吴国平:会解此类数学压轴题, 那么就没有压轴题能难住你
数学难学吗？对于绝大部分学生来说，数学是非常难学的一门学科，单单要去掌握那么多基本知识点、概念、定理等等已经不容易，更何况还要学会运用这些知识内容去解决实际问题。
你以为这样就可以了吗？要想考取数学高分，更加要学会理解和感受、运用数学思想方法。
数学是一门特色鲜明的学科，如讲究系统性、思维性、逻辑性等等，这些都要求学生具有较高的思维能力。因此，在平时的数学学习过程中，我们除了加强知识运用能力的培养，更要加强数学思想方法的学习。
如动点相关问题一直是中考数学的热门考点，甚至在全国很多地方的中考试卷中，动点问题一直是必考考点。相关题型知识容量大，题型变化多端，解法灵活，要有考生具有较强的解题能力。
只要跟动点相关的问题，一般都会考查到很多数学思想，如数形结合、分类讨论思想、函数与方程等等。
在很多问题当中，动点和分类讨论就像一对“亲兄弟”，经常放在一起考查大家的知识水平。分类讨论思维性更强，体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略。解决问题过程中如果需要对问题各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想。
无论是中考还是高考，数学思想在中高考中渗透越来越深，题型也越来越广。动点思想方法和分类讨论思想方法是我们在解答数学问题时经常遇到数学思想。
因此，今天我们就一起来讲讲动点问题中的分类讨论。
典型例题分析1：
如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．
考点分析：
二次函数综合题．
题干分析：
（1）直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m≠0，则m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标；
（2）根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式；
（3）分两种情况讨论：
①当0≤t≤1时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；
②当1＜t≤2时，S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合，这里不重合的图形就是△GE′F，利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论。
解题反思：
这是一道跟二次函数相关的综合问题，考查到矩形、待定系数法确定函数解析式、添加辅助线、勾股定理等知识，牵扯到动点问题，解题的关键是学会分类讨论，用数学思想方法解决问题，属于中考压轴题。
与动点相关的中考题型一般有：函数中的动点问题、几何图形中的动点问题、图形运动型问题等。
几何学习，我们经常会说：点动成线，线动成面。动点问题就像一个关节点，能让很多知识点链接到一块，如与几何知识、函数知识等进行相关联。因此，如果你想要吃透动点类综合问题，就需要吃透几何、函数等板块的知识内容，如学会抓住一些图形特殊位置、关键数量关系中的“变”与“不变”的问题。
有动就会有变化，有变化就可能存在不确定性，这种不确定性很多时候就需要进行分类讨论。当我们要解决的数学问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，这就是分类讨论思想的具体体现。
学会利用分类讨论思想去解决问题，有利于我们学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。
因此，与动点问题中的分类讨论相关的问题能很好考查一个学生的综合问题解决能力，如在不同知识点中，动点问题中的分类讨论出题方式又不一样，此类问题自然就成为全国很多地方每年中考必考类型。
典型例题分析2：
如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积。
考点分析：
二次函数综合题．
题干分析：
（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；
（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；
（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．
解题反思：
这也是一道典型与动点问题中的分类讨论相关的问题，非常考验大家解题能力。
面对分类讨论，很多学生在解决此类问题的时候容易出错，不是忘了分类讨论，就是讨论不全，即使都考虑到所有分类谈论情况，也因一些步骤问题造成分数丢失。
无论是是动点思想，还是分类讨论，都逐渐成为近几年中考数学命题的热点，大部分时候都以压轴题的形式出现。解题过程中，我们一定要学会抓住一些特点，如要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决。
同时，要想成功解决与动点问题中的分类讨论相关的问题，还需要掌握好方程思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想、转化思想等数学思想方法。
随着中考改革不断深入，中考数学已经从过去侧重考查知识概念，逐渐过渡到考查学生知识综合运用能力，尤其是突出对数学思想综合运用的考查，大家一定要认真掌握好。
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今日搜狐热点一道80%中国考试都做错了的SAT数学题_网易教育
一道80%中国考试都做错了的SAT数学题
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相对而言SAT数学题的知识难度对于中国学生并不高，关键在于熟悉数学的英语词汇和表达，多用灵活的思路，经过系统的学习和练习，都完全可以拿到很高的分数。
网易教育讯 SAT数学部分可以说是中国学生信心十足的强项部分，但这道数学题2005年10月SAT考试第五个section里面的第20题，正确率竟然不到18%！原题如下：If j, k, and n areconsecutive integers such that 0 & j & k & n and the units(ones)digit of the product jn is 9,what is the units digit of k?&(RT-M)(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(E) 4针对此题，SAT考试专家郑峻华给予了详细讲解：我想有相当多的学生可能首先是没有读懂这道题，units digit指的是我们说的“位”，ones的意思是“个位”。这道题还原成中文意思是：如果j，k和n是三个连续整数且满足0 & j & k & n这一条件，同时j与n相乘所得的积个位数是9，请问k这个数字的个位数是多少？答案是从0-4这五个连续数字中进行选择。译成中文后，我们会发现这是一个需要灵活思维的题目。两个正整数相乘所得的积个位数是9，那么这两个数字（j和n）的个位数只有可能两种组合可能，分别是3和3，1和9。由于j，k，n，三个数字是连续整数，j和n当中有一个k，那么只有可能k是以0为个位数的数字。比如j=9，k=10，n=11，就满足了题目中所提到的条件。显然答案是A。专家说，在SAT考试中对于美国学生比较难的数学问题对于中国学生来说是通常是比较容易的，毫无疑问是中国学生的优势所在。但在日常教学中发现中国学生在SAT数学题上通常遇到两大障碍。障碍一：由于对英语数学词汇和表达不熟悉，造成题目理解的困难或错误。比如2013年一套SAT数学部分题目，不少同学感到有些困惑。题目如下：The bar graph above shows the number of students who were absent from Jackson HighSchool each day last week. Of those students, 8 were absent exactly 2 dayseach, 1 was absent 3 days, and no students were absent more than 3 days. If 5percent of the students in the school were absent at least 1 day last week, howmany students are enrolled in Jackson High School?我们将之翻译成中文：以上图形说明了杰克逊高中上周每一天的学生缺勤情况。在缺勤的学生中，有8名学生缺勤两天，1名学生缺勤三天，没有一位学生缺勤超过三天。假如该校学生上周有5%至少缺勤一天，请问杰克逊高中在校学生是多少？这是一道结合了图形理解和人次及实际人数的计算，对于学生的数学题正确理解及计算中的准确性有一定的要求。根据图形提供的信息，上周，该中学缺勤的人次总共是25+20+10+15+20=90，8名学生缺勤两天，则8人造成16人次缺勤，1名学生缺勤三天，则1人造成3人次缺勤。由此，90人次缺勤中实际缺勤一次及以上的人数为90-8-2=80。原题信息5%的学生至少缺勤一天，则学校总人数是80除以5%，全校人数1600人。障碍二：SAT数学题多需要巧妙的思维，而非复杂的运算。在与中国SAT学生交流的过程中，我们经常会说“SAT数学题是脑筋急转弯”，意思就是题目经常需要学生有巧妙的思维，而不见得是复杂的计算能力。以下是一道经典的老题：On the number line above, the tick marks are equally spaced. Which of the letteredpoints (A,B,C,D and E) represents y ?以上数据线，各个小竖线所切分部分为等长，请问哪一个点代表y?不少同学因为x+y处于x和(x+y)/2之间而困惑不解，甚至认为原题图形有错。惯性思维促使同学们总觉得(x+y)/2应该小于(x+y)呀，于是大家不知如何下手。其实(x+y)/2在哪里根本不影响本题，只要记住(x+y)/2一定在x点和y点之间，加上所有小竖线划分的区间等值，就可以判定y点就是E。当然我们可以进行相对复杂的运算，由于(x+y)在x和(x+y)/2之间，我们可以列出以下等式：(x+y)X2=x+(x+y)/2&可以推导出x= -3 y举例，y=1, x= - 3&应该符合这一条件。由此，x点为- 3, x+y为 -2，(x+y)/2&为 -1, y点应该是1。由此推断小竖线划分的每一个小格为0.5，由此推出y点在E。这当然是比较复杂的做法，虽然可以得出同样的结论，但花费的时间更多，过程更为复杂，复杂过程造成差错的可能性也就增加了。再例如此题：In the xy-coordinate plane, point P is thereflection of the point with coordinates (3, 1) across the line y = x. Point Tis the reflection of point P across the y-axis. What are the coordinates of T?(A) (–3, 1)(B) (–1, –3)(C) (–1, 3)(D) (1, –3)(E) (3, –1)题目翻译成中文：在由x轴和y轴形成的平面上，点P是座标为(3,1)的点基于轴y=x的映射点，点T是点P基于y轴的映射点，问：点T的座标？这道题目有聪明且快捷的做法吗？轴y=x是以45度角斜穿xy平面的直线，且经过原点(0,0)，点(3,1)基于轴y=x映射到点P，则点P的座标应该与(3,1)一样，x,y值同为正值。点T是点P基于y轴的映射，则T点与P点的y座标相同，x座标为负值。由此答案应该是座标中x值为负值，y值为正值。满足这一条件的只有A和C。简单画一个图形就知道，A点是(3,1)基于y轴的映射点，应该只有C点满足要求。假如我们通过几何图形的计算，比如P点，原点和(3,1)形成等腰三角形，且y=x这一直线与P点与(3,1)形成的三角形的底形成直角，这样进行一番计算……我只能说，同学们，当你拿起草稿纸，开始大张旗鼓地计算的话，你基本上已经走上了一条错误的道路。
专家说，相对而言SAT数学题的知识难度对于中国学生并不高，关键在于熟悉数学的英语词汇和表达，多用灵活的思路，经过系统的学习和练习，都完全可以拿到很高的分数。2016新版样题显示出SAT数学题目的文字部分长度大于现版，对中国考生而言，能否正确理解题目的要求是一个考验，数学部分更侧重考察推理和应用能力。学生在备考中，基础的数学词汇需要记忆，熟悉各类题型、必要的练习自然是不可少的。同时切记不要粗心，在数学上犯无谓的错误造成失分实在可惜。（本文作者：SAT考试专家、西奈山国际研究院副院长郑峻华）
本文来源：网易教育频道专稿
责任编辑：王晓易_NE0011
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分享至好友和朋友圈百度文库全网首发高考数学真题，难题得分点有详解
　　昨日下午，随着2016高考数学科目的结束，一大拨儿考生的紧张心理也缓解了一半。从高考命题组到各省高三教师以及参考学生的评价来看，今年高考数学题难度与近3年相当，命题思路稳中求新，侧重解决实际问题的能力。数学科目结束后，来自百度文库高考估分教师团的答题教师第一时间解答完各省高考数学卷，并亲笔解析其中易拉出分数差距的难题和详细的步骤得分点，方便考生自查及进行数学估分。
　　在数学科目考完后1个小时内，百度文库昨日下午全网首发了2016全国Ⅰ、Ⅱ卷和北京卷的高考数学真题，并迅速覆盖全国20个省份。来自全国一线高考教师组成估分教师天团，第一时间对真题试卷进行了判定，并对主观试题进行了详细的步奏解析和得分点标识。
　　来自教师天团的数学老师指出，全国Ⅰ卷理科数学难题为20题和21题。全国Ⅱ卷理科数学难题为20题，北京卷理科数学难题为19题和20题。这几道难题易拉开分数差距，但能写出相关得分点步骤，依然能帮助拿到一定的分值。对此，从百度文库高考真题页面可以发现，百度文库估分教师团亲笔解析出了各省数学主观试题的详细解题思路和相关得分点，并于文库估分系统中展示供考生参考估分。
　　据悉今年百度文库升级高考闪电估分服务。考生在各科考试完毕后，百度文库高考估分教师团将在第一时间对真题试卷进行解析，并通过百度文库估分系统为考生提供参考估分的服务。答题组的教师全部来自全国知名中学学府，其中不乏拥有多年参与高考考题命制经验的资深教师。依托过硬的专业素质和对命题思路的良好把握，考试进行过程中，“教师团”拿到真题资源后，与考生“同步答题”，推进对应科目试题答案的编写工作。而在这一过程中，各考区的教研员则会对答案进行二次审阅修订，并对难题进行标注，同时罗列出题目对应的知识考点。
　　同时百度文库高考估分系统也已于昨日启动，目前考生只要通过手机百度语音搜索，喊出“我要高考”即可获得2016年各科高考真题答案，帮助考生及时估分，从而为报考多做一份准备。
　　百度文库高考估分入口：
　　/topic/gaokao2016/gufen
编辑：海量
关键词：文库;高考;真题;详解;数学
随着时间的推进, 各地高考一轮复习划上了句号,“一模”考试也陆续结束。百度文库内试题资源的及时补充与更新,也对考生实时掌握高考动态、合理规划复习重点与方向提供了一定程度上的有效参考。据了解,百度高考APP的题库在近日也会进行新一轮整合和补充,进一步优化考生的复习体验。
作为世界第二大经济体，中国经济仍然是世界经济的稳定之锚、增长之源。在此背景下，今年两会针对我国经济会出台何种方针政策，成为了全社会乃至全世界的首要关注点。
日，中国民主法制出版社携手百度文库，在北京图书订货会现场举办了“中华人民共和国法律标准文本发布平台”上线仪式。现场，中国民主法制出版社原社长、全国人大民族委员会调研室原主任艾其，作为特邀嘉宾参与了此次上线仪式。
央广网官方微信
手机央广网　　摘要：暑假期间，数学应该怎么备考?不刷题吗？不可能！那怎么刷题？怎么学？在备考过程中应该怎样利用手头教材和题目，达到高效复习的目的呢，且听帮帮一一道来。
　　一、重视教材，夯实基础知识
　　从历年真题来看，考研试卷中70%的题目都是对基础知识，基础能力的考查。这就要求在复习的时候一定要对教材中的基本概念、基本公式、基本定理以及解题基本方法有一个足够的重视。怎样才算完成了基础阶段的学习呢？暑假目标是：教材至少过一遍，教材中基础例题的解题思路要非常清晰，能够独立完成。
　　数学一和数学三的考试中，高等数学占到了56%，而数学二的考卷中高等数学占78%，所以考研高数无疑是研究生入学考试的重中之重。了解了这个事实之后，我们在复习的时候就要学会有的放失，把复习的侧重点放在高等数学上，力求在有限的时间里做到事半功倍。
　　接下来从现阶段的复习进度分析，此前对教材基础知识学习如果顺利完成的考研er，那么就可以利用暑期进行一个综合检测。以教材为依据，并辅以以往自己未能&通过&的题目对自己进行一个复习成效的测试。以明确自己知识框架和知识点的把握，题型方法的掌握是否过关。找到自己&最短的那块木板&，然后反馈到教材中，再一次看看这些内容的来龙去脉。
　　还有一些考研er，着手较晚或是基础较薄弱，现阶段还没能把教材基础知识复习完。对此，在暑假的安排就是要把剩余的教材内容进行归纳，充分利用暑假的时间把教材内容复习完。在复习过程中先抓住重点内容，把这些内容弄懂吃透；而对于考试大纲要求的但并不是重点考查的内容可以少安排一点时间。在强化复习时一遇见理解有障碍或概念模糊的内容，随时翻阅教材，力求达到教材内容了然于胸。
　　二、做题要会总结分析，才算真正&做题&
　　考研数学复习中最重要的就是做题。然而同是做相同的题目，不同的人收获的却大相径庭。其中一个很重要的原因就是：做题后的总结和分析。事实上，无论是做教材上的习题还是历年真题，都应该从宏观和微观两个层次上去总结分析题目的考点，归纳题目的解题方法，对于独特的处理方法和运算技巧还需要特别的留意，解答中的关键点和入手点要认真琢磨是如何在题目条件中挖掘出来的。
　　再者练习题目一定要准备一个专门的笔记本完整的写下自己的解答，而不是在脑中进行大体地勾勒，也不是在演草纸上稍加书写觉得会做就放过去了。在暑假的复习阶段可以说时间是充裕的，不要感觉写那些步骤太浪费时间，写下解答的好处是每做一个题目都能够整理一下思路，按照题目的解答逻辑清晰的展示推理过程，步骤环环相扣，中间过程完整，这也正是考试对解答题目的解答要求；另外这样做也便于如果答案不正确时的检查核对。
　　做题练习的另一个重要的工作就是学会把题目分类。通过自己亲自动手去练习大致可以把题目分成四类。
　　第一类：如果你学习完本章节知识内容后，能够轻松地将该题目解答出来，并且条理清悉，运算顺利，那么将这类题目归入第一类。这类题目对你而言已经是真的学会并已经掌握的题目，我们就不用在这类题目中花更多的时间和精力了，将其标注为&通过&。
　　第二类：如果有些题目你需要花费一定的时候(15分钟左右)才能将其它基本解答出来，那这类题目暗示着你对其所考知识点或是入手点亦或是关键点不熟悉，在以后的复习中要有意的训练自己这类知识或方法的学习。
　　第三类：再有些题目，如果只是依靠自己分析并花了很多时间也未能将其解答出来，但是在答案的帮助下能够动手解答出来，那这些题目就被分为第三类。这类题目将是你进入第二阶段复习是必须要攻克的目标。从而就为自己下一阶段的复习明确了复习目标，找到了复习重点。
　　最后，如果有些题目你即使是在答案的帮助下也无法完成，只知其然，不知其所以然的话，则说明这些题目所考察的知识点在目前阶段是你的一个知识盲点。这就要求你在以后的复习中多多注意这些知识点的学习和应用。而这一点题目也就成了你下一阶段复习要努力掌握的一类题型了。
　　通过以上分析，现在应该了解怎样才是真正的&做题&了。
　　另外，有一点需要说明，题海战术不是不主张，而是提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变。要训练抽象思维能力，对一些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要做到不用书写，只需用脑子默想，基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒。所以考研er们在学习过程中一定要注意多思考、多练习、多总结。这样你的学习一定会大有提高
　　三、调整心态，排除干扰，坚定考研决心
　　考研复习历时漫长，期间会受到各种因素的影响而产生各种想法，比如因为题不会做而产生烦躁的情绪，因为内容难不容易理解而厌恶继续复习，因为周边环境喧嚣而无法安心学习等等。特别是在暑假期间天气炎热，坐不住，心情烦躁，总想出去转转，学习提不上精神，难以忍受坐在那里埋头苦干的寂寞与枯燥。以至有的考研er复习到中途就放弃了，所以一定要保持一个良好的心态，保持高昂的学习兴趣，不断的用目标刺激自己、鼓励自己，多和其他考生交流，心烦气躁时相互激励，遇到问题一起讨论交流，相互打气，一起努力。
　　（我是实习小编小白：只要目标向前，你可以到任何的地方。）
关于"最后阶段，真题的正确打开方式_备考经验_考研帮"有15名研友在考研帮APP发表了观点
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