我们不妨看看更一般的情况： 若实数 a1 , a2 , a3 , a4 , ???, a2 n?1 , a2 n 满足 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? ? ? a2 n ?1 ? a2 n ? 102 n ，则：a a1 a3 a5 ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 的最小值为 a2 a4 a6 a2 n．其实，如果南通二调的拿到题目我们真的把它弄懂了，这道题就很简单了！首先，可 以把 a1 放到最小，把 a2 n 放到最大；如果 a3 放缩到 a1 ，则 a2 只能等于 a1 ，此时，a1 只能等 a2于 1，不是最小值，所以 a3 只能放缩到 a2 ；把所有的项都进行这样的处理，不难得出：a a a a1 a3 a5 a a ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? 2 n ?3 ? 2 n2?n2 ? n n 102 n ? n . a2 a4 a6 a2 n a2 a4 a6 a2 n ? 2 10 100条件解读第五招：去专译白找本质 难度：★★★★ 能力要求：在对条件的理解能力上要求较高【题目重现】 ： （厦门高三质量检查） 如图， 四棱柱 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中， 底面 ABCD 为正方形， 侧棱 AA ' ? 底面ABCD ，AB ? 3 2 ， AA ' ? 6 。以 D 为圆心， DC ' 为半径，在侧面 BCC ' B ' 上画弧，当半径的端? 点完整地划过 C ' E 时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积是A. 9 6 ? 4（）B.9 3 ? 4C.9 6 ? 2D.9 3 ? 2我们来看看这道题目，题中最关键的一句话就是： “以 D 为圆心， DC ' 为半径，在侧? 面 BCC ' B ' 上画弧，当半径的端点完整地划过 C ，你能想象出这是一个什么曲面吗？ 'E ” ? 我们可以这样想：弧 C ' E 在平面 BCC ' B ' 上，满足到点 D 的距离都相等；在深入一步：在平面 BCC ' B ' 上到点 D 距离（大于 D 到平面的距离）相等的所有点点轨迹和 D 形成的几何 体是什么呢？圆锥！同志们，这道题就被我们突破了，原来：这个曲面就是圆锥的侧面的一 部分：下面的求解过程就非常简单了！ 因为圆锥的侧面展开图是一个扇形， 所以我们只需要求? 出弧 C 答案就在眼前了： 因为 CC ' 和 CE 都是底面圆的半径， ' E 的长度和母线 DC ' 的长度，即： CC ' ? CE ? 6 ，而 BC ? 3 2 ，这时不难发现： ?BCE 是一个等腰直角三角形，即? 得出：?ECC ' ? 45? ，C ' E ? ? ?12 ?1 81? 9 6 3 ' E ? DC ' ? ?. 该曲面的面积为：S ? C ?， 2 4 2【选：A】其实，很多的创新题都是这样，它就是把我们平时常见的一个图形或几何体抽象成数 学语言，在考场上，只要认真琢磨，把专业的语言，用自己的方式理解了，你会发现很多 题就会变得很简单了！这也就是我们所说的“去专译白找本质”了！ 条件解读第六招：逆向迂回求发散 难度：★★★★ 能力要求：在对条件的理解能力上要求较高 【题目重现】 ： 已知函数 f ( x) ?x2 ? x ? n n ?1 ( x ? R, 且x ? , n ? N * ) 的最大值和最小值分别为 2 x ? x ?1 2an 和 bn ，且 cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ，则 cn ? ________.这是课上一个学生来问的一道题目，是他们学校的练习题，原题是选择题，因为回忆不 起来了，就改成填空题了，那这道题目应该如何处理呢？ 我们先来“去专译白找本质”吧！题中要求一个函数的最大值和最小值，其实，换一个 角度：就是在求这个函数的值域！那问题来了,我们在一轮时学习了七八种求函数值域的方 法：包括：观察、求导、判别式、分离常数、均值，图像、换元等等，应该用哪个呢？这时， 我们不妨先你想考虑一下： 题中，最终要让我们求的是 cn ，而在已知中只给出了： cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ，不妨把它 分解出来，看看能得出什么东西，可以得出： cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ? 1 ? (an ? bn ) ? anbn 。下 面来迁移一下， 在整个高中数学的学习中， 我们在什么地方见过 a ? b 和 ab 呢？韦达定理！ 再发散，在求值域的所有方法中，哪一种方法和韦达定理相关呢？判别式！于是，这道题就 被你突破了！我们来欣赏一下求解过程： 解：? y ?x2 ? x ? n n ?1 ( x ? R, 且x ? , n ? N*) 2 x ? x ?1 2∴关于 x 的方程： ( x 2 ? x ? 1) y ? x 2 ? x ? n 一定有解 化简得： ( y ? 1) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? n ? 0 ……………………① 当 y ? 1时，得出： x ?n ?1 （矛盾） ，∴ y ? 1 。 22∴二次方程①要想有解，则： ? ? ( y ? 1) ? 4( y ? 1)( y ? n) ? 0 化简得： 3 y ? 2(2n ? 3) y ? 4n ? 1 ? 0 ……………………②2由题意可知：②式的结果必为 an ? y ? bn ，即可得出：2(2 n ? 3) 4n ? 1 ， anbn ? 3 3 4n ? 6 4n ? 1 4 而 cn ? (1 ? an )(1 ? bn ) ? 1 ? (an ? bn ) ? anbn ? 1 ? ? ?? 。 3 3 3 an ? bn ?题目解出来了，下面我们来反思一下整个解题的过程：我们先用了“去专译白 ”把最值 ．．．． 的问题转化为函数的值域， 再用 “逆向迂回 ” 反求 cn ， 再做 “知识点迁移 ” ， 最后“发散 ” 。 ．．．． ．．．．． ． ．． ． 其实，很多时候我们解决问题都是这个样子的。在高考仅剩的这几十天里，我们不可能 像一轮那样在对每一个知识点进行系统的复习了，但是在能力和技巧方面，还是有很大的 空间可以去突破！所以我建议：同学们在做大量练习的同时，不妨对卷面上出现的所有的 新题型都这样的一个这样的“逻辑梳理”，反思自己做过的每一道题目，这是短时期内提 升能力的一个非常好的做法!按照惯例，我们还是留一道思考题吧！ （师大附 周练题） 数列 an 为等比数列， S n 为 an 的前 n 项和，已知： a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) ? 8 ，a12 ? a32 ? a52 ? (a2 2 ? a4 2 ) ? 12 ，则： S5 ? _______.你做出来了吗？其实，这道题目难度也不是很大，方法也有很多，我这里列举两种跟咱 们条件解读里有关的方法，一起欣赏一下！ 方法一：逆向迂回求发散！ 题中给的条件中， 有： 而最终要求的是： a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) ， a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) ， 而还知道： a12 ? a32 ? a5 2 ? (a2 2 ? a4 2 ) ，很容易就想到了平方差公式：8S5 ? [a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 )][a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 )] ? (a1 ? a3 ? a5 ) 2 ? (a2 ? a4 ) 2 ? a12 ? a32 ? a5 2 ? 2a1a3 ? 2a1a5 ? 2a3a5 ? a2 2 ? a4 2 ? 2a2 a4 ? a12 ? a32 ? a5 2 ? 2a2 2 ? 2a32 ? 2a4 2 ? a2 2 ? a4 2 ? 2a32 ? a12 ? a32 ? a5 2 ? a2 2 ? a4 2 ? 12可以得出： S5 ?3 。 2方法二：火眼金睛辨真伪 题中给出数列 an 为等比数列，我们不妨设数列 an 的公比为 q ，那么在这个已知的前提 下：a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) 是什么呢？它其实就是一个以 a1 为首项， 以 ? q 为公比的等比数 列的前 5 项之和，可以得出：a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 ) ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?2 2 2 2 2 同理，再来辨别一下 a1 ? a3 ? a5 ? (a2 ? a4 )a1 (1 ? q5 ) ?8 1? q2它其实就是一个以 a1 为首项，以 q 为公 ，2比的等比数列的前 5 项之和，可以得出：a12 ? a32 ? a52 ? (a2 2 ? a4 2 ) ?a12 (1 ? q10 ) a12 (1 ? q 5 )(1 ? q 5 ) a1 (1 ? q 5 ) ? ? 8 ? 8S5 ? 12 1 ? q2 (1 ? q)(1 ? q) 1? q可以得出：S5 ?3 。 2高考数学创新题的必杀技之对应关系篇崔梦迪硬说数学科学无美可言的人是错误的。因为美的主要形式是秩序、匀称与 明确。 ――亚里士多德在前几篇文章中， 咱们谈到了高考数学创新题的思维迁移和条件解读技巧， 其实还有一 些创新题是“新”在了对应上！近几年， “对应关系”在北京的考题上，也是屡见不鲜：例 如 2009 北京卷的压轴题的第二问，在证明的过程中，所用的思路就是等式左右的式子是一 一对应关系的；而 2010 年北京卷压轴题的最后一问，则是巧妙地运用了多个是数组距离的 不同的对应方法。所以在备战高考的过程中，对于创新题中对应关系的把握是非常重要的！ 深悟浅挖，发现是关键！ 在考场上，对于对应关系的把握，难点不在于挖掘，而在于发现！很多时候，我们解 不出对应关系的题目的原因都是： 对题目中的某些条件把握不够到位， 导致我们想不到对应 关系， 所以对于一些敏感的字眼和能够产生的一一对应关系的知识点一定要重视起来， 比如： 单调，整数，排序、集合元素的互异性等等。一旦发现了对应关系，很多题目立刻就会解 决，下面还是看几道题目，来感觉一下吧！ 第一种题型：一一对应 难度：★★★ 能力要求：关键在于条件解读，通过条件，发现对应！ 【题目重现】 ： 对于任意的 x ? N * 都有 f ( x) ? N ,且 f ( x) 满足：f (n ? 1) ? f (n) ，f ( f (n)) ? 3n .*求：f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? f (7) ? f (8) ? f (9) ? f (10) ? _________.这也是课上朝阳学生问的一道题目。我们来一起分析一下：题中给出了两个条件：f ( n ? 1) ? f (n)和 f ( f (n)) ? 3n ，其中能输出 f ( x) 的取值的是第二个，我们先来研究一下： 因为 x ? N * ，我们先来蒙一下 f (1) ：若 f (1) ? 1 ，则 f ( f ( 1 )) ? f( 1 ) 3 ? ，显然矛盾； 若 f (1) ? 2 ， 则 f (f 1 ( )( 2 ? )f 3符合； 若 f (1) ? m(m ? 3) ， 则：f ( f (1)) ? f (m) ? 3 ， ? ，这与 f (n ? 1) ? f (n) 矛盾，得出 f (1) ? 2 。 当我们知道了 f (1) ? 2 后，紧跟着，一堆值都出来了：f (1) ? 2 f ( f (1)) ? f (2) ? 3 f ( f (2)) ? f (3) ? 6 f ( f (3)) ? f (6) ? 9 f ( f (6)) ? f (9) ? 18问题来了，上面的推导过程中，从 f (3) 直接过渡到了 f (6) ，那么 f (4) 和 f (5) 怎么 处理呢？“穷途末路时，莫忘看已知”,再读一遍题，发现： f ( x) ? N * 这个条件，还没用， 加上 f (n ? 1) ? f (n)（这个函数严格单调） ， 发现： 原来这里隐藏了一个 “一一对应” 关系！ 因为已经得出： f (3) ? 6 和 f (6) ? 9 ，不难推出： f (4) ? 7 ， f (5) ? 8 ，进而可以推出：f ( f (4)) ? f (7) ? 12、f ( f (5)) ? f (8) ? 15现在就缺 f (10) 了，你可以试试能不能推出来？ 其实，如果我们如果真的搞懂了 f (4) 和 f (5) 的推导过程， f (10) 就很简单了，这里也 是一个 “一一对应” 关系：因为 f (9) ? 18 ， 而 f( f7 ) (1 2 ( )? f2 1?， 不难得出：f (10) ? 19 ，f (11) ? 20 ，这道题目就解决了！【反思】 ： 在解决这道题目的时候，我们首先用了条件解读中的“先蒙再算抓矛盾” ，得出了 f (1) 的取值，但最关键的一步还是通过条件发现了从 f (3) 到 f (6) 的一 一对应关系，而且最后 在求 f (10) 时，还利用了这个函数的一一对应关系，是一道难得的好题！其实，去年重庆就已经把这道题目搬上了模拟考试的舞台，当时，我记得还有一问，其 中涉及到了 f (3 ) 解析式的问题，其实也是一道很有意思的题目，用到了复合函数的“穿衣 御寒法” 。也就是说，我们在做复合函数的时候，可以来回的套用 f ( x) ，来达到我们的目 的。这里先一起欣赏一下它的解法：n n n n ?1 n ?1 令 an ? f (3 ) ，可以得出： f (an ) ? f ( f (3 )) ? 3 ? 3 ? 3 ，即： f (an ) ? 3 ，n再穿一层“衣服” ，可以得出： f (3n ?1) ? f ( f (an )) ? 3an ? an ?1 ，原来 f (3n ) 就是一个首项n n为 6，公比是 3 的等比数列，得出： f (3 ) ? 2 ? 3 ，很神奇啊！额外奉送：复合函数的常用方法“穿衣御寒” 难度：★★★★ 能力要求：对抽象思维的要求较高，需要有一点构造的感觉 【题目重现】 ： 已知函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域和值域都是 R ,且方程 x ? f [ g ( x)] ? 0 有解,那么函数y ? g[ f ( x)] 不可能为1 2 A. y? x ? x? 5 1 yB ?2 . x ? x? 5()1 y?2 x ?C . D . 51 2 y? x? 5以上是一轮复习时，交大附的一道月考题，有了上一道题做铺垫，你知道这道题怎么做 了吗？ 题中给出的条件是： x ? f [ g ( x)] ? 0 有解，而问的问题是 g[ f ( x)] 。那问题来了：怎 么能将 f [ g ( x)] 转化成 g[ f ( x)] 成了问题的关键，而这正是我们“穿衣御寒法”专门用来解 决的问题！ 因为： x ? f [ g ( x)] ? 0 有解，可以得出： x ? f [ g ( x)] 有解，再穿一层“衣服” ，左右 同时取 g ( x) ，可以得出： g ( x) ? g{ f [ g ( x)]} ，这时有点看不清楚，不妨设： g ( x) ? t ， 得出： t ? g[ f (t )] ！原来，题中就是看 x ? g[ f ( x)] 有没有解的问题，答案就出来了。 【选：B】 多么漂亮的两道题目啊！ 就像引言中亚里士多德所说那样， 数学真的是一个非常美的学 科！ 在冲刺高考的最紧张的时刻， 有这么美妙的数学陪伴着我们， 是多么幸福的一件事情呀！ 在上面解答的过程中，我们还发现：对于技巧和方法的总结远大于做题本身！这句话我们 从高一说到高三，但现在面对这繁杂的题目，你是不是每天都有静下心的时刻去思考你做 过的题目呢?第二种题型：多对一对应 难度：★★★★ 能力要求：关键在于条件解读，通过条件，发现对应！【题目重现】 ： （2009 西城模拟） 函数 f ( x) 的定义域为 D，若对于任意 x1 , x2 ? D ，当 x1 ? x2 时都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数。设函数 f ( x) 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条 件 ： ① f ( 0 )? 0； ② f ( ) ? （ ） A．x 31 1 1 f ( x )； ③ f (1? x ) ? 1? f (x ， ) 则 f ( ) ? f ( ) 等于 3 8 2 1 2C ．1 D．3 4B．2 3以上是前年西城一模的选择题最后一道，我们来看看这道题该怎么做呢？题中让我们1 1 1 f ( x) ，不难得出： f ( ) ? f (1) ， 3 2 2 1 1 而在条件③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) 环境下， 令 x ? 1， 不难得出： f (1) ? 1 ， 得出： f ( ) ? 。 3 2 1 那 f ( ) 的结果是什么呢？ 8求解 f ( ) ，不难发现，条件②是关键！由 f ( ) ?1 3x 3这显然是这道题的一个难点！题中给出了“非减函数”的概念该怎么用呢？下面让我们1 ， 不难得出： 2 1 1 1 1 f ( ) ? ，原来这里也有一个对应关系，这不过这次变成了多对一了：因为 f ( ) ? ， 2 2 3 2 1 1 1 1 f ( ) ? ，而函数 f ( x) 在[0，1]上为非减函数，可以得出：对于任意的 x ? [ , ] ，都有： 2 2 3 2 1 1 1 1 f ( x) ? 。现在的问题就变成了：只要能把 变到区间 [ , ] 里，答案就出来了！最终， 2 8 3 2 1 1 3 1 1 1 1 1 3 我们可以得出： f ( ) ? f ( ) ? ? ? ，可以得出： f ( ) ? f ( ) ? 。 8 2 8 2 2 4 3 8 4思维迁移一下:从 f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) 等式中， 我们还能得出什么呢？令 x ? 【选：A】下面，我们来反思一下，其实，西城的这道题目难度并不大，但通过这道题，我们就 可以总结出一个非常有用的结论：当下次我们再见到 f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ，不仅能得出：1 1 f (1) ? 1 ，更重要的是：我们还能得出： f ( ) ? ，这是为什么呢？ 2 2其实， 继续深入一步， 我们再做一个知识点迁移， 咱们以前见过 f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) 这 个式子吗？我们对它稍微处理一下，可以得出： f ( x) ? 1 ? f (1 ? x) ，这不就是我们平时见 到的点对称的定义式吗？原来函数 f ( x) 的整个图像都是关于点 ( , ) 对称的，那么 f ( ) 必然就等于1 1 2 21 21 了，很神奇！ 2好了， 今天就说到这吧， 有时间可以做一下咱们刚开始提到的 2009 年和 2010 年的北京卷的压轴题，看看它们的对应关系你能不能找出来呢？高考数学创新题的必杀技之高次方程篇崔梦迪.“可能”问“不可能”：“你住在什么地方呢？”它回答道：“在那无能为力者的梦 ――泰戈尔境里。”随着新课标的不断推进， 高考对考生能力和知识运用的考察也在不断地加深。 而高次方 程以它独有的魅力，在高考的创新题中出现的频率也越来越多。对于高次方程的处理，我们 已经不能单纯的认知在求导上了，数形结合法，整式除法等等很多方法，都应该列入我们 训练的范畴了！下面咱们就通过几道题目来训练一下高次方程的处理办法吧！ 高次方程必杀技第一招：数形结合话高次； 难度：★★★★ 能力要求：对方程的变形极为重要！ 【题目重现】 ： （重庆南开中学 4 月月考） 设函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0), 且方程 f ( x) ? 0 的根都在区间 [0,4] 上，那么使方程4f ( x) ? 1 有正整数解的实数 a 的取值个数为A.2 B.3 C.4 D.无穷个()以上是重庆南开中学四月月考的选择题最后一道， 这道题应该怎么处理呢？我们不妨做 一个题目迁移: 我们以前做过类似的题目吗？看到题干中的 x 4 有没有似曾相识的感觉呢？ 对了，2008 年上海卷填空题最后一道！ 【题目迁移】 ： （2008 上海） 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ?21 的图像交点的横 x坐 标 . 若 方 程 x4 ? ax ? 4 ? 0 的 各 个 实 根 x1 , x2 , ???, xk (k ? 4) 所 对 应 的 点 ? ? xi ,? ?4? ?， x1 ? ?(i ? 1, 2, ???, k ) 均在直线 y ? x 的同侧，则实数 a 的取值范围是.2008 年上海卷的这道题目，应该是给我们用数形结合做高次方程题做了一个很好的铺垫：题目中方程 x4 ? ax ? 4 ? 0 可以看成是函数 f ( x) ? x3 ? a 和函数 g ( x) ? 的横坐标！而题目中，最后要让所有符合条件的 ? ? xi ,4 的图像焦点 x? ?4? ? 都在 y ? x 的同侧，通过图像，我 x1 ? ?4 的交点处就是这道题目的 x们可以看出当将 f ( x) ? x3 向上或向下平移至 y ? x 和 g ( x) ? 临界条件：通过观察图像， 可以看出： 当函数 f ( x) ? x ? a 过点 (?2, ?2) 时， 若要保证点 ? ? xi ,3? ?4? ? x1 ? ?3 都在 y ? x 的同侧，参数 a 取到了正向最小值 6；当函数 f ( x) ? x ? a 过点 (2, 2) 时，若要保证点 ? ? xi ,? ?4? ? 都在 y ? x 的同侧，参数 a 则取到了负向最大值-6；即可得出 a 的取值范围 x1 ? ?是： (??, ?6) ? (6, ??) 。好，下面让我们跳转回来，看看南开中学的这道题目：题中说 x 4 ? ax ? 0 的根都在区 间 [0,4] 上，先把 x 提出来： x( x ? a) ? 0 ，不难得出 x3 ? a ? 0 的根应该在区间 (0, 4] 上，3进而可以得出 a 的取值范围是： 0 ? a ? 64 。 而方程 x 4 ? ax ? 1 显然不能提取 x 了，但是由上海的那道题目得到启示：我们可以把 等式的左右同除以 x ，研究函数 f ( x) ? x ? a 和函数 g ( x) ?31 的交点的横坐标！因为 a 的 x取值范围已经确定下来了，由图像不难发现，在 a 取 0 时，方程 x 4 ? ax ? 1 可以取到最小的根；当 a 取到 64 时，方程 x 4 ? ax ? 1 可以取到最大的根；又因为 a 不能取 0，不难得出， 方程 x 4 ? ax ? 1 的正整数根只能取到 2,3, 4 。【答 B】 通过上面两道题目的对比， 我们发现思维迁移能力的培养是多么重要呀！ 所以在高考的 最后冲刺阶段， 每天一定要给自己一个反思的时间， 把一天做过题目， 在脑子里整理一下， 一定要让平时的训练在考场上真的起到作用！ 【再来一道】 ： （2008 年 江苏）f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x ?[?1,1] 总有 f ( x) ? 0 成立，则 a ? ____________.这是 2008 年江苏卷的一道题目，当然我们当然可以用恒成立的必杀技： “分离常数” 来处理，但它可以不可以用数形结合做呢？我们来分析一下： 首先， 若要在区间 x ?[?1,1] 上总有 f ( x) ? 0 ， 则在两个端点 ?1 和1 上必有 f ( x) ? 0 ， 即 可 得 出 ： a ?[2, 4] 。 那 怎 么 能 保 证 在 区 间 (?1,1) 上 函 数 f ( x )? 0呢 ？ 先 对ax3 ? 3x ? 1 ? 0 ，进行变形： ax3 ? 3x ? 1 ，我们不妨用图像来观察一下：因为函数 g ( x) ? ax3 在 a ?[2, 4] 时，在区间 (?1,0] 上是上凸的，所以在区间 (?1,0] 上 必有 ax3 ? 3x ? 1 ； 而在区间 (0,1) 上， 因为 g ( x) ? ax3 变成了下凸的， 为了保证在 (0,1) 上，ax3 ? 3x ? 1 ，这时只需要使得当 g ( x) ? ax3 的切线的斜率为 3 时的函数取值比 3x ? 1 就可以了！由 g '( x) ? 3ax 2 ? 3 ， 可知：x ? 结合 a ?[2, 4] ，可知： a ? 4 。1 1 3 1 。 此时， 令 a( 可以得出：a ? 4 ， ) ?3 ?1 ， a a a高次方程必杀技第二招：整式除法妙求解； 难度：★★★ 能力要求：对整式除法要有一定的了解！ 【题目重现】 ： （杭州二模） 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 ， x ? R ， A ? {x t ? x ? t ? 1} ， B ? {x 集合 A ? B 只含有一个元素，则实数 t 的取值范围是： A．f ( x) ? 1} ，（ ）?0,3 ?1?B. [0, 3 ?1]C. (0, 3 ?1]D. (0, 3 ?1)以上是杭州第二次质检的一道题目，题目难度不是很大。题目的关键在于对不等式f ( x ) ? 1的化解。由 f ( x) ? 1 可以得出 x3 ? 3x ? 1 ? 1 或 x3 ? 3x ? 1 ? ?1 ，第一个比较好求解，由穿线法可以得出： x ? [? 3, 0] ? [ 3, ??) 。可问题是,不等式 x3 ? 3x ? 1 ? ?1 怎 么求解呢？ 这里需要先提出一个技巧：高考在对高次方程考察的时候，如果涉及到高次方程的求 解，一般的有一个根是很容易看出来的，然后用整式的除法即可得出整个式子的结果！在 此题中，要求不等式 x3 ? 3x ? 1 ? ?1 的解，我们需要先求出方程 x3 ? 3x ? 1 ? ?1 ，即：x3 ? 3x ? 2 ? 0 的解。很容易发现 x ? 1 即是它的一个解，换句话说：也就是 x3 ? 3x ? 2 分解因式后必然有 x ? 1 这一项，这时候，我们狂凑 x ? 1 就可以了，因为有 x3 只需凑出 x 2 ， 答案就出来了：x3 ? 3x ? 2 ? x3 ? x 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ? x 2 ( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 1)( x 2 ? x ? 2) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 2) ? 0进而得出： x ?[??, ?2] ? {1} ，然后和第一个结果求并集，在数轴上表示可以得出：当 t ? 0 且 t ? 1 ? 3 时，集合 A ? B 只有一个根 1，即： t ? (0, 3 ? 1) 。 【答案：D】 当然除了数形结合和整式除法，高次方程的解决办法还有很多，还需要大家在最后的 冲刺中，多积累，多总结。只要有一颗相信的心，这个世界上没有什么不可能的事情，最后 咱们还是来欣赏一道高次方程的“牛题”吧！ 【 “牛”题赏析】 ： 已知实数 x, y 满足： (3x ? y) ? x ? 4 x ? y ? 0 ，则 4 x ? y 的值是____________.5 5你做出来了吗？看起来很夸张的一道题目，但是题中最讨厌的两个五次方却给我们解 题带来了很大的帮助！最神奇的是方程中的 4 x ? y 和前面五次方下的 3x ? y 在形式上也有 说不尽的相似！只要把 4 x ? y 拆成 3x ? y ? x 答案是不是就出来了呢？ 把 (3x ? y) ? x ? 4 x ? y ? 0 变形得到： (3x ? y) ? 3x ? y ? ?( x ? x) ，等式左右的5 5 5 5形式有什么不同呢？现在最讨厌的变成了那个诡异的负号！ 但这对我们而言， 已经不是难点 了，放进去不就可以了吗？也就是得到了： (3x ? y) ? 3x ? y ? (? x) ? (? x) 。因为函数5 5f (t ) ? t 5 ? t 在 R 上是单调增函数，不难得出： 3x ? y ? ? x ，即 4 x ? y ? 0 。高考最后冲刺之神奇的题型变化（一）崔梦迪 吾日三省吾身：为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？ ----- 曾子 二模临近，学校发的试题越来越多了，每次上课时，看着大家拿的那一堆堆的卷子，总 有一种说不出的感觉。但什么事情都有两面性，面对这么多的试题，应该如何把握，如何 取舍，就成了问题的关键！很多学生都疲于应付这些试题，导致每天的时间飞速流逝，不知 不觉就被“高考”了。 所以在这里，我建议大家每天一定要抽出一定的时间对做过的题目，进行一个反思和 总结，时间不需要花太多，但是心一定要静下来，有计划的把以前做过的卷子看一看，尤其 是错题和创新题，要反复阅读题目，错题一定要找到“错”的原因，力争下次不犯同样的 错误，创新题一定要知道“新”在什么地方，努力把它转化成一种能力。 另外，对于应试技巧的训练也要提上日程，其实看每一年对高考失分原因的分析，可 以发现：考生因非知识性因素失分现象是最严重的！所以，现在在做套卷的时候，一定要 把握好时间，要把时间的掌控细分到每道题目上；解答题在书写上一定要规范，适当的文 字表述一定要有！ 不要认为平时不训练考场上一认真写就能写出来， 很多同学都吃过这个亏， 引用一句时髦语： “出来混总是要还的” ，现在的任何一个对细节的疏漏，都会在高考考场上 被无限的放大，所以细节决定成败，一定要把握好！ 下面步入正题，从今天开始，我会再出一个系列，主要讲解高考题的题型变化。每一篇 文章都会从一道高考题出发， 看看它是如何演变， 如何变形的， 进而把它升华为一种能力。 其实，这也是崔老师反思的过程，一起共勉吧，呵呵！ 【题型重现】 ： （2003 天津） 已知 O 是平面上一 定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足??? ? ??? ? ??? ? AB ? ? OP ? OA? ? ( ??? | AB |A．外心???? AC ???? ) ? ? ? [0,?? ). 则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的 | AC |B．内心 C．重心（）D．垂心以上这是 2003 年天津卷的选择题第 4 道， 我想大家看到以后并不陌生吧！ 题目 不是很难，但在对这道题目求解的过程中，我们曾经发现过一个不是秘密的秘密： ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? AB AB AC ??? ? 原来是一个单位向量！也就是说，题中 ??? ? ? ???? 原来就是 AB 和 AC 方向 | AB | | AB | | AC |上的单位向量相加，其结果必然在 ?BAC 的角平分线上。由图像不难得出：点 P 必 然在△ ABC 的 ?BAC 角平分线上，即必过三角形的内心！【答案：B】题目做完了，我们来总结一下：通过这道题目我们可以得出两个结论：一个就 ? ??? ? ???? ? a AB AC ? ? ???? 所表达的含义 是 ? 所表达的含义： a 方向上的单位向量；第二个就是 ??? | AB | | AC | a 是 ?BAC 的角平分线上的向量。第一个很多同学都知道，但其实第二个也很重要！ 它给我们提供了一种解决角平分线的方法： 比如 2010 年安徽卷的圆锥曲线题的第二 问要我们求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线的方程，我们可以利用这个结论先求出直线的斜率，再代入 A 点坐标求直线！下面再让我们看看这道题的神奇变化吧！【题型变化】 ：??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC ? 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ OP ? OA? ? ( ??? ? ???? )? ? ? [0, ?? ). | AB | cosB | AC | cos CA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心已知 O 是平面上一 定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ）??? ? AB ? 的分母上 这道题目和 2003 年的天津卷的题真是如出一辙啊，但不同的是 ??? | AB |加了一个 cos B ，这会发生什么变化呢？??? ? ???? AB AC ? 反思 2003 年的那道题目的整个过程，我们可以知道 ??? 应该是 ? ???? | AB | cos B | AC | cos C一个向量，而最终点 P 的轨迹主要是取决于这个向量的特点！同志们，这就是反思 的功效！ 我们继续往下走， 那这个向量有什么特点呢？关键是底下的 cos B 和 cos C ， 那么向量的哪一个公式中会出现余弦值呢？余弦定理？显然不靠谱！还有向量点乘？??? ? ??? ? ???? 这就对了！只要把向量 AB 和 AC 都点乘 BC ， cos B 和 cos C 自然就出来了：??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC AB ? BC AC ? BC ? ? ( ??? ? ???? ) ? BC ? ??? ? ???? | AB | cos B | AC | cos C | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ???? ??? ? | AB | ? | BC | ? cos(? ? B ) | AC | ? | BC | ? cos C ??? ? ???? ? ? | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ? ? | BC | ? | BC | ?0??? ? ???? AB AC ? 原来， ??? 所求出来的向量是和底边 BC 垂直的,也就是说， ? ???? | AB | cos B | AC | cos C点 P 必然在△ ABC 的 BC 边的高上，即必然要过三角形的垂心。【答案：D】很神奇呀，原来一个 cos ? 就能使题目发生翻天覆地的变化！这还不是更神奇的，我们能不能把 cos ? 变成 sin ? 呢？【题型再变化】 ： 已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? )， 则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 （ ） ? ? (0, ??) ， ? AB sin B AC sin C A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心??? ? ???? AB AC ? ???? 这时候，我们的速度应该很快了：主要研究的对象应该是 ??? 所 ? AB sin B AC sin C太神奇了， 当把 cos ? 变成 sin ? 了， 也能做出结果吗？这就是数学的神奇魅力啊！??? ? 加出来的向量的特点 ! 而重点要突破的是分母中的 sin B 和 sin C ，那 AB sin B 和??? ? ???? AB AC ??? ? ? ，原 AC sin C 究竟有什么特点呢？正弦定理！由正弦定理可以得出： sin C sin B ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 来： AB sin B 和 AC sin C 是相等的！不妨设 AB sin B ? AC sin C ? ? ，原来：??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ???? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ) ? OA ? ( AB ? AC ) ? ? AB sin B AC sin C哈哈，这时的点 P 竟然跑到了△ ABC 的 BC 边的中线上，即必然要过三角形的重心。【答案：C】同志们， 数学真的是一个很美的学科！ 而反思的过程真的是能使我们的思维得到进一步 的升华，换句更狠的话说：要想让我们平时的训练在考场上真的得到应用，一定要反思。 咱们把曾子的话改成一个数学版本的： 吾日三省吾数学：为题谋而不省乎？与卷做而不思乎？学不习乎？ ---- 佚名 好了，同学们，发完感叹，让我们再做一道 4 月份刚考的浙江六校的题目，看看这道题 目又是怎么拿捏的：【思维升华】 ：（浙江六校 4 月联考） 已知 O 是锐角 ?ABC 的外接圆圆心， ?A ? ? ，若 则 m ? ________ 。 （用 ? 表示） 。? cos C ???? ???? cos B ??? AB ? AC ? 2mAO ， sin C sin B当然在考场上，这道题目完全可以把三角形任意成等边或等腰直角三角形，用“任我 意”很容易就能得出： m ? sin ? 。但是，它的官方解法其实更加美妙！我们来欣赏一下： 题目的关键是对等式：? cos C ???? ???? cos B ??? AB ? AC ? 2mAO 的处理。而且直觉告诉我们： sin C sin B它和 2003 年天津卷的拿到题目似乎也有着惊人的联系！因为题中已经给出了外接圆，我们 不妨先用正弦定理把分母的 sin B 和 sin C 换掉，看看能得出什么？? cos C ???? ???? cos B ??? AB ? AC ? 2m AO sin C sin B ??? ? ???? cos B cos C ???? ? ??? ? AB ? ???? AC ? 2m AO AB AC 2R ??? ? ???? ???? AB AC ? 2 R cos B ??? ? ? 2 R cos C ???? ? 2m AO AB AC ??? ? ???? ???? AB AC ? R cos B ??? ? ? R cos C ???? ? m AO AB AC 2R???? 现在最讨厌的应该是那个 R 了，而 AO 的模不正是这个外接圆的半径 R 吗？难道又是一个单位向量？于是想到等式的左右可以同时除以 R ，得到： ??? ? ???? ???? AB AC AO cos B ??? ? ? cos C ???? ? m R AB AC? ? ? ???? ? ???? 即： cos B ? e ??? AB ? cos C ? e AC ? m ? e AO那下面的问题就是怎么能把这三个单位向量干掉了！首先想到了平方，出现了 m2 ，? 不爽！还能怎么做呢？左右同时乘以 e ???? AO ，单位向量的乘积会变成夹角的余弦值！可以得出：cos B ? cos ? ? cos C ? cos ? ? m接下来就应该是这道题目最神奇的地方了： 三角形 ABC 中 ?B 、?C 和 ?、?之间有什么联系呢？在下图中， 不难得出： ? ? ? ?? ? 即可知道： cos B ? cos( 原来：?2， 原来： ?B ? ? ? ? ??2?? ，?? ? ) ? sin ? ，同理： cos C ? cos( ? ? ) ? sin ? 。 2 2?m ? cos B ? cos ? ? cos C ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? 。高考数学最后冲刺之压轴题训练（一）崔梦迪当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时 便想，是否可以将问题化简些呢？往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一 个更简单的问题。 ――希尔伯特最近很多同学都问到了对高考压轴题的处理的问题， 那我们今天就通过几道压轴题来就 一起看看对于高考压轴题的处理吧！ 量力而行选作勿痴迷！ 首先， 北京的数学高考压轴题和外省市的不太一样， 它会稍微涉及到一些高等数学的范 畴，题目多为研究数集和数组的一些特点，比较新颖，有一点偏竞赛，其更多的考察了学生 临场学习能力、思维能力和语言转化能力，所以，在最后的冲刺中，一定要多找类似的题 目去做，而且在做的过程中，不要提前看答案，一定要先以自己的理解把题目想明白，找 到困扰自己的症结所在，而且一定要把自己的想法写出来，然后和答案做对比，看看差在 什么地方，使得自己做的每一道题都能使自己得到提升。 但是，也正是由于北京的题目有点偏竞赛，所以，在高考的考场上一定要要量力而行， 千万不要痴迷，要不然就得不偿失了！ 压轴必杀第一步：一定要想明白！ 因为近几年北京的高考多是在研究一些数集和数组的特点， 所以， 在读题的时候一定要 通过我们所学的知识把题目转成为我们所能理解的语言，也就是要把题目想明白！ 以 2010 年的压轴题为例，题中给出了一个集合：Sn ? ? X X ? ( x1 , x2 , ???, xn ), xi ??0,1? , i ? 1, 2,3, ???, n?先研究第一个问题：既然 S n 是一个集合，那么首先的思考这个集合的元素 X ，发现它是一 个数组 ( x1 , x2 , ???, xn ) ，那么对于集合 S n ，咱们还能研究它的什么呢？很自然的就想到了它 的元素的个数，集合 S n 有多少个元素呢？很多同学就是因为这一点没有想明白，就导致第 三问没有做出来。 因为数组中的每一项都不是 0 就是1 ， 所以集合 S n 的元素的个数为 2 个。 我们继续往下读题， 题中又给出了两个数组：A ? (a1 , a2 , ???, an ) 和 B ? (b1 , b2 , ???, bn ) ， 定义了它们的距离： d ( A, B ) ?n? a ?bi ?1 ini，那我们来思考一下：这个距离是什么呢？它是把两个数组的所有对应项作差，并求绝对值，然后再求和。因为对于集合 S n 的数组的每一 项不是 0 就是1 ，那么 A、B 两个数组的所有对应项作差不是 0 ，就是 ?1 ，再取绝对值，则 不是 0 就是1 ，而 0 是不会对最终的求和有影响，你现在知道在 S n 下，数组 A、B 的距离代 表的是什么了吗？就是两个数组对应位置上的数不同的项的个数！ 同志们，现在你在看看 2010 年北京的压轴题，觉得还难吗？所以，在做北京压轴题的时候，在动笔之前，一定要先要把题目想明白，有的时候如何直接理解很困难，可以先看 一下题目的第一问，一般如果题目难理解，第一问都是帮我们理解题意的。 压轴必杀第二步：语言转换要做好! 当我们把题目想明白的时候， 接着要突破的就是语言转换了， 因为高考的每一种题型都 有自己独特的语言，所以，在考场上，尽量不要出现大白话，那就不能体现出数学的美感 了。那怎么进行语言转换呢？一个非常简单的思路就是抄题：先把问题中的所有元素，用 已知中的给出的定义进行转换，在加上我们思考过的一些想法，语言转换就迎刃而解了。 下面还是以 2010 年北京高考压轴题为例，欣赏一下抄题转换的美感吧！我们来看看第 一问： 试证明： ?A, B, C ? Sn ，有 A ? B ? Sn ，且 d ( A ? C , B ? C ) ? d ( A, B) ； 其实，如果我们把这道题想明白了，这一问就已经很简单了，尤其后面那个距离相等， 因为距离就是指 A、B 两个数组对应位置上的数不同的项的个数！ 那么， 把两个数组与 C 的 差一引入，只要证明原来不同的对应项现在还不同，答案就出来了。下面我们来转化一下语 言吧，先把 ?A, B, C ? Sn ，转化一下： ∵ A, B, C ? Sn ， ∴令： A ? (a1 , a2 , ???, an )B ? (b1 , b2 , ???, bn ) C ? (c1 , c2 , ???, cn )其中： A ? B ? ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , ???, an ? bn )A ? C ? ( a1 ? c1 , a2 ? c2 , ???, an ? cn ) B ? C ? ( b1 ? c1 , b2 ? c2 , ???, bn ? cn )看起来很专业的步骤，其实就是把题抄了一遍，接着要证明： A ? B ? Sn 就很简单了，只要 能证明 ai ? bi 不是 0 就是1 ，就可以了，而要证明 d ( A ? C , B ? C ) ? d ( A, B) ，最关键的是要 把 A ? C 和 B ? C 中的 ci 去掉，讨论一下 ci 就可以了！ 所以在做压轴题的时候，想让自己的步骤专业起来，很简单：就是抄题，把问题中的 所有信息，全转换成已知，就 OK 了！ 压轴必杀第三步：不要小看选择填空最后一道！ 通过前面的讲解，你会发现：只要把压轴题的已知想明白了，加上平时对语言转换的训 练，拿下压轴题就不是什么难事了!但问题来了，怎么能把压轴题“想明白”呢? 这里我想 说的是不要忽视平时训练中，选择填空的最后一道题目，它们是训练我们的思维能力的最 好的题型。 而且很多时候， 高考压轴题都是把选择填空的最后一道题目放到一另一个环境或 情景中进行考察的。 比如海淀的一模压轴题， 就是把以前的一道很经典的填空题放在了另一 个环境中来考察； 刚考完的海淀的二模压轴题就是把最近在外省市比较流行的一道分形几 何的填空题放在在数列的环境下考的。 所以，如果找不到类似于北京压轴题的题目，去做一做外省市的选择填空的最后一道，也不失为一种练习压轴题的好方法。 下面咱们还是来分析几道类似于北京的压轴题，看看在实际中我们是怎么拿捏的吧！ 【题目重现】 ： （2011 盐城二调 改编自 2009 年北京市高考）已知数列 ?an ? 单调递增 , 且各项非负 . 对于正整数 K , 若任意的 i, j (1 ? i ? j ? K ) ,a j ? ai 仍是 ?an ? 中的项,则称数列 ?an ? 为“ K 项可减数列”.(Ⅰ)已知数列 ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,且数列 ?bn ? 2? 是“ K 项可减数列”, 试确定 K 的最大值. (Ⅱ)求证:若数列 ?an ? 是“ K 项可减数列”,则其前 n 项的和 Sn ?(Ⅲ)已知 ?an ? 是各项非负的递增数列,写出(Ⅱ)的逆命题, 判断该逆命题的真假,并说明理 由. 这道题是 4 月份刚考过的盐城二调的题目，因为不是压轴题，题目不是很难。因为北京 的 2007 年和 2009 年压轴题考察的都是数集的封闭性，所以这道题对于我们北京的考生而 言，并不陌生。我们先来回忆一下 2009 年北京的压轴题吧！ 【母题回顾】 ： 已 知 数 集 A ? {a1 ,a 2 ? , an } ( ?1a 1? a ? , 2 ? an n ?n an (n ? 1, 2, ???, K ) . 2具 有性质 P ；对任意的 2)i, j (1 ? i ? j ? n) ， ai a j 与两数中至少有一个属于 A 。 ai （Ⅰ）分别判断数集 {1,3, 4} 与 {1, 2,3,6} 是否具有性质 P ，并说明理由； （Ⅱ）证明： a1 ? 1 ，且aja1 ? a2 ? ? ? an ? ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? anw. w. w .k.s.5.u.c.o.m（Ⅲ）证明：当 n ? 5 时， a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列。我想这道题大家应该并不陌生， 它是 2009 年北京卷压轴题， 题目中给出了定序的两项 ai 和 a j ，若其乘积或做商也在数集中，则说明其具有性质 P ，考察了数集对乘除的封闭性。 第一问比较简单，很容易能判断出数集 {1,3, 4} 不具有性质 P ，但是数集 {1, 2,3,6} 具有性质P 。但在做第 1 小问时，我们发现：因为数集是单调递增的，所以在判断数集的最大项时，只需要做除法！这正是这道题后几问的解题关键！ 现在来看一下第二问：怎么证明 a1 ? 1 呢？一定要研究这个数列的最大项！结合数集的 单调性，答案就出来了（要注意语言的转换） ：∵数集 A 具有性质 P ， ∴ an ? an 与 又∵ 1 ? a1 ? a2 ? ?an ,(n ? 2) ， ∴an 两数中至少有一个属于 A an∴ an ? an ? an ? A ，an ? 1 ? A ，∴ a1 ? 1 ana1 ? a2 ? ? ? an ? an 的处理。首先还是要研究数集的最大项：只 ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? an下面再看看对于要把分母乘到等式的右边，就会出现一堆an ，答案也就出来了： aian ?A ai∵ an ? ai ? an ? A,(2 ? i ? n) ， ∴又∵an a a a a a ? n ? n ? ??? ? n ? n ? n an an ?1 an ? 2 a3 a2 a1 an a a a ? a1 , n ? a2 , ???, n ? an ?1 , n ? an an an ?1 a2 a1 an an a a ? ? ??? ? n ? n an an ?1 a2 a1∴∴ a1 ? a2 ? ? ? an ??1 ?1 ? an (a1?1 ? a2 ? ? ? an )即：a1 ? a2 ? ? ? an ? an 。 ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? an a5 a a ? a4 , 5 ? a3 , 5 ? a2 ， a2 a3 a4a1 ? 1, 而第三问， 就很简单了， 把第二问的结论用上来发现：不难发现：a a2 a5 a ? ? a2 ，而 a2 ? a4 ? a3 2 ，那么我们只需要证明 4 ? a2 或 3 ? a2 就可以 a1 a4 a3 a2 a4 ? a2 ， a3了， 那么你会选择证哪一个呢？还是要研究数集的最大项！ 因为 a4 较大， 一定是证明 下面我们来看一下语言转化：由（Ⅱ）可知： a1 ? 1,a5 a a ? a4 , 5 ? a3 , 5 ? a2 ， a2 a3 a4即：a2 a5 ? ? a2 ， a2 ? a4 ? a32 ， a1 a4a4 ?A a3∵ a3 ? a4 ? a32 ? a5 ， ∴ a3 ? a4 ? A ， 即：∵ 1?a4 a ? a3 ， ∴ 4 ? a2 a3 a3∴ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列。 那么，下面我们再来看一下盐城二调的这道题目吧，题目中的“ K 项可减数列”其实 就是说， 这个数列的这 K 项对减法是封闭的！ 如果此时还理解不了。 那不妨做一下第一问， 看看会不会有收获。 题中给出了“数列 ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列” ，在草稿纸上写出几项，观察K 的最大值是 2， 一下 ?bn ? 2? 的前三项， 发现第三项就产生了矛盾， 下面看一下语言表述：∵ 数列 ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列， ∴ 数列 ?bn ? 2? 的前三项为： 0, 2, 6 ， ∵ 0 ? 0 ? 0, 2 ? 2 ? 0, 2 ? 0 ? 2 ??bn ? 2? ， 所以数列 ?bn ? 2? 是 “2 项可减数列” 而 6 ? 2 ? 4 ??bn ? 2? ， ∴ K 的最大值是 2. 那么第二问怎么处理呢？从 2009 年的北京高考题中得到启示，我们最起码应该能得出 两种做法！ §方法一：研究数列的最大项,结合数列的单调性，得出结果! ∵ 数列 ?an ? 是“ K 项可减数列”, ∴ aK ? ai ?{an },(1 ? t ? K ) 又 ∵?an ? 单调递增,∴ aK ? aK ? aK ? aK ?1 ? aK ? aK ?2 ? ??? ? aK ? a1 , ∴ aK ? aK ? a1 , aK ? aK ?1 ? a2 , aK ? aK ?2 ? a3 , ???, aK ? a1 ? aK ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? aK ? (aK ? aK ) ? (aK ? aK ?1 ) ? ??? ? (aK ? a1 )? KaK ? (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? aK )即： S K ?K aK ， 2 n an (n ? 1, 2, ???, K ) 2∴有定义可知： Sn ?§方法二：逐项夹逼,结合数列的单调性，得出结果！ ∵ 数列 ?an ? 是“ K 项可减数列”, ∴ aK ? aK ? 0 ?{an } 又 ∵ 又 ∵?an ? 非负且单调递增,∴ a1 ? 0 ， a2 ? 0a3 ? a2 ?{an } ，且 a1 ? a3 ? a2 ? a3 ，∴ a3 ? a2 ? a2 ，即： a3 ? 2a2 同理， a4 ? a2 ?{an } ，且 a2 ? a4 ? a2 ? a4 ，∴ a4 ? a2 ? a3 ，即： a4 ? 3a2 a5 ? a2 ?{an } ，且 a3 ? a5 ? a2 ? a5 ，∴ a5 ? a2 ? a4 ，即： a5 ? 4a2?? 以此类推，可以得出： an ? (n ? 1)a2 ， （ n ?2 , 1 , ??? K ）即： ?an ? 是一个以 0 为首项，以 a2 为公差的等差数列， ∴ Sn ?n an (n ? 1, 2, ???, K ) 2 n 求出数列 {an } 的通项公式， an ， 2下面再看一下第三问，首先我们必须的先写出它的逆定理，这也是一个得分点！写出 来后， 我们会发现： 这是一个很常规的题目只要通过 S n ?答案就出来了，而这也正是咱们在一轮复习中，重点强调的一类通过等差中项证明等差数 列的题型，下面看一下表述： (Ⅱ)的逆命题为:已知数列 ?an ? 为各项非负的递增数列,若其前 n 项 的和满足 Sn ?n an (n ? 1, 2, ???, K ) ,则该数列一定是“ K 项可减数列” 2该逆命题为真命题 ∵ Sn ?n ?1 an ?1 2 n n ?1 两式相减,得 an ? Sn ? Sn ?1 ? an ? an ?1 2 2 整理,得： (n ? 2) an ? ( n ?1) an?1( n ? 2)∴ 当 n ? 2 时,有： S n ?1 ? ∴ 当 n ? 3 时，有： (n ? 3)an?1 ? (n ? 2)an?2 由①+②，可以得出： an ? an?2 ? 2an?1 (n ? 3) 又因为当 n ? 1 时， a1 ? S1 ?n an (1 ? n ? K ) 2?????① ?????②∴ 数列 a1 , a2 , ???, aK 是首项为 0 的递增等差数列，设其公差为 d 得： an ? (n ? 1)d ,(n ? 1, 2, ???, K ) 此时，对于任意的 i, j (1 ? i ? j ? K ) ，有：1 a1 ，即： a1 ? 0 2a j ? ai ? ( j ? i )d ? a j ?i ?1 ?{an }∴ 数列 ?an ? 是“ K 项可减数列” 。 题目解完了，下面我们在反思一下这两道题目，其实难度并不大，只要把题目想明白， 抓住最本质的“研究数集或数列的最大项” ，题目就解决了。但是语言表述一定要练习，一 定要专业，细心地同学会发现，很多的专业的语言都是抄题得到的，呵呵，继续努力吧! 下面，我们再来看看海淀二模的压轴题吧。这道题其实是在分形几何的情境下，设置的 一道题目，今年，在外省市有一道分形几何的选择题很流行，我们先来看一下，这道选择题 怎么处理： 【题目重现】 ： （2011 深圳二调 湖北 4 月联考） 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦? B? 曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)在 20 世纪 70 年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统学科众多领域难题提供了全新的思路。 下图是按照规则：1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点，1 个实心圆点到下一行生 长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点．所形成的一个树形图，则第 11 行的实心圆点的个数 是 ．????第 1 行 ????第 2 行 ????第 3 行 ????第 4 行 ????第 5 行 ????第 6 行这道题目并不难，对于分形几何的题目，解决问题的关键是：找递推关系！本题中给 出了两个递推关系：1 个空心圆点到下一行仅生长出 1 个实心圆点，1 个实心圆点到下一行 生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点． 假设第 k 行还有 ak 个空心圆点， bk 个实心圆点，由题中的变化规则，可以知道：在第k ? 1 行中，应含有 bk 个空心圆点， ak ? bk 个实心圆点，即找到了递推关系： (ak , bk ) ? (bk , ak ? bk ) 利用这个递推关系，题目就解决了： (1,0) ? (0,1) ? (1,1) ? (1, 2) ? (2,3) ? (3,5) ? (5,8) ? (8,13) ? (13, 21) ? (21,34) ? (34,55) 。所以，第 11 行中实点圆点的个数为 55.知道了分型几何题目的处理办法，我们再来看看海淀二模的压轴题，有多麽简单！ 【题目重现】 ： （海淀二模） 对于数列 A：a1，a2， 若满足 ai ??0,1? (i ? 1, 2,3, ???, n) ， 则称数列 A 为 “ 0 ?1 ?，an ， 数列”.定义变换 T ， T 将“ 0 ? 1 数列” A 中原有的每个1 都变成 0,1 ，原有的每个 0 都变成 1, 0 。 例如 A : 1, 0,1 , 则 T ( A) : 0,1,1,0,0,1 。设 A0 是“ 0 ? 1 数列” ，令 Ak ? T ( Ak ?1 ),k ? 1, 2, 3,? ? ?.(Ⅰ) 若数列 A2 :1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1 ，求数列 A 1 , A0 ； (Ⅱ) 若数列 A0 共有 10 项，则数列 A2 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； (Ⅲ)若 A0 为 0，1，记数列 Ak 中连续两项都是 0 的数对个数为 lk ， k ? 1, 2,3, ??? .求 lk 关于 k 的表达式. 这道题显然是分形几何背景下的一道题目，题中给出了两个变换： A 中原有的每个 1 都变成 0，1，原有的每个 0 都变成 1，0。这时候我们也就知道了这道题目的处理办法：找 递推关系！ 先看第一问和第二问，这两问比较简单，第一问是让我们熟悉这个变换的，而第二问深 入研究了一下 A0 和 A2 的关系，都不是很难，我们看一下表述： ∵ 数列 A2 :1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1 由变换 T 的定义可得： A1 : 0,1,1,0,0,1A0 :1,0,1∵ 数列 A0 中的每一个 0 在 A2 中的对应项是: 0,1,1,0 ,其中：1,1 连续相等 数列 A0 中的每一个1 在 A2 中的对应项是: 1,0,0,1 ,其中： 0,0 连续相等 ∴ 若数列 A0 中共有 10 项，则在数列 A2 中连续两项相等的数对至少有 10 对。 例如： 若 A0 为 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0 ， 则数列 A2 中就仅有 10 对连续相等的数对。下面我们来看一下第三问，题目让我们求数列 Ak 中连续两项都是 0 的数对个数 lk ，下 面让我们先以分形几何的形式来研究一下他们的递推关系:多写几行，观察可以发现： Ak 行中的 0, 0 只能只能由 Ak ?1 行中的 0,1 得到；那还得知 道 Ak 行中的 0,1 是怎么得到的， 继续观察可以知道：Ak 行中的 0,1 只能只能由 Ak ?1 行中的1或者 0, 0 得到；我们得研究 Ak 行中的1 是怎么得到的，这个就比较简单了，因为不论是 0 还 是1， 变换的结果都是两个， 而且都是一个 1 一个 0 ， 很容易就能知道：Ak 行中的1 有 2 个。 题目就突破了。我们来看一下表述： ∵ Ak 行中的 0, 0 只能只能由 Ak ?1 行中的 0,1 得到， 而 Ak 行中的 0,1 只能只能由 Ak ?1 行中的1 或者 0, 0 得到； 设 Ak 有 bk 个 01 数对，∵ Ak 中含有 lk 个 00 数对， ∴在 Ak ?1 中含有 00 数对： lk ?1 ? bk ??????① 在 Ak ?1 中含有 01 数对： bk ?1 ? lk ? 2 ??????②kk由①、②可知： lk ? 2 ? bk ?1 ? lk ? 2 ∵ A0 : 0,1k∴ A1 :1,0,0,1 ， A2 : 0,1,1,0,1,0,0,1即： l1 ? 1, l2 ? 1， ∴当 k 为偶数时，lk ? lk ? lk ?2 ? lk ?2 ? lk ?4 ? ??? ? l4 ? l2 ? l2? 2k ? 2 ? 2k ? 4 ? ??? ? 22 ? 1 1 ? (2k ? 1) 3当 k 为奇数时，lk ? lk ? lk ?2 ? lk ?2 ? lk ?4 ? ??? ? l3 ? l1 ? l1? 2k ?2 ? 2k ? 4 ? ??? ? 23 ? 2 ? 1 1 ? (2k ? 1) 3?1 k (2 ? 1), k为奇数 ? ?3 所以： lk ? ? ? 1 (2k ? 1), k为偶数 ? ?3 .好了，同学们，通过海淀这道题目的训练，你会发现：平时对选择题和填空题的最后 一道题目的把握也很重要，它不仅能训练我们的思维能力，更重要的它们还是很多压轴题 的题根，在最后这 20 多天里，一定要尽可能多的做一些选填的最后一道，把每道题都想明 白了，并对一些比较特殊的新颖题型进行归纳总结，争取在高考考场上拿下压轴题，向 150 分奋斗！
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