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高数定积分习题
第五章 习题课 定积分一、主要内容 二、典型例题一、主要内容曲边梯形的面积 曲边梯形的面积问题1: 问题1:变速直线运动的路程 变速直线运动的路程问题2: 问题2:存在定理 存在定理的的 定定 性性 积积 质质 分分定积分 定积分广义积分 广义积分定定 计计 积 算算 分积 法法 的分 的∫牛顿-莱布尼茨公式 牛顿-莱布尼茨公式 baf ( x )dx = F (b ) ? F (a )1、问题的提出实例1 （求曲边梯形的面积A）曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f ( x )( f ( x ) ≥ 0)、x 轴与两条直线 x = a 、x = b 所围成 .A = lim ∑ f (ξ i )Δxiλ → 0 i =1n实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度v = v (t )是时间 间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且v ( t ) ≥ 0 ，求 物体在这段时间内所经过的路程 S.s = lim ∑ v (τ i )Δt iλ → 0 i =1n方法:分割、求和、取极限.2、定积分的定义定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界，在[a , b]中任意若干若干个分点a = x & x & x &L& x0 1 2n ?1& x =bn把区间[a , b]分成 n 个小区间，[ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],L[ xn?1 , xn ],各小区间的长度依次为 Δx i = x i ? x i ?1 ，( i = 1,2,L) ，在各小区间上任取 一点ξ i （ξ i ∈ Δx i ），作乘积 f (ξ i )Δ x i( i = 1,2, L) 并作和 S = ∑ f (ξ i )Δx i ，i =1n记λ = max{Δx1 , Δx 2 ,L , Δx n }， 如果不论对[a , b]怎样的分法，也不论在小区间[ x i ?1 , x i ]上 点ξ i 怎样的取法，只要当λ和 → 0 时， S 总趋于确定的极限 I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x )在区间[a , b]上的定积分，记为∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )Δxi . λ → 0 i =1bn3、存在定理可积的两个充分条件： 充分 定理1 当函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ]上连续时，称 f ( x ) 在区间[a , b ]上可积.定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，且只有有限个间断点，则 f ( x ) 在区间 [a , b]上可积.4、定积分的性质性质1 性质2∫a [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g( x )dx∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫cb c bbbbbb( k 为常数)性质3 假设a & c & bf ( x )dx性质4∫a 1 ? dx = ∫abbbdx = b ? a性质5 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≥ 0 ，则 ∫ f ( x )dx ≥ 0a(a & b)推论： （1） 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≤ g ( x ) ，则 ∫ f ( x )dx ≤a b∫a g( x )dxbb(a & b)（2）∫a f ( x )dx ≤ ∫abf ( x )dx(a & b)性质6 设 M 及 m 分别是函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上的最大值及最小值，则m (b ? a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M (b ? a ) .如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续，则在积分区间[a , b]上至少存在一个点ξ ，bb性质7 (定积分中值定理)使 ∫ f ( x )dx = f (ξ )(b ? a )a(a ≤ ξ ≤ b)积分中值公式5、牛顿―莱布尼茨公式定理1 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函数Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导数 d x 是 Φ ′( x ) = ∫a f ( t )dt = f ( x ) (a ≤ x ≤ b) dx定理2（原函数存在定理）如 果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =x∫axf ( t )dt 就是f ( x ) 在[a , b]上的一个原函数.定理 3（微积分基本公式） 如果 F ( x ) 是连续函数f ( x ) 在区间[a , b]上的一个原函数，则∫a f ( x )dx = F (b) ? F (a )也可写成b∫baf ( x )dx = [ F ( x )]b . a牛顿―莱布尼茨公式表明 : 一个连续函数在区间 [a , b] 上的定积分等于 它的任一原函数在区间 [a , b] 上的增量 .6、定积分的计算法（1）定义 （2）性质 （3）换元法∫a f ( x )dx = ∫α（4）分部积分法bβf [? ( t )]? ′( t )dt换元公式b a b∫baudv = [uv ] ? ∫ vdua分部积分公式７、广义积分(1)无穷限的广义积分∫a+∞f ( x )dx = lim ∫a f ( x )dxb→ +∞ bb∫?∞ f ( x )dx = alim ∫a f ( x )dx → ?∞当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.b(2)无界函数的广义积分∫a f ( x )dxbb= lim+ ∫t t →atbf ( x )dx∫a f ( x )dx = tlim? ∫a f ( x )dx →b∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c= lim ∫aε → +0c ?εbcbf ( x )dxbf ( x )dx + lim∫c +ε ′ f ( x )dx ε ′ → +0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.二、典型例题1 3 1 + x ∫ f ( x ) d x, 求 f ( x) 例1 设 f ( x ) = 2 0 1+ x 1 定积分是 及 ∫ f ( x )d x. 一个数 0 1 1 f ( x) = + ax 3 解 令 a = ∫ f ( x ) d x，则 0 1 + x2 1 3 1 1 1 d x + a∫ x d x a = ∫ f ( x)d x = ∫ 2 0 0 01 + x 1 41 π a ∴ a = π . 1 = arctan x 0 + a ? x = + , 3 4 0 4 4 1 1 π 3 π ∴ f ( x) = + x ， ∫ f ( x)d x = a = . 2 0 3 3 1+ x例22π sin sin n+ n + L + sin π ). I = lim ( 1 1 n→ ∞ n + 1 n+ n+ 2 n i i n sin π sin π n ？ n = f ( i )? 1 解 I = lim ∑ 1 n→ ∞ 1 n n i =1 n + n+ i i 不是 i i i sin π sin π sin π n& n& n ( i = 1, 2, L , n) 1 n n+1 n+ i求极限πi i i sin π sin π sin π n& n& n ( i = 1, 2, L , n) 1 n n+1 n+ i i 1 n (sin π ) ? i 1 Q lim ∑ sin π ? n n n→ ∞ n n i =1 i 1 = f ( )? 1 2 1 1 n n = ∫ sin π x d x = ? cos π x 0 = . 0 π π sin f ( x) = ？ π x i n sin π n x ∈ [0,11] i n = lim n ? lim ∑ ∑ sin π n ? n n→ ∞ n→ ∞ n + 1 n+1 i =1 i =1i n sin π n n i 1 n = lim lim ∑ ? ∑ sin π ? n→ ∞ n→ ∞ n + 1 n+1 n n i =1 i =1 n i 1 = lim ? lim ∑ sin π ? n→ ∞ n + 1 n→ ∞ n n i =1 = 1 ? ∫ sin π x d x =1 n2由夹逼准则，得∴0π.i n sin π n = 2. I = lim ∑ 1 n→ ∞ π i =1 n + i练习1. 设 f ( x ) = 3 x ? 1 ?2 1 2 x f ( x ) d x，求 0∫f ( x ). ).n 2 1 2 2 2 2. lim ln n (1 + ) (1 + ) L(1 + ) = ( n→ ∞ n n n ( A) ∫ ln x d x2 1 2( B ) 2 ∫ ln x d x12(C ) 2 ∫ ln(1 + x ) d x12( D ) ∫ ln (1 + x ) d x2 121. 设 f ( x ) = 3 x ? 1 ?1 02 1 2 x f ( x ) d x，求 0∫f ( x ).解 令 a = ∫ f 2 ( x ) d x，则f 2 ( x ) = ( 3 x ? a 1 ? x 2 )22 2f ( x) = 3 x ? a 1 ? x2= 9 x ? 6a x 1 ? x + a (1 ? x )2 2等式两边积分：a=∫1 2 f ( x) d x 0= ∫ [9 x ? 6a x 1 ? x + a (1 ? x )]d x2 2 2 2 012 2 = 3 ? 2a + a ， 3 2 即 2a ? 9a + 9 = 0.即 2a ? 9a + 9 = 0，2( 2a ? 3)(a ? 3) = 0 3 解得 a = ，a = 3. 2 ∴及3 f ( x) = 3 x ? 1 ? x2 2 f ( x) = 3 x ? 3 1 ? x .2n 2 1 2 2 2 2. lim (1 + ) (1 + ) L(1 + ) = ( B ). n→ ∞ n n n (2004考研) ln n2( A) ∫ ln x d x2 1( B ) 2 ∫ ln x d x12(C ) 2 ∫ ln(1 + x ) d x12( D ) ∫ ln 2 (1 + x ) d x12解 limn→ ∞ln nnn 2 1 2 2 2 (1 + ) (1 + ) L(1 + ) n n n1 i 2 1 或 2 2 = lim ∑ ln(1 + ) ? = ∫ ln(1 + x ) d x = ∫ ln t 2 d t 0 n→ ∞ 1 n n i =1 (t = 1 + x )例3求∫π 2 01 ? sin 2 xdx .π解 原式 = ∫ 2 (sin x ? cos x )2 dx0= ∫ 2 sin x ? cos x dx0π= ∫ (cos x ? sin x )dx + ∫ (sin x ? cos x )dx = 2 2 ? 2.π 4 0π 2 π 4例4 求 ∫π 2 0sin x dx . sin x + cos xπ 2 0解法1. 由 I = ∫则sin x cos x 2 dx , 设 J = ∫ dx , 0 sin x + cos x sin x + cos xπ2 dx 0π2 π π sin x ? cos x d (cos x + sin x ) 2 2 dx = ? ∫ I ?J = ∫ = 0. 0 sin x + cos x 0 sin x + cos xI+J =∫=π,π π 故得 2 I = , 即 I = . 4 2解法2.令 sin x = A(sin x + cos x ) + B(sin x + cos x )′= ( A ? B ) sin x + ( A + B ) cos x?A ? B = 1 则 ? ?A + B = 0∴ I=∫π1 1 解得 A = ，B = ? . 2 2=∫π2[ ? 0 22 dx 0 sin x + cos xsin x1 1 (sin x + cos x )′ ? ]d x 2 sin x + cos xπ 1 2 = . = ? ln(sin x + cos x ) 0 4 4 2 ππ例5 求 ∫ 解令eln 201? e?2 xdx .x 0 π t 2?x= sin t ,cos t 则 x = ? ln sin t , dx = ? dt . sin t原式 = ∫π 6 π 2ln 2 π 6cos t cos t ( ? )dt = ∫ sin tππ 2 π 6cos 2 t dt sin t=∫π 2 π 6dt 3 ? ∫π2sin tdt = ln( 2 + 3 ) ? . sin t 6 2例6 求 I = ∫ 4 ln sin 2 xdx .0π解令 2x = t, I = ∫π0π 4 0π4 ln sin 2 xdx 0I = ∫ 4 ln sin 2 xdx = ∫ 4 ln( 2 sin x cos x )dx0π1 2 = ∫ ln sin tdt . 2 0π= ∫ (ln 2 + ln sin x + ln cos x )dx =π4ln 2 + ∫ 4 ln sin xdx + ∫ 4 ln cos xdx0 0ππ∫π x= ? t π π 2 4 ln cos( 4 ln cos x d x π 0 2 2 π= ∫? t )( ? d t ) = ∫π2ln sin t d t4πI = ∫ ln sin 2 xdxπ 4 0π 4 0π = ln 2 + ∫ ln sin xdx + ∫ ln sin xdx 4 =π4ln 2 + ∫π2 ln sin xdx 0=ππ 2 π 44ln 2 + 2 Iπ ∴ I = ? ln 2. 4例7 设 f ( x )在 [ a , b ] 上连续，证明证x =π ?tπ∫π 2 01 2π f ( cos x )dx = ∫ f ( cos x )dx . 4 0偶函数π?π∫02π ?πf ( cos x )dx f ( cos(π ? t ) )( ? dt ) = ∫t=∫π t =π ?x0f ( cos t )dtπ2= 2∫ f ( cos t )dt?uu=π2?t2∫π?π 22f ( cos( ? u) )( ? du) 2π= 2 ∫ 2π f ( sin u ) du?2ππ偶函数= 4 ∫ 2 f ( sin u )du = 4 ∫ 2 f ( cos u )du0 0π即∫0π22πf ( cos x )dx = 4 ∫ 2 f ( cos x )dx0π1 2π ∴ ∫ f ( cos x )dx = ∫ f ( cos x )dx . 0 4 0例8设 F ( x ) = ∫ ( x ? t ) f ( t )dt , f ( x )可导，2 2 0x且f ( 0) = 0. 证明：(1) 若 f ( x )为偶函数，则 F ( x )为奇函数 ; + ( 2) 若 f ( x ) & 0( x & 0 ), 则 F ( x )在[0， ∞ )上单调增加； ( 3 ) 当 x → 0时， F ′( x )与 x 是等价无穷小，求 f ′( 0 ).3证 (1) f ( ? x ) = f ( x )Q F (? x) = ∫?x=∫0 ?x[( ? x ) 2 ? t 2 ] f ( t )dt2 20( x ? t ) f ( t )dtF ( x ) = ∫0 ( x ? t ) f ( t )dt2 2?x令u = ?tx∫0 [ xx2? ( ?u) ] f ( ?u)(?du)2= ? ∫ ( x 2 ? u2 ) f (u) du∴ F ( x )是奇函数x 0x= ?F ( x)0( 2) F ( x ) = ∫ ( x 2 ? t 2 ) f ( t )dt= x ? ∫ f ( t )dt ? ∫ t 2 f ( t )dt2 0 0 xF ′( x ) = 2 x ∫ f ( t )dt + x ? f ( x ) ? x f ( x )2 2 0xF ′( x ) = 2 x ∫ f ( t )dt0xQf ( x ) & 0 ( x & 0)x 0∴ 当 x & 0时， f ( t ) dt & 0 ∫从而当 x & 0时， ′( x ) & 0 F + 又 Q F ( x )在[0， ∞ )上连续 ∴ F ( x )在[0， ∞ )上单调增加. +( 3) 1 = lim F ′( x ) x3x→0= lim2 x ∫ f ( t )dt0xx→0x3∫0 = 2 limx →0xf ( t )dt2x f ( x) f ( x ) ? f ( 0) = 2 lim = lim x →0 2 x x →0 x?00 ( ) 0( f ( 0) = 0)= f ′(0) ∴ f ′(0) = 1例9设 f ( x )可导，且 f ( 0) = 0,F ( x) = ∫ t0 x n ?1f ( x ? t )dt , ( n ∈ N )nn求 limF ( x) x02nx →0.1 x n n n f ( x ? t )dt = ∫0 f ( x ? t )d (t ) nn n解 F ( x) = ∫ tx n ?11 x n n n n = ? ∫ f ( x ? t )d ( x ? t ) n 0 n n 1 0 1 xn 令u = x ? t ? ∫ n f ( u ) du = f ( u ) du n x n 0∫∴1 x F ( x ) = ∫ f ( u ) du n 0 1 n n ?1 f ( x ) ? nx = f ( x n ) ? x n?1 F ′( x ) = nF ( x) x2nnx →0lim= limnF ′( x )x → 0 2nx 2 n ?1f (x )? x 1 = lim 2n?1 2n x→0 xnn?11 = f ′( 0 ) 2nn 1 f (x ) 1 f ( x ) ? f ( 0) = lim = lim n n 2n x → 0 x 2n x →0 x( f ( 0) = 0)练习3.设 f ( x )连续， F ( x )是 f ( x )的原函数，则 ( ( A) 当f ( x )是奇函数时， F ( x )必是偶函数； ( B ) 当f ( x )是偶函数时， F ( x )必是奇函数； (C ) 当f ( x )是周期函数时， F ( x )也是周期函数； ( D ) 当f ( x )是单调增加函数时， F ( x )必是单调 增加函数 .A ).( A) 当f ( x )是奇函数时， F ( x )必是偶函数；解F ( x ) = ∫ f (t ) d t + C F (? x ) = ∫u = ?tx0 ?x 0f (t ) d t + C=∫0 f (? u)(? d u) + C x = ∫ f ( u) d u + C = F ( x ). 0x∴ (A) ?( B ) 当f ( x )是偶函数时， F ( x )必是奇函数；反例： f ( x ) = cos x 偶函数F ( x ) = sin x + 1 无奇偶性(C ) 当f ( x )是周期函数时， F ( x )也是周期函数；反例： f ( x ) = 1 + cos x 周期函数 F ( x ) = x + sin x 非周期函数( D ) 当f ( x )是单调增加函数时， F ( x )必是单调 增加函数 .反例： f ( x ) = x 单调增 1 2 F ( x ) = x 无单调性 . 2练习4. 设 F ( x ) = ∫x + 2πxe sin t sin t dt , 则 F ( x )( A ).( A ) 为正常数； ( B ) 为负常数；(C ) 恒为零；( D ) 不为常数 .若 f ( x)连续， ( x + T ) = f ( x), f 则π?π解法1 令 f ( t ) = e sin t sin t , 则f ( t + 2π ) = f ( t )F ( x) = ∫2π 0∫aa+Tf ( x)dx = ∫ f ( x)dx.0Tesin tsin t dt = ∫ e sin t sin t dt为常数= ∫ ( e sin t sin t ? e ? sin t sin t ) dt0π π∫?a f ( x)dx= ∫ [ f ( x) + f (? x)]dx0 aa= ∫ ( e sin t ? e ? sin t ) sin t dt0sin Q 当 t ∈ ( 0 , π )时， t & 0∴e sin t ? e ? sin t & 0 ,( e sin t ? e ? sin t ) sin t & 0 ,∴ F ( x ) & 0且F ( x )为常数 .选(A)解法1 F ( x ) = ∫2π0e sin t sin t dt e sin t d (cos t )cos t2π 0= ?∫2π0= ?[e =∫2πsin t?∫2π0e sin t cos 2 tdt ]0e sin t cos 2 tdt & 0类似题(提高练习题―2004年考研)设 f ( x) = ∫x+π2xsin t d t ,(1) 证明 f ( x )是以π为周期的周期函数； ( 2) 求 f ( x )的值域 .x+ 3π 2证(1) f ( x + π ) = ∫t =π + ux +πsin t d tx+= ∫xx+π2sin(π + u) d u = ∫π2xsin u d u = f ( x ).∴f ( x )是以 π为周期的周期函数 .解 (2) f ( x ) = ∫∴x+π2xsin t d t ,Q sin x 在( ?∞ ,+∞ )上连续 f ( x )在( ?∞ ,+∞ )上可导 f ( x )以 π 为周期，故只需在 [ 0 , π ]上 又Q讨论 f ( x )的值域 .Qf ′( x ) = sin( x + ) ? sin x = cos x ? sin x 2 π 3π 令 f ′( x ) = 0，得驻点 x1 = ，x2 = . 4 4πf ( ) = ∫π 4 =ππ π+ 4 2sin t d t = ∫π sin t d t = ∫π sin t d t43π 43π 43π ? cos x 44π= 24 f 若 f ( x)连续， ( x + T ) = f ( x),则3π f( )= ∫ 4 =π 5π 4 sin t d t = 4 sin t d t 3π 3π 4 4 π 3π +π ? 4 sin t d t + 4 sin t4∫aa+Tf ( x)dx = ∫ f ( x)dx.T∫+ ∫π sin t d t45π 40∫π∫πdt以π为周期4= ? 2 + ∫ sin t d t = ? 2 + 2.0π4f (0) = ∫ 2 sin t d t = ∫ 2 sin t d t = 10 0ππf (π ) = ∫π+3π 2π2π πsin t d t=∫ ∴( ? sin t ) d t = 1f ( x )在[0, π ]上的最小值是 2 ? 2，最大值是 2，故 f ( x )的值域是[2 ? 2， ]. 2练习5. 设 f ( x )连续，常数 a & 0，证明：∫1aa a 2 dx a 2 dx 2 f (x + 2) = ∫ f (x + ) . 1 x x x x分析 显然要用换元法. x = ? (t ) = ? 原则：先看被积函数，再看限.令 t = x 2 ( x = t )，则∫1aa a 2 dx a 2 dx 2 f ( x2 + 2 ) = ∫ f ( x2 + 2 ) 2 1 x x x 2x令 t = x2a 2 dt 1 a2 ∫1 f (t + t ) t 2右端 = ∫a1a 2 dx f (x + ) x xa2 a 2 dt a 2 dt 1 a = [∫ f (t + ) + ∫ f (t + ) ] a 2 1 t t t t需证：∫aa2a 2 dt ？ a a 2 dt f (t + ) = ∫ f (t + ) 1 t t t t需证：∫aa2a 2 dt ？ a a 2 dt f (t + ) = ∫ f (t + ) 1 t t t tt 问： 能否作变换 u = ? 否 a a2 a a 2 dt a du ∫a f (t + t ) t = ∫1 f (au + u ) u被积函数未达到要求！a2 a2 2 u?t 要求： t + = u + ，即 ( t ? u) + a =0 ut t uu?t 即 ( t ? u) + a =0 ut a2 亦即 ( t ? u)(1 ? ) = 0 tu 2 a2 a ∴ 1? = 0， u = t tu2证∫1aa a 2 dx a 2 dx 2 f ( x2 + 2 ) = ∫ f ( x2 + 2 ) 2 1 x x x 2x令 t = x2a 2 dt 1 a2 ∫1 f (t + t ) t 2a2 a 2 dt a 2 dt 1 a = [∫ f (t + ) + ∫ f (t + ) ] a 2 1 t t t t∫a=∫1a2a 2 dt f (t + ) t ta2 令u = t∫a1a2 u a2 f ( + u) 2 ? ( ? 2 )du u a uaa a 2 dt a 2 du = ∫ f (t + ) f (u + ) 1 u u t t代入上式，得∫1aa a 2 dx a 2 dx f ( x2 + 2 ) = ∫ f ( x + ) . 1 x x x x例10 求 ∫ 解1 2 1 ? 2sin x 2 [ 8 + ln (1 ? x ) ]dx . x +11 2 1 ? 2原式 = 0 + ∫ ln(1 ? x )dx= ∫ 1 ln(1 ? x )dx ? ∫ ln(1 ? x )dx0 ? 2 01 23 3 1 = ln + ln . 2 2 21 2 例11 求 ∫ min{ , x }dx . ?2 x2解? x2 , 1 2 ? Q min{ , x } = ? 1 , x ?x ? 1 2 原式 = 2 ∫ min{ , x }dx 0 x2x ≤1 x &1是偶函数,= 2 ∫ x dx + 2 ∫1 2 0211 2 dx = + 2 ln 2. x 3例12 设 f ( x ) = ∫ e0x? y2 +2 ydy , 求 ∫ ( x ? 1) f ( x )dx .1 2 01 1 原式 = ∫ f ( x )d ( x ? 1)3 解 3 0 1 1 1 3 = [( x ? 1) f ( x ) ? ∫ ( x ? 1)3 f ′( x )dx ] 0 0 3 1 1 3 ? x2 +2 x = {[0 + f (0)] ? ∫ ( x ? 1) e dx } 0 3 0 1 1 2 ? ( x ?1 ) 2 + 1 = ? ∫ ( x ? 1) e d [( x ? 1)2 ] 6 0 1 令 ( x ? 1)2 = u e 0 ? u ? ∫ ue du = ? (e ? 2). 6 1 61 dx p &∫ & 1. 例13 设 p & 0 , 证明： p 01+ x p+1 1 证 Q 在[ 0，]上连续，且 1 p 1+ x 当 x ∈ ( 0 ,1), p & 0时，有 1 xp &1 = 1? 1? xp & p p 1+ x 1+ x而p x ∫0 (1 ? x )dx = 1 ? p + 1 = p + 1 01 pp+1 11 p ∴ = ∫ (1 ? x p )dx & p+1 0dx ∫0 1 + x p &1∫0 dx = 11例14 求下列广义积分 : +∞ 2 dx dx . (1) ∫ ; ( 2) ∫ 1+ x 3? x 2 1 e 1 x 3x ? 2x ? 1 +e 解 (1) 原式 = ∫=∫+∞ +∞1e ? ( 1+ x ) dx 2? 2 x 1+ e1b 1 e ? 2 ? e1? x ?2 = ? e lim ∫ d( e1? x ) dx 1? x 2 b→ +∞ 1 1 + ( e1? x )2 1 + (e )= ?e =?2π4e2b → +∞lim arctan e1? xb 1= ?e?2b → +∞lim (arctan e1? b? ) 4π.1 = ∞, (2) Q lim f ( x ) = lim 2 x →1 x →1 x 3 x ? 2 x ? 1∴ x = 1 为 f ( x ) 的瑕点. 2 dx 原式 = lim ∫ 2 t →1+ t x 3 x ? 2 x ? 1 1 d (1 + ) 2 x ] = lim [? ∫ t 1 2 2 t →1+ 2 ? (1 + ) 1 x 2 1+ 3 π x = ? lim arcsin = ? arcsin . + 2 t 2 4 t →1测验题一、选择题： n n ? ? n 1、lim? 2 + 2 +L+ 2 = ( 2 2 ? n→ ∞ ? n + 1 n +2 n +n ? 1 （B） ； （A）0 ； 2 （D） . （C） ； 4 2 d x ） 2、 ∫ ln( t 2 + 1) dt =（ 0 dx （B）ln( t 2 + 1) ； （A）ln( x 2 + 1) ； （C） 2 x ln( x 2 + 1) ； （D） 2t ln( t 2 + 1) .)ππx （A）0； （B）1 ； 1 （D）∞ . （C） ； 3 1 ） 4.、定积分 ∫ e x dx 的值是（x→0 303、lim∫x0sin t 2 dt=()（A）e ； （C）e ；1 21 （B） ； 2 （D）2 .5、下列积分中，使用变换正确的是（ ） π dx （A） ∫ , 令 x = arctan t ； 0 1 + sin 3 x 3 （B） ∫ x 3 1 ? x 2 dx ，令 x = sin t ；0x ln(1 + x 2 ) （C） ∫ dx ，令 1 + x 2 = u ； ?1 1 + x22（D） ∫1?11 ? x 2 dx ，令 x = t1 3.）2?1 16、下列积分中，值为零的是（ （A） ∫ x dx ；1 2（C） ∫ dx ；?1?1 1(B） ∫ x 3 dx ； （D） ∫ x 2 sin xdx .?17、已知 f (0) = 1 , f ( 2) = 3 , f ' ( 2) = 5 , 则 ∫ xf '' ( x )dx = （ ）2 0（A）12； （C）7；（B）8； （D）6.? 1 ?1 + x , x ≥ 0 2 ? 8、设 f ( x ) = ? ，则定积分 ∫ f ( x ? 1)dx 0 1 ? ?1 + e x , x & 0 ? =（ ） 1 （A）1 + ln(1 + ) ； （B）2 ? ln(1 + e 2 ) + ln 3 ； e 1 1 （C）1 + ln(1 + ) + ln 2 ; （D）1 ? ln(1 + ) . e edx 9、广义积分 ∫ =（ ） 2 2 x + x?2 （A）ln 4 ； （B）0 ； 1 （C） ln 4 ； （D）发散. 3+∞10、广义积分 ∫20dx =（ 2 x ? 4x + 3）（A）1 ? ln 3 ； （C）ln 3 ；1 2 （B） ln ； 2 3 （D）发散.二、证明不等式: 1 π dx 1 2 ≤∫ ≤ , ( n & 2) . n 0 2 6 1? x 三、求下列函数的导数： x3 1、 F ( x ) = ∫ 2 4 x 1+ t y x 2 sin t 2 2.、由方程 ∫ e t dt + ∫ dt = 1 ， 确定 y 为 x 的 0 0 t dy 函数，求 . dx四、求下列定积分： 4 dx ； 1、 ∫ 1 x (1 + x) 3 x 3、 ∫ arcsin dx ； 0 1+ x 1 dx ； 5、 ∫ 1?12、 ∫adx x+ a ? x2 2；04、 ∫ x 2 ? 2 x ? 3 dx ；5 ?21+ 2xdx 6、 ∫ ； ?∞ x 2 + 4 x + 9+∞7、 ∫2dx21x 3x ? 2x ? 1；8、∫+∞11 dx . x x ?1五、 设 f ( x )在[ 0 , 1 ]上有连续导数， f (0) = 0 , 且 0 & f ′( x ) ≤ 1,试证：? f ( x )dx ? ≥ 1[ f ( x )]3 dx . ∫0 ? ∫0 ? ? ?12六、 设 f ( x ) 在[0，1]上有二阶连续导数，证明： 1 1 1 1 f ( x )dx = [ f (0) + f (1)] ? ∫ x (1 ? x ) f '' ( x )dx . ∫0 2 2 0测验题答案一、1、C； 2、A； 3、C； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、A； 9、C； 10、D. 三、1、3x2 1 + x 12 ? 2x 1 + x8； 2、± 2e? y2sin x 2 .4 π 4 四、1、 2 ln ； 2、 ； 3、 π ? 3 3 471 3 ； 4、 ； 3π 3 π 5、1； 6、 ； 7、 ? arcsin ； 8、π . 2 4 5
高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)_理学_高等教育_教育专区。高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全),66页 第4章名称 不定积分的概念设 不定积分...1 f(x)dx = 2f(a) 成立,则 a = ?-1 2 ___ 一,选择题 二、填空题...高数不定积分练习题 暂无评价 2页 1下载券
6-习题 定积分 暂无评价 7页 ...高中数学定积分习题_数学_高中教育_教育专区。专题三:定积分 1、定积分的概念 说明: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的...高数竞赛习题(不定积分、定积分)_理学_高等教育_教育专区。省高数竞赛学生报名网址: http://www.math.zju.edu.cn/mathcpt/ 第一讲 不定积分 例 1. 求下列...定积分的概念习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。[学业水平训练] 1.下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) 2 A.y=x B.y=|x| 1 C.y= x D.y...导数与定积分练习题_数学_高中教育_教育专区。导数与定积分练习题一、填空题 1、已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? 则 a 与 ...定积分练习题_数学_高中教育_教育专区。………○………外………○………装………○………订………○………线………○……… ………○………外………○...高等数学第六章定积分应用综合测试题_理学_高等教育_教育专区。高等数学第六章定积分应用综合测试题(含答案) 第六章一、填空题(20 分) 1、定积分 是 a 2 0...定积分测试题_数学_高中教育_教育专区。南昌工程学院题 号分数得分一二三 高等数学课程考试试卷四 总分 (A 卷) 1 2 (a ? b 2 ) 2 5. 第 1 张共 2 ...高等数学不定积分综合测试题_理学_高等教育_教育专区。高等数学第四章不定积分测试(含答案) 第四章测试题 A 卷一、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 1、...
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&&一道高数题求解，变限的定积分相关
一道高数题求解，变限的定积分相关
第一张那个代换u的步骤不明白，第二张代换u过后的上下限为何就变了？
第一个变上下限我明白，就是一个负号作用，只是不明白x-t=u，dt=-du（t=x-u，dt=d（x-u）=dx-du？）
第二个t和u之间代换我明白，只是上限1／x就在u和t代换了就变成x了，这让我无法理解，
现在明白了吗？
我理解的第一个和第二个图的问题不是一个问题。第一个是代换x-t=u后的dt=-du这里不理解，x被当做常数了？
第二个图的上下限与积分变量代换的关系？怎么就从1／x变成x了？
积分上下限的符号与积分变量的符号是没关系，但是代换前后的上下限之间，积分变量之间的关系要对应吧。图中的题怎么对应的没理解到。
貌似有点感觉了，第二个图，u取x相当于t取1／x，所以上限从1／x变成了x，
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&&求助一个关于定积分在物理上应用的问题
求助一个关于定积分在物理上应用的问题
dFy为什么等于–dFcosα？
但是物理中力的分解没有负号啊
要看与坐标系的方向
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一道关于定积分物理应用的题收藏
一道关于定积分物理应用的题
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题目在第一张，问题在第三张
求大神帮助，想了很久没想出来
求大佬助我一臂之力
问题也是如此简单啊，图中给你已经说明。用到奇偶性，你难道没注意那个积分区间是关于原点对称的，在定积分中，自然考虑函数奇偶性，你写的那关于t是奇函数，所以积分为0，不必写它
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