数值线性代数课程设计 线性方程组的直接解法 数理学院
沈骁 摘要：如何利用电子计算机来快速、有效的求解线性方程组的问题是数值线性代数的核心问题。本文将主要介绍解线性方程组的基本的直接法――高斯消去法，平方根法，并用实例来验证此方法的有效性。 关键字：高斯消去法，顺序消去法，选主元消去法，平方根法，消元过程，回代过程,主元数和乘数 引言：因为各种各样的科学与工程问题往往最终都要归结为一个线性方程组的求解问题。本文在比较着几个方法的基础上，通过一道实例来得到最方便最有效的方法。 基本原理：工程计算和科学研究中的许多问题，最终归结为线性代数方程组的求解。求解的方法也有很多，如高斯消去法（顺序消去法，选主元消去法），平方根法。高斯消去法是目前求解中小规模线性方程组最常用的方法；平方根法是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。为了更快速、更方便的求解线性方程组，下面我们比较一下这几种方法哪种更好。 一、高斯（Causs）消去法就是逐步消去变元的系数，将原方程组Ax?b化为系数矩阵为三角形的等价方程组Ux?d，然后求解系数矩阵为三角形的方程组而得出原方程组解的方法。把逐步消元去变元的系数，将方程组化为以系数矩阵为三角形的等价方程组的过程称为小院过程；把求系数矩阵为三角形的方程组解的过程称为回代过程。最初求解方程组的高斯消去法也称为顺序消去法，它由消元过程和回代过程组成。 顺序消去法 1． 消元过程 考虑一般方程组，为了推导过程方便，记系数矩阵A的元素a(0)ij为aij，右端向量b的元素bi记为a(0)i,n?1，于是方程组??a11x1?a12x2??a1nxn?b1??a21x1?a22x2??a2nxn?b2
（1.1）成为???an1x1?an2x2??annxn?bn??a?0??0?11x1?a12x2??a?0?0?1nxn?a?1n?1??0?00?a?0?21x1?a22x2??a????2nxn?a2n?1假设???a?0?1x1?a?0?nn2x2??a?0??a?0?nnxnnn?1a(0)11?0，将第1个方程乘以(?a(0)i1a(0))加到第i个11方程(2?i?n),得到第1个导出方程组?a(0)(0)(0)(0)?11x1?a12x2?a1nxn?a1n?1??a(1)x(1)(1)222?a2nxn?a2n?1其中：???a(1)(1)(1)n2x2?annxn?ann?1a(0)a(0)(1)i1ij?aij?(0)a(0)a1j，2?i?n，2?j?n?1。11a(0)由于因子i1a(0)不止一次地用到，常 11记为l(1)i,1。再假设a22?0，由第1个导出方程组的第2个方程乘以(?a(1)i2a(1))加到第i个方程22(3?i?n)，得到第2个导出方程组?a?0??0??a?0?0?0?11x1?a12x213x3??a?1nx??n?a1n?1???a1??a?1??a?1??1?22x223x3?2nxn?a2n?1??2??2???aa2?33x3??3nxn?a3n?1类似???a?2??2??2?n3x3??annxn?ann?1地记：l?a(1)i2i2a(1)，则第2个导出方程组的元素22(1)a(0)?a(1)(i2)a(1)(1)(1)ijij?aa(1)2j?aij?li2a2j，3?i?n，223?j?n?1。重复上述过程n?1次，得到n?1个导出方程组?a?0??a?0??0?0?0?11x112x2?a13x3??a???1nxn?a1n?1??1??1??a?a?1?x?1?22x223x3??a2nn?a2n?1??a?2??2??2?33x3??a3nxn?a3n?1???a?n?1?nnxn?a?n?1?nn?1（1.2）其中第k个导出方程组的元素的递推关系是la(k?1)ik(k)(k?1)(k?1)ik?a(k?1)，aij?aij?likakj
(1?k?n?1,k?1?i?n,k?1?j?n?1)。由于上述消元过程只是将原方程组的系数矩阵和右端进行初等变换，因此，第n?1个导出方程组与原方程组等价，即通过消元过程将方程组（1.1）化成了等价的上三角方程组（1.2）。由第k个导出方程组的计算公式（1.3），容易得到消元过程所需要的乘法和加法次数为n?1Sn?k)(n?k?1)?n11??((n2?1) k?13除法次数为Sn?1)12??n?1(n?k)?n(k?12 2.回代过程
回代过程就是求等价三角形方程组（1.2）的解。只要a(k?1)kk?0(k?1,2,,n)，就可以最后一个方程得到xn的值，再从第n?1个方程得xn?1的值。在一般情形，可求得xi的回代递推公式?(n?1)?xann?1n??(n?1),?ann??(x(i?1)n(i?1)i??aijxj)???x?j?i?1iai?1,i?n?1,n?2,,1.ii（1.4） 由公式（1.4）可知，回代过程需要n次除法，其乘法和加法的次数同为1?2??(n?1)?12n(n?1)。所以回代过程需S1121?2n(n?1)次加法，S22?2n(n?1)次乘、除法。 3.顺序消去法的运算次数与计算步骤 由消元过程和回代过程的运算次数可知，顺序消去法的加法次数为S11?S11?S21?6n(2n?3n?5)，乘除法次数为S122?S11?S12?S22?3(n?3n?1)。消元过程在编程上机运算时，需采用三重循环，即对于k?1,2,,n?1,i?k?1,k?2,,n,计算l?a(k?1)ikkka(k?1)；对于j?k?1,k?2,,n?1计算kka(k)a(k?1)(k?1)ij?ij?likakj。回代过程只需要二重循环，即计算xa(n?1)nn?1n?a(n?1)，对于nni?n?1,n?2,,1,s?0;对于j?i?1,i?2,,n,计算S?S?a(i?1)ijxj,(xai?1)in?1?Si?a(i?1).ii 4.主元数和乘数 由顺序消去法的推导过程可知，无论是消元过程还是回代过程的都不需要对未知元作真正的运算，Ax?b 的系数矩阵的元素和而仅需要对方程组右端作运算。因此，在实际运算中，总是将方程组的系数矩阵和右端合在一起，记成增广矩阵(A,b)。 由消元过程（1.3）可以看到，元素a(k?1)kk为“主元素“，另外，在消元过程中不止一次用到数lik，这个数称为消元过程的乘数。 二．平方根法 平方根法又叫Cholesky分解法，是求解对称线性方程组最常用的方法之一。对于一般方阵，为了消除LU分解的局限性和误差的过分积累，而采用了选主元的方法。但对于对称正定矩阵而言，选主元却是完全不必要的。 设A?Rn?n是对称正定的，即A满足AT?A而且xTAx>0对一切的非零向量x?Rn成立.此时,由定理容易推出 Cholesky分解定理：若A?Rn?n对称正定，则存在一个对角元均为正数的下三角阵L?Rn?n,求得A?LLT.上式中的L称作A的Cholesky因子。 若线性方程组的系数矩阵是对称正定的，则我们自然可按如下的步骤求其解：（1）求A的Cholesky分解：A?LLT;(2)求解Ly?b得y；（3）求解LTx?y得x。 实验：1.用高斯（Causs）消去法求解下面的84阶方程组??61??861??x1????861????7?x15???2???x????15?3????????????。 ?861??861?????x82??x???15??83??86????x84??15????14??解：n?10 A?identity(n)
i?1n Ai,i?6
i?1n?1 Ai,i?1?1 i?2n Ai,i?1?8 b1?7 i?2n?1 bi?15 bn?14 M?lu(A)
P?submatrix(M,1,n,1,n)L?submatrix(M,1,n,n?1,2n) U?submatrix(M,1,n,2?n?1,3?n)y?lsolve(L,P?b) x?lsolve(U,y) ?A??147??25.92?? ??3710???UI?Gauss2(A) (UI?100?1)??210???
?32.3811???47?UI??1?0?2.1?12?2? ?????147?U?Gauss(A,b) U???0?2.1?12??? ???M?GaussLU(A)
L?M1 U?M2 ?00?47?L??1?210???
U??1?0?2.1?12??32.3811???? ?????000?A?LU???000?? ??000??2.用你编写的程序求解对称求解对称正定方程组Ax?b，其中b随机的选取，系数矩阵为100??101????阶?????。 ?????110??i?1nAi,i?10解: n?5 i?1n?1 Ai,i?1?1 bi?rnd(1) i?2nAi,i?1?1L?cholesky(A)
y?lsolve(L,b)x?lsolve(LT,y) 改进的平方根方法：??3.?03.?LT??0??003.?? ?8??????Di,i?(LT)i,ii?1n
D?D?D??00000?00?T?000M1M2M1?A???00000?? ?00000????00000??
结论：通过用两种方法对题目的求解，我们得到高斯消去法适合用于中小规模线性方程的求解，它一般用于系数矩阵稠密而又没有任何特殊结构的线性方程组，由它改进后得到的选主元消去法是目前计算机上常用的有效方法；而对于一般方阵，为了消除LU分解的局限性和误差的过分积累，而采用了选主元的方法。但对于对称正定矩阵而言，选主元却是完全不必要的。通过上面两道题目的解答让我们对求解线性方程组的求法也有了具体的深刻的了解，更好的认识到了高斯（Causs）消元法和平方根法所适合的范围，也 知道了这两种方法各有各的优点。因此在我们做题时应该综合考虑各种因素来确定我们所要用的方法。这样才能使题目得到最方便、最有效的解答。 参考文献： 徐树方 高立 张平文 《数值线性代数》北京大学出版社 11页至10页 朱方生 李大美 李素贞《计算方法》武汉大学出版社 44页至86页 徐世良 《数值分析与算法》机械工业出版社 36页至44页网站已改版，请使用新地址访问：
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数值线性代数习题解答
１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T
我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：
我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程
[注意] 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：
算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）
２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解] 因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：
（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：
算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）
（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.
（3）用回代法求解方程组：.运算量为；
（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：
３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解] 按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上
注意到，则显然有从而有
４．确定一个Gauss变换L，使
[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下
５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明] 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是
注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，
即A的LU分解是唯一的。
６．设的定义如下
证明A有满足的三角分解。
[证明] 令 是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下
容易验证：
７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式
证明仍是对称阵。
[证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为
其中，将A分块为
由A的对称性，对称性则是显而易见的。
８．设是严格对角占优阵，即A满足
又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式
试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。
[证明] 依上题的分析过程易知，题中的
于是主对角线上的元素满足
非主对角线上的元素满足
由于A是严格对角占优的，即故
综合（1）和（2）得
即，矩阵仍是严格对角占优阵。
９．设有三角分解。指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？
[解] 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即
如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有
这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解。这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。算法如下：
（1）用初等变换化；
（2）利用回代法求解方程组。
该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为
10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为
的矩阵，证明仍是正定阵。
[证明] 不妨设
由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有
由x的任意性知，正定。
并且是非奇异的。矩阵
称为是在A中的Schur余阵。证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵
[证明] 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵
比较两式便知，，故有
12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有
[证明] 略。
13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。
[解] 设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到
这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。于是，通过求解下列n个方程组
也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：
（1）用列主元Gauss消去法得到：；
（2）经求解：得；
（3）对X进行列置换得：。
14．假定已知的三角分解：A=LU。试设计一个算法来计算的（i，j）元素。
[解] 求解方程组
则x的第i个分量就是的（
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１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T
我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：
我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程
[注意] 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：
算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）
２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解] 因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：
（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：
算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）
（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.
（3）用回代法求解方程组：.运算量为；
（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：
３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解] 按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上
注意到，则显然有从而有
４．确定一个Gauss变换L，使
[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下
５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明] 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是
注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，
即A的LU分解是唯一的。
６．设的定义如下
证明A有满足的三角分解。
[证明] 令 是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下
容易验证：
７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如下形式
证明仍是对称阵。
[证明] 根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为
其中，将A分块为
由A的对称性，对称性则是显而易见的。
８．设是严格对角占优阵，即A满足
又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式
试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。
[证明] 依上题的分析过程易知，题中的
于是主对角线上的元素满足
非主对角线上的元素满足
由于A是严格对角占优的，即故
综合（1）和（2）得
即，矩阵仍是严格对角占优阵。
９．设有三角分解。指出当把Gauss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？
[解] 用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即
如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有
这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解。这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。算法如下：
（1）用初等变换化；
（2）利用回代法求解方程组。
该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为
10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为
的矩阵，证明仍是正定阵。
[证明] 不妨设
由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有
由x的任意性知，正定。
并且是非奇异的。矩阵
称为是在A中的Schur余阵。证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵
[证明] 因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵
比较两式便知，，故有
12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有
[证明] 略。
13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。
[解] 设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到
这里：P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。于是，通过求解下列n个方程组
也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：
（1）用列主元Gauss消去法得到：；
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一、进行线性代数教改实验的背景
自19世纪50年代以来，线性代数已在近代数学、控制与自动化、电子与通信、图像处理、人工智能、航空航天、建筑工程、经济与管理、优化、力学等领域中得到大量运用。&凡有井台处皆能歌柳词&，线性代数中的矩阵正如柳永的词一般，&凡有多元处必有矩阵&。如今以矩阵理论为主的线性代数知识早已成为工程技术人员必备的数学基础知识。
事实上，自20世纪50年代以来，计算机的出现和飞速发展，极大地促进了数值线性代数乃至科学计算的兴起和发展，反过来数值线性代数的研究以及Matlab等计算软件的不断改进，更是成为大规模、高速、并行、移动、网络计算中的得力工具，这进一步促进了诸如&模型降阶&等化解&维数之咒&的新兴课题的蓬勃发展。IEEE（电器与电子工程师学会）主办的《科学与工程中的计算》杂志，在2000年评选出了&二十世纪十大算法&，其中就有三个与数值线性代数直接相关，它们是1950年提出的Krylov子空间迭代法、1951 年提出的矩阵计算的分解方法以及1959年至1961年间提出的计算矩阵特征值的QR算法.
国外线性代数的经典教材，扎根于美国科学基金会1992年的&用软件工具增强线性代数的教学（ATLAST）&计划，经过近二十年的不断再版，已经富含了大量的数值线性代数知识和应用实践方面的经验。比如Leon就在教材中引入了奇异值分解。再比如D.C.Lay的《线性代数及其应用》，国内目前有两个译本，还出了英文影印版。该书将
的列的一个线性组合，用线性变换为线索贯穿整本教材，同时非常强调正交性和最小二乘问题，也非常重视几何直观。作者是美国&国家科学委员会（NSF）&资助的&线性代数课程研究小组（LASCG）&的核心成员，也积极参与了ATLAST项目。
国内在线性代数课程中引入数值线性代数等计算技术的工作，以西安电子科技大学的陈怀琛等为首创。他们将国外的上述经验与我国国情以及该校的具体情况相结合，多年来已做了大量工作，对从事类似教改实验具有重要的指导意义。但该校的线性代数课程面向大一学生，与我校差别较大。
受各种因素的制约，传统的线性代数教学只能注重理论体系和逻辑思维能力的培养，几乎不涉及数值计算，与后续课程严重脱节。近年更受考研指挥棒的影响，使得线性代数课程几乎成了&考研辅导课&。
正是由于课堂与实践的强烈反差，越来越多的老师和学生意识到科学计算的重要性。由于科学计算的基础是&数值线性代数&，而&数值线性代数&又涉及大量线性代数知识，因此只有从根源上将两者紧密结合，才能从根本上改进线性代数的教学，从而逼近开设线性代数课程的根本目的。一位留美的博士生曾很有感触地指出，
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