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平行四边形经典练习题(3套)附带详细解答过程
练习 1一、选择题（3′×10=30′） 1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（ ） ． A．内角和为 360° B．外角和为 360° C．不确定性 D．对角相等 2． ABCD 中，∠A=55°，则∠B、∠C 的度数分别是（ ） ． A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125° 3．下列正确结论的个数是（ ） ． ①平行四边形内角和为 360°；②平行四边形对角线相等； ③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补． A．1 B．2 C．3 D．4 4．平行四边形中一边的长为 10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ） ． A．4cm 和 6cm B．20cm 和 30cm C．6cm 和 8cm D．8cm 和 12cm 2 5．在 ABCD 中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ? ABCD=15cm ，则 AB 与 BC 的值可能是（ ） ． A．5cm 和 6cm B．4cm 和 7cm C．3cm 和 8cm D．2cm 和 9cm 6．在下列定理中，没有逆定理的是（ ） ． A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等; B．直角三角形两个锐角互余; C．全等三角形对应角相等; D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 7．下列说法中正确的是（ ） ． A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题 8．一个三角形三个内角之比为 1：2：1，其相对应三边之比为（ ） ．??A．1：2：1B．1： 2 ：1C．1：4：1D．12：1：29．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（ ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图所示，在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN．若 AB=?14，?AC=19，则 MN 的长为（ ） ． A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 二、填空题（3′×10=30′） 11．用 14cm 长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的 比为 3：4，短边的比为________，长边的比为________． 12．已知平行四边形的周长为 20cm，一条对角线把它分成两个三角形，?周长都是 18cm，则 这条对角线长是_________cm． 13．在 ABCD 中，AB 的垂直平分线 EF 经过点 D，在 AB 上的垂足为 E，?若 ABCD?的周长 为 38cm， △ABD 的周长比 ABCD 的周长少 10cm， 则 ABCD 的一组邻边长分别为______． 14．在 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，且 AB=BE，又 AE 的延长线交 DC 的延长线于点 F．若? ????∠F=65°，则 ABCD 的各内角度数分别为_________． 15．平行四边形两邻边的长分别为 20cm，16cm，两条长边的距离是 8cm，?则两条短边的距 离是_____cm． 16． 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______， ?那么这两个命题是 互为逆命题． 17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________． 18．在直角三角形中，已知两边的长分别是 4 和 3，则第三边的长是________． 19．直角三角形两直角边的长分别为 8 和 10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两 部分的长分别是__________． 20． △ABC 的两边分别为 5， 12， 另一边 c 为奇数， 且 a+b+?c?是 3?的倍数， ?则 c?应为________， 此三角形为________三角形． 三、解答题（6′×10=60′） 21．如右图所示，在 ABCD 中，BF⊥AD 于 F，BE⊥CD 于 E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm， 求 ABCD 的周长．???22．如图所示，在 ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF. 求证： （1）AE=CF； （2）AE∥CF．?A F E B CD23．如图所示，? ABCD 的周长是 103 +6 2 ，AB 的长是 5 3 ，DE⊥AB 于 E，DF⊥CB 交CB?的延长线于点 F，DE 的长是 3，求（1）∠C 的大小； （2）DF 的长．24．如图所示， ABCD 中，AQ、BN、CN、DQ 分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、?∠CDA 的平分 线，AQ 与 BN 交于 P，CN 与 DQ 交于 M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述 条件推出的结论，并给出证明过程（要求：?推理过程中要用到“平行四边形”和“角平 分线”这两个条件） ．?25．已知△ABC 的三边分别为 a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n&4）. 求证：∠C=90°．26．如图所示，在△ABC 中，AC=8，BC=6，在△ABE 中，DE⊥AB 于 D，DE=12，S△ABE=60，? 求∠C 的度数．27．已知三角形三条中位线的比为 3：5：6，三角形的周长是 112cm，?求三条中位线的长．28．如图所示，已知 AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．29．如图所示，△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上，△ABC 绕点 A 旋转，BE⊥MN 于 E，?CD?⊥MN 于 D，F 为 BC 中点，当 MN 经过△ABC 的内部时，求证： （1）FE=FD； （2）当△ABC 继续旋 转，?使 MN 不经过△ABC 内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？30．如图所示，E 是? ABCD 的边 AB 延长线上一点，DE 交 BC 于 F，求证：S△ABF=S△EFC．答案: 一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C 二、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm 和 10cm 14．50°，130°，50°，130° ? ? 15．10 16．结论 题设 17．同旁内角互补，两直线平行 18．5 或 7 三、21． 19．? ABCD 的周长为 20cm40 32 50 41, 41, 41 41 41 4122．略 24．略20．13 直角23． （1）∠C=45° （2）DF=5 6 225．?略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm；20cm；24cm 28．提示：连结 BD，取 BD?的中点 G，连结 MG，NG 29． （1）略 （2）结论仍成立．提示：过 F 作 FG⊥MN 于 G 30．略练习 2一、填空题(每空 2 分,共 28 分) 1.已知在 cm . ABCD 中,AB=14 cm ,BC=16 cm ,则此平行四边形的周长为 2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说明 (只需填写一种方法) D A 3.如图,正方形 ABCD 的对线 AC、BD 相交于点 O. O 那么图中共有 个等腰直角三角形. 4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入 下列相应的空格上. B (第 3 题) C (1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成;(2)菱形可以由两个能够完全重合的 (3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成; 拼合而成.5.矩形的两条对角线的夹角为 60? ,较短的边长为 12 cm ,则对角线长为 cm . 6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形 ,那么这个梯形中除两个直角外,其? ? 余两个内角的度数分别为 和 . 7.平行四边形的周长为 24 cm ,相邻两边长的比为 3:1,那么这个平行四边形较短的边长为 cm .8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为lm.A 1m OBD1m (第 8 题) (第 10 题) C 9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为 12 cm 和 6 cm ,那么这个平行四边形cm 2 . 的面积为 10.如图, l 是四边形 ABCD 的对称轴,如果 AD∥BC,有下列结论: (1)AB∥CD;(2)AB=CD;(3)AB ? BC;(4)AO=OC.其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上) 二、选择题(每题 3 分,共 24 分) 11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（ ） A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形 12.下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形 但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 14. 四边形 ABCD 中，AD//BC，那么 的值可能是（ ） A、3：5：6：4 B、3：4：5：6 C、4：5：6：3 D、6：5：3：4 15.如图,直线 a ∥ b ,A 是直线 a 上的一个定点,线段 BC 在直线 b 上移动,那么在移动过程中 ( ) ?ABC的面积 A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定AaAD EB(第 15 题)CbBF C(第 16 题)(第 17 题)16.如图,矩形 ABCD 沿着 AE 折叠,使 D 点落在 BC 边上的 F 点处,如果 ?BAF ? 60? ,则 ?DAE 等 于 ( ) A. 15? B. 30? C. 45? D. 60? 17.如图,在 ?ABC中,AB=AC=5,D 是 BC 上的点,DE∥AB 交 AC 于点 E,DF∥AC 交 AB 于点 F,那么四边形 AFDE 的周长是 A.5 B.10( C.15 D.20)18.已知四边形 ABCD 中,AC 交 BD 于点 O,如果只给条件“AB∥CD”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法: (1)如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形 ABCD 一定是平行四边形; (2)如果再加上条件“ ?BAD? ?BCD”,那么四边形 ABCD 一定是平行四边形; (3)如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形 ABCD 一定是平行四边形; (4)如果再加上条件“ ?DBA? ?CAB ”,那么四边形 ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是( ) A.(1)(2) B.(1)(3)(4) C.(2)(3) D.(2)(3)(4) 三、解答题(第 19 题 8 分,第 20~23 题每题 10 分,共 48 分)? 19.如图, ABCD中,DB=CD, ?C ? 70 ,AE⊥BD 于 E. 试求 ?DAE的度数.AD E(第 B 19 题)CABCD 中,G 是 CD 上一点,BG 交 AD 延长线于 E,AF=CG, ?DGE ? 100? . 20.如图, (1)试说明 DF=BG; (2)试求 ?AFD的度数.EDGCAF(第 20 题)B21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行: (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使 AB=CD,EF=GH; (2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ; (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框 无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .(图①)(图②) (第 21 题)(图③)(图④)22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘 ,在它的四个角上均有一棵大柳树 ,李大伯开挖 池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问 李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由. A B (第 22 题) C D答案1.60. 2.平行四边形;有一组邻边相等. 3.8. 提示:它们是 ?AOB , ?BOC , ?COD , ?AOD , ?ABD , ?ABC , ?BCD , ?ACD . 4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形. 5.24. 6. 135; 45. 7.3. 8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边 进行平移后可得到一个边长为 1 m 的正方 形,所以它的周长为 4 m . (第 8 题) 9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半. 10. (1)(2)(4). 提示:四边形 ABCD 是菱形. 11.B. 12.D. 13.C. 14.C. 15.C. 提示:因为 ?ABC的底边 BC 的长不变,BC 边上的高等于直线 a , b 之间的距离也不变,所 以 ?ABC的面积不变. 16.A. 提示:由于 ?FAE是由?DAE通过折叠后得到的 , 所以?FAE ? ?DAE ?1 90? ? ?BAF . 2??17.B. 提 示 : 先 说 明 DF=BF,DE=CE, 所 以 四 边 形 AFDE 的 周 长 =AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18.C. 19. 因为 BD=CD, 所以 ?DBC ? ?C , 又因为四边形 ABCD 是平行四边形 , 所以 AD ∥ BC , 所以?D ? ?DBC , 因为 AE ? BD, 所以在直角?AED中, ?DAE ? 90? ? ?D ? 90? ? 70? ? 20? .20.(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AB=DC,又 AF=CG,所以 AB－AF=DC－CG,即 GD=BF, 又 DG∥BF,所以四边形 DFBG 是平行四边形,所以 DF=BG; (2) 因 为 四 边 形 DFBG 是 平 行 四 边 形 , 所 以 DF ∥ GB, 所 以 ?GBF ? ?AFD , 同 理 可 得 ,所以 ?AFD ? ?DGE ? 100? . ?GB F? ?DG E21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形. 22.如图所示,连结对角线 AC、BD,过 A、B、C、D 分别作 BD、AC、BD、AC 的平行线,且这些 平行线两两相交于 E、F、G、H,四边形 EFGH 即为符合条件的平行四边形. E B F C A H D G练习 31、把正方形 ABCD 绕着点 A ，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG ，边 FG 与 BC 交于 点 H （如图） ．试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想． D G H F A B E 2、四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜 想 AE 与 CG 之间的位置关系，并证明你的猜想． C3、将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 C 与 A 重合，点 D 落到 D′ 处，折痕为 EF． （1）求证：△ABE≌△AD′F； （2）连接 CF，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你 D ′ 的结论． A F DBEC挑战自我： 1、 (2010 年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A．90° B．60° C．45° D．30°2、 （2010 福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 3． （2010 年北京顺义） 若一个正多边形的一个内角是 120°， 则这个正多边形的边数是 （ ） A．9 B．8 C．6 D．44、 （2010 年福建福州中考）如图 4，在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AC=14， BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为 。 5、 （2010 年宁德市）如图，在□ABCD 中，AE＝EB，AF＝2，则 FC 等于_____． 6题D C FE A DA E 第 5 题图 BBCF6、(2010 年滨州)如图,平行四边形 ABCD 中, ∠ABC=60°,E、 F 分别在 CD、 BC 的延长线上,AE ∥BD,EF⊥BC,DF=2,则 EF 的长为 7、(2010 年福建晋江)如图， 请在下列四个关系中， 选出两个恰当 的关系作为条件， ．．．． 推出四边形 ABCD 是平行四边形， 并予以证明． （写出一种即可） 关系： ① AD ∥ BC ，② AB ? CD ，③ ?A ? ?C ，④ ?B ? ?C ? 180 ? ． B C A D已知：在四边形 ABCD 中，，；求证：四边形 ABCD 是平行四边形．8、 （2010 年宁波市）如图 1，有一张菱形纸片 ABCD， AC ? 8 ， BD ? 6 。 D C （1）请沿着 AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四 边形，在图 2 中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着 BD 剪开， 请在图 3 中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。 B A （2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图 4 （图 1） 中用实线画出拼成的平行四边形。 （注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等） D C D C D CA （图 2）BA （图 3）BA （图 4）B周长为__________周长为__________9、 （2007 天津市）在梯形 ABCD 中，AD//BC，对角线 AC⊥BD，且 AC ? 5cm ，BD=12c m， 求梯形中位线的长。10、 （2007?山东）如图，在周长为 20cm 的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD 相交于点 O，OE⊥BD 交 AD 于 E，则△ABE 的周长为（ (D)10cmA E D O B C）(A)4cm(B)6cm(C)8cm10 题11 题o11、 （2006?山东）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，∠EAF=45 ， 且 AE+AF= 2 2 ，则平行四边形 ABCD 的周长是 ．直击中考： 1. （2011 安徽）如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是（ A．7 B．9 C．10） 【答案】D D．112. （2011 山东威海）在□ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连接 BE，交 AC 于点 F，则 AF：CF ＝（ ） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】A3. （2011 四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第 ①个图形一共有 1 个平行四边形， 第②个图形一共有 5 个平行四边形， 第③个图形一共有 11 个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案 】C…… 图① A．55 图② B． 42 图③ C．41 图④ D．294. （2011 宁波市）一个多边形的内角和是 720°，这个多边形的边数是（ A． 4 B． 5 C． 6 D． 7） 【答案】C5. （2011 广东汕头）正八边形的每个内角为（ A．120° B．135° C．140°） 【答案】Ｂ D．144°6、 （2011 山东德州）图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长 为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如 图 2） ，依此规律继续拼下去（如图 3） ，??，则第 n 个图形的周长是（ ） 【答案】C?? 图1 （A） 2n图2 （B） 4n图3 （C） 2n ?1（D） 2n?27. （2011 山东泰安）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面 积分别为 S1，S2，则 S1+S2 的值为（ ） 【答案】B A.17 B.17 C.18 D.198. （2011 山东泰安）如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC=3，则折痕 CE 的长为（ ） 【答案】A A.2 3 B. 3 3 2 C. 3 D.69. （2011 四川重庆） 如图， 正方形 ABCD 中， AB＝6， 点 E 在边 CD 上， 且 CD＝3DE． 将△ ADE 沿 AE 对折至△ AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连结 AG、CF．下列结论：①△ ABG≌△AFG； ②BG＝GC；③AG∥CF；④S△ FGC＝3．其中正确结论的个数是( ) 【答案】C A．1 B．2 C．3 D．410. （2011 浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含 30°内角的菱形 EFGH（不重叠无缝隙） ．若①②③④四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ （A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm ） 【答案】AE①A④ ⑤ ③H DB②FC（第 10 题）G11. （ 2011 重庆江津）如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC⊥BD,顺次连接四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点,得到四边形 A2B2C2D2??, 如此进行下去,得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) 【答案】C ①四边形 A2B2C2D2 是矩形; ②四边形 A4B4C4D4 是菱形; ③四边形 A5B5C5D5 的周长 A.①②A A1 B A2 B1 A3 B2 C D2 C3 D1 C2 B3 C1 Da? 4④四边形 AnBnCnDn 的面积是 C.②③④ab 2 n ?1B.②③D.①②③④D3?12. （2011 湖北武汉市）如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E，F 分 别在 AB， AD 上，且 AE=DF．连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H．下列结论： （ ） 【答案】 D3 CG2；③若 AF=2DF，则 BG=6GF．其中正确的结论 4 A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．①△AED≌△DFB； ②S 四边形 BCDG=D F G A E 第 12 题图 B HC13. （2011 山东烟台）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、O2 是其中两个正 方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2O2O114. (2011 浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图 1、 图 2 中的方法对折， 并沿图 3 中过矩形顶点 的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边 形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】 3 : 215. （2011 甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结 菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 。 【答案】1 4 n ?1??16、 （2009 年宜宾）如图，菱形 ABCD 的对角线长分别为 a、 b ，以菱形 ABCD 各边的中点为 顶点作矩形 A1B1C1D1，然后再以矩形 A1B1C1D1 的中点为顶点作菱形 A2B2C2D2，??，如此下去， 得到四边形 A09D2009 的面积用含 a、 b 的代数式表示为 ． 【答案】1 2010 （ ） ab ． 2D D1 D3 A2 A A3 A1 B2 B 第20题图 3 B3 B1 D2 C3 C2 C C117、 （2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中， ?DAB ? 60? ．连结对角 线 AC ，以 AC 为边作第二个菱形 ACC1 D1 ，使 ?D1 AC ? 60? ；连结 AC1 ，再以 AC1 为 边作第三个菱形 AC1C2 D2 ，使 ?D2 AC1 ? 60? ；??，按此规律所作的第 n 个菱形的边 长为C2． 【答案】? 3?n ?1D2 D1 D A BC1C18． （2011 山东日照，16，4 分）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个 动点，且始终保持 AM⊥MN．当 BM= 时，四边形 ABCN 的面积最大． 【答案】2;19、 （2011 四川宜宾）如图，平 行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，E、F 在 AC 上， G、H 在 BD 上，AF=CE，BH=DG． 求证：GF∥HE． A E O G F B C H D【答案】证明：∵平行四边形 ABCD 中，OA=OC， 由已知：AF=CE AF－OA=CE－OC ∴OF=OE ∴四边形 EGFH 是平行四边形 ∴GF∥HE同理得：OG=OH20、 （2011 四川成都 10 分） 如图，已知线段 AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 K，E 是线段 AD 上一动点. (1)若 BK=5 CD KC，求 的值； 2 AB1 AD 时，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎样 2 1 的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当 AE= AD ( n ? 2 )，而其余条件不变 n(2)连接 BE，若 BE 平分∠ABC，则当 AE= 时，线段 AB、BC、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．C KDEABC K EDABFG【答案】解： （1）∵AB∥CD，BK=5 CD CK 2 KC，∴ = = . 2 AB BK 5（2）如图所示，分别过 C、D 作 BE∥CF∥DG 分别交于 AB 的延长线于 F、G 三点， ∵BE∥DG，点 E 是 AD 的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形 CDGF 是平行四边 形，∴CD=FG； ∵∠ABE=∠EBC ，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=B F， ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.当 AE=1 AD ( n ? 2 )时， （ n ? 1 ）AB=BC+CD. n21、 （2011贵州安顺10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D， 交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE． ⑴说明四边形ACEF是平行四边形； ⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．第 25 题图 【答案】 （1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形 ACEF 是平行四边形 ． （2）当∠B=30°时，四边形 ACEF 是菱形 ． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC= 又∵AE=CE，∴CE= ∴∠AEF =∠EAC1 AB ，∵DE 垂直平分 BC，∴ BE=CE 21 AB ，∴AC=CE，∴四边形 ACEF 是菱形． 222、 （2011 山东滨州 10 分）如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点， 过点 O 作直线 MN∥BC.设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E,交∠BCA 的外角平分线于点 F，连 接 AE、AF。那么当点 O 运动到何下时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论。AM BEOF NC （第 24 题图）【答案】当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时， 四边形 AECF 是矩形??????2 分 证明：∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2，??????3 分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2，∴EO=CO. ??????5 分 同理，FO=CO??????6 分 ∴EO=FO 又 OA=OC, ∴四边形 AECF 是平行四边形??????7 分 又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ??????8 分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°??????9 分 ∴四边形 AECF 是矩形??????10 分 23、 （2011 湖北襄阳 10 分)如图 9，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A，B 重合） ， 连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接 BE， DF. （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE 的度数； （3）当AP 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. ABDCF A P BE图9【答案】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90°? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 分 （2）过点 E 作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于点 G，则∠EGP＝∠A＝90° ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 分DCF A P BE G又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5 分 （3）方法一： 当AP 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 分 ? 时，△PFE∽△BFP. ? AB 2 1 AP 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 分 a ，∴BF＝BP? ? a ? 2 AD 4∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7 分 设 AD＝AB＝a，则 AP＝PB＝ ∴ PD ? AD2 ? AP2 ? ∴5 5 a ， PF ? PB2 ? BF 2 ? a 2 4PB BF 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 分 PD PF 5又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10 分 方法二： 假设△ADP∽△BFP，则PB BF .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 分 ? PD PF∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?7 分 ∴ ∴ ∴PB＝AP，PD AP ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 分 ? PF BF PB AP ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 分 ? BF BF∴当AP 1 ? 时，△PFE∽△BFP. AB 210 分24. （2011 湖南永州 10 分）探究问题： ⑴方法感悟： 如图①， 在正方形 ABCD 中， 点 E， F 分别为 DC， BC 边上的点， 且满足∠EAF=45°， 连接 EF，求证 DE+BF=EF． 感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又 AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______． ∴_________=EF，故 DE+BF=EF．A 1 3 2 D EGBFC（第 25 题） ①⑵方法迁移： 如图②，将 Rt?ABC 沿斜边翻折得到△ ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且∠EAF= ∠DAB．试猜想 DE，BF，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．A D A 1 3 E B C G E C 2 D1 2FBF（第 25 题） ②（第 25 题）②解得图⑶问题拓展： 如图③，在四边形 ABCD 中，AB=AD，E，F 分别为 DC,BC 上的点，满足 ?EAF ?1 ?DAB , 2试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理 由） ．AD EB FC（第 25 题） ③【答案】⑴EAF、△ EAF、GF． ⑵DE+BF=EF，理由如下： 假设∠BAD 的度数为 m ，将△ ADE 绕点 A 顺时针旋转 m? 得到△ ABG，此时 AB 与 AD 重合， 由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1= ∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=18 0°， 因此，点 G，B，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=1 m? 2∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF= m? ?1 1 m? ? m? 2 21 m? ． 2 即∠GAF=∠EAF 又 AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF， 又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF． ⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得 DE+BF=EF． 25、 （2007 南充）如图， 等腰梯形 ABCD 中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30?．点 M、N 同时以相 同速度分别从点 A、点 D 开始在 AB、AD（包括端点）上运动． （1）设 ND 的长为 x，用 x 表示出点 N 到 AB 的距离，并写出 x 的取值范围． （2）当五边形 BCDNM 面积最小时，请判断△AMN 的形状．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=BMA NCDBMAP NCD ………………（1 分）解： （1）过点 N 作 BA 的垂线 NP，交 BA 的延长线于点 P． 由已知，AM＝x，AN＝20－x． ∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30?， ∴ ∠PAN＝∠D＝30?． 在 Rt△APN 中，PN＝ANsin∠PAN＝ 即点 N 到 AB 的距离为1 （20－x） ， 2………………………………（3 分）1 （20－x） ． 2∵ 点 N 在 AD 上，0≤x≤20，点 M 在 AB 上，0≤x≤15， ∴ x 的取值范围是 0≤x≤15． ………………………………（4 分） （2）根据（1） ，S△AMN＝ ∵1 1 1 AM?NP＝ x（20－x）＝ ? x 2 ? 5 x ． 2 4 4……（5 分）?1 ＜0，∴ 当 x＝10 时，S△AMN 有最大值． 4…………………………（6 分）又∵ S 五边形 BCDNM＝S 梯形－S△AMN，且 S 梯形为定值， ∴ 当 x＝10 时，S 五边形 BCDNM 有最小值． …………………………（7 分） 当 x＝10 时，即 ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即 AM＝AN． 则当五边形 BCDNM 面积最小时，△AMN 为等腰三角形． …………（8 分）26、 （2007 福建晋江）如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝4，AD＝3，动点 M、N 分别从 D、B 同时出发， 以 1 个单位/秒的速度运动， 点 M 沿 DA 向终点 A 运动， 点 N 沿 BC 向终点 C 运动。 过点 N 作 NP⊥BC， 交 AC 于点 P， 连结 MP。 已知动点运动了 x 秒。 ⑴请直接写出 PN 的长； （用 含 x 的代数式表示）⑵若 0 秒≤ x ≤1 秒，试求△MPA 的面积 S 与时间 x 秒的函数关系式， 利用函数图象， 求 S 的最大值。 ⑶若 0 秒≤ x ≤3 秒， △MPA 能否为一个等腰三角形？若能， 试求出所有 x 的对应值；若不能，试说明理由。 D M N P A B C12 ? 4 x 12 ? 4 x ；⑵延长 NP 交 AD 于点 Q，则 PQ⊥AD，由⑴得：PN＝ ， 3 3 12 ? 4 x 4 ? x 。依题意，可得： AM ? 3 ? x 则 PQ ? QN ? PN ? 4 ? 3 3 1 1 4 2 2 2 3 3 S ? ? AM ? PQ ? ? (3 ? x) ? x ? 2 x ? x 2 ? ? ( x 2 ? 3x) ? ? ( x ? ) 2 ? 2 2 3 3 3 3 2 2解：⑴ ∵0≤ x ≤1.5 即函数图象在对称轴的左侧，函数值 S 随着 x 的增大而增大。 ∴当 x ? 1 时，S 有最大值 ，S 最大值＝ ⑶△MPA 能成为等腰三角形， 共有三种情况，以下分类说明： ①若 PM＝PA， ∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝ x ∴ 3 x ? 3 ，即 x ? 1 1 O 1 2 3 4 x y x=1.54 。 32又 DM＋MQ＋QA＝AD②若 MP＝MA，则 MQ＝ 3 ? 2 x ，PQ＝4 x ，MP＝MA＝ 3 ? x 32 2 2在 Rt△PMQ 中，由勾股定理得： MP ? MQ ? PQ2 2 2 ∴ (3 ? x) ? (3 ? 2 x) ? ( x) ，解得： x ?54 （ x ? 0 不合题意，舍去） 43 5 5 9 ③若 AP＝AM，由题意可得： AP ? x ，AM＝ 3 ? x ∴ x ? 3 ? x ，解得： x ? 3 3 84 3综上所述，当 x ? 1 ，或 x ?54 9 ，或 x ? 时，△MPA 是等腰三角形 43 8
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