化繁为简考研高等数学书籍介绍
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化繁为简考研高等数学专题全讲　
大学数学好不好学？大家可能会一致回答：“不好学”！是啊！遥想当年我初入大学时，恰同学少年，觉得自己中学数学很“牛”―数学或许也不过如此。但是到了大学才觉得大学的数学完全是一派全新的气象：思维方式变了，难度上了一个大台阶，还有就是数学分门别类太多，比中学的代数、几何、三角多出几倍。所以大学数学真的不好学！
那么对一般的同学，怎样才能学好它呢？说白一点，有没有什么捷径呢？在以前，我最讨厌讲的就是什么“捷径”，现在的观念有了一些转变。不可否认，学好数学是需要一定天分的。若是自己的天分或时间不够，有一位教过很多年、对数学精通的老师指点一下，是不是可以少走许多弯路、节省许多时间呢？毕竟我们大部分同学不是将数学当成专业，而是将它当成一个工具。
现在针对考研来说，我编写的这一套大学数学考研辅导书，主要针对的是数学基础一般或中上的考研同学。我若倾向于数学很强的同学，必然会忽视相对简单的题目，那么基础相对薄弱的同学还是不容易看懂，此书适合的人群正是80%的广大考生，他们需要更加细致的引导。我不想将它编成正襟危坐的“学院派”的模式，毕竟这类参考书太多了，有的已经成为了经典，我若编这样的书，路子也难以变到哪里去。我认为，学习数学对普通同学来说，最缺乏的往往有两点：第一是那种独到的综合能力，这种综合能力不是像普通参考书那样对知识作一个细致的罗列，这样的综合用处有限。我讲的综合是一种对整个课程的深层次的概括，当你对课程的理解达到一定深度时，就可以像数学家华罗庚说过的那样“将整本书由厚变薄”，纷繁复杂的数学公式和定理逐渐简化成若干思想和若干规则。而且有了这样的功底后，大学数学的解题思路会变得异常清晰；第二就是一些解题技巧，我强调的解题技巧，绝不是那种过于“偏门”的技巧，而是那种基于基本概念的“正道”技巧。这种技巧可让你一通百通，用了它后，复杂的问题慢慢地变得简单。因此，我创立了一种学习大学数学课程的方法，就是“化繁为简学习法”。
“化繁为简学习法”的宗旨是将繁杂不堪的数学知识变得简单易懂。实现化繁为简的根本途径是提取出数学的“思想”，以思想引导学习，我们不反对概括题型，但是要以总结思路为主导，否则，大量的题型和公式将成为同学们沉重的负担；化繁为简的核心内容就是15个左右的主导方法，它们虽然各有特色，但是无不体现语言生动、叙述精炼、通俗易懂、抓住要点、逻辑严密、思想深邃的共性；化繁为简的具体形式是以专题带动知识点，比如高等数学，我们就只通过三个框图加上15个专题，就可以概括高等数学所有的知识体系！
本书将以一种全新的风格，以“化繁为简学习法”为主导，作大多数考生的引路人，打个比方，目前那些经典的考研书如同一座座华美的商厦，应有尽有，让人有点目不暇接，而我们就是那个导购员，明白你的需要，在第一时间让你找到产品，并且用最简短的语言介绍产品的特色、用法和优缺点……。大家请仔细看本书第二篇“如何学好高等数学”，看完后你就会更明白我们编写这本书的目的了。我们将历经多年的教学而总结出来的经验、独特的技巧给予大家，目的就是让考研的同学用最短的时间达到自己所能达到的水平。
这本书的整个结构是：第一部分先讲一些一般的方法。比如“如何学好高等数学”和“如何复习高等数学”等，这是我们多年经验的积累。它将扭转你以前许多学数学的不正确的观念。实际上许多同学并不笨，就是学习方法不到位，进一步讲就是有一些根深蒂固的观念在作祟（比如不重视概念的理解，不重视逻辑的严密），让你学习走了许多弯路。我提出来，至少你会意识到而有所改变；第二部分用高数的三张框图总结出高数的“骨架”。复习的同学只要仔细研究此三张框图，就可以对所有知识点一目了然，再也不会觉得书太厚不知从何下手了，然后从框图引申出知识点，而不是将知识机械地再学一遍影响学习效率，值得一提的是此部分有两个概括性的讲解：一是讲解极限的思想，它将从宏观上指导你做题时潜移默化地运用极限的思想，从而做得更加得心应手，二是多变量分析法，将系统地介绍常量、变量（静态变量和动态变量）以及它们的各类用法技巧，它将让你从根本上解决多变量的处理问题，从而面对重积分、多元函数的偏导以及各类综合题有基本的思路不再困惑，第三部分中许多专题将引用此方法；第三部分是专题。我将主要知识点均做成专题，将跨章节的知识连贯地串起来。要知道，考研的关键就是综合，题目量有限，它的每一题都要保证有一定的综合性。对于非专业的考研数学，它一般没有特别难的题（专业的题目可就难了），所以要注重综合。有时候我们学不好，除了刚才观念的错误外，还有一点就是对一些根本的东西总是弄不明白，无论讲到哪里，只要涉及到这个问题就会糊涂，比如数学的变量和常量，大学的变量和中学的有什么不同？为什么有时候变量暂时作常量、有时候常量又可以暂时做变量呢？……大家在根子上难接受，那么许多题目就只能机械照搬，效果可想而知！所以需要专题讲解。专题又分三类：第一类是计算判断类，有11个专题，介绍高数11类主要的计算与判断的技能；第二类是证明类，分两个大专题，分别针对求导类和积分类的证明进行大总结，总结出普适的方法和原则，尤其是中值定理系列，我们将有大突破，让同学们不再惧怕此类题型；第三类是综合类，分两个大专题，综合题实际上就是前面13个专题知识点的组合搭配，有的同学怕综合题，是因为没有掌握综合题的出题规律和分解技巧，只要掌握的如何拆解综合题，那么，同学们做综合题相当于做两个到三个单纯的计算或证明题！
总之，我可以断定，市面上或许找不到一本书和我们的书风格一样的，没有一本书有对极限如此完整独特的讲述，没有一本书对变量有如此专门的分析和研究，没有一本书能将一章的知识体系概括成二十多字的口诀，没有一本书能将中值定理的证明做到如“搭积木”一般，没有一本书能将综合题拆解成接龙游戏。
总方法有了，本书已经涵盖了大多数考研的题目类型，你们可以当她是全书了。但是考虑到怕冲淡重点，所以，我们的选题是有侧重的，比如针对求导之类的最基本的题目，因为随便在哪里都能找到这一类的题型做训练，它无需太多思想，完全是熟练的套用公式，因此我们就不着太大的笔墨。我们针对题型，不作过于细致的划分，这里也有我们的考虑：划分题型过细，容易让同学们形成思维定势，也容易造成思想上的压力：题型那么多，记不住啊！因此，我们仅作一些大框架上的区分。当然，你若觉得不够，可以将我们的书和李永乐等编写的经典全书结合着来看，这样也很好。
信息时代，缺的不是题目，而是方法。
我们有没有夸大？一切要由同学们看了我的书后再作判断。
我们的口号是：化繁为简，快乐学数学！
同学们注意了！那种想偷懒、连教科书都不想看全的同学就没必要买我的书了。因为你会很失望：毕竟这本书不是灵丹妙药，靠一些绝活就能够“独步天下”。扎扎实实地学始终是要的，我很反感所谓速成、包过之类的广告词，那真的是误导！我只想让同学们少走弯路，带领同学们快乐学习，仅此而已。我也希望同学们提出实实在在的建议和意见，以便我们进一步提高！
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考研数学核心知识点总结
考研数学复习必备考研数学核心知识点总结（包含高数、线代及概率部分）适合基础复习及考前冲刺总结全面到位，重点突出一. 函数的概念 1．用变上、下限积分表示的函数 （1） y = （2）y = 连续， 则公式 1． limx →0sin x =1 xn udy ∫ f (t )dt ，其中 f (t ) 连续，则 dx = f (x )x 0∫? ( ) f (t )dt ，其中 ? (x ) ，? (x ) 可导，f (t )1?2 (x )x? 1? ? 1? 公 式 2 ． lim?1 + ? = e ； lim?1 + ? = e ； n →∞ u → ∞ ? n? ? u?lim(1 + v ) v = ev →0 112dy ′ ( x ) ? f [? 1 (x )]? 1 ′ (x ) = f [? 2 ( x )]? 2 dxf (x ) =l g (x )2．两个无穷小的比较 设 lim f ( x ) = 0 ， lim g ( x ) = 0 ，且 lim4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二） 当 x → 0 时， e = 1 + x +xx2 xn +Λ + + 0 xn n! 2!( )( )（1） l = 0 ，称 f ( x ) 是比 g ( x ) 高阶的无穷小，记以sin x = x ?f ( x ) = 0[g ( x )] ，称 g ( x ) 是比 f ( x ) 低阶的无穷小。 （2） l ≠ 0 ，称 f ( x ) 与 g ( x ) 是同阶无穷小。 （ 3 ） l = 1 ，称 f ( x ) 与 g ( x ) 是等价无穷小，记以x3 x5 x 2 n +1 n + + Λ + (? 1) + 0 x 2 n +1 (2n + 1)! 3! 5!2n x2 x4 n x + ? Λ + (? 1) + 0 x 2n (2n )! 2! 4!cos x = 1 ?( )ln (1 + x ) = x ?n x2 x3 n +1 x + ? Λ + (? 1) + 0 xn n 2 3( ) ( )f (x ) ~ g (x )3．常见的等价无穷小 当 x → 0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arctan x ~ x2 n +1 x3 x5 n +1 x arctan x = x ? + ? Λ + (? 1) + 0 x 2 n +1 3 5 2n + 1(1+ x) α =1+αx + α(α ?1) x2 +Λ + α(α ?1)Λ [α ? (n ?1)] xn + 0(xn )2! n!6．洛必达法则 法则 1． （1 ? cos x ~1 2 x ， e x ? 1 ~ x ， ln (1 + x ) ~ x ， 2(1 + x ) α? 1 ~ αx0 型）设（1） lim f ( x ) = 0 ， lim g ( x ) = 0 0二．求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则 准则 1．单调有界数列极限一定存在 （1）若 x n +1 ≤ x n （ n 为正整数）又 x n ≥ m （ n 为正 整数） ，则 lim x n = A 存在，且 A ≥ mn→∞（2） x 变化过程中， f ′( x ) ， g ′( x ) 皆存在 （3） limf ′( x ) = A （或 ∞ ） g ′( x )则 limf (x ) = A （或 ∞ ） g (x ) f ′( x ) 不存在且不是无穷大量情形， 则 g ′( x )（2）若 x n +1 ≥ x n （ n 为正整数）又 x n ≤ M （ n 为正 整数） ，则 lim x n = A 存在，且 A ≤ Mn→∞（注： 如果 lim准则 2． （夹逼定理）设 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) 若 lim g ( x ) = A ， lim h( x ) = A ，则 lim f ( x ) = A 3．两个重要公式不能得出 limf (x ) 不存在且不是无穷大量情形） g (x )法则 2． （∞ 型） 设 （1）lim f ( x ) = ∞ ，lim g ( x ) = ∞ ∞（2） x 变化过程中， f ′( x ) ， g ′( x ) 皆存在考研数学知识点-高等数学（3） limf ′( x ) = A （或 ∞ ） g ′( x )值，如果对于区间 [a, b] 上的任一点 x ，总有 f ( x ) ≤ M ， 则称 M 为函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的最大值。 同样可以定义最 小值 m 。 定理 3． （介值定理）如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上 连续， 且其最大值和最小值分别为 M 和 m ， 则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c ，在 [a, b] 上至少存在一个 ξ ，使 得则 limf (x ) = A （或 ∞ ） g (x )7．利用导数定义求极限f ( x 0 + ?x ) ? f ( x0 ) = f ′( x 0 ) [如果 基本公式： lim ?x → 0 ?x存在] 8．利用定积分定义求极限 基本公式f (ξ ) = c[如果存在] 推论：如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号，则在 (a, b ) 内至少存在一个点 ξ ，使得lim1 ?k? 1 f ? ? = ∫ f ( x )dx ∑ 0 n→∞ n k =1 ? n ?n三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设 x0 是函数 y = f ( x ) 的间断点。如果 f ( x ) 在间断点f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表x0 处的左、右极限都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(c )′ = 0d (c ) = 0α ?1(x )′ = α xα（ α 实常数）d x( )=α xαα ?1dx（ α 实常数）（2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。(sin x )′ = cos x (cos x )′ = ? sin x (tan x )′ = sec 2 xd sin x = cos xdx d cos x = ? sin xdxd tan x = sec 2 xdx d cot x = ? csc 2 xdxd sec x = sec x tan xdx d csc x = ? csc x cot xdx四．闭区间上连续函数的性质 在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f ( x ) ，有以下几个基本 性质。这些性质以后都要用到。 定理 1． （有界定理）如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上 连续，则 f ( x ) 必在 [a, b] 上有界。 定理 2． （最大值和最小值定理）如果函数 f ( x ) 在闭 区间 [a, b] 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和 最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下： 定义 设 f ( x0 ) = M 是区间 [a, b] 上某点 x0 处的函数(cot x )′ = ? csc 2 x (sec x )′ = sec x tan x (csc x )′ = ? csc x cot x(log a x )′ =1 (a & 0, a ≠ 1) x ln a dx (a & 0, a ≠ 1) d log a x = x ln a 1 (ln x )′ = 1 d ln x = dx x x (a x )′ = a x ln a (a & 0, a ≠ 1) da x = a x ln adx (a & 0, a ≠ 1)考研数学知识点-高等数学(e )′ = exxde x = e x dx1 1? x2ψ ′(t ) 存在，且 ? ′(t ) ≠ 0 ，则1 1? x2(arcsin x )′ =d arcsin x =dxdy ψ ′(t ) = dx ? ′(t )(? ′(t ) ≠ 0)二阶导数(arccos x )′ = ?1 1? x2d arccos x = ?1 1? x2dx(arctan x )′ =[ln(x +(1 1+ x2 (arc cot x )′ = ? 1 2 1+ x x +a2 2d arctan x =)] =′1 dx 1+ x2 1 darc cot x = ? dx 1+ x2? dy ? d? ? d y dx = ? ?= 2 dx dx2? dy ? d? ? ? dx ? ? 1 = ψ ′′(t )? ′(t ) ? ψ ′(t )? ′′(t ) dx dt [? ′(t )]3 dt1 x2 + a21 x +a2 25．反函数求导法则 设 y = f (x ) 的 反 函 数 x = g ( y ) ， 两 者 皆 可 导 ， 且d ln x + x 2 + a 2 =)dxf ′( x ) ≠ 0则[ln(x +(x ?a22)] =′1 x2 ? a21 x ? a22g ′( y ) =1 1 = f ′( x ) f ′[g ( y )]( f ′(x ) ≠ 0)d ln x + x 2 ? a 2 =2．四则运算法则)dx? 1 ? d? f ′( x ) ? d [g ′( y )] ? ?? 1 = 二阶导数 g ′′( y ) = dy dy dx dxf ′′( x ) f ′′[g ( y )] =? 3 [ f ′(x )] { f ′[g ( y )]}36．隐函数运算法则 设 y = y ( x ) 是由方程 F ( x, y ) = 0 所确定，求 y ′ 的方 法如下： 把 F ( x, y ) = 0 两边的各项对 x 求导，把 y 看作中间变 （允 量， 用复合函数求导公式计算， 然后再解出 y ′ 的表达式 许出现 y 变量） 7．对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导 方法得出导数 y ′ 。 对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数 ②多个函数连乘除或开方求导数 关 于 幂 指 函 数 y = [ f ( x )]g (x)[ f (x ) ± g (x )]′ = f ′(x ) ± g ′(x ) [ f (x ) ? g (x )]′ = f ′(x )g (x ) + f (x )g ′(x )′ ? f (x )? f ′(x )g ( x ) ? f ( x )g ′( x ) ? g (x ) ? = g 2 (x ) ? ?3．复合函数运算法则 设 y = f (u ) ， u = ? (x ) ， 如果 ? ( x ) 在 x 处可导，f (u ) 在对应点 u 处可导，则复合函数 y = f [? ( x )] 在 x 处可导， 且有=?( f ′(x ) ≠ 0)(g (x ) ≠ 0)dy dy du = = f ′[? ( x )]? ′( x ) dx du dx对应地 dy = f ′(u )du = f ′[? ( x )]? ′( x )dx 由于公式 dy = f ′(u )du 不管 u 是自变量或中间变量 都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4．由参数方程确定函数的运算法则 其中 ? ′(t ) ， 设 x = ? (t ) ，y = ψ (t ) 确定函数 y = y ( x ) ，常用的一种方法考研数学知识点-高等数学y = e g ( x ) ln f ( x ) 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8．可微与可导的关系（1）在闭区间 [a, b] 上连续； （2）在开区间 (a, b ) 内可导； 则存在 ξ ∈ (a, b ) ，使得f ( x ) 在 x0 处可微 ? f ( x ) 在 x0 处可导。9．求 n 阶导数（ n ≥ 2 ，正整数） 先求出 y ′, y ′′, Λ , 总结出规律性，然后写出 y 用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式 （1） y = ex(n )，最后f (b ) ? f (a ) = f ′(ξ ) b?a或写成 f (b ) ? f (a ) = f ′(ξ )(b ? a )(a & ξ & b )y (n ) = e x y (n ) = a x (ln a )n有 时 也 写 成 f ( x0 + ?x ) ? f ( x 0 ) = f ′( x 0 + θ?x ) ? ?x（2） y = a (a & 0, a ≠ 1)x(0 & θ & 1)这里 x0 相当 a 或 b 都可以， ?x 可正可负。 推论 1． 若 f ( x ) 在 (a, b ) 内可导， 且 f ′( x ) ≡ 0 ， 则 f (x ) 在 (a, b ) 内为常数。 推 论 2 ． 若 f ( x ) ， g ( x ) 在 (a, b ) 内 皆 可 导 ， 且（3） y = sin xnπ ? ? y (n ) = sin ? x + ? 2 ? ? nπ ? ? y (n ) = cos? x + ? 2 ? ? y (n ) = (? 1)n ?1（4） y = cos x (5) y = ln x(n ? 1)! x ? n两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式f ′( x ) ≡ g ′(x ) ，则在 (a, b ) 内 f ( x ) = g ( x ) + c ，其中 c 为一个常数。 三．柯西中值定理（数学四不要） 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 满足： （1）在闭区间 [a, b] 上皆连续； （2）在开区间 (a, b ) 内皆可导；且 g ′( x ) ≠ 0 则存在 ξ ∈ (a, b ) 使得[u (x )v(x )](n ) = ∑ C nk u (k ) (x )v (n?k ) (x )k =0n其 中(0 )k Cn =n! ， k!(n ? k )!u (0 ) ( x ) = u ( x ) ，v( x ) = v( x )假设 u ( x ) 和 v( x ) 都是 n 阶可导。微分中值定理 一．罗尔定理 设函数 f ( x ) 满足 （1）在闭区间 [a, b] 上连续； （2）在开区间 (a, b ) 内可导； （3） f (a ) = f (b ) 则存在 ξ ∈ (a, b ) ，使得 f ′(ξ ) = 0 二．拉格朗日中值定理 设函数 f ( x ) 满足f (b ) ? f (a ) f ′(ξ ) = g (b ) ? g (a ) g ′(ξ )(a & ξ & b )（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特 殊情形 g ( x ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定 理。 ） 四．泰勒定理（泰勒公式） （数学一和数学二） 定理 1． （皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式） 设 f ( x ) 在 x0 处有 n 阶导数，则有公式f ( x ) = f ( x0 ) +f ′( x0 ) f ′′( x0 ) f (n ) ( x0 ) (x ? x0 ) + ( x ? x 0 )2 + Λ + ( x ? x 0 )n + R n ( x ) n! 1! 2!考研数学知识点-高等数学(x → x0 )其中 Rn ( x ) = 0 ( x ? x 0 ) 余项。的一个极小值，称 x0 为函数 f ( x ) 的一个极小值点。[n](x → x0 ) 称为皮亚诺函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值 点统称极值点。 2．必要条件（可导情形） 设函数 f ( x ) 在 x0 处可导，且 x0 为 f ( x ) 的一个极值 点，则 f ′( x 0 ) = 0 。 我们称 x 满足 f ′( x 0 ) = 0 的 x0 为 f ( x ) 的驻点可导函 数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点 中进一步去判断。 3．第一充分条件 设 f ( x ) 在 x0 处连续，在 0 & x ? x 0 & δ 内可导，? ? Rn ( x ) ? lim ? = 0 ? x → x 0 ( x ? x )n ? 0 ? ?前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不 同情形取适当的 n ，所以对常用的初等函数如e , sin x, cos x, ln (1 + x ) 和 (1 + x ) （ α 为实常数）等的 nxα阶泰勒公式都要熟记。 定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式） 设 f ( x ) 在包含 x0 的区间 (a, b ) 内有 n + 1 阶导数，在[a, b] 上有 n 阶连续导数，则对 x ∈ [a, b]，有公式f (x) = f ( x0 ) + ′′( ) ( ) f ′( x0 ) (x ? x0 ) + f x0 (x ? x0 )2 + Λ + f x0 (x ? x0 )n + Rn (x) n! 1! 2!(n)其中 Rn ( x ) = 间）f (n +1) (ξ ) (x ? x0 )n+1 ， （ ξ 在 x0 与 x 之 (n + 1)!f ′( x 0 ) 不存在，或 f ′( x 0 ) = 0 。 1° 如果在 (x 0 ? δ , x 0 ) 内的任一点 x 处，有f ′( x ) & 0 ，而在 (x 0 , x0 + δ ) 内的任一点 x 处，有 f ′( x ) & 0 ，则 f ( x 0 ) 为极大值， x0 为极大值点；称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以 x0 为中心的 n 阶泰勒公式。当x0 = 0 时，也称为 n 阶麦克劳林公式。如果 lim Rn ( x ) = 0 ，那么泰勒公式就转化为泰勒级n→∞2° 如果在 (x 0 ? δ , x 0 ) 内的任一点 x 处，有f ′( x ) & 0 ，而在 (x 0 , x0 + δ ) 内的任一点 x 处，有 f ′( x ) & 0 ，则 f ( x 0 ) 为极小值， x0 为极小值点； 3° 如果在 (x 0 ? δ , x 0 ) 内与 (x 0 , x0 + δ ) 内的任一点 x 处， f ′( x ) 的符号相同，那么 f ( x 0 ) 不是极值， x0 不是极值点。 4．第二充分条件 设函数 f ( x ) 在 x0 处有二阶导数，且 f ′( x 0 ) = 0 ，数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用： 一．基本知识 1．定义 设函数 f ( x ) 在 (a, b ) 内有定义， x0 是 (a, b ) 内的某一 点，则 如果点 x0 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x( x ≠ x 0 ) ，总有 f ( x ) & f (x 0 ) ，则称 f ( x 0 ) 为函数 f ( x )的一个极大值，称 x0 为函数 f ( x ) 的一个极大值点； 如果点 x0 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点f ′′( x0 ) ≠ 0 ，则当 f ′′( x0 ) & 0 时， f ( x 0 ) 为极大值， x0 为极大值点。 当 f ′′( x0 ) & 0 时， f ( x 0 ) 为极小值， x0 为极小值点。x( x ≠ x 0 ) ，总有 f ( x ) & f ( x0 ) ，则称 f ( x 0 ) 为函数 f ( x )考研数学知识点-高等数学二．函数的最大值和最小值 1．求函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的最大值和最小值的方法 首 先 ， 求 出 f ( x ) 在 (a, b ) 内 所 有 驻 点 和 不 可 导 点y = f ( x ) 在 (a, b ) 内是凸的。求曲线 y = f ( x ) 的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数 f ′′( x ) ； 第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的 点 x1 、 x 2 、…、 x k ； 第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数 的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标。 四．渐近线的求法 1．垂直渐近线x1 ,Λ , x k ，其次计算 f ( x1 ),Λ , f ( x k ), f (a ), f (b ) 。最后，比较 f ( x1 ), Λ , f ( x k ), f (a ), f (b ) ， 其中最大者就是 f ( x ) 在 [a, b] 上的最大值 M ； 其中最 小者就是 f ( x ) 在 [a, b] 上的最小值 m 。 2．最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间， 然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 三．凹凸性与拐点 1．凹凸的定义 若对任意不同的两点 x1 , x 2 ， 设 f ( x ) 在区间 I 上连续， 恒有f ( x ) = ∞ 或 lim? f ( x ) = ∞ 若 lim +x→a x→a则 x = a 为曲线 y = f ( x ) 的一条垂直渐近线。 2．水平渐近线 若 lim f ( x ) = b ，或 lim f ( x ) = bx → +∞ x → ?∞则 y = b 是曲线 y = f ( x ) 的一条水平渐近线。 3．斜渐近线 若 lim? ? ? x1 + x 2 ? 1 ? x + x2 ? 1 f? 1 f? ? & [ f ( x1 ) + f ( x 2 )]? ? & [ f (x1 ) + f (x 2 )]? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2则称 f ( x ) 在 I 上是凸（凹）的。 在几何上，曲线 y = f ( x ) 上任意两点的割线在曲线下 （上）面，则 y = f ( x ) 是凸（凹）的。 如果曲线 y = f ( x ) 有切线的话，每一点的切线都在曲 线之上（下）则 y = f ( x ) 是凸（凹）的。 2．拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3．凹凸性的判别和拐点的求法 设函数 f ( x ) 在 (a, b ) 内具有二阶导数 f ′′( x ) ， 如果在 (a, b ) 内的每一点 x ，恒有 f ′′( x ) & 0 ，则曲线f (x ) = a ≠ 0 ， lim [ f ( x ) ? ax ] = b x → +∞ x → +∞ x f (x ) 或 lim = a ≠ 0 ， lim [ f ( x ) ? ax ] = b x → ?∞ x → ?∞ x则 y = ax + b 是曲线 y = f ( x ) 的一条斜渐近线。 五．曲率（数学一和数学二） 设 曲 线 y = f ( x ) ， 它 在 点 M ( x, y ) 处 的 曲 率k=[1 + ( y ′) ]2y ′′32，若 k ≠ 0 ，则称 R =1 为点 M ( x, y ) 处 k的曲率半径，在 M 点的法线上，凹向这一边取一点 D ， 使 MD = R ，则称 D 为曲率中心，以 D 为圆心， R 为半 径的圆周称为曲率圆。 不定积分 一．基本积分公式 1． x dx =y = f ( x ) 在 (a, b ) 内是凹的；如果在 (a, b ) 内的每一点 x ，恒有 f ′′( x ) & 0 ，则曲线∫αx α +1 +C α +1(α ≠ ?1，实常数)考研数学知识点-高等数学2．∫ x dx = ln x + C ∫x1是非常熟练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式：3． a dx =1 x a +C ln a(a & 0, a ≠ 1)（1）∫ f (ax + b )dx = a ∫ f (ax + b )d (ax + b)n1∫e ∫ ∫xdx = e x + C(a ≠ 0)（2） f ax + b x4． cos xdx = sin x + C 5． sin xdx = ? cos x + C 6． sec xdx =2∫ ()n ?1dx =1 f ax n + b d ax n + b na ∫()()(a ≠ 0, n ≠ 0)（3）x 1 2 7． ∫ csc xdx = ∫ dx = ? cot x + C sin 2 x8． tan x sec xdx = sec x + C 9． cot x csc xdx = ? csc x + C 10． tan xdx = ? ln cos x + C 11． cot xdx = ln sin x + C 12． sec xdx = ln sec x + tan x + C 13． csc xdx = ln csc x ? cot x + C 14．∫∫ cos12dx = tan x + C∫ f (ln x ) x = ∫ f (ln x )d (ln x )? ∫ f? ? x? x ? 1 ? dx2dx（4）∫ ∫?1? ?1? = ? ∫ f ? ?d ? ? ? x? ? x?（5）dx ∫ f ( x ) x = 2∫ f ( x )d ( x )∫ ∫ ∫∫（6）∫ f (a )axxdx =1 f ax d ax ∫ ln a( )( )∫(a & 0, a ≠ 1)∫ f (e )exxdx = ∫ f e x d e x( )( )（7）∫ f (sin x )cos xdx = ∫ f (sin x )d (sin x ) ∫ f (cos x )sin xdx = ?∫ f (cos x )d (cos x ) ∫ f (tan x )sec2dx a ?x2 2= arcsinx +C a(a & 0) (a & 0) (a & 0) (a & 0)（8） （9）1 dx x 15． ∫ 2 = arctan + C 2 a a a +x16．xdx = ∫ f (tan x )d (tan x )2（10） （11） （12） （13）∫a∫2dx 1 a+x ln +C = 2 2a a ? x ?xdx= ln x + x 2 ± a 2 + C∫ f (cot x )cscxdx = ? ∫ f (cot x )d (cot x )∫ f (sec x )sec x tan xdx = ∫ f (sec x )d (sec x ) ∫ f (csc x )csc x cot xdx = ? ∫ f (csc x )d (csc x )∫ ∫f (arcsin x ) 1? x2 f (arccos x ) 1? x2 dx = ∫ f (arcsin x )d (arcsin x ) dx = ? ∫ f (arccos x )d (arccos x )17．x ±a22二．换元积分法和分部积分法 1．第一换元积分法（凑微分法） 设∫ f (u )du = F (u ) + C ，又 ? (x ) 可导，则令u = ? ( x )（14）（15） （16）∫ f [? (x )]? ′(x )dx = ∫ f [? (x )]d? (x )= F (u ) + C = F [? ( x )] + C∫ f (u )du∫ ∫f (arctan x ) dx = ∫ f (arctan x )d (arctan x ) 1+ x2 f (arc cot x ) dx = ? ∫ f (arc cot x )d (arc cot x ) 1+ x2这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流” ，也就考研数学知识点-高等数学（17） （∫1? ? f ? arctan ? x? ? dx = ? ∫ 2 1+ x181? ? 1? ? f ? arctan ?d ? arctan ? x? ? x? ?）x 2 + a 2 d ln x + x 2 + a 2(? A)[l 2 ? (x ? x0 )2 ] 然后再作下列三种三角替换之一：所作替换 三角形示意图 （求反函数 用）根式的形式∫f ln x + x 2 + a 2 x +a2 2[()]dx = ∫ f [ln(x +19)] ( ())a2 ? x2x = a sin t(a & 0)（ ）x 2 ? a 2 d ln x + x 2 ? a 2∫f ln x + x ? a2[(2x ?a22)]dx = ∫ f [ln(x +)] ( ())a2 + x2x = a tan t(a & 0)（20）x2 ? a2x = a sec t∫f ′( x ) dx = ln f ( x ) + C f (x )( f (x ) ≠ 0)3．分部积分法 设 u ( x ) ， v( x ) 均有连续的导数，则 ， 若2．第二换元积分法 设x = ? (t ) 可 导 ， 且 ? ′(t ) ≠ 0∫ u(x )dv(x ) = u (x )v(x ) ? ∫ v(x )du(x )或 u ( x )v ′( x )dx = u ( x )v( x ) ? u ′( x )v( x )dx∫ f [? (t )]? ′(t )dt = G(t ) + C ，则∫∫∫f ( x )dx令x = ? (t )∫f [? (t )]? ′(t )dt = G (t ) + C = G ? ?1 (x ) + C v ′( x ) 有一定规律。ax[]使 用 分 部 积 分 法 时 被 积 函 数 中 谁 看 作 u (x ) 谁 看 作其中 t = ??1(x ) 为 x = ? (t ) 的反函数。（ 1 ） Pn ( x )e ， Pn ( x )sin ax ， Pn ( x ) cos ax 情形，第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过 换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是 x 与 n ax + b 或 x 与 n 由 e 构成的代数式的根式，例如 ae + b 等。x xPn ( x ) 为 n 次多项式， a 为常数，要进行 n 次分部积分法，每次均取 eaxax + b 或 cx + d， sin ax ， cos ax 为 v ′( x ) ；多项式部分为u (x ) 。（ 2 ） Pn ( x ) ln x ， Pn ( x ) arcsin x ， Pn ( x ) arctan x 情 形 ， Pn ( x ) 为 n 次 多 项 式 取 Pn ( x ) 为 v ′( x ) ， 而 ln x ，只要令根式ng ( x ) = t ，解出 x = ? (t ) 已经不再有根式，那么就作这种变量替换 x = ? (t ) 即可。 第二类：被积函数含有 如果仍令Ax + Bx + C2( A ≠ 0) ，arcsin x ， arctan x 为 u ( x ) ，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。 （3）eaxAx 2 + Bx + C = t 解出 x = ? (t ) 仍是根号，那sin bx ，e ax cos bx 情形，进行二次分部积分么这样变量替换不行，要作特殊处理，将 A & 0 时先化为A (x ? x0 ) ± l 22[]，A&0时，先化为法后要移项，合并。 （4） 比较复杂的被积函数使用分部积分法， 要用凑微考研数学知识点-高等数学分法，使尽量多的因子和 dx 凑成 一．定积分的概念与性质 1．定积分的性质 （1） （2） （b a 1 1 2 2x ∈ [a, b] 称为变上限积分的函数定理： （1） 若 f ( x ) 在 [a, b] 上可积， 则 F (x ) = 在 [a, b] 上连续 （2）若 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，则 F ( x ) =∫ f (t )dtx a∫ f (x )dx = ? ∫ f (x )dxa b b a∫ f (x )dx = 0a a∫ f (t )dt 在x a3b b 1 a 1 2 a 2）051∫ [k f (x ) + k f (x )]dx = k ∫ f (x )dx + k ∫ f (x )dx（4） f ( x )dx =之外） （5）设 a ≤ b ， f ( x ) ≤ g ( x ) (a ≤ x ≤ b ) ，则aa2．牛顿一莱布尼兹公式a板m(b ? a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b ? a )b一个原函数， 则有b（7）设 a & b ，则（ 8 ）定积分中值定理设 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，则存在模∫ f (x )dx ≤ ∫ f (x ) dxb b a a文ξ ∈ [a, b] ，使b a变上限积分的方法来证明；若 f ( x ) 在 [a, b] 上可积，牛顿 一莱布尼兹公式仍成立，但证明方法就很复杂） 三．定积分的换元积分法和分部积分法 1．定积分的换元积分法 设 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，若变量替换 x = ? (t ) 满足 （1） ? ′(t ) 在 [α , β ] （或 [β , α ] ）上连续； （ 2 ） ? (α ) = a ， ? (β ) = b ， 且 当 α ≤ t ≤∫ f (x )dx = f (ξ )(b ? a )定义：我们称1 b f ( x )dx 为 f ( x ) 在 [a, b] 上的积 b ? a ∫a?a?a考∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx （ f 偶函数）a a 0研∫ f (x )dx = 0 （ f 奇函数）a英分平均值 （9）奇偶函数的积分性质语作QQ（6）设 a & b ， m ≤ f ( x ) ≤ M (a ≤ x ≤ b ) ，则设 f ( x ) 在 [a, b] 上可积，F ( x ) 为 f ( x ) 在 [a, b] 上任意（注：若 f ( x ) 在 [a, b] 上连续，可以很容易地用上面80a∫ f (x )dx ≤ ∫ g (x )dxb bb ∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b ) ? F (a )77b a b a b a′ (x ) ′ ( x ) ? f [? 1 ( x )]? 1 则 F ′( x ) = f [? 2 ( x )]? 284βb a b a∫ba∫caf ( x )dx + ∫ f ( x )dx （ c 也可以在 [a, b]b c推广形式： 设 F (x ) =∫? ( ) f (t )dt ，? (x ), ? (x ) 可导，1?2 (x )xf ( x ) 连续，8[a, b] 上可导，且 F ′(x ) = f (x )2β 时，（10）周期函数的积分性质 设 f ( x ) 以 T 为周期， a 为常数，则a ≤ ? (t ) ≤ b ，则∫ f (x )dx = ∫α f [? (t )]? ′(t )dt∫a +Taf ( x )dx = ∫ f ( x )dxT 02．定积分的分部积分法 设 u ′( x ), v ′( x ) 在 [a, b] 上连续，则二．基本定理 1．变上限积分的函数 定义：设 f ( x ) 在 [a, b] 上可积，则 F ( x ) =∫ u (x )v′(x )dx = u (x )v(x )b a? ∫ u ′( x )v( x )dx ? ∫ v( x )du ( x )∫ f (t )dt ，x a或∫ u (x )dv(x ) = u(x )v(x )b a考研数学知识点-高等数学定积分的应用 一．平面图形的面积 1．直角坐标系 模型 IS1 = ∫ [ y 2 ( x ) ? y1 ( x )]dxb a其中 y 2 ( x ) ≥ y1 ( x ) ， x ∈ [a, b] 模型 II S 2 =二．平面曲线的弧长（数学一和数学二） 1．直角坐标系∫ [x ( y ) ? x ( y )]dyd c 2 1连续的导数] 弧长 S =a2．构坐标系 2．构坐标系80βd c772而 dS = 1 + [ y ′( x )] dx 也称为弧微分2842∫b1 + [ y ′( x )] dx2设光滑曲线 r = r (θ ) ， (α ≤ θ ≤板1 β 2 r (θ )dθ 2 ∫α 1 β 2 2 模型 II S 2 = ∫ r2 (θ ) ? r1 (θ ) dθ α 2模型 IS1 =有连续导数][]QQ弧长 S =∫α [r ′(θ )] + [r ′(θ )] dθ? x = x(t ) (α ≤ t ≤ β ) [ x(t ) ， y(t ) 在 ? y = y (t )3．参数方程所表曲线的弧长 设光滑曲线 C ?文模[α , β ] 上有连续的导数]曲线 C 的弧长 S =作3．参数形式表出的曲线所围成的面积∫α [x′(t )] + [ y ′(t )] dt2 2β语英设 曲 线 C的 参 数 方 程? x = ? (t ) ， ? ? y = ψ (t )三． 特殊的空间图形的体积 （一般体积要用二重积分） 1．已知平行截面面积的立体体积 设空间一个立体由一个曲面和垂直于 z 轴两平面研(α ≤ t ≤ β ) ? (α ) = a ， ψ (β ) = b ， ? (t ) 在 [α , β ] （ 或z = c 和 z = d 所围成， z 轴每一点 z (c ≤ z ≤ d ) 且垂直于考[β ,α ] ）上有连续导数，且 ? ′(t ) 不变号，ψ (t ) ≥ 0 且连续，则曲边梯形面积（曲线 C 与直线 x = a, x = b 和 x 轴所围 成）z 轴的立体截面的面积 S (z ) 为已知的连续函数，则立体体积V = ∫ S ( z )dz2．绕坐标轴旋转的旋转体的体积 （1）平面图形由曲线 y = y ( x ) (≥ 0 ) 与直线 x = a ，S = ∫ ydx = ∫ ψ (t )? ′(t )dtb aβαx = b 和 x 轴围成 绕 x 轴旋转一周的体积考研英语作文模板QQ05其中 x 2 ( y ) ≥ x1 ( y ) ， y ∈ [c, d ]设光滑曲线 y = y ( x ) ， (a ≤ x ≤ b ) [也即 y ( x ) 有β ) [ r (θ ) 在 [α , β ] 上8考研数学知识点-高等数学V x = π ∫ y 2 ( x )dxb aV x = 2π ∫ yx( y )dyd c绕 y 轴旋转一周的体积V y = 2π ∫ xy( x )dxb aV y = π ∫ x 2 ( y )dyd c绕 x 轴旋转一周的体积模板文1．设 AB 的方程为 y = y ( x ) (a ≤ x ≤ b ) 则 S = 2π∩a作∫ y(x )b1 + [ y ′(x )] dx2语2．设 AB 的极坐标方程为 r = r (θ ) ， (α ≤ θ ≤ 则 S = 2π∩β)QQ通解（注： 在微分方程求解中， 习惯地把不定积分只求出 它的一个原函数，而任意常数另外再加） （ 2 ） 方 程 形 式 ：M 1 ( x )N 1 ( y )dx + M 2 (x )N 2 ( y )dy = 0通解80∫ Q( y ) = ∫ P(x )dx + Cdy2 2∫α r (θ )sin θ [r ′(θ )] + [r ′(θ )] dθ英β∫ M (x ) dx + ∫ N ( y ) dy = C2 1M 1 (x )3 ． 设 AB 的 参 数 方 程 为 x = x (t ) ， y = y (t ) ，研∩(M 2 (x ) ≠ 0, N1 ( y ) ≠ 0)2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程(α ≤ t ≤ β )则 S = 2π考∫α y(t ) [x′(t )] + [ y ′(t )] dt2 2β常微分方程 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程y =u， x dy du 则 =u+x = f (u ) dx dx令dy = P( x )Q( y ) （1）方程形式： dx(Q( y ) ≠ 0)∫ f (u ) ? u = ∫du考研英语作文模板QQ77N 2 (y)绕 y 轴旋转一周的体积得旋转曲面的面积为 S 。dy ? y? = f? ? dx ?x?dx + c = ln | x | + c x84y = d 和 y 轴围成设平面曲线 C = ∩ 位于 x 轴上方，它绕 x 轴一周所AB05（2）平面图形由曲线 x = x( y ) (≥ 0 ) 与直线 y = c ，8四．绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学 二）考研数学知识点-高等数学（2）dy = f (ax + by + c )(a ≠ 0, b ≠ 0) dx2．一阶线性非齐次方程令 ax + by + c = u ， 则dy + P ( x ) y = Q( x ) dx用常数变易法可求出通解公式 令 y = C ( x )e? ∫ P ( x )dxdu = a + bf (u ) dx du∫ a + bf (u ) = ∫ dx = x + c? a1 x + b1 y + c1 dy （3） = f? ?a x+b y+c dx 2 2 ? 2① 当 ?=代入方程求出 C ( x ) 则得 y = e? ∫ P ( x )dxa2b2≠0 情 形 ， 先 求 出令z = y1?α板? a1u + b1v ? dv 则 = f? ?= ?a u +b v? du 2 ? ? 2方程情形 ②当 ? =模v ? ? ? a1 + b1 ? u ? 属于齐次 f? v? ? ? a 2 + b2 ? u? ?a1 a2b1 b2= 0 情形，文作QQ令u = x ?α ，v = y ? β4．方程：可化为以 y 为自变量， x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 四．全微分方程及其推广（数学一） 1．全微分方程80?a1 x + b1 y + c1 = 0 的解 (α , β ) ? ? a 2 x + b2 y + c 2 = 0把原方程化为再按照一阶线性非齐次方程求解。dx + P ( y )x = Q( y ) dy77dz + (1 ? α )P( x )z = (1 ? α )Q( x ) dxdy 1 = dx Q( y ) ? P( y )x84? x2 + y2 ? 2a1b1dy + P( x ) y = Q( x ) y α (α ≠ 0,1) dx语令a 2 b2 = =λ a1 b1P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 ，满足通解： u ( x, y ) = C ，则令 u = a1 x + b1 y ，研? a1 x + b1 y + c1 dy = f? ? λ (a x + b y ) + c dx 1 1 2 ?? ? ? ?英其中 u ( x, y ) 满足 du ( x, y ) = P ( x, y )dx + Q( x, y )dy 求 u ( x, y ) 的常用方法。 第一种：凑全微分法考则? u + c1 du dy = a1 + b1 = a1 + b1 f ? ? λu + c dx dx 2 ?? ? ? ?属于变量可分离方程情形。 三．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = Λ = du ( x, y )把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流， 就 很有帮助。 （1） xdx + ydy = d ? ?? ∫ P ( x )dxdy + P(x ) y = 0 dx它也是变量可分离方程，通解公式 y = Ce （ c 为任意常数） ，? x2 ? y2 （2） xdx ? ydy = d ? ? 2 考研英语作文模板QQ ?05?Q ?P = ?x ?y? ? ?； ? ? ? ?； ?? ? ? ?3．贝努利方程8[∫ Q(x)e∫ P ( x )dxdx + C]考研数学知识点-高等数学（3） ydx + xdy = d ( xy ) ； （4）ydx + xdy = d (ln xy ) ； xyxdx + ydy ?1 ? = d ? ln x 2 + y 2 ? ； 2 2 x +y ?2 ?（5）()?第三种：不定积分法 由（9）QQ? ydx ? xdy = d? 2 2 ? arctan x +y ?x? ?； y? ?y? ?； x?对 y 求导，80u ( x, y ) = ∫ P(x, y )dx + C ( y )得 Q ( x, y ) =板xdy ? ydx ? = d ? arctan （10） 2 2 x +y ?（11）模?1 x? y? ydx ? xdy = d? 2 2 ? 2 ln x + y ? ?； x ?y ? ? ?1 x+ y? xdy ? ydx = d? 2 2 ? 2 ln x ? y ? ?； x +y ? ?2 2求出 C ′( y ) 积分后求出 C ( y )（12）文2．全微分方程的推广（约当因子法） 设 P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 不是全微分方程。 不满足2+y语（13）(x (xxdx + ydy)? 1 1 = d? ?? 2 x2 + y2 ?作? ? ?； ??Q ?P = ?x ?y（14）2英xdx ? ydy ?y2 2研)? 1 1 ? = d? ?? 2 x2 ? y2 ? ?； ? ?但是存在 R ( x, y ) 使 得 R ( x, y )P (x, y )dx + R( x, y )Q( x, y )dy = 0 为 全 微分方程， 也即满足（15）xdx + ydy考1+ x + y2( (2 2)? ?1 = d ? arctan x 2 + y 2 ? ； ? ?2 ? ?1 = d ? arctan x 2 ? y 2 ? ； ? ?2()（16）xdx ? ydy1+ x2 ? y2)2()第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）则 R ( x, y ) 称为约当因子， 按全微分方程解法仍可求出R (x, y )P( x, y )dx + R( x, y )Q( x, y )dy = du ( x, y )通解 u ( x, y ) = C 。考研英语作文模板QQ 特殊的高阶微分方程这种情形，求约当因子是关键。77?u ? = ?y ?y?x? ydx ? xdy （8） = d? 2 ? y? ?； y ? ??u = P ( x, y ) 得 ?x?[RQ ] ?[RP ] = ?x ?y84[∫ P(x, y )dx]+ C ′( y ) ，xdy ? ydx ? y? （7） = d? ? ； 2 x ?x?= u (x0 , y 0 ) + ∫ P (x, y 0 )dx + ∫ Q( x, y )dyx y x0 y005( x0 , y 0 )8（6）xdx ? ydy ?1 = d ? ln x 2 ? y 2 2 2 x ?y ?2()? ?；u ( x, y ) = u ( x 0 , y 0 ) + ∫( x, y )P ( x, y )dx + Q( x, y )dy考研数学知识点-高等数学一．可降阶的高阶微分方程 方程类型 通解 解法及解的表达式任意常数）仍为同方程的解，特别地，当 y1 ( x ) ≠ λy 2 ( x ) （ λ 为常数） ， 也即 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 线性无关时， 则方程的 通解为 y = C1 y1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) 2． 若 y1 ( x ) ， y 2 ( x ) 为二阶非齐次线性方程的两个特 解，则 y1 ( x ) ? y 2 ( x ) 为对应的二阶齐次线性方程的一个y (n ) = f (x )y=Λ f ( x )(dx ) 1∫ 2 3∫n次n+ C1 x n ?1 + C 2 x令 y ′ = p ，则 y ′′ = p ′ ，原方程 ?模把 y ′ ， y ′′ 的表达式代入原方程，得板y ′′ =dp dp dy dp = ? =p dx dy dx dy文y ′′ = f ( y, y ′)dp 1 = f ( y, p ) ――一阶方程， dy p设其解为 p = g ( y, C1 ), 即作语dy g ( y, C1 ) ，则原方程的通解为 dx英∫ g ( y, C ) = x + C1dy2。研二．线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结 论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。 二阶齐次线性方程考y ′′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0二阶非齐次线性方程（1）QQ的通解。 式令 y ′ = p ，把 p 看作 y 的函数，则C1 y1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) 为对应的二阶齐次线性方程的通解（ C1 ， C 2 为独立的任意常数）则y = y ( x ) + C1 y1 (x ) + C 2 y 2 ( x ) 是此二阶非齐次线性方程5．设 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 分别是y ′′ + p (x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) 与 y ′′ + p (x ) y ′ + q ( x ) y = f 2 (x ) 的特解，则 y1 ( x ) + y 2 ( x ) 是 y ′′ + p (x ) y ′ + q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) 的特解。三．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程其中 p ， q 为常数， 特征方程 λ + pλ + q = 02y ′′ + p (x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x )（2）特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形 （1）当 ? = p ? 4q & 0 ，特征方程有两个不同的21．若 y1 ( x ) ， y 2 ( x ) 为二阶齐次线性方程的两个特实根 λ1 ， λ 2 解，则它们的线性组合 C1 y1 ( x ) + C 2 y 2 (考研英语作文模板QQ x )（ C1 ，C 2 为80y = ∫ g ( x, C1 )dx + C 2 。y ( x ) + y ( x ) 为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4．若 y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y ′′ + py ′ + qy = 077即 y ′ = g ( x, C1 ) ，则原方程的通解为y ( x ) 为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则84y ′′ = f ( x, y ′)为 p = g ( x, C1 ) ，3．若 y ( x ) 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而05p ′ = f ( x, p ) ――一阶方程，设其解特解。8考研数学知识点-高等数学则方程的通解为 y = C1e2λ1 x+ C 2 e λ2 x通解： y = y + C1 y1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) 其中 C1 y1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) 为对应二阶常系数齐次线性 方程的通解上面已经讨论。 所以关键要讨论二阶常系数非 齐次线性方程的一个特解 y 如何求？（2）当 ? = p ? 4q = 0 ，特征方程有二重根λ1 = λ 2则方程的通解为 y = (C1 + C 2 x )e2λ1 x我们根据 f ( x ) 的形式，先确定特解 y 的形式，其中 包含一些待定的系数， 然后代入方程确定这些系数就得到（3）当 ? = p ? 4q & 0 ，特征方程有共轭复根（ 1 ） 若 02． n 阶常系数齐次线性方程相应的特征方程QQ其中 pi (i = 1,2, Λ , n ) 为常数。（2）若 0 是特征方程的单根，则令 y = xRn ( x )2板λ n + p1λn ?1+ p2 λn?2+ Λ + p n ?1λ + p n = 0（3）若 0 是特征方程的重根，则令 y = x Rn ( x )αx模特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。2． f ( x ) = Pn ( x )e 其中 Pn ( x ) 为 n 次多项式，α 为（1）若特征方程有 n 个不同的实根 λ 1, λ 2 , Λ , λ n实常数 （1）若 α 不是特征根，则令 y = Rn ( x )eαx文则方程通解 y = C1eλ1 x+ C2eλ2 x+ Λ + Cn eλn x（2）若 λ 0 为特征方程的 k 重实根 (k ≤ n )作（2）若 α 是特征方程单根，则令 y = xRn ( x )e280y (n ) + p1 y (n ?1) + p 2 y (n ? 2 ) + Λ + p n ?1 y ′ + p n y = 0其中 ai (i = 0,1,2, Λ , n ) 为待定系数。77y = Rn ( x ) = a 0 x n + a1 x n ?1 + Λ + a n ?1 x + a n84n则方程的通解为 y = eαx(C1 cos β x + C 2 sin β x )1． f ( x ) = Pn ( x ) ，其中 Pn ( x ) 为 n 次多项式 不 是 特 征 根 ， 则 令05n ?1α ± iβ ，8特解 y ，常见的 f ( x ) 的形式和相对应地 y 的形式如下：αx语则方程通解中含有 C1 + C 2 x + Λ + C k x(k ?1)eλ0 x（3）若 α 是特征方程的重根，则令 y = x Rn ( x )e 3 ．αx英（ 3 ） 若 α ± iβ 为 特 征 方 程 的 k 重 共 轭 复 根f ( x ) = Pn ( x )eαx sin β x或研(2k ≤ n )f ( x ) = Pn ( x )eαx cos β x其中 Pn ( x ) 为 n 次多项式， α , β 皆为实常数考则方程通解中含有k?1e C1 + C2 x +Λ + Ck xαx[()cosβ x + (D + D x +Λ + D x )sinβ x]k?1 1 2 k（ 1 ） 若α ± iβ 不 是 特 征 根 ， 则 令y = eαx [Rn ( x ) cos β x + Tn (x )sin β x ]其中 Rn ( x ) = a 0 x + a1 x由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特 征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根 不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的 根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。 四．二阶常系数非齐次线性方程 方程： y ′′ + py ′ + qy = f ( x )+ Λ + a n ?1 x + a nai (i = 0,1,Λ , n ) 为待定系数 Tn ( x ) = b0 x n + b1 x n ?1 + Λ + bn ?1 x + bnbi (i = 0,1,Λ , n ) 为待定系数 其中 p, q 为常数 考研英语作文模板QQ考研数学知识点-高等数学（2）若 α ± iβ 是特征根，则令? ∩? ? 3．数量积。 a ? b = a b ? cos? ? ? ? a, b ? = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 ? ∩? ? 其中 ? ? ? 为向量 a, b 间夹角 ? a, b ?a ? b 为数量也称点乘。y = xeαx[Rn (x ) cos β x + Tn (x )sin β x]五．欧拉方程（数学一）x yn(n )+ p1 xn ?1y( n ?1)+ Λ + p n ?1 xy ′ + p n y = 0 ，其 中 pi (i = 1,2, Λ , n ) 为 常 数 称 为 n 阶 欧 拉 方 程 。 令4．向量积 a × b 也称为叉乘。QQ(a, b, c ) =a1 b1 c1的体积。 关系2 d 2 y dt d ? dy ? dy ?t d ? ?t dy ? ? 2t d y = ? e ? 2t ? ?=e ?e ?=e 2 2 dx dt ? dx ? dt ? dt ? dt dx dta × b 的方向按右手法则垂直于 a, b 所在平面，且80i j a2 b2 a2 b2 c2板=1 x2? d y dy ? ? ? ? dt 2 ? dt ? ? ?2，a × b = a1 b1x2模d 2 y d 2 y dy = 2 ? dt dx 2 dta × b 是向量， a × b = ?b × a 。 a × b 等于以 a, b 为5 ． 混合 积 ： 定 义 (a, b, c ) = (a × b ) ? c ， 坐 标 公 式邻边的平行四边形的面积。向量代数与空间解析几何 三．向量的运算a = a1i + a 2 j + a3 k = {a1 , a 2 , a3 }作文语b = b1i + b2 j + b3 k = {b1 , b2 , b3 }研英c = c1i + c 2 j + c3 k = {c1 , c 2 , c3 }几何意义 (a, b, c ) 表示以 a, b, c 为棱的平行大面体考四．两向量间的关系 设 a = {a1 , a 2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 }1．加法。 a + b = {a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3 } 减法。 a ? b = {a1 ? b1 , a 2 ? b2 , a3 ? b3 } 2．数乘。 λα = {λa1 , λa 2 , λa 3 }（ λ 是常数） 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。 向量表示 向量坐标表示cos ?= a1b 1 +a 2b 2 +a 3b 32 2 2 2 2 a +a2 +a3 ? b 1 +b 2 +b 3 2 1a, b 间夹角 (? )a 与b 垂 考研英语作文模板QQ 直77k a3 b3 a3 b3 c3 a ?b cos ? = ab a ?b = 0dy dy dt dy 1 dy = ? = e ?t = ， dx dt dx dt x dtxdy dy = ， dx dt? ∩? a × b = a b sin ? ? a, b ? ? ? ?84a1b1 + a 2 b2 + b3b3 = 0分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。 注意下面变换公式：a ? b 0 = Pr jb a05x = e 代入方程，变为 t 是自变量， y 是未知函数的微t8a ? b 0 表示向量 a 在向量 b 上的投影，即考研数学知识点-高等数学设直线L的一般式方程为a 与b 平行a×b = 0a1 a 2 a 3 = = b1 b2 b3? A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ， 则通过 L 的所有平面方程 ? ? A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0为二．平面及其方程 1．法（线）向量，法（线）方向数。 与平面 π 垂直的非零向量，称为平面 π 的法向量， 通常记成 n 。法向量 {m, n, p} 的坐标称为法（线）方向 数。对于给定的平面 π ，它的法向量有无穷多个，但它 所指的方向只有两个。 2．点法式方程 已知平面 π 过 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 点，k1 ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + k 2 ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0，其中 (k1 , k 2 ) ≠ (0,0 ) 。 6．有关平面的问题 两平面为π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 π1 与π 2 间夹角 (? )其法向量 n = {A, B, C }，则平面 π 的方程为A( x ? x0 ) + B( y ? y 0 ) + C ( z ? z 0 ) = 0或 n ? (r ? r0 ) = 0 其中 r0 = {x 0 , y 0 , z 0 }, r = {x, y, z} 3．一般式方程QQ垂直条件Ax + By + Cz + D = 0模板平行条件其中 A, B, C 不全为零。 x, y, z 前的系数表示 π 的 法线方向数， n = {A, B, C }是 π 的法向量。 特别情形：文重合条件作设 平 面 π 的 方 程 为 Ax + By + Cz + D = 0 ， 而 点语M ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 π 外的一点，则 M 到平面 π 的距离 d：英Ax + By + Cz = 0 ，表示通过原点的平面。 Ax + By + D = 0 ，平行于 z 轴的平面。Ax + D = 0 ，平行 yOz 平面的平面。d=研考x = 0 表示 yOz 平面。三．直线及其方程 1．方向向量、方向数 与直线平行的非零向量 S ，称为直线 L 的方向向量， 方向向量的坐标称为方向数。 2．直线的标准方程（对称式方程） 。4．三点式方程 设 A( x1 , y1 , z1 ) ， B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ， C ( x3 , y 3 , z 3 ) 三 点不在一条直线上，则通过 A, B, C 的平面方程为x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 = = l m n其中 (x 0 , y 0 , z 0 ) 为直线上的点， l , m, n 为直线的方 向数。 3．参数式方程x ? x1 x 2 ? x1 x3 ? x15．平面束y ? y1 y 2 ? y1 y 3 ? y1z ? z1 z 2 ? z1 = 0 z 3 ? z1考研英语作文模板QQ80Ax1 + By1 + Cz1 + D A2 + B 2 + C 277cos ? =2 1A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0 A1 B1 C1 ? D1 ? ?≠ ? = = ? A2 B2 C 2 ? D 2 ? ? A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C 2 D284A1 A2 + B1 B2 + C1C 22 2 2 A + B12 + C12 ? A2 + B2 + C2058考研数学知识点-高等数学? x = x0 + lt ? ? y = y 0 + mt ? z = z + nt 0 ? s = {l , m, n}, t 为参变量。4．两点式 设 A( x1 , y1 , z1 ) ， B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为不同的两点，则 通过 A 和 B 的直线方程为Ax + By + Cz + D = 0直线 L 的方程为：x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 = = l m n（α ）L 与 π 间夹角sin α =Al + Bm + Cn A + B + C 2 ? l 2 + m2 + n22 25．一般式方程（作为两平面的交线） ：S = {A1 , B1 , C1 }× {A2 , B2 , C 2 }6．有关直线的问题 两直线为L1 :板x ? x1 y ? y1 z ? z1 = = l1 m1 n1 x ? x2 y ? y 2 z ? z 2 = = l2 m2 n2模文L2 :语角 (θ ) 垂直条件cosθ =2 2 2 l12 + m12 + n12 ? l2 + m2 + n2作L1 与 L2 间 夹l1l2 + m1m2 + n1n2英l1l 2 + m1 m2 + n1 n2 = 0 l1 m1 n1 = = l 2 m2 n2研平行条件考四．平面与直线相互关系平面 π 的方程为：考研英语作文模板QQQQ1．平面情形z = ( x, y ) 在 平 面 上 过 点 P0 ( x0 , y 0 ) 沿 方 向l = (cos α , cos β ) 的方向导数 f ( x 0 + t cos α , y 0 + t cos β ) ? f ( x0 , y 0 ) ?f = lim ?l ( x0 , y 0 ) t →0 t z = f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y 0 ) 处的梯度为? ?f ( x0 , y 0 ) ?f ( x0 , y 0 ) ? ? , gradf ( x0 , y 0 ) = ? ? ? ? ? x y ? ?而方向导数与梯度的关系为?f = [gradf ( x0 , y 0 )] ? l ?l ( x0 , y 0 ) = gradf ( x0 , y 0 ) cos l ( gradf ( x0 , y 0 ), l )多元函数微分法 一．复合函数微分法――锁链公式 模型 1． z = f (u , v ) ， u = u ( x, y ) ， v = v( x, y )80多元函数微分学 多元函数的偏导数与全微分 四．方向导数与梯度（数学一）77? A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ， 方 向 向 量 ? ? A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0L 与 π 重合条件84L 与 π 平行条件05x ? x1 y ? y1 z ? z1 = = x 2 ? x1 y 2 ? y1 z 2 ? z1L 与 π 垂直条件l m n = = A B C Al + Bm + Cn = 0 Al + Bm + Cn = 0 L 上有一点在 π 上8考研数学知识点-高等数学?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v = ? + ? ； = + ?x ?u ?x ?v ?x ?y ?u ?y ?v ?y（2）确定 x = x( y, z ) 则 （3）确定Fy′ ?x F′ ?x =? ； =? z Fx′ ?z Fx′ ?yy = y(z, x ) 则模型 2． u = f ( x, y, z ) ， z = z ( x, y )F′ F ′ ?y ?y =? z ； =? x ?z Fy′ ?x Fy′多元函数的极值和最值第 一 步(x k , y k ) (k = 1,2,Λ , l )第 模型 3． u = f ( x, y, z ) ， y = y ( x ) ， z = z ( x ) 二77步84令QQdu = f x′ + f y′ ? y ′( x ) + f z′ ? z ′( x ) dx板讨论） 若 ? k & 0 则 f ( x k , y k ) 是极值模文w = f (u, v ) ， u = u ( x, y, z ) ，v = v( x, y, z ) 模型 4．′′ ( x k , y k ) & 0 则 f ( x k , y k ) 为极小值 进一步 若 f xx ′′ ( x k , y k ) & 0 则 f ( x k , y k ) 为极大值 若 f xx二．求多元 (n ≥ 2 ) 函数条件极值的拉格朗日乘子法 求 u = f ( x1 , Λ , x n ) 的极值英? ?w ?u ?v ? ?x = f u′ ? ?x + f v′ ? ?x ? ?u ?v ? ?w = f u′ + f v′ ? ?y ?y ? ?y ? ?w ?u ?v = f u′ + f v′ ? ?z ?z ? ?z语作考?? 1 ( x1 , Λ , x n ) = 0 ? (m & n ) 约束条件 ? Μ ?? ( x , Λ , x ) = 0 n ? m 1作F = F ( x1 , Λ , x n , λ1 , Λ , λ m ) = f ( x1 , Λ , x n ) + ∑ λ i? i ( x1 , Λ , x n )i =1 m还有其它模型可以类似处理 二．隐函数微分法 设 F ( x, y , z ) = 0 （1）确定 z = z ( x, y ) 则研Fy′ F ′ ?z ?z =? x ； =? ?x Fz′ ?y Fz′考研英语作文模板QQ80′′ (x k , y k ) f yy ′′ ( x k , y k ) ? f xy ′′ ( x k , y k ) ? k = f xx05[?z ? ?u = f x′ + f z′ ? ? ?x ? ?x ? ?u ? = f y′ + f z′ ? ?z ? ?y ? ?y一．求 z = f ( x, y ) 的极值? f x′ ( x, y ) = 0 ? ′ ? f y ( x, y ) = 0若 ? k & 0 则 f ( x k , y k ) 不是极值 若 ? k = 0 则不能确定 （需从极值定义出发8求 出 驻 点]2考研数学知识点-高等数学? Fx′1 = 0 ? ? Μ ? Fx′ = 0 ? n ? ? Fλ′1 = ? 1 ( x1 ,Λ , x n ) = 0 ? Μ ? ? ? Fλ′m = ? m ( x1 ,Λ , x n ) = 0求出 x1 , Λ , x n= ∫ dy ∫cdψ2 (y)ψ1 ( y )f ( x, y )dx关于二重积分的计算主要根据模型 I 或模型 II 把二 重积分化为累次积分从而进行计算， 对于比较复杂的区域D ，如果既不符合模型 I 中关于 D 的要求，又不符合模 那么就需要把 D 分解成一些小区 型 II 中关于 D 的要求， 域，使得每一个小区域能够符合模型 I 或模型 II 中关于区域的要求， 利用二重积分性质， 把大区域上二重积分等 于这些小区域上二重积分之和， 而每个小区域上的二重积 分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中， 两种不同顺序的累次积分的互相转 化是一种很重要的手段， 具体做法是先把给定的累次积分((k )(k ))(k = 1,2,Λ , l ) 是有可能的条件模型 I ：设有界闭区域先固定 θ 对 γ 进行积分，然后再对 θ 进行积分，由于区域其中 ? 1 ( x ) ， ? 2 ( x ) 在 [a, b] 上连续，f ( x, y ) 在 D 上 连续。 则D D英= ∫ dx ∫ab?2 (x )?1 ( x )f ( x, y )dy语∫∫ f (x, y )dσ = ∫∫ f (x, y )dxdy作文模板模型 II ：设有界闭区域研D = {(x, y ) c ≤ y ≤ d ,ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y )}QQDD 的不同类型，也有几种常用的模型。模型：设有界闭区域D = {(γ ,θ )α ≤ θ ≤ β , ? 1 (θ ) ≤ γ ≤ ? 2 (θ )}f ( x, y ) = f (γ cosθ , γ sin θ ) 在 D 上连续，则∫∫ f (x, y )dσ = ∫∫ f (γ cosθ , γ sin θ )γ dγ dθD= ∫ dθ ∫α考模80β ? 2 (θ ) ?1 (θ )D = {(x, y ) a ≤ x ≤ b, ? 1 ( x ) ≤ y ≤ ? 2 ( x )}三．在极坐标系中化二重积分为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分， 也即其中 ? 1 (θ ) ， ? 2 (θ ) 在 [α , β ] 上连续，型77I：f (γ cosθ , γ sin θ )γ dγ设 有 界 闭 区 域D = {(γ ,θ ) 0 ≤ θ ≤ 2π , ? 1 (θ ) ≤ γ ≤ ? 2 (θ )}其中ψ 1 ( y ) ，ψ 2 ( y ) 在 [c, d ] 上连续， f ( x, y ) 在 D 上连续。 则∫∫ f (x, y )dσ = ∫∫ f (x, y )dxdyD D其中 ? 1 (θ ), ? 2 (θ ) 在 [0,2π ] 上连续， 考研英语作文模板QQ84极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性。这种 方法的关键是解方程组的有关技巧。 多元函数积分学 二．在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积 分顺序问题然后根据 D 反过来化为二重积分， 求出它的积分区域 D ， 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。058考研数学知识点-高等数学f ( x, y ) = f (γ cosθ , γ sin θ ) 在 D 上连续，则V = ∫∫ [ f 2 ( x, y ) ? f1 ( x, y )]dσD∫∫ f (x, y )dσ = ∫∫ f (γ cosθ , γ sin θ )γ dγ dθD D其 中 D 为 闭 曲 面 S 在 xy 平 面 上 投 影 区 域= ∫ dθ ∫02π? 2 (θ )?1 (θ )f (γ cosθ , γ sin θ )γ dγz = f 2 ( x, y ) 为上半曲面， z = f 1 ( x, y ) 为下半曲面。2．空间曲面的面积模型 II ：设有界闭区域D = {(γ ,θ )α ≤ θ ≤ β ,0 ≤ γ ≤ ? (θ )}D∫∫ f (x, y )dσ = ∫∫ f (γ cosθ , γ sin θ )γ dγ dθD D板模型III：设有界闭模= ∫ dθ ∫αβ? (θ )0f (γ cosθ , γ sin θ )γ dγ区域文D = {(γ ,θ ) 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ γ ≤ ? (θ )}作QQ续，则?f ( x, y ) = f (γ cosθ , γ sin θ ) 在 D 上连续，则1．直角坐标系中三重积分化为累次积分（1）设 ? 是空间的有界闭区域，? = {( x, y, z ) z1 (x, y ) ≤ z ≤ z 2 ( x, y ), ( x, y ) ∈ D}其 中 D 是 xy 平 面 上 的 有 界 闭 区 域 ，z1 ( x, y ), z 2 (x, y ) 在 D 上连续，函数 f ( x, y, z ) 在 ? 上连z2 ( x , y )语∫∫∫ f (x, y, z )dv = ∫∫ dxdy ∫ (D80?其中? (θ )在[α , β ]上连续，三重积分 二．三重积分的计算方法77z1 x , y )z = z ( x, y )84βD z?其中 D 为曲面 S 在 xy 平面上投影，曲面 S 的方程英（2）设 ? ={(x, y, z )α ≤ z ≤ β , (x, y ) ∈ D(z )}其研中? (θ )在[0,2π ]上连续，其中 D ( z ) 为竖坐标为 z 的平面上的有界闭区域，则考f ( x, y ) = f (γ cosθ , γ sin θ ) 在 D 上连续，则∫∫Df ( x, y )dσ = ∫∫ f (γ cosθ , γ sin θ )γ dγ dθDf ( x, y, z )dxdy ∫∫∫ f (x, y, z )dv = ∫α dz ∫∫ ( )2．柱坐标系中三重积分的计算= ∫ dθ ∫02π? (θ )0f (γ cosθ , γ sin θ )γ dγ四．二重积分在几何上的应用 1．空间物体的体积∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (γ cosθ , γ sin θ , z )γ dγ dθ dz?相当于把 ( x, y ) 化为极坐标 (γ ,θ ) 而 z 保持不变。考研英语作文模板QQ05A = ∫∫? ?z ? ? ?z ? 1+ ? ? + ? ? ? ? dσ ? ?x ? ? ?y ?8f ( x, y, z )dz22考研数学知识点-高等数学3．球坐标系中三重积分的计算2．参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似） 设 空 间 曲 线 L 的 参 数 方 程 x = x(t ) ， y = y (t ) ，? x = ρ sin θ cos ? ? ? y = ρ sin θ sin ? ? z = ρ cosθ ??ρ ≥ 0 ? ? ? ?0 ≤ θ ≤ π ? ? 0 ≤ ? ≤ 2π ? ? ?z = z (t ) ， (α ≤ t ≤ β )则（假设 f ( x, y, z ) 和 x ′(t ) ， y ′(t ) ， z ′(t ) 皆连续）这 样把曲线积分化为定积分来进行计算。 二．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）?∩ ， 空间情形：设空间一条逐段光滑有定向的曲线 L = AB函数 P ( x, y, z ) ，Q( x, y, z ) ，R ( x, y, z ) 在 L 上皆有定义，模积分。 曲线积分 一．第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）板然后再根据 ? 把三重积分化为关于 ρ ,θ , ? 的累次QQ= ∫∫∫ f (ρ sin θ cos ? , ρ sin θ sin ? , ρ cosθ )ρ 2 sin θ dρ d θ d??把 L 任 意 分 成 n 段 ， ?S1 , ?S 2 , Λ , ?S n ， 在?S k (1 ≤ k ≤ n ) 上起点坐标为 (x k ?1 , y k ?1 , z k ?1 ) ， 终点坐标 L 的定向决定起点和终点）令(xk , y k , z k ) （ 按空间情形：空间一条逐段光滑曲线 L 上定义函数文作f ( x, y , z ) ， 把 曲 线 L 任 意 分 割 为 n 段 ，?x k = x k ? x k ?1 ， ?y k = y k ? y k ?1 ， ?z k = z k ? z k ?1 ，语?S1 , ?S 2 ,Λ , ?S n 在 ?S k (1 ≤ k ≤ n ) 上 任 取 一 点(1 ≤ k ≤ n ) 再在 ?S k 上任意一点 (ξ k ,η k , s k ) 考虑极限lim ∑ [P(ξ k ,η k , s k )?x k + Q (ξ k ,η k , s k )?y k + R (ξ k ,η k , s k )?z k ]λ →0k =1 n存在并且相等。n英(ξ k ,η k , s k ) ，如果对任意分割，任意取点，下列极限皆lim ∑ f (ξ k ,η k , s k )?S kλ →0k =1研如果对任意分割， 任 其中 λ 仍是 n 段弧长中最大值， 意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为考（ 这 里 ?S k 又 表 示 第 k 段 曲 线 的 弧 长 ，1≤ k ≤ nP( x, y, z ) ， Q( x, y, z ) 和 R( x, y, z ) 对空间曲线 L 的第二类曲线积分，也称对坐标的曲线积分，记以λ = max ?S k ）则称此极限值为 f ( x, y, z ) 在曲线 L 上的第一类曲 线积分，也称为对弧长的曲线积分，记以∫ P(x, y, z )dx + Q(x, y, z )dy + R(x, y, z )dzL80它的向量形式为 其 中∫ f (x, y, z )dSL如果曲线 L 是封闭曲线，也记以∫ f (x, y, z )dSLdS = {dx, dy, dz}如果 L 是空间封闭曲线也要说明 L 的定向，在空间 考研英语作文模板QQ 不能简单地说逆时针方向或顺时针方针， 必须用其他方式77∫∫∫ f (x, y, z )dxdydzF = {P(x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )}84∫ F ? dSL058∫ f (x, y, z )dS = ∫ f [x(t ), y(t ), z(t )] [x′(t )] + [ y ′(t )] + [z ′(t )] dtβ2 2 2 L ?考研数学知识点-高等数学加以说明。 2．参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似） 设空间有向曲线 L 的参数方程 x = x(t ) ，y = y (t ) ，= ∫ ∩ [P(x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ ]dsAB其中 cos α ， cos β ， cos γ 为曲线弧 AB 上点∩(x, y, z ) 处沿定向 A 到 B 方向的切线的方向余弦。四．格林公式 关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲 线积分之间的关系有一个十分重要的定理， 它的结论就是 格林公式。 定理 1． （单连通区域情形） 设 xy 平面上有界闭区域 D 由一条逐段光滑闭曲线z = z (t ) ，起点 A 对应参数为 α ，终点 B 对应参数为 β（注意：现在 α 和P(x, y, z ) ， Q( x, y, z ) ， R( x, y, z ) 皆连续，又 x ′(t ) ， y ′(t ) ， z ′(t ) 也都连续，则∫β αL= ∩ ABL 所围成的单连通区域。当沿 L 正定向移动时区域 D 在= ∫ {P[x(t ), y(t ), z(t )]x′(t ) + Q[x(t ), y(t ), z(t )]y′(t ) + R[x(t ), y(t ), z(t )]z′(t )}dt偏导数，则有三．两类曲线积分之间的关系 1．平面情形文模板这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如 果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个 负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考 虑定向。QQ? ?QD∫∫ ? ? ?x ? ?y ? ?dxdy = ∫ Pdx + Qdy ? ?L作∩ 平面上一个逐段光滑有定向的曲线， 设 L = AB定理 2． （多连通区域情形） 设 xy 平面上有界闭区域 D 是 (n + 1) 连通区域 （也即 “洞” ） ， 它的边界 L = C 0 Υ C1 Υ Λ Υ C n ， 其中 C 0 有n个 的定向为逆时针方向， C1 , Λ , C n 定向皆为顺时针方向， 仍符合沿 L 的正定向移动时区域 D 在它的左边这个原 则。∫其中 cos α ， cos β 为曲线弧在点 ( x, y ) 处沿定向A 到 B 方向的切线的方向余弦。2．空间情形考设 L = AB 为空间一条逐段光滑有定向的曲线，研∩ ABP (x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ ∩ [P( x, y ) cos α + Q( x, y ) cos β ]dsAB∩英语P(x, y ) ， Q(x, y ) 在 L 上连续，则P( x, y, z ) ， Q( x, y, z ) ， R( x, y, z ) 在 L 上连续，则函数 P ( x, y ) ，Q ( x, y ) 在 D 上有连续的一阶偏导数， 则∫∩ ABP( x, y , z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y , z )dz考研英语作文模板QQ80?P ?L 的左边，函数 P( x, y ) ， Q(x, y ) 在 D 上有连续的一阶77P(x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R(x, y, z )dz84058β 的大小不一定 α & β ）如果考研数学知识点-高等数学? ?Q ?P ? ∫∫D ? ? ?x ? ?y ? ?dxdy = ∫L Pdx + Qdy ? ? = ∫ Pdx + Qdy + ∑ ∫ Pdx + QdyC0 k =1 Ck n值。 如果对任意分割和任意取点， 下列极限皆存在且相等lim ∑ f (ξ k ,η k , s k )?S kλ →0k =1n则称这极限值为 f ( x, y, z ) 在曲面 S 上的第一类曲 面积分，也称对面积的曲面积分，记以五．平面上第二类曲线积分与路径无关的几个等价 条件 设 F {P( x, y ), Q ( x, y )} 的分量 P ( x, y ) ， Q ( x, y ) 在 单连通区域 D 内有一阶连续偏导数， 则下面几条彼此等 价。 1．对 D 内任意一条逐段光滑闭曲线 L ，都有∫∫ f (x, y, z )dS2．基本计算公式设曲面 S 的方程 z = z ( x, y ), ( x, y ) ∈ D ， z ( x, y ) 在∫ Pdx + Qdy = 0LD 上有连续偏导数。 ∩2．任意 L = AB 在 D 内，则∫∩ ABPdx + Qdy 只依赖QQ80f ( x, y, z ) 在 S 上连续，则77D8405? ?z ? ? ?z ? 1+ ? ? + ? ? ? ? dxdy ? ?x ? ? ?y ?2 23． P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = du ( x, y ) 成立。 4． D 内处处有模曲线积分与路径无关。板∩ 的取法无关，称为 于起点 A 和终点 B ，与曲线 L = AB∫∫ f (x, y, z )dS = ∫∫ f [x, y, z (x, y )]S这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算。 二．第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 1．定义 设 S 为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向 ) ，作?Q ?P = 成立。 ?x ?y文语5．向量场 F {P( x, y ), Q ( x, y )} 是有势场，即存在二 元函数 V ( x, y ) ，具有 F = ? gradV ，V ( x, y ) 称为势函 数，具有 P = ?P( x, y, z ) ， Q( x, y, z ) ， R( x, y, z ) 皆在 S 上有定义，把曲 面 S 任 意 分 成 n 个 小 曲 面 ?S1 , ?S 2 , Λ , ?S n ， 而英研?V ?V ，Q = ? 。 ?x ?y?S k (1 ≤ k ≤ n ) 在 yz 平面上投影的面积记以 (?S k ) yz ， 在zx 平面上投影的面积记以 (?S k ) zx ，在 xy 平面上投影的面 积 记 以 (?S k ) xy ， 又 在 ?S k (1 ≤ k ≤ n ) 上 任 取 一 点考曲面积分 一．第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 1．定义 设 S 为分块光滑曲面， f ( x, y, z ) 在 S 上有定义， 把曲面 S 任意分成 n 块小曲面 ?S1 , ?S 2 , Λ , ?S n ，在(ξ k ,η k , s k ) ，令 λ 是各小块曲面直径的最大值，考虑极限lim ∑ P(ξ k ,η k , s k )(?S k ) yz + Q (ξ k ,η k , s k )(?S k )zx + R(ξ k ,η k , s k )(?S k )xyλ →0k =1 n[8]S′?S k (1 ≤ k ≤ n) 上任取一点 (ξ k ,η k , s k ) ， 把小曲面 ?S k如果对任意分割， 任意取点， 极限值都存在并且相等， 则这个极限限称为 P ( x, y, z ) ， Q( x, y, z ) ， R ( x, y, z ) 在的面积也记以 ?S k ，而 λ 表示各小块曲面直径的最大 考研英语作文模板QQ 有向曲面 S 上的第二类曲面积分，也称为对面积的曲面考研数学知识点-高等数学积分，记以令 F = {P, Q, R}， n0 = {cos α , cos β , cos γ }∫∫ P(x, y, z )dydz + Q(x, y, z )dzdx + R(x, y, z )dxdyS∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ F ? n dS0 S S如果令 F = {P, Q, R}， dS = {dydz , dzdx, dxdy} 则向量形式为四．高斯公式 定理 1． （单连通区域） 设 ? 是由分块光滑曲面 S 围成的单连通有界闭区∫∫ F ? dSS偏导数，则 如果曲面 S 的方程 z = z ( x, y ) ， ( x, y ) ∈ D xy?77?R ?z ( x, y ) 在 D xy 上连续， R( x, y, z ) 在 S 上连续，则∫∫∫ ? ? ?x + ?y + ?z ? ?dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ? ?S? ?P?Q?R ?SDxy类 似 地 ， 曲 面 S 的 方 程 表 示 为 x = x( y, z ) ，( y, z ) ∈ D yz ，则S DYZ模板面上的二重积分。文∫∫ P(x, y, z )dydz = ± ∫∫ P[x( y, z ), y, z ]dydz曲面 S 指定一侧的法向量与 x 轴正向成锐角取正 号，成钝角取负号，如果曲面 S 的方程表示为作S英∫∫ Q(x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q[x, y(z, x ), z ]dzdxDZX语y = y ( z , x ) ， ( z , x ) ∈ D zx ，则研曲面 S 指定一侧的法向量与 y 轴成锐角取正号，成QQS若曲面 S 指定一侧的法向量与 z 轴正向成锐角取 正号， 成钝角取负号。 这样把这部分曲面积分化为 xy 平= ∫∫ [P cos α + Q cos β + R cos γ ]dS其中 cos α , cos β , cos γ 为 S 在点 ( x, y, z ) 处的法向量的方向余弦。 定理 2． （多连通区域） 设 ? 是 (n + 1) 连通区域，外面边界曲面 S 0 为外侧，′ (1 ≤ k ≤ n ) 为内侧，彼此不 每一个“洞”的边界曲面 S k重叠，都在 S 0 的内部。这些曲面都是分块光滑的， ? 是 有界闭区域， P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在 ? 上有连 续的一阶偏导数，则考钝角取负号。由此可见，第二类曲面积分用基本公式进 行计算是很麻烦的。绝大多数情形都用下面的定理进行 计算，但是当 P, Q, R 有些为 0 只剩下一项或二项时， 也有可能用基本公式进行计算。 三．两类曲面积分之间的关系∫∫∫ ? ? ?x + ?y + ?z ? ?dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ? ??? ?P80?Qn k =1 S K∫∫ R(x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R[x, y, z (x, y )]dxdy+ ∑ ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy（内侧） 五．斯托克斯公式∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ [P cos α + Q cos β + R cos γ ]dSS S其中 cos α , cos β , cos γ 为曲面 S 在点 ( x, y, z ) 处根据定理：设 L 是逐段光滑有向闭曲线， S 是以 L 为边 界的分块光滑有向曲面， L 的正向与 S 的侧（即法向量 的 指 向 ） 符 合 右 手 法 则 ， 函 数考研英语作文模板QQ 定向指定一侧的法向量的三个方向余弦。P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在包含 S 的一个空间区域84S005（外侧） （外侧）2．基本计算公式8域， P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在 ? 上有连续的一阶考研数学知识点-高等数学内有连续的一阶偏导数，则有dydz dzdx dxdy ? ? ? ∫L Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ?x ?y ?z S P Q Ri ? 旋度 rotF = ? × F = ?x Pj ? ?y Qk ? ?z R? ?R ?Q ? ? ?Q ?P ? ? ?P ?R ? = ∫∫ ? ?dydz + ? ?z ? ?x ?dzdx + ? ? ?y ? ?z ? ?dxdy ? ?x ? ?y ? ? ? ? ? ? ? S也可用第一类曲面积分? ?R ?Q ? ? ?P ?R ? ? ?Q ?P ? ? ? =? ? ?k ? ?y ? ?z ? ?i + ? ?z ? ?x ? j + ? ? ? ?x ?y ? ? ? ?斯托克斯公式可写成05S∞∫ F ? dr = ∫∫ (rotF ) ? n dSL0六．散度与旋度 讨论中有三个概念很重要， 就是梯度、 散度和旋度。 前面我们已经讨论过梯度： 设1．基本性质QQ∞80∑ u n 和 ∑ vn 皆收敛， a, b 为常数，则n =1 n =1∞ ∞ ∞cos α ? ∫L Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ?x S Pcos β ? ?y Qcos γ ? dS ?z R无穷级数 常数项级数（1）如果模?? ? ?? u = u ( x, y, z ) 算 ?? = ? ? ?x , ?y , ?z ? ? ? ?板∑ (au n + bvn ) 收敛，且等于 a∑ u n + b∑ vnn =1 n =1 n =11．散度英设 F = (P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )) 散度 divF = 度语作文? ?u ?u ?u ? gradu = ? ? ?x , ?y , ?z ? ? = ?u 称为 u 的梯度。 ? ?（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收 敛性不变。 （3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加 括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。 发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散 的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4）级数77∑un =1∞n84∞其中 dr = (dx, dy, dz ) ,n0 = (cos α , cos β , cos γ )收敛的必要条件是 lim u n = 0 。n→∞∞研?P ?Q ?R + + = ? ? F 称为 F 的散 ?x ?y ?z（注：引言中提到的级数8∑ (? 1)n =1称为 F 的旋度。n +1，具有考高斯公式可写成∫∫∫ divFdv = ∫∫ F ? n dS0?因此收敛级数的必要条件不满足， 故 lim(?1) n +1 不存在，n→∞∞S（外侧）n0 = (cos α , cos β , cos γ )2．旋度 设 F = (P( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R( x, y, z ))1 1 1 n +1 调和级数 ∑ 满足 lim = 0 ， 但∑ ∑ (? 1) 发散。 n→∞n =1 n =1∞nnn =1n却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件 lim u n = 0 ，n→∞而∑un =1∞n收敛性尚不能确定。 ）考研英语作文模板QQ．两类重要的级数考研数学知识点-高等数学（1）等比级数（几何级数）如果∑ vn 收敛，则 ∑ u n 收敛；n =1∞∞∞∑ ar (a ≠ 0)n n =0∞n =1∞如果n∑ u n 发散，则 ∑ vn 发散。n =1 n =1a 当 r & 1 时， ∑ ar = 收敛； 1? r n =0当 r ≥ 1 时，∞2．比较判别法的极限形式n =0（2） p ―级数n =1p84∞∑n∞1若 limun =A n →∞ v n当 p & 1 时，QQ1 当 p ≤ 1 时， ∑ p 发散。 n =1 n（注： p & 1 时，∞∞80∑nn =1∞1p77∞（1）当 0 & A & +∞ 时， 收敛； 同时发散。（2）当 A = 0 时，若∑vn =1∞∞05∑ u n 与 ∑ vn 同时收敛或n =1 n =1∞n收敛，则8∑un =1∞ ∞∑ ar∞n发散。设 u n ≥ 0 ， v n ≥ 0 ， (n = 1,2,3, Λ)n收敛。1 的和一般不作要求，但后 ∑ p n =1 n板∞（3）当 A = +∞ 时，若∑ u n 收敛，则 ∑ vn 收敛。n =1 n =1面用特殊的方法可知文1 π2 = 。 ） ∑ 2 6 n =1 n模3．比值判别法（达朗倍尔）二．正项级数敛散性的判别法语若 u n ≥ 0( n = 1,2,3, Λ ) 则作设 u n & 0 ，而 lim∑un =1∞u n +1 =ρ n→∞ u nn称为正项级数，这 （1）当 ρ & 1 时，则∑un =1n收敛。∞S n +1 ≥ S n (n = 1,2,3, Λ )英时研（2）当 ρ & 1 （包括 ρ = +∞ ）时，则 （3）当 ρ = 1 时，此判别法无效。 （注： 如果 lim∑un =1n发散。所以 {S n } 是单调增加数列， 它是否收敛就只取决于S n 是否有上界。因此考∑un =1∞n收敛 ? S n 有上界，这是正项级数比较u n +1 不存在时， 此判别法也无法用。 ） n→∞ u n判别法的基础。从而也是正项级数其它判别法的基础。 1．比较判别法 设 c & 0 ，当 n ≥ N 时， cv n ≥ u n & 0 皆成立。4．根值判别法（柯西） 设 u n ≥ 0 ，而 lim n u n =n→∞ρ收敛。考研英语作文模板QQ（1）当 ρ & 1 时，则∑un =1∞n考研数学知识点-高等数学（2）当 ρ & 1（包括 ρ = +∞ ）时，则 （3）当 ρ = 1 时，此判别法无效。∑ u n 发散。n =1∞（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即∞ 1 1 ( ) (u n ? u n ) 一定是发散的。 u + u 或 ∑ ∑ n n n =1 2 n =1 2 ∞事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数 比较得出相应的结论。应用时，根据所给级数的形状有 不同的选择，但它们在 ρ = 1 情形都无能为力，数学上 有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作 要求。 三．交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念 若 un & 0 ，4．一类重要的级数 设∑n =1∞(? 1)n+1npn =1（2）当 0 & p ≤ 1 时，∞n =1u n 称为交错级数。（3）当 p ≤ 0 时,77∑n =1∑ (? 1)∞n +12．莱布尼兹判别法 设交错级数∑ (? 1)n =1∞n +1u n 满足：（1） u n +1 ≤ u n (n = 1,2,3, Λ （2） lim u n = 0n→∞)板QQ幂级数 一．函数项级数及其收敛域与和函数（数学一） 1．函数项级数概念设 u n ( x ) (n = 1,2,3, Λ8084n =1∑∞(? 1)n+1 是发散的。np) 皆定义在区间 I05np∞（1）当 p & 1 时，∑np(? 1)n+1 是条件收敛的。8n0∞∞(? 1)n+1 是绝对收敛的。上，则模 文n +1∞∑ u (x ) 称为区间 I 上的函数项级数n =1 n∞则作∑ (? 1)n =1∞n +1u n 收敛， 且 0 & ∑ (? 1)n =1u n & u12．收敛域 设 x0 ∈ I ，如果常数项级数∞语四．绝对收敛与条件收敛 1．定理∞∑ u (x ) 收敛，则称 xn =10英∞若∑ u n 收敛，则 ∑ u n 一定收敛；反之不然。n =1 n =1是函数项级数∞∑ u (x ) 的收敛点，n =1 n n0 0是研考2．定义 若如果∑ u (x ) 发散，则称 xn =1∞∑ u (x ) 的发散点。n =1 n∑un =1∞∞n收敛，则称∞∑un =1∞n为绝对收敛； 函数项级数∞∑ u (x ) 的所有收敛点构成的集合就称n =1 n若 收敛。∑ u n 收敛，而 ∑ u n 发散，则称 ∑ u n 为条件n =1 n =1 n =1为收敛域。 所有发散点构成的集合称为发散域。 3．和函数3．有关性质 （1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷 ∞ 在 u n ( x ) 的收敛域的每一点都有和，它与 x 有关， 多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不 n =1 考研英语作文模板QQ 变。∑考研数学知识点-高等数学因此两种情形的收敛域就确定的。而 (3) 的情形，还需讨论S (x ) = ∑ u n (x ) ， x ∈ 收敛域n =1∞± R 两点上的敛散性。如果 lim 括+ ∞ ） 则 R = 0； 若l = 0， 则收敛半径 R = （若 l = +∞ ， 则 R = +∞ ） 如果上述两极限不成立， 那么就要用其它方法求收敛 半径，后面有所讨论。称 S ( x) 为函数项级数∑ u (x ) 的和函数，它的定n =1 n∞a n +1 = l （包括 + ∞ ）或 lim n a n = l （包 n →∞ a n→∞ n义域就是函数项级数的收敛域。 二．幂级数及其收敛域 1．幂级数概念∞1 ln =0nQQn =0 n当 x0 = 0 时，∞∑a∞80∑a∞ na n (n = 0,1,2, Λ ) 称为幂级数的系数，是常数。 x 称为 x 的幂级数。n1．四则运算77∞ n =0∑ a (x ? x )n =1 n0n称 为 ( x ? x0 ) 的 幂 级 数 ，三．幂级数的性质设x = f ( x) ， x & R1 ； ∑ bn x n = g ( x ) ，一般讨论∞∑an =0nx n 有关问题，作平移替换就可以得板x & R2则模出有关n =0文∑ a (x ? x )n0n的有关结论。∑ (an =0∞n± bn )x n = f (x ) ± g ( x ) ，x & min (R1 , R2 )2．幂级数的收敛域∞作? ∞ ?? ∞ ? ∞ ? ∑ a n x n ?? ∑ bn x n ? = ∑ (a 0 bn + Λ + a k bn ? k + Λ + a n b0 )x n = f (x ) ? g ( x ) ? n =0 ?? n =0 ? n =0幂级数∑an =0nx n 的收敛域分三种情形英语x & min (R1 , R2 )2．分析性质研（1） 收敛域为 ( ?∞,+∞) ， 亦即∑an =0∞nx 对每一个 x设 幂 级 数n考皆收敛。我们称它的收敛半径 R = +∞ 。 （2） 收敛域仅为原点， 除原点外幂级数∑an =0∞∑an =0∞nx 皆n发散，我们称它的收敛半径 R = 0 。 （ 3 ） 收 敛 域 为 ( ? R, R ) 或 ( ? R, R ] 或 [? R, R ) 或S (x ) = ∑ a n x n 为和函数，则有下列重要性质n =0∞（1） S ( x ) 在 (? R, R ) 内可导，且有逐项求导公式[? R, R] 中 的 一 种 ， 我 们 称 它 的 收 敛 半 径 为R (0 & R & +∞) 。所以求幂级数的收敛半径 R 非常重要， （1） ， （2）′ ∞ ′ ∞ ? ∞ n ? ′ S (x ) = ? ∑ a n x ? = ∑ a n x n = ∑ na n x n ?1 n =1 ? n =0 ? n =084nxn 的 收 敛 半 径 R & 0 ，求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出 S ( x ) 在考研英语作文模板QQ05( )8考研数学知识点-高等数学(? R, R ) 内有任意阶导数，公式为S (k ) ( x ) = ∑ n(n ? 1)Λ (n ? k + 1)x n ? kn=k ∞下列基本公式应熟背 （1） ， （2）∑xn =0∞∞n=1 ， x &1 1? xx & R (k = 1,2,3, Λ )（2） S ( x ) 在 (? R, R ) 内有逐项积分公式xn = e x ， x & +∞ ∑ n ! n =0∞0n =00（4）n ∑ (? 1) n =0∞（3）若n =0有下列性质： （i） lim? S ( x ) =x→R77∑n =1∞∑ an x n = S (x ) 在 x = R(? R ) 成立。则n =0∞（5）n ∑ (? 1)x n +1 = ln (1 + x ) ， (? 1 & x ≤ 1) n +1∑an =0∞80（ 6 ） 1+nα (α ? 1)Λ (α ? n + 1)n!84∑n =0∞且这个幂级数的收敛半径也不变05∫xS (t )dt = ∑ ∫ a n t n dt = ∑x∞x 2n = cos x ， x & +∞ (2n )!8x n = (1 + x ) ，α∞a n n +1 x n =0 n + 1∞x 2 n +1 （3） ∑ (? 1) = sin x ， x & +∞ (2n + 1)! n=0nR n 成立（ii）∫R0模S ( x )dx = ∑an R n +1 成立 + 1 n n =0∞作∞ ? an ? 0 (? R )n+1成立 ? ? ? ∫ S ( x )dx = ∑ ?R n =0 n + 1 ? ?文n =1n语（iii）∑ nan∞x n ?1 在 x = R(? R ) 不一定收敛也即∑ nan =1∞∞研英′ (R ) 不一定成立， (S + ′ (? R )) R n ?1 = S ?板∞ ? ? n ? lim + S ( x ) = ∑ a n (? R ) 成立 ? n =0 ? ? x →( ? R )考如果∞∑an =0 nnx n 在 x = R(? R ) 发散， 那么逐项求导后在 x = R (? R ) 一定发散， 而逐项积分QQ∞(? 1 & x & 1) （ α 为实常数）2．用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和 公式 3．用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方 程，从而求微分方程的解 五．利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和 （强化班再讨论） 将函数展开成幂级数 一．泰勒级数与麦克劳林级数的概念 1．基本概念 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某一领域 x ? x0 & δ 内具有 任意阶导数，则级数的级数∑ nan =1∞xn ?1f (n ) (x 0 ) ( x ? x 0 )n 称 为 函 数 n!f ( x ) 在 x0 处的泰勒级数。后的级数∑ n +1 xn =0ann +1在 x = R (? R ) 有可能收敛。（注：这里泰勒级数是否收敛？是否收敛于 f ( x ) 都 不知道）特别地，当 x0 = 0 ，则级数四．幂级数求和函数的基本方法 1．把已知函数的幂级数展开式（§8.3 将讨论）反 过来用f (n ) (0 ) n x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数。 ∑ n! n =0 考研英语作文模板QQ考研数学知识点-高等数学2．函数展成幂级数的条件 设 f ( x ) 在 x ? x 0 & R 内有任意阶导数，它的泰勒 公式f ( x ) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )( x ? x 0 ) + f ′′( x 0 ) f (n ) ( x 0 ) ( x ? x 0 )2 + Λ + ( x ? x 0 )n + R n ( x ) n! 2!例： cos x = (sin x ) =′n ∑ (? 1) n =0∞x 2n ， x & +∞ (2n )!(1 ? x )21′ ∞ ′ ? 1 ? ? ∞ n? n ?1 =? ? = ? ∑ x ? = ∑ nx ， x & 1 ? 1 ? x ? ? n =0 ? n =13．变量替换法∞ 1 n 1 t = ∑ x 2 n ， x & +∞ n = 0 n! n = 0 n! ∞例： e.x2= et = ∑n =0n→∞板而且 f ( x ) 在 x0 处幂级数展开式是唯一的。QQ的充要条件为 lim Rn ( x ) = 0x ? x0 & R4．逐项积分法80则 f (x )∑∞f (n ) (x0 ) ( x ? x 0 )n ， x ? x 0 & R n!x &1例： ln (1 + x ) =模特别地，x0 = 0 时得到函数展成麦克劳林级数的充 分必要条件。 二．函数展成幂级数的方法 1．套公式77x∞ 1 1 = = ? x2 ∑ 1+ x2 1? ? x2 n =084) (∞Rn ( x ) =f (n +1) [x0 + θ ( x ? x0 )] (x ? x0 )n+1 (n + 1)!(0 & θ & 1)05n∞其中 Rn ( x ) 为 n 阶余项，它的拉格朗日型为() = ∑ (? 1)n =08nx 2n ，x ∞ 1 (? t )n dt dt = ∫0 1 + t ∫0 ∑ n =0文=∑n =0(? 1)n x n+1n +1