扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
高数微分方程题已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求该曲线所满足的微分方程.
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
该曲线所满足的微分方程是 -xy′+y=x设切点(x,y) 则切线斜率是 y′ 切线方程Y-y=y′(X-x) 令 X=0 得 Y=y-xy′=x 既 -xy′+y=x
为您推荐：
其他类似问题
y-y0=y`(x-x0)切线在纵轴上的截距x=0y=y0-x0y`=x0y-xy`=x
扫描下载二维码高等数学微分方程测试题-360文档中心
360文档中心免费免积分下载，各行业
知识、技术、信息等word文档下载网站
高等数学微分方程测试题
关于微分方程的自测题专业姓名 学号成绩
一、选择题（单项选择）：(40分)
1、微分方程y ′′+1(y ′) 2=0的通解是（
C x x x x （A ）y =C 1e +C 2；(B) y =e +C ；
(C) y =C 2e 1+1；（D ）y =C 1e +C 2x 。
(4)2、微分方程f (x , y ′′, y ′′′, y ) =0，用变换（
）可降为二阶微分方程。
(4)（A ）y =x ；
(B) p =y ；
(C) p =y ′′′；
（D ）p =y ′′。
23、下列方程中为线性微分方程 （A ）(y ′) +xy ′=x
(B)yy ′-2y =x
22 (C) y ′′-y ′+2y =e x
(D)y ′′-y ′-3xy =cos y
4、已知函数y 1=e x 2+1
x ，y 2=e x 2-1
x 12，y 3=ex ) 则
（A ）仅y 1与y 2线性相关
（B ）仅y 2与y 3线性相关
（C ）仅y 1与y 3线性相关
（D ）它们两两线性相关
5、若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ′′+P(x)y ′+Q(x)y=0两个特解，c 1, c 2为任意常数，则y=c1y 1+c2y 2
(A)一定是该方程的通解
（B ）是该方程的特解
（C ）是该方程的解
（D ）不一定是方程的解
6、下列函数中哪组是线性无关的
（A ）lnx, lnx2
7、以y 1=cosx,y2=sinx为特解的方程是
（A ）y ′′-y =0
(B)y ′′+y =0
(C)y ′′+y ′=0
(D)y ′′-y ′=0
8、微分方程2y ′′+y ′-y =0的通解是x
2-c 2e （C ）y =c 1e x -c 2e
(D)y =c 1e -x +c 2e 2x
（其中λ1, λ2是不等的系数），在初始条件y x =0=y ′9、常微分方程y ′′+(λ1+λ2) y ′+λ1λ2y =0，（A ）y =c 1e -c 2e
x -2x （B ）y =c 1e -x x =0=0特
+c 2e λ2x
(C)y =λ1λ2x 2
（D ）y =(λ1+λ2) x 2
2x 10、y =e 是微分方程y ′′+p y ′+6y =0的一个特解，则此方程的通解是
2x -3x 2x （A ）y =c 1e +c 2e
（B ）y =(c 1+xc 2) e
2x 3x 2x （C ）y =c 1e +c 2e
（D ）y =e (c 1sin 3x +c 2cos 3x )
x -x 11、y =c 1e +c 2e 是微分方程
（A ）y ′′+y =0（B ）y ′′-y =0（C ）y ′′+y ′=0（D ）y ′′-y ′=0
*12、微分方程，y ′′-2y ′=x 的特解y 形式为（A ）y=0
-e -λx ,(λ>0) 的特解形式是λx -λx λx -λx λx -λx 2λx -λx （A ）a (e +e ) （B ）ax (e +e ) （C ）x (ae +be )
(D) x (ae +be )
13、微分方程y ′′-λy =e 2λx
x *14、微分方程y ′′-y =e +1的特解y 形式为（A ）ae +b
（B ）axe +b
（C ）ae +bx
（D ）axe +bx
15、微分方程y ′′-2y ' =xe
2x 2x x x x x 的特解y *形式为
2x （A ）x (ax +b ) e
（B ）(ax +b ) e
（C ）xe 2x
（D ）(ax +bx +c ) e
16、微分方程y ′′+4y =cos 2x 的特解y *形式为
（A ）acos2x
(B)axcos2x
x(acos2x+bsin2x)
(D)acos2x+bsin2x
免费下载该文档：
高等数学微分方程测试题的相关文档搜索有问题 @ 爱问Powered
举报原因(必选)：
广告或垃圾信息
不雅词句或人身攻击
激进时政或意识形态话题
侵犯他人隐私
其它违法和不良信息常微分方程 一、一阶微分方程的可解类型
（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.（05,4分）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为_________. 2dy2?xdx2分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为.+y?lnx,两边乘e=x得dxxd
(x2y)= x2lnx.dx 111积分得
x2y=C+?x2lnxdx?C??lnxdx3?C?x3lnx?x3.339111由y(1)??得C?0?y?xlnx?x.939192.（06,4分） 微分方程y?=y(1?x)的通解为――――. x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy1
?(?1)dx.积分得lny?lnx?x?C1，即y?eC1xe?x. yx因此，原微分方程的通解为
y?Cxe?x,其中C为任意常数. （二）奇次方程与伯努利方程 1.（97,2,5分）求微分方程(3x?2xy?y)dx?(x?2xy)dy?0的通解. 222解：所给方程是奇次方程.令 y=xu,则dy=xdu+udx.代入原方程得
3（1+u-u2）dx+x(1-2u)du=0.1-2u3分离变量得 du??dx,1?u?u2x积分得
ln1?u?u2??3lnx?C1,即1?u?u2=Cx?3.以u?yC代入得通解 x2?xy?y2?.xx 22??(y?x?y)dx?xdy?0(x?0),2.(99,2,7分)
求初值问题?的解. ??yx?1?0解：所给方程是齐次方程(因dx,dy的系数(y+x2?y2)与(-x)都是一次齐次函数）.
令dy?xdu?udx,带入得
x(u?1?u2dx?x(xdu?udx)?0, 化简得
12?u2dx?xdu?0.dxdu分离变量得
-=0. 2x1?u积分得
lnx?ln(u?1?u2)?C1,即 u?1?u2?Cx.以u?y代入原方程通解为y+x2?y2?Cx2.x12222?0,得C=1.故所求解为 y+x?y?x，或写成y?(x?1).x?12 再代入初始条件y （三）全微分方程 练习题 (94,1,9分）设f(x)具有二阶连续导数，f(0)?0,f?(0)?1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f?(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)以及全微分方程的通解解：由全微分方程的条件，有??[xy(x?y)?f(x)y]?[f?(x)?x2y],?y?x 即x2?2xy?f(x)?f??(x)?2xy,亦即f??(x)?f(x)?x2.2??y???y?x因而f(x)是初值问题???yx?0?0,y?f(x)?2cosx?sinx?x2?2.的解，从而解得?1x?0原方程化为[xy2?2y?(2cosx?sinx)y]dx?(x2y?2x?2sinx?cosx)dy?0.先用凑微分法求左端微分式的原函数：11(y2dx2?x2dy2)?2(ydx?xdy)?yd(2sinx?cosx)?(2sinx?cosx)dy?0,221d[x2y2?2xy?y(cosx?2sinx)]?0.21其通解为
x2y2?2xy?y(cosx?2sinx)?C.2 （四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程 4.（98,3分）
已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y=y?x??,当?x?0时,21?x?是?x的高阶无穷小，y(0)=?，则y(1)等于 （ ）??(A)2?.(B)?.(C)e4.(D)?e4.分析：由可微定义，得微分方程y??y.分离变量得21?xdydxarctanx??,两边同时积分得lny?arctanx?C,即y?Ce.2 y1?x代入初始条件y(0)??，得C=?，于是y(x)??earctanx,?由此，y(1)??e4.应选(D) 二、二阶微分方程的可降阶类型 5.（00,3分） 微分方程xy???3y??0的通解为_____ 分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令y?=P(x)，则y??=P?，方程可化为一阶线性方程C03xP??3P?0,标准形式为P?+P=0，两边乘x3得(Px3)?=0.通解为y??P?3.xxC2再积分得所求通解为 y?2?C1.x 6.（02,3分）微分方程yy???y?2=0满足初始条件y分析：这是二阶的可降阶微分方程.
令y??P(y)(以y为自变量)，则y???代入方程得yP?x?0?1，y1?的特解是_____ x?02dy?dPdP??P.dxdxdyx?0dP2dP+P=0，即y+P=0(或P=0,，但其不满足初始条件y?dydydPdy分离变量得
??0,PyC积分得lnP+lny=C?，即P=1(P=0对应C1=0)；y11由x?0时y?1，P=y??,得C1?，于是221y??P?,2ydy?dx,积分得y2?x?C2.2y又由yx?01?）.2 ?1得C2.?1，所求特解为y?1?x. 三、二阶线性微分方程 （一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构 7.（01,3分） 设y?ex(C1sinx?C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____. 分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是r1，r2?1?i，从而得知特征方程为(r?r1)(r?r2)?r2?(r1?r2)r?r1r2?r2?2r?2?0.由此，所求微分方程为y???2y??2y?0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解y?ex(C1sinx?C2cosx)求得y??ex[(C1?C2)sinx?(C1?C2)cosx],y???ex(?2C2sinx?2C1cosx),从这三个式子消去C1与C2,得y???2y??2y?0.
（二）求解二阶线性常系数非齐次方程 9.（07,4分） 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y=_____ 分析：特征方程?2?4??3?(??1)(??3)?0的根为??1,??3.非齐次项e?x,??2不是特征根，非齐次方程有特解y??Ae2x.代入方程得(4A?8A?3A)e?2e?A??2.因此，通解为y?C1ex?C2e3x?2e2x..2x2x 10.(10,10分)求微分方程y???3y??2y?2xex的通解. 分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1?由相应的特征方程?2?3??2?0,得特征根?1?1,?2?2?相应的齐次方程的通解为y?C1ex?C2e2x.2?非齐次项f(x)?2xe?x,??1是单特征根，故设原方程的特解y??x(ax?b)ex.代入原方程得
ax2?(4a?b)x?2a?2b?3[ax2?(2a?b)x?b]?2(ax2?bx)?2x,即?2ax?2a?b?2x,?a??1,b??2.3?原方程的通解为y?C1ex?C2e2x?x(x?2)ex,其中C1，C2为两个任意常数. （三）确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型
（04，2,4分）微分方程y???y??x2?1?sinx的特解形式可设为（
）(A)y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx).(B)y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). (C)y??ax2?bx?c?Asinx.(D)y??ax2?bx?c?Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是?2?1?0,特征根为???i.由线性方程解的迭加原理，分别考察方程y???y?x2?1?（）与1y???y?sinx?（2） 方程(1)有特解y??ax2?bx?c,方程(2)的非齐次项f(x)?e?xsin?x?sinx(??0,??1，??i?是特征根),它有特解y??x(Asinx?Bcosx).因此原方程有特解 y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bbcosx).应选(A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程 d2ydy12.(04,4分)欧拉方程x?4x?2y?0(x?0)的通解为_______. dx2dx2分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量x?et(t?lnx)，将它化成常系数的情形：d2ydyd2ydy?(4?1)?2y?0,即?3?2y?0.dx2dtdt2dt相应的特征方程?2?3??2?0,特征根?1??1,?2??2,通解为y?C1e?t?C2e?2t.因此，所求原方程的通解为y?C1C2?,其中C1,C2为任意常数.xx2
(05,2,12分)用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足yx?0?1,y?x?0?2的特解.分析：建立y对t的导数与y对x的导数之间的关系.2dydydxdyd2yd2y2dydy2dy??(?sinx),2?2sint?cost?(1?x)2?x.dtdxdtdxdtdxdxdxdxd2y于是原方程化为2?y?0,其通解为y?C1cost?C2sint.dt 回到x为自变量得y?C1x?C21?x2.由y(0)?C2?1?C2?1.y?(0)?C1?因此特解为y?2x?1?x2.四、高于二阶的线性常系数齐次方程 13.（08，4分）在下列微分方程中，以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（
）(A)y????y???4y??4y?0.(B)y????y???4y??4y?0.(C)y????y???4y??4y?0.(D）y????y???4y??4y?0.?x1?x2x?0?2?C1?2. 分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1,?2i(i??1)，对应的特征方程是(??1)(??2i)(??2i)?(??1)(?2?4)??3??2?4??4?0,因此所求的微分方程是y????y???4y??4y?0，选(D). (00,2,3分)
具有特解y1?e?x,y2?2xe?x,y3?3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是（
） (A)y????y???y??y?0.(B)y????y???y??y?0.(C)y????6y???11y??6y?0.(D)y????2y???y??2y?0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1?r2??1,r3?1，从而特征方程为(r?1)2(r?1)?0,即r3?r2?r?1?0,由此，微分方程为y????y???y??y?0.应选(D).五、求解含变限积分的方程 （00,2,8分） 函数y=f(x)在?0,???上可导，f(0)?1，且满足等式1xf(t)dt?0，?0x?1(1)求导数f?(x)；(2)证明：当x?0时,成立不等式e?x?f(x)?1.f?(x)?f(x)?