初二:&&&&&
初三:&&&&&&
高一:&&&&&&&
高二:&&&&&&&
高考:&&&&&&&
学前教育- 3-5岁
小学生- 6-12岁
初中生- 13-15岁
高中生- 16-18岁
大学生- 18-22岁
研究生- 23-25岁
在职人士- 18岁以上
您的位置：
&& 考研资讯
考研高数八大重点难点分析
作者：编辑整理&&来源：新东方论坛&&时间：
　　考研数学复习，必须按照《数学考试大纲》基本要求去做，考试大纲要求考生比较系统的理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。考研辅导专家将结合2013《数学考试大纲》规定的考试内容和考试要求，粗略地剖析以下本门课程的重点和难点。
　　1、函数极限连续
　　①正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。②理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限。③理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：limsinx/x=1，lim（1+1/x）=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。难点是分段函，复合函数，极限的概念及用定义证明极限的等式。
　　2、一元函数微分学
　　①理解导数和微分的概念，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程，理解函数可导性与连续性之间的关系。②掌握导数的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，分段函数的一阶、二阶导数。会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数及反函数的导数。③理解并会用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理。④理解函数极值的概念，掌握函数最大值和最小值的求法及简单应用，会用导数判断函数的凹凸性和拐点，会求函数图形水平铅直和斜渐近线。⑤了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径及两曲线的交角。⑥掌握用罗必塔法则求未定式极限的方法，重点是导数和微分的概念，平面曲线的切线和法线方程函数的可导性与连续性之间的关系，一阶微分形式的不变性，分段函数的导数。罗必塔法则函数的极值和最大值、最小值的概念及其求法，函数的凹凸性判别和拐点的求法。难点是复合函数的求导法则隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算。
　　3、一元函数积分学
　　①理解原函数和不定积分和定积分的概念。②掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法。③会求有理函数、三角函数和简单无理函数的积分④理解变上限积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼兹公式。⑤了解广义积分的概念并会计算广义积分。⑥掌握用定积分计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力等。）重点是原函数与不定积分的概念及性质，基本积分公式及积分的换元法和分部积分法，定积分的性质、计算及应用。难点是第二类换元积分法，分部积分法。积分上限的函数及其导数，定积分元素法及定积分的应用。
　　4、向量代数与空间解析几何
　　①理解向量的概念及其表示。②掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。③掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面直线的相互关系解决有关问题。④理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。⑤了解空间曲线的参数方程和一般方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
　　5、多元函数微分学
　　①了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质②理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分。③理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。④掌握多元复合函数偏导数的求法，会求隐函数的偏导数。⑤了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，掌握二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求多元函数的最大值和最小值及一些简单的应用问题。重点是二元函数的极限和连续的概念，偏导数与全重点是二元函数的极限和连续的概念，偏导数与全微分的概念及计算复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算。空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数极值。难点是多元复合函数的求导法，二函数的泰勒公式。
　　6、多元函数积分学
　　①理解二重积分与三重积分的概念，了解重积分的性质。②掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。③理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；掌握计算两类曲线积分的方法；掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。④了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。⑤会用重积分、曲线积分和曲面积分求一些几何量和物理量。重点是利用直角坐标、极坐标计算二重积分。利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分。两类曲线积分的概念、性质及计算，格林公式。两类曲面积分的概念、性质及计算，高斯公式。难点是化二重积分为二次积分、改换二次积分的积分次序以及三重积分计算。第二类曲面积分与斯托克斯公式。
　　7、无穷级数
　　①掌握级数的基本性质及其级数收敛的必要条件，掌握几何级数与p级数的收敛性；掌握比值审敛法，会用正项级数的比较与根值审敛法。②会用交错级数的莱布尼兹定理，了解绝对收敛和条件收敛的概念及它们的关系。③会求幂级数的和函数以及数项级数的和，掌握幂级数收敛域的求法④掌握ex、sinx、cosx、ln（1+x），（1+x）α的马克劳林展开式，会用它们将简单函数作间接展开；会将定义在[-L，L]上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦函数。重点是数项级数的概念与性质，正项级数的审敛法，交错级数及其审敛法，绝对收敛与条件收敛的概念。幂级数的收敛半径、收敛区间的求法，将函数展成傅立叶级数。难点是求幂级数的和函数，将函数展成幂级数、傅立叶级数。
　　8、常微分方程
　　①了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念；掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法。②会用降阶法解y（n）=f（x），y″=f（x，y），y″=f（y，y’）类的方程；理解线性微分方程解的性质和解的结构。③掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。④会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。重点是微分方程的概念，变量可分离方程，一阶线性微分方程及二阶的常系数线性微分方程的解法。难点是由实际问题建立微分方程及确定定解条件。
　　以上八点几乎涵盖了考研数学所有重点知识，考生如能掌握以上知识，并能融会贯通，那五个考生易出现的错误基本可以得到很好解决。
　　（责任编辑：王洪微）
经营许可证编号：060601京ICP备京公安备： 上传我的文档
 下载
 收藏
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
 下载此文档
正在努力加载中...
高等数学第12章第2节正 项 级 数
下载积分：1688
内容提示：高等数学第12章第2节正 项 级 数
文档格式：DOC|
浏览次数：0|
上传日期： 13:09:44|
文档星级：
全文阅读已结束，如果下载本文需要使用
 1688 积分
下载此文档
该用户还上传了这些文档
高等数学第12章第2节正 项 级 数
关注微信公众号 上传我的文档
 下载
 收藏
该文档贡献者很忙，什么也没留下。
 下载此文档
高数级数习题
下载积分：1000
内容提示：高数级数习题
文档格式：PPT|
浏览次数：104|
上传日期： 13:07:52|
文档星级：
全文阅读已结束，如果下载本文需要使用
 1000 积分
下载此文档
该用户还上传了这些文档
高数级数习题
关注微信公众号一起刷高数的个人展示页
联系我们&nbsp:&nbspsohump@sohu-inc.com关于我们&nbsp-&nbsp运营规范&nbsp-&nbsp服务协议&nbsp-&nbsp侵权投诉&nbsp-&nbsp反馈建议当前位置： >>
5、根值审敛法（柯西判别法）定理 对于正项级数 ? un , 若 lim n un ? ?，?n? ?则当ρ&1时级数收敛， 当ρ&1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。n ?1证明：(i) 当ρ&1时，取一适当小的正数ε，使ρ+ε= r&1。?nun ? ? ? ? ? r ? 1?由极限定义，存在N，当n≥N时有不等式，? 即有 un ? r n , 而? r n收敛， ? un收敛。n ?1n ?1(ii) 略(iii) ρ=1时，仍以p-级数为例1例2 判别下列级数的敛散性 ? ? 1 2n (1)? ( 2)? ln n n n ?1 (ln n) n ?1 8解： 1 n u ? lim (1) lim n ? 0，该级数收敛。 n? ? n? ? ln n2n 2 n ( 2) lim ln n ? lim[ ln n ] ? 2 ? 0, 该级数发散。 n? ? n? ? 8 8n21 总结： 1 若能求出 的阶，用比较判别法。 n2 当un 含有a n , n n时，用根值判别法。3 当un 含有a , n , n!时，用比值判别法。n n例4 判别下列级数的敛散性n n n (1)? n [ 2 ? ( ?1) ] n ?1 3n3 n3 [ 2 ? ( ?1) n ]n ? n [ 2 ? 1]n , 用比值，收敛。 3n 3注意：两种方法结合使用。3?3n?1 ( 2)? ( n ? 1 ? n ) ln n n ?1? p1 ln( 1 ? ) 1 1 n 解un ? ln( 1 ? ) ? n 2( n ? 1 ? n ) p 1 p p/2 2( 1 ? ? 1) n n 1取v n ?n 1? p / 2n1? p / 2un lim ? lim n? ? v n? ? n1 ln( 1 ? ) n1 2( 1 ? ? 1) p ? n p / 2 n?1 21? pp&0,故原级数收敛 .p?0,原级数发散。49.2.2、交错级数 1 定义：交错级数：u1－u2 + u3－…+ (－1)n-1 un+ … 或－u1+u2－u3+…+ (－1)n-1 un + … 其中uk&0 (k=1，2，…)。 2 莱布尼兹定理 ：如果交错级数 (i) un ≥ un +1；( ?1) n ?1 un满足条件 ?n ?1 ?(ii) un →0 (n→∞)，则级数收敛，且其和s ? u1 , rn ? un?1证明： S 2 n ? ( u1 ? u2 ) ? (u3 ? u4 ) ? ? ? (u2 n?1 ? u2 n )? u1 ? (u2 ? u3 ) ? (u4 ? u5 )? ? ? ( u2 n? 2 ? u2n?1 ) ? u2n5由前一式知{S2n}单调增加，由后一式知S2n &u1。由数列判敛的单调有界准则知:lim S 2 n 存在，记为S , 则S ? u1 .n? ?lim S 2 n?1 ? lim ( S 2 n ? u2 n?1 )? lim S 2 n ? lim u2 n?1 ? S n? ? n? ?n? ? n? ?所以lim S n ? S。n? ?rn ? un?1 ? un? 2 ? un? 3 ? ? 右端也是一交错级数，它也满足收敛的两个条件，于是有 rn ? un?16例 交错级数1 1 1 ( ?1) n?1 1 ? ? ? ? ?? ?? 2 3 4 n?收敛( ?1) n 更一般的结论：交错级 ? p 当P ? 0时收敛。 数 n? 2 n说明：单调减少不是交错级数( ?1) n?1 un ( un ? 0) ?n ?1 ?收敛的必要条件。7例1 考察级数( ?1)n n ? 1 的敛散性。 ? n n ?1?解：这是一个交错级数显然un ?而u ?u2 n2 n?1n?1 n?2 ? 2 ? n ( n ? 1) 2n?1 ? 0 (n ? ?) n( n ? 1)3 ? n 2 ( n ? 2) ? ?0 2 2 n ( n ? 1)所以单调减少。依莱布尼兹定理知 级数收敛8un单调减的研判，也可利用导数，具体做法如下： 令 f ( x) ? 则f ?( x ) ?x?1 ( x ? 1), xx 2 x?1 x2 ? x?1?x ? 2( x ? 1) 2x2? x?2 ? ?0 2 x ? 1 2 x ( x ? 1)所以f (x)在[1,+ ∞] 上单调减少，所以un =f (n) 单调减少。99.2.3、条件收敛与绝对收敛 下面讨论一般项级数 u1+u2 + u3+…+ un + …其中un为任意实数。 ? ? 1、定理 对于级数 ? un , 若级数? | un |收敛，1 n?1 证明：令 v n ? ( un ? un ), 显然有0≤vn≤| un |。 2 ?依正项级数的比较审敛法， 知? v n收敛， 进而知则级数? un 也收敛。?n ?1n ?1? 2v 收敛，n ?1 n?n ?1另一方面， un =2 vn－| ? n |，于是 u ? ? ? ? un ? ? (2v n ? un ) ? ? 2v n ? ? unn ?1 n ?1也收敛。10n ?1n ?1当? | un |收敛时，我们称任意项 级数n ?1???? u 绝对收敛。n ?1 n?我们称? un为条件收敛。 如果? un收敛， ? | un |发散， 而n ?1n ?1?n ?1例3( ?1) n ? n2 ? 1 n ?1?绝对收敛；( ?1) ? n n ?1?n条件收敛；11说明当? | un |发散时，我们一般不能 确定 ? un 也发散但是，如果我们是用比值法或根值法判定? | un |发散时，n ?1???n ?1?则? un 一定发散。n ?1n ?1这是因为这两种审敛法判定级数发散的依据是ρ&1，sin n? 例4 判别级数 ? 的收敛性。 2 n n ?1 ? sin n? sin n? 1 所以? 绝对收敛。 解： ? 2 2 n n2 n n ?1?此时un不趋于0 (n→∞)，不满足级数收敛的必要条件。121 1 n2 例5 判别 ? ( ?1) n (1 ? ) 的收敛性。 n 2 n ?1 解：这是一个交错级数，n?1 1 n e e | un | ? (1 ? ) ? ( n ? ? ), ?1 2 n 2 2 所以 lim un ? 0 该级数发散。 n? ? ? 1 n 例6 判断 ? ( ?1) ln( 1 ? ) 的敛散性。 n n ?1 1 1 解： un ? ln( 1 ? ) ~ ( n ? ? ) n nn所以原级数不绝对收敛。1 1 但 lim ln( 1 ? ) ? 0, 且{ln( 1 ? )}单调递减， n? ? n n所以原级数条件收敛。131 例7 讨论级数 ? n p 的敛散性。 n ?1 a n un ? 1 1 a nn p 1 解： lim ? lim n?1 ? ? p n? ? u n? ? a 1 |a| ( n ? 1) n (i) 当|a|&1时，原级数绝对收敛；(ii) 当|a|&1时，原级数发散；??1 (iii) 当a=1时，原级数变成 ? p 这是一p-级数， n ?1 n当p&1时该级数收敛，p≤1时该级数发散。 ? ( ?1) n 为交错级数， (iv) 当a=－1时，原级数变成 ? p n n ?1 当p&1时该级数绝对收敛， 当0&p≤1时级数条件收敛，当p≤0时级数发散。14级数第一次习题课 一、数项级数内容及要点（一）、 常数项级数的基本性质。（1）设常数 c ? 0 ，则 有相同的敛散性 （2）设有两个级数? ??un ?1 n?n ?与? cun ?1 n?n?un ?1?与??vn ?1若? un ? s, ? v n ? ? , 则? un ? vn ) ? s ? ? （ 若? un收敛 , ? v n发散 , 则? un ? v n )发散； （n ?1 n ?1 n ?115n ?1 ?n ?1 ?n ?1 ?若? un , ? v n均发散, 则? un ? v n )敛散性不确定。 （n ?1 n ?1 n ?1???（3）添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性。（4）设级数?un ?1?n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和注：一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； 一个级数加括号后所得新级数收敛，则原级数敛散性不确定。?（ ）级数 ? un收敛的必要条件： limun ? 0 5n ?1 n? ?注：级数收敛的必要条件常用判别级数发散.16（二）、 正项级数敛散性的判别法1、正项级数敛散性的判别程序：?un ?1?n? ? lim un ? 0 ?? ?n? ??un ?0比值法 根值法 ? ?1 ? ?1? n n ?1 nun0? u 发散n ?1 n?? u 发散 ? u 收敛n ?1?? ?1比较法的极限形式比较法的一般形式注：（1）比值法与根值法条件是充分但非必要； （2）凡涉及证明的命题不可用比值法与根值法 而只能用比较判别法。17? 2、任意项级数敛散性的判别程序： 比值法或根值法 ? un发散 n ?1 发散?un ?1?n? ? lim un ? 0 ?? ?n? ??un ?0?un ?1 ??n用正项级 数判别法 收敛un0? u 发散n ?1 n?? u 绝对收敛n ?1 n发散交错级数：莱布尼兹判 别法 收敛 ? ? un条件收敛 对un 进行处理；n ?1比较法 用定义, 性质 发散? u 发散n ?1 n?18二、典型例题 1 填空? n ?1(1) 若? a n收敛，则? a n 可能收敛也可能发散。2 n ?1? ??un ( 2) 已知lim ? 1， v n收敛，则? un ? n? ? v n ?1 n ?1 n ? ? an 2 绝对收敛 ( 3) 若? a n 收敛，则? 。 n ?1 n ?1 n ? sin n? 1 ( 4) ? ( ? ) 发散 。 n 2 n?1n n ?1 ? ( ?1) (5).级 数 ? ( p ? 0)， 当 p ? 1 时 ， 绝 对收 敛； 当 p n n ?1 p ? 1 时 ， 条 件收 敛 .19可能收敛也可 能发散。k?n (6) k ? 0,，则? ( ?1) n2 n ?1? n?条件收敛 。(7) 若? un收敛，则必收敛的级数 为（D ）n ?1( A)? (?1)n ?1?nun n( B)?un ?1?2 n(C )? un un ?1n ?1?( D)? (un ?1?n? un ?1 )20解：（1） 例如?n? 2?( ?1) n n?收敛，n1 ? n发散。 n ?2?对于(1) ，如果? n ?1?an ?1是正项级数，或? a n 绝对收敛， 则结论正确。因为an&1推出an2& an。( ?1) n 1 ? ( ?1) n ln n ( 2)例 lim ln n n n ? 1 ? lim ?1 n? ? n? ? n ( ?1) ln n但是( ?1) n 1 ? [ ln n ? n ]发散。 n? 2?21an 1 2 ( 3) | |? 2 ? a n , n n n ? ? ? 1 a 2 ? ? a n , ? 2 收敛， ? | ? | 收敛。 n ?1 n ?1 n n ?1 n k?n ? 2 k?n n ? 1, ? (6) ? lim ? n2 发散， n? ? 1 n ?1 n ? n k ? n 而交错级数? ( ?1) 收敛， 2 n n ?1原级数条件收敛 (7) (A),(B),(C)反例:?n? 2?( ?1) nn222 判断下列级数的敛散性1 (1)? 1 ? an n ?1( 3)? n tann ?1 ??( a ? 0)2 n n! ( 2)? n n ?1 n??2n?1( 4 )?n ?1?1 nn n 1n? ? n cos 3 ( 5) ? n 2 n ?12( 6 )???ln 10 n n ?1a (7)? s n ?1 n?n(a ? 0, s ? 0)(8)? n ? 1 (1 ? cos ) n n ?123?1 1 1 ? 1, 当a ? 1, lim ? n n n? ? 1 ? a n? ? 1 ? a 2 ?当a ? 1时, 原级数发散。 ? 1 1 1 当a ? 1, ? n ? ? n 收敛，原级数收敛。 n 1? a a n ?1 a ? 2 n n! ( 2)? n n ?1 nn?1 n un ? 1 2 ( n ? 1)! n lim ? lim[ ? n ] n?1 n? ? u n? ? ( n ? 1) 2 n! n n 2n 2 2 ? lim ? lim ? ?1 n n ? ? ( n ? 1) n? ? 1 n e (1 ? ) 级数收敛。 n1 (1)? 1 ? an n ?1 当a ? 1, lim?( a ? 0)24( 3)? n tann ?1??2 n?1( n ? 1) tan n? 2 un ?1 2 lim ? lim n? ? u n? ? ? n ? n tan ? lim ( n ? 1) nn? ???2n? 21 ? ?1 22 n?1级数收敛。( 4 )?n ?1?1 nn n2 n?1? lim n ? 1 ,n n? ?1 取v n ? , n25因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .n? ? n cos 3 ; ( 5) ? 2n n ?12n? n cos 3 ? n , n un ? 令 vn ? n , 2n 2n 22v n ?1 n ? 1 2n n?1 1 ? lim ? lim n?1 ? ? li m ? ? 1, n? ?? v n? ?? 2 n n? ?? 2n 2 nn ? ? n 收 敛, n ?1 2?根据比较判别法，原级数收敛．261 1 因 n 充分大时 ? 10 , n ln n发散,?∴原级数发散 .an (7) ? s (a ? 0 , s ? 0) : 用比值判别法可知: n ?1 n(8)? n ? 1 (1 ? cos ) n ? n ?1 n ? 1 (1 ? cos ) ?2 n ? ? lim 3 n? ? 2 ∴原级数收敛 . 1/ n2s ? 1时收敛; a ? 1 时, 与 p 级数比较可知 ? s ? 1时发散. ?a ? 1 时收敛 ; a ? 1 时发散.273.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: ? sin n? 1 ? (1) ( ?1) n ? 1 n ? 1 ;?n ?1?( 3) ? sin(n? ?n? 2??1 n n)( 4)( ?1) ? n ? lnn n ?1? n( 5) ?n? 2( ?1)nn ? ( ?1) nsin n? 1 ?解： ) ?| u n |? (1?n?1?1?n?1??n ?1?1n?1收敛 , 故原级数绝对收敛 .28( n ? 1) ! ( 2) ? ( ?1) n?1 n n ?1? n因un ?1 ? unn? 2 1 n?1 n ? ? ? (1 ? ) n?1 n?1所以原级数绝对收敛 .29( 3) ? sin(n? ?n? 2?1)所给级数为交错级数。n n 1 n 解 a n ? (?1) sin n nsin 1 n n?当n→∞时，~1 n n??n? 2?1 n n收敛 ? ? sinn? 21 n n收敛 ?原级数绝对收敛301 1 解(4) ? ? , 而 n ? l nn n?1 ? n 发 散, n ?1??n ?1?? ( ?1) n 1 ?? 发 散, n ? ln n n?1 n ? ln n即原级数非绝对收敛． ? ( ?1) n 级 ? n ? lnn 是 交 错 数, 由莱布尼茨定理： n ?1 ln n ln x 1 ? lim ? lim ? lim ? 0, n ? ?? n x ? ?? x x ? ?? x 1 1 ? lim ? lim n ? 0, n? ?? n ? ln n n? ?? ln n 1? 1 n ? ? f ( x ) ? x ? ln x ( x ? 1), f ( x ) ? 1 ? x ? 0 ( x ? 1), 311 单 减, ? 在 (1,??) 上单增 即 , x ? lnx 1 故 当 n ? 1时单减 , n ? ln n 1 1 ? un ? ? ? un?1 ( n ? 1), n ? ln n (n ? 1) ? ln(n ? 1)所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．32解(5)：这是一个交错级数，( ?1) n?n? 2?n ? ( ?1) n?1 n ? ( ?1) n?1 n?11 n?1发散，所以该级数不是绝对收敛的。1 n ? ( ?1) n ? 0 但un不是单调减少的：易知 un ?当n为偶数时， 1 un ? , un ? 1 ? n?11 n ? 1 ? ( ?1)n?1?1 nun & un+1；33当n为奇数时，un ?1 n?11, un ? 1 ?11 n ? 1 ? ( ?1)1 ? 1 4n?1?1 n? 21 2n ? 1 ?un & un+1。1 2n前2n项之和记为S2n，则S 2n ? ( 3 ? 2 )?( 5) ??? ()每个小括号内皆为负值，故S2n 是单调减少的，同 时又有 1 1 1 1 1 S 2n ? ? ?( ? )?( ? )?? 2 3 4 5 6 1 1 1 1 ?( ? )? ?? 2n ? 1 2n 2n ? 1 234所以{S2n}单调减且有下界，故 lim S 2 n 存在，记为S。n? ?又由于n? ?lim un ? 0n? ?? lim S 2 n?1 ? lim ( S 2 n ? u2 n?1 ) ? Sn? ?所以lim S n ? Sn? ?即原级数收敛。所以原级数为条件收敛。35求下列极限： 1 n 1 1 k ( 2) lim ? k (1 ? ) n? ? n k? k ?1 3 4解（1）：考察? n ?1n! (1) lim n? ? 2 ? 5 ? 8 ? ( 3n ? 1) 2所以? un收敛， lim un ? 0. ??n? ?un ?1 1 ? un , lim u ? 3 n? ? n ?1 n? 1 1 n2 解( 2)：考察级数? n (1 ? ) ? ? a n n n ?1 3 n ?1 1 1 n e n a 因为 lim (1 ? ) ? ? 1 n ? lim n? ? n? ? 3 nn 3 1 1 k2 此级数收敛 即 lim ? k (1 ? ) ? s n? ? k k ?1 3 n 1 1 1 k2 所以 lim ? k (1 ? ) ? 0 n? ? n k k ?1 3365 (1)设偶函数f (x)在x=0的某邻域二阶导数连续， ? 1 且 f (0)=1， 证明级数? [ f ( ) ? 1]绝对收敛。 n n ?1 证明：因为偶函数f (x)在x=0的某邻域有连续的二阶 导数， ?f ??(0) 1 ? 1? ? o( 2 ) 2 2n n 1 1 f( )?1 o( 2 ) 于是 f ??(0) f ??(0) n n lim ? lim ? ? n? ? n? ? 1 1 2 2 ? ? 1 n2 1n 2 ? ? f ( ) ? 1收敛 ? ? ( f ( ) ? 1)绝对收敛 n n n ?1 n ?11 1 f ??(0) 1 2 1 且f ( ) ? f (0) ? f ?(0) ? ? ? ( ) ? o( 2 ) n n 2 n n故f (0) ? 0，37( 2)设级数? (an ?1?n ?? a n ?1 )收敛，且? bn为收敛的n ?1?正项级数，证明 a n bn 绝对收敛。 ?证明 : ? (a n ? a n?1 )收敛, ??n ?1? lim s n ? lim (a1 ? a 0 ? a 2 ? a1 ? ?a n ? a n?1 )n? ? n? ?n ?1? lim (a n ? a 0 ) ? sn? ?? lim a n 存在， | a n |? M ?n? ??| a n bn |? M | bn |? ? a n bn 绝对收敛。n ?138( 3)设级数?? a ， b 为收敛的级数，a ?n ?1 n n ?1 n??n? c n ? bn ,证明? c n收敛。证:? 0 ? c n ? a n ? b n ? a n (n ? 1 , 2 , ?) , 则由题设? nn ?1? (bn ?1? a n ) 收敛(c n ? a n ) 收敛 ??? ? [( c n ? a n ) ? a n ] ? ? (c n ? a n ) ? ? a nn ?1 n ?1 ? n?1 ??n ?1收敛39
更多搜索：
All rights reserved Powered by
文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。