2015届高考数学二轮全能考评：数列求和及其综合应用（新人教A版）[数理化网]&&人教版
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第10讲 数列求和及其综合应用1．(2014?全国新课标Ⅱ高考)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )A．n(n＋1) B．n(n－1)C.D.【解析】 因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2?a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)?(a1＋14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋d＝n(n＋1)．故选A.【答案】 A2．(2013?全国新课标Ⅰ高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )A．3 B．4 C．5 D．6【解析】 可以先求出首项和公差，再利用等差数列的求和公式和通项公式求解．∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2.∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.又Sm＝＝＝0，∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)?1＝2，∴m＝5.【答案】 C3．(2013?江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．【解析】 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.【答案】 64．(2014?全国大纲高考)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】 (1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1．数列求和①该考向主要涉及数列的通项与求和．数列的通项与求和是历年高考考查的重点内容之一，试题一般设置两个问题，其中第一问考查数列的基础，确定条件数列，为第二问准备条件，属于保分题；第二问的区分度较大，一般与数列的求和有关，方法较灵活，主要是错位相减、裂项相消等方法．与不等式、函数等知识交汇是命题的重点方向，要注意这方面的训练．②试题多以解答题的形式出现，属于中、高档题目．2．数列的综合应用(1)数列的综合应用主要体现如下两点：①以等差、等比数列的知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交汇处命题，主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质；②数列与解析几何交汇的命题，往往会遇到递推数列，通常以解析几何作为试题的背景，从解析几何的内容入手，导出相关的数列关系，再进一步地解答相关的问题．(2)试题难度大都在中等偏上，有时会以压轴题的形式出现.【例1】 (2014?全国新课标Ⅰ高考)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和．【解】 (1)解方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.(2)设{}的前n项和为Sn，由(1)知＝，则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋.两式相减得Sn＝＋(＋…＋)－＝＋(1－)－.所以Sn＝2－.【例2】 (2014?江西高考)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.【解】 (1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}前n项和Sn＝1?30＋3?31＋5?32＋…＋(2n－1)?3n－1，3Sn＝1?31＋3?32＋…＋(2n－3)?3n－1＋(2n－1)?3n，相减得－2Sn＝1＋2?(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)?3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.【规律感悟】 数列求和的常见类型及方法：(1)通项公式形如an＝kn＋b或an＝p?qkn＋b(其中k，b，p，q为常数)，用公式法求和．(2)通项公式形如an＝(k1n＋b1)qk2n＋b2(其中k1，b1，k2，b2，q为常数)，用错位相减法．(3)通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法．(4)通项公式形如an＝(－1)n?n或an＝a?(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负交叉项的求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．(5)若数列的通项公式为以上四种中的某几个构成的，则可用分组法(拆项法)求和．特别提醒：(1)运用公式法求和时注意公式成立的条件．(2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n＋1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．[创新预测]1．(2014?山东高考)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1.当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝.当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.所以Tn＝(或Tn＝)【例3】 (2014?四川高考)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.【解】 (1)由已知，b1＝2a1，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×7a7＝aa7＋2，解得d＝a8－a7＝2.所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意，a2－＝2－，解得a2＝2.所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋.因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以，Tn＝.【规律感悟】 1.数列与函数交汇问题的常见类型及解法：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．2．对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，结合图形，得出关于数列相邻项an与an＋1之间的关系．根据这个关系和所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．[创新预测]2．(2014?合肥第一次质量检测)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图象的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|.(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项；(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn0)求导，得f′(x)＝1－，则切线ln的方程为：y－(n＋)＝(1－)(x－n)，即y＝(1－)x＋.易知An(n＋1，n＋1＋)，Bn(n＋1，n＋1＋)，由an＝|AnBn|知an＝|－|＝.(2)∵nan＝＝－，∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝1－＋－＋…＋－＝1－0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项为an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，bn＝，则bn＝＝.Tn＝＝×3时，an>0，∴Tn＝【答案】 C3．(预测题)已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2015项的和等于( )A.B．3023C．1512D．3024【解析】 因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2015项的和等于S×(1＋)＋1＝＋1＝.【答案】 A4．(2014?山西大学附中4月模拟)已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1008>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2014)＋f(a2015)的值( )A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负【解析】 ∵{an}是等差数列，∴a1＋a2015＝a2＋a2014＝…＝2a1008>0，得a1>－a2015，a2>－a2014，…，又f(x)是定义在R上的单调增函数，且f(－x)＝－f(x)，∴f(a1)>－f(a2015)，即f(a1)＋f(a2015)>0，同理，f(a2)＋f(a2014)>0，…，∴f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2014)＋f(a2015)的值恒为正数，故选A.【答案】 A5．(2014?郑州第一次质量预测)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2014中，有理数项的项数为( )A．42B．43C．44D．45【解析】 an＝＝＝－，∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－，要使Sn是有理项，只需是有理数(n＝1,2，…，2014)，因此共有43项．【答案】 B二、填空题6．(2014?福建厦门质检)已知数列{an}中，an＋1＝2an，a3＝8，则数列{log2an}的前n项和等于________．【解析】 ∵＝2，a3＝8，∴a2＝4，a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n，∴log2an＝n，∴数列{log2an}的前n项和等于.【答案】 7．(2014?广东广州综合测试)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝－，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014＝________.【解析】 a1＝1，a2＝－＝，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，…，数列{an}是周期为3的周期数列，∴S2014＝S2013＋a×(－－2＋1)＋1＝－.【答案】 －8．(2014?东北三校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝，前n项和为Sn.若对于任意正整数n，不等式S2n－Sn>恒成立，则常数m所能取得的最大整数为________．【解析】 由题知S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋…＋a2n＝＋＋…＋，令f(n)＝＋＋…＋，n∈N*，f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，又f(n＋1)－f(n)＝＋－＝>0，∴函数f(n)单调递增，f(n)min＝f(1)＝，依题意<，得m<.故m所能取得的最大整数是5.【答案】 5三、解答题9．(2014?全国新课标Ⅱ高考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.【证明】 (1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.10．(2014?湖南高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．【解】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)与(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
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高考数学 考点8 数列的综合应用练习.doc 16页
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数列的综合应用
1.（2010·湖北高考理科·Ｔ7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，
再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下
去.设为前个圆的面积之和，则（
【命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查无穷递缩等比数列前n项和极限的计算，考查考生的运算求解能力．
【思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与其边长的关系求出相邻两圆的半径的关系，从而将所有内切圆的面积按从大到小的顺序排列构造一个等比数列，由公比知．
【规范解答】选C．设正六边形第n个内切圆的半径为，面积为，则°，从而=，由，，知是首项为，公比为的等比数列，所以==4.
【方法技巧】对于等比数列，若公比，则其前n项和当n趋向于无穷大时极限存在且.
2.（2010·上海高考理科·Ｔ１0）在行n列矩阵中，记位于第行第列的数为aij(i,j=1,2,…，n)．当时，
【命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力．
【思路点拨】观察矩阵的特点，找到n=9时aij(i,j=1,2,…，9)对应的数，再求解．
【规范解答】当时， 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45.
【答案】45
【方法技巧】本题观察一定要仔细认真，因为n=9个数不多，可以将矩阵列出来再求解．
3.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知数列满足: ,, .数列满足： =（n≥1）.
(Ⅰ)求数列，的通项公式;
(Ⅱ)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.
【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．
【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列满足：，先求的通项公式，再求的通项公式，最后求的通项公式.
(Ⅱ)用反证法证明.
【规范解答】(Ⅰ)由题意可知： ，令，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，故.又&0，，故，
(Ⅱ)证明：（反证法）假设数列存在三项，，按某种顺序构成等差数列，由于数列是以为首项，为公比的等比数列，于是一定有，
则只能有成立，即：，两边同乘以可得：
①，由于，所以①式左边为偶数，右边为奇数，从而①式不可能成立，导致矛盾.故数列中的任意三项不可能成等差数列.
【方法技巧】已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式.
4.（2010·重庆高考理科·Ｔ21）在数列中，=1，，其中实数.
（1）求的通项公式.
（2）若对一切有，求的取值范围.
【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想.
【思路点拨】（1）先求出数列的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明或将所给等式变形构造新数列，利用新数列求解.（2）对恒成立问题进行等价转化.
【规范解答】（1）【方法1】：由，，
，猜测（），
下面用数学归纳法证明
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即，则当n=k+1时，
综上可知，对任何都成立.
【方法2】：由原式得，
令，则，，因此对有
因此，，，又当n=1时上式成立.
（2）【方法1】：由，得
解此不等式得：对一切，有或，其中
易知（因为的分子、分母的最高次项的次数都是2，且系数都是8，所以极限值是）；用放缩法得：
因此由对一切成立得；
又，易知单调递增，故对一切成立，因此由对一切成立得：
，从而c的取值范围为.
【方法2】：由，得，
因，所以4（c2-c）k2+4ck-c2+c-1＞0对恒成立.
记，下面分三种情况讨论.
（i）当即或时，代入验证可知只有满足要求.
（ii）当时，抛物线开口向下，因此当正整数k充分大时，，不符合题意，此时无解.
（iii）当，即或时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左侧，因此，在上是增函数，
所以要使f(x)对x恒成立，只需即可.
由得3c2+c-1＞0，解得或，
结合或得或.
综合以上三种情况，的取值范围为.
【方法技巧】（1）第（1）问有两种方法解答：①归纳猜想并用数学归纳法证明；②数列的迭代法（或累加消项法）；（2）第（2）问中对条件“恒成立”进行等价转化，转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论；（3）放缩法的运用.
5.（2010·重庆高考文科·Ｔ16）已知是首项为19，公差为-2的等
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& 【三年考点汇总】2012年高考数学考点汇总25 数列求和及综合应用（新人教版）
【三年考点汇总】2012年高考数学考点汇总25 数列求和及综合应用（新人教版）
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资料概述与简介
数列求和及综合应用
一、选择题
1. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ12）数列{an}满足an+1＋(－1)n－1，则{an}的前60项和为（
【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和.
【解析】选D. ，
…，，，，，
二、填空题
2.（2012·新课标全国高考理科·T16）数列满足=2n-1，则前60项和为
【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和.
【解析】，
…，，，，，
【答案】1830.
3. （2012·湖北高考文科·Ｔ17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；
（Ⅱ）b2k-1=______.（用k表示）
【解题指南】本题考查求数列通项公式的方法，解答本题可先根据数列{an}前项与后项的关系，求出数列{an}的通项，再结合数列{bn}与{an}的关系求出数列{bn}的通项解答本题.
【解析】由图可知数列{an}满足:a1=1,an-an-1=n(n≥2).
所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=(n≥2),当n=1时,也符合上式,则an=.
当n=4,5,9,10,14,15,19,20,…时,构成数列{bn}的第1,2,3,4,…项,
则可以看出n=5,10,15,20,…时,分别对应着{bn}的第2,4,6,8…项.
(1)b2012是数列{an}中的第5030项;
(2)b2k-1=.
【答案】(1)5030　(2).
4.（2012·湖南高考文科·Ｔ16）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.
（1）b2+b4+b6+b8=
（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是
【解题指南】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.本题实际是描述的将一个十进制的数转化为二进制，然后找出规律.
【解析】（1）观察知；；
一次类推；；
b2+b4+b6+b8=３；
（2）由（1）知cm的最大值为２.
【答案】（1）3
三、解答题
5.（2012·湖北高考文科·Ｔ20）（本小题满分13分）
已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.
求等差数列{an}的通项公式；
（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列的前n项和.
【解题指南】本题考查两类数列的基本运算与性质,解答本题可先设出首项和公差,再代入求解.
(1)设等差数列{an}的公差为d,则，由题意知解得，故等差数列{an}的通项公式为：.
（2）当时，a2,a3,a1分别为-1，-4，2不是等比数列，所以
当n=1时，数列的和为：S1=4；当n=2时，数列的和为：S2=4+1=5；当n3时，
当n=2时,符合上式，所以
6.（2012·湖南高考文科·Ｔ20）（本小题满分13分）
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
【解题指南】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决.
【解析】（Ⅰ）由题意得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
故该企业每年上缴资金的值为时，经过年企业的剩余资金为４０００万元.
7.（2012·江苏高考·Ｔ20）（本小题满分1分）已知各项均为正数的两个数列和满足：．
（1）设，求证：数列是等差数列；
（2）设，且是等比数列，求和的值．
（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。
（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列最后用反证法求出
【解析】（1），。
∴数列是以1 为公差的等差数列
设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明
若则，当时，，与（﹡）矛盾
若则，当时，，与（﹡）矛盾
∴综上所述，。，.
又，是公比是的等比数列[
若，则，于是
又由即，得
∴中至少有两项相同，与矛盾.
8.（2012·广东高考理科·Ｔ19）（本小题满分14分）
设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。
求a1的值；
求数列的通项公式
证明：对一切正整数n，有.
利用,可得到,令n=1，从而得到,再根据成等差数列得,三个方程联立可解出.
(2)在（1）的基础上对的两边同除以得,
再验证：也满足上式，因而对都成立，
然后再利用叠加求和的方法确定,进而确定的通项公式.
(3)解本题的关键是当时，
，然后放缩再利用裂项求和的方法证明即可.
【解析】（1）
两式相减得
又成等差数列，
(2)由（1）得
两边同除以得
又时，,也满足上式，
(3)当n=1时，;当n=2时，.
9.（2012·广东高考文科·Ｔ19）
设数列前项和为，数列前项和为，满足，.
(1)求的值；
（2）求数列的通项公式.
【解题指南】 (1)根据，利用,可建立关于的方程，即可求出.(2)解本题的关键是
,因为当n=1时，也满足上式，所以，然后转化为常规题型来做即可。
【解析】（1）令n=1时，.
因为当n=1时，也满足上式，所以
两式相减得
因为,所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，
10.（2012·安徽高考理科·Ｔ21）(本小题满分13分）满足：
（I）证明： 是递减数列的充分必要条件是
（II）求的取值范围，使是递增数列.
【解题指南】（1）要证明必要性和充分性；（2）由（I），然后分类讨论，根据作差法去讨论的值.
【解析】（I）必要条件
当时，数列是单调递减数列
数列是单调递减数列
得：数列是单调递减数列的充分必要条件是.
（II）由（I）得：
①当时，，不合题意
当时，与同号，
当时，存在，使与异号
与数列是单调递减数列矛盾
得：当时，数列是单调递增数列.
11.（2012·安徽高考文科·Ｔ21）(本小题满分13分）=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设的前项和为，求。
【解题指南】（1）根据导数，的左侧导函数小于0，的右侧导函数大于0，求出极小值点；（2）由（I）求出的前项和为，再代入.
【解析】（I）
得：当时，取极小值
（II）由（I）得：
12.（2012·浙江高考文科·Ｔ19）（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.
（1）求an，bn；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【解题指南】由前n项和Sn可求出通项公式，而数列{an·bn}的通项符合等差与等比数列乘积的形式,故可用错位相减法求出.
【解析】（1）由Sn=2n2+n，可得
当时，符合上式，所以
由an=4log2bn＋3可得=4log2bn＋3，解得.
13.（2012·山东高考理科·Ｔ20）在等差数列中，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.
【解题指南】（1）可利用等差数列的性质求解，再利用求出公差d，利用求出通项公式；（2）利用数列的中落入区间内的项的个数.可求得数列为两个等比数列.
【解析】(1) 由得，
(2) 对任意，将数列中落入区间内的项的个数为，则，即，所以，
14. （2012·山东高考文科·Ｔ20）已知等差数列的前5项和为105，且.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.
【解题指南】（1）可利用等差数列的通项公式及前n项和公式列出方程组求出首项和公差；进而求得通项公式.（2）利用数列的中不大于内的项的个数.可求得数列为等比数列.利用等比数列的前n项公式求得.
【解析】(I)由已知得：
所以通项公式为.
(II)对，若，则，
∴是公比为49的等比数列，
15. （2012·江西高考理科·Ｔ16）已知数列{an}的前n项和（其中）,且Sn的最大值为8.
（1）确定常数k，求an；
（2）求数列的前n项和Tn.
【解题指南】（1）先求得的值，再利用求，注意验证首项；
（2）用错位相减法求和.
【解析】（1）当时，取最大值，即，
故，因此，
从而.又，所以.
（2）因为，
16.（2012·江西高考文科·Ｔ17）已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3求an{nan}的前n项和Tn。
【解题指南】（1）利用求，注意验证首项；
（2）用错位相减法求和.
【解析】(1)当时，
，∴c=2.∵a2=4，即，解得k=2，∴（n）1）
（1）-（2）得
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