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在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（cosθ+sinθ）=1与ρ（sinθ-cosθ）=1的交点的极坐标为&&& ．
将原方程左式展开后利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，化成直角坐标方程，最后在直角坐标系中算出交点的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标即可．
∵p（cosθ+sinθ）=1，
∴x+y=1，①
∵p（sinθ-cosθ）=1，
∴y-x=1，②
解①②组成的方程组得交点的直角坐标
∴交点的极坐标为...
考点分析：
考点1：极坐标方程与直角坐标方程的互化
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在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为 &&& ．
极坐标p=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（ ）A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线
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题型：解答题
难度：中等
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& 2014高考数学典型题精讲课件：13-2坐标系与参数方程
2014高考数学典型题精讲课件：13-2坐标系与参数方程
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资料概述与简介
极坐标与直角坐标方程的互化 极坐标方程的应用
直线的参数方程
圆锥曲线的参数方程
参数方程与极坐标的综合问题
节 坐标系与参数方程
1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
4．了解参数方程，体会参数的意义．
5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
1．从目前参加新课标高考的省份对坐标系的考查，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见的曲线的极坐标方程与极坐标方程的简单应用，预测2013年高考在试题难度、知识点考查等方面，不会有太大的变化．
2．对参数方程的考查，主要是参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，题目难度的设置以中档题型为主，预测2013年高考中，在难度，知识点方面变化不大．
1．极坐标系
在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以为始边，OM为终边的角度，ρ叫作点M的，θ叫做点M的，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ、θ)．
当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值；当ρ＜0时，点M(ρ、θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|＝|ρ|，这样点M的坐标就是(ρ，θ)．
平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，()，()，()表示同一个点．
ρ，θ＋2kπ
－ρ，θ＋(2k＋1)π
2．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ、θ)，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．
点M的极坐标(ρ，θ)和直角坐标(x，y)的关系式为：
θ所取值要由(x，y)所在象限确定．
y＝ρsinθ
在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐标系，设M(x，y，z)为空间一点并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r、θ)则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫做点M的柱坐标，这里规定r，θ，z的变化范围为
0≤r＜＋∞
0≤θ＜2π
－∞＜z＜＋∞
特别地，r＝常数，表示的是；
θ＝常数，表示的是；
z＝常数，表示的是显然点M的直角坐标与柱坐标的关系为
以z轴为轴的圆柱面
过z轴的半平面
与xOy平面平行的平面．
设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影，这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫做点M的球坐标．
这里r，φ，θ的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
r＝常数，表示的是；
φ＝常数，表示的是；
θ＝常数，表示的是点M的直角坐标与球坐标的关系为：
以原点为球心的球面
原点为顶点，z轴为x轴的圆锥面
平行于z轴的半平面．
5．直线的参数方程
经过点P(x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程为
(t为参数)　　①
其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段的数量来表示．
经过两个定点Q(x1，y1)P(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的参数方程为(λ为参数，λ≠－1)．
其中M(x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t几何意义虽然不同，它所反映的是动点M的有向线段的数量比.
当λ＞0时，M为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M为外分点；当λ＝0时，点M与Q重合．
6．圆的参数方程
(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为(α为参数)；
(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(α为参数)．
7．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆的参数方程
中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数，且0≤φ<2π)．
中心在点M0(x0，y0)，长、短半轴长分别为a、b的椭圆的参数方程为(0≤φ0，b>0)的参数方程为(φ为参数).
基 础 自 测
1.(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是(　　)
A．(1，)　　　　　　B．(1，－)
D．(1，π)
[解析]　本题主要考查了圆的极坐标方程及普通方程与极坐标方程的互化，由ρ＝－2sinθ得：ρ2＝－2ρsinθ，
∴x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，
∴圆心直角坐标为(0，－1)，极坐标为(1，－)，选B.
2．(文)(2010·湖南文)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)
A．直线、直线　　　　　　　B．直线、圆
D．圆、直线
[解析]　本题考查极坐标与直角坐标的互化和直线的参数方程形式．
把代入ρ＝cosθ，可得x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．
消去方程中的参数t，可得x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．
(理)(2010·湖南理)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)
A．圆、直线
B．直线、圆
D．直线、直线
[解析]　极坐标方程ρ＝cosθ化为普通方程为：x2＋y2＝x，参数方程，可化为3x＋y＋1＝0.
3．(2011·天津理，11)已知抛物线C的参数方程为(t为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.
[解析]　本题主要考查参数方程与普通方程互化，同时考查直线与圆相切的知识．根据抛物线C的参数方程，得出y2＝8x，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y＝x－2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r＝＝.
4．以直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝(p∈R)，它与曲线(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|＝________.
[解析]　本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程之间的关系，以及直线被圆截得的弦长等基础知识．
极坐标方程为θ＝(p∈R)的直线方程为y＝x，
参数方程为(α为参数)的圆的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1,2)到直线y＝x的距离为，∴弦AB的长为2＝.
5．(2011·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线
(t为参数)平行的直线的普通方程．
[解析]　由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4,0)，将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.
故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
[例1]　在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sinθ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－)上的动点，试求PQ的最大值．
[分析]　考查极坐标方程与直角坐标方程互化公式的运用．即用互化公式由圆的几何性质解题．
[解析]　以极点O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系xOy.将方程ρ＝12sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝12y.它表示圆心为(0,6)，半径为6的圆．
将ρ＝12cos(θ－)化为直角坐标方程为
(x－3)2＋(y－3)2＝36，它表示以(3，3)为圆心，6为半径的圆．
由圆的位置关系可知，当P、Q所在直线为连心线所在直线时，PQ长度可取最大值，且最大值为
＋6＋6＝18.
[点评]　注意转化时两边同乘以ρ的技巧．结合圆的位置关系及两圆长度的最大值在何时取得，即可解得．
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
[分析]　(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式；
(2)联立两圆方程求交点或两圆方程相减均可求得直线方程．
[解析]　以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x，
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
即⊙O1、⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．
过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
[例2]　O为已知圆O′外的定点，点M在圆O′上，以OM为边作正三角形OMN，当点M在圆O′上移动时，求点N的轨迹方程(O，M，N逆时针排列)．
[分析]　建立极坐标系，由余弦定理得圆O′的极坐标方程，再由点M在圆上且用代入法可得点N的轨迹的极坐标方程．
[解析]　以O为极点，以O和已知圆圆心O′所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示，设OO′＝ρ0，圆的半径为r，
由余弦定理得圆O′的极坐标方程为
ρ2－2ρ0ρcosθ＋ρ－r2＝0.
设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)，
∵点M在圆上，
∴ρ－2ρ0ρ1cosθ1＋ρ－r2＝0.①
因为△OMN为正三角形．
代入①得ρ2－2ρ0ρcos(θ－)＋ρ－r2＝0，
这就是点N的轨迹方程．
[点评]　对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更加简单．本题涉及角度、长度，选用极坐标系则更易将已知的几何条件转化为数量关系．
从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．
[解析]　(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
∵ρ0cosθ＝4，
∴ρ＝3cosθ即为所求的轨迹方程．
(2)将ρ＝3cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2＝3x，
即2＋y2＝2，
知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．直线l的直角坐标方程是x＝4.结合图形易得|RP|的最小值为1.
[例3]　已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为.
(1)求直线l的参数方程；
(2)求直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．
[分析]　根据直线参数方程中参数t的几何意义，运用一元二次方程根与系数的关系求解．
[解析]　(1)直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)将代入x2＋y2＝9.
得：t2＋(1＋2)t－4＝0，∴t1t2＝－4.
由参数t的几何意义得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.
[点评]　涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tanα(α≠90°)，α为直线的倾斜角，则参数方程为(t为参数)．
已知直线l的参数方程为，(t为参数，α为倾斜角，且α≠)与曲线＋＝1交于A，B两点．
(1)写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
(2)求|PA||PB|的最大值．
[解析]　(1)∵，(t为参数，α为倾斜角，且α≠)
∴＝＝tanα，
∴直线l的一般方程xtanα－y－2tanα＝0.
直线l通过的定点P的坐标为(2,0)．
(2)∵l的参数方程，
椭圆方程为＋＝1，右焦点坐标为P(2,0)．
∴3(2＋tcosα)2＋4(tsinα)2－48＝0，
即(3＋sin2α)t2＋12cosα·t－36＝0.
∵直线l过椭圆的右焦点，
∴直线l恒与椭圆有两个交点．
∴|PA||PB|＝
∵0≤α＜π，且α≠，
∴0≤sin2α＜1，∴|PA||PB|的最大值为12.
[例4]　在圆x2＋y2－4x－2y－20＝0上求两点A和B，使它们到直线4x＋3y＋19＝0的距离分别最短和最长．
[分析]　利用圆的参数方程求解．
[解析]　将圆的方程化为参数方程：(θ为参数)，则圆上点P坐标为(2＋5cosθ，1＋5sinθ)，它到所给直线的距离d＝，d＝|cos(φ－θ)＋|
故当cos(φ－θ)＝1，其中cosφ＝，sinφ＝.即θ＝φ时，d最长，这时点A坐标为(6,4)；
当cos(φ－θ)＝－1，即θ＝φ－π时，d最短，这时点B坐标为(－2，－2)．
[点评]　若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为0≤θ<2π.圆的参数方程常和三角变换结合在一起，解决取值范围或最值问题．
已知圆M：(θ为参数)的圆心F是抛物线E：的焦点，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求AF·FB的取值范围．
[解析]　曲线M：的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，所以F(1,0)．
抛物线E的普通方程是y2＝2px，
所以＝1，p＝2，
抛物线方程为y2＝4x.
设过焦点F的直线的参数方程为(t为参数)，
代入y2＝4x，得t2sin2θ－4tcosθ－4＝0.
所以AF·FB＝|t1t2|＝.
因为00，根据直线参数方程的几何意义知|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
1．关于平面直角坐标系中的伸缩变换
函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω＞0，且ω≠1)的图像，可以看作把f(x)图像上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的(纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A＞0且A≠1)的图像，可以看作f(x)图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
2．关于极坐标系
(1)极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．
(2)由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．
(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极点是“一对多”的关系．但不同的极坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标．
3．参数方程和普通方程的互化
(1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．
(2)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．
(3)消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量x(或y)的取值范围．
4．直线与圆锥曲线的参数方程的应用
(1)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；
②定点M0是弦M1M2的中点?t1＋t2＝0；
③设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M2M|及中点坐标)．
(2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离等问题．
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点M的直角坐标是，在ρ≥0，0≤θ＜2π的条件下，它的极坐标是（ ）A．B．C．D．
【答案】分析：利用，，即可求出点M的极坐标．解答：解：∵点M的直角坐标是，∴在ρ≥0，0≤θ＜2π的条件下，=2，，又点M是第四象限的角，∴．故选A．点评：熟练掌握极坐标与之间坐标的互化公式是解题的关键．
科目：高中数学
点M的直角坐标是(3，-1)，在ρ≥0，0≤θ＜2π的条件下，它的极坐标是（　　）A．(2，11π6)B．(2，5π6)C．(3，π6)D．(2，11π6)
科目：高中数学
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若点M的直角坐标是（-1，3），则点M的极坐标为（　　）
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科目：高中数学
来源：广东省珠海市学年高二下学期期末考试数学文科试题
以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，点M的直角坐标是，则点M的极坐标可能为
科目：高中数学
来源：不详
题型：单选题
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极坐标和参数方程
与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）考纲要求 1.了解坐标系的作用．了解在平面直角 坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况． 2．了解极坐标的基本概念．会在极坐 标系中用极坐标刻画点的位置，能进行 极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过 极点的直线、过极点或圆心在极点的 圆)表示的极坐标方程． 4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空 间中点的位置的方法，并与空间直角坐 标系中表示点的位置的方法相比较，了 解它们的区别． 5．了解参数方程，了解参数的意义． 6．能选择适当的参数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.考情分析 从近三年的高考试题来看，极坐标部分重点 考查极坐标与直角坐标的互化，尤其是涉及 直线与圆的极坐标方程问题，同时考查直线 与圆的位置关系．如2012年陕西卷15，湖南 卷10，辽宁卷3等．参数方程部分多考查直线 与圆的参数方程及应用．如2012年广东卷 14，属容易题． 单独考查参数方程和极坐标的题目，一般为 选择、填空题形式，分值4～5分．若综合考 查参数方程和极坐标的知识，则通常以解答 题形式出现，如2012年课标卷23，辽宁卷23 等，分值10分． 预测：2013年仍会以直线、圆的极坐标参数 方程为载体，以极坐标参数方程与普通方程 的互化为主要形式，考查直线与曲线位置关 系等，解析几何知识注重基本运算及方程的 应用，难度不大.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(对应学生用书P234)1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? ?x′＝λx?λ&0? φ：? ? ?y′＝μy?μ&0?的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称伸缩变换．课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）2．坐标系 (1)极坐标系的概念 在平面上取一个定点O叫做 极点 ；自点O引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个 极坐标系．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）设M是平面上任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的极径，记为 ρ ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM 叫做点M的 极角 ，记为 θ 标，记作 M(ρ，θ) ． .有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一 点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ? ? ? ?x＝ρcosθ ? ，? y ? tanθ＝x?x≠0? ?y＝ρsinθ ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）3．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的 方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程θ＝θ0 ①直线过极点：和 θ＝π－θ0； ； .②直线过点M(a,0)且垂直于极轴： ρcosθ＝a π ③直线过点M(b，2)且平行于极轴：ρsinθ＝b课前自主回顾 课堂互动探究课时作业与名师对话(2)圆的极坐标方程高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 － r ＝0. 0几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r ； ；②当圆心位于M(a,0)，半径为a： 2acosθπ ③当圆心位于M(a， )，半径为a： ρ＝2asinθ . 2课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）问题探究1：平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什 么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系，而 与点的极坐标不是一一对应关系，当规定ρ≥0,0≤θ&2π后点 的极坐标与平面内的点就一一对应了．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话4．参数方程的概念高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点 的? ?x＝f?t? 坐标x，y都是某个变数t的函数： ? ? ?y＝g?t?，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在 这条曲线上 ，那 么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系 的变数t叫做参变数，简称 参数 ．相对于参数方程而言，直接 给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 ．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）5．几种常见曲线的参数方程 (1)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是? ?x＝x0＋tcosα ? ? ?y＝y0＋tsinα(t为参数)．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A? ?x＝x0＋tcosα ? ? ?y＝y0＋tsinα数学（文）问题探究2：在直线的参数方程(t为参数)中，t的几何意义是什么？如何利用t的几何意义求直线上任两 点P1、P2的距离？提示：t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点 P(x，y)构成的有向线段P0P的数量． |P1P2|＝|t1－t2| ＝ ?t1＋t2?2－4t1t2.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)圆 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是? ?x＝a＋rcosα ? ? ?y＝b＋rsinα，其中α是参数．? ?x＝rcosα， 当圆心在(0,0)时，方程为? ? ?y＝rsinα.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(3)椭圆 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下 两种情况： x2 y2 椭圆a2＋b2＝1(a&b&0)的参数方程是 是参数．? ?x＝acosφ ? ? ?y＝bsinφ，其中φ课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）x2 y2 问题探究3：对于椭圆 a2 ＋ b2 ＝1(a&b&0)的参数方程? ?x＝acosθ， ? ? ?y＝bsinθ(θ为参数)，θ是椭圆上的点与原点连线的倾斜角吗？提示：不是，如图，θ是离心角．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）高考中该部分的试题是综合性的，题目中既有极坐标的 问题，也有参数方程的问题，考生既可以通过极坐标解决， 也可以通过直角坐标解决，但大多数情况下，把极坐标问题 转化为直角坐标问题，把参数方程转化为普通方程更有利于 在一个熟悉的环境下解决问题．要重视把极坐标问题化为直 角坐标问题，把参数方程化为普通方程的思想意识的形成， 这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错 误．课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）1．(2011年北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的 极坐标是? π? A.?1，2? ? ? ? π? B.?1，－2? ? ?()C．(1,0)D．(1，π)课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）解析：ρ2＝－2ρsinθ ∴x2＋y2＝－2y 即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1) π ∴圆心的极坐标为(1，－2)．答案：B课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）π 2．(2011年安徽)在极坐标系中，点(2， 3 )到圆ρ＝2cosθ的 圆心的距离为 A．2 C. π2 1＋ 9 B. D. 3 π2 4＋ 9 ( )课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）? π? 解析：将点?2，3?化为直角坐标为(1， ? ?3)，ρ＝2cosθ化为直角坐标系下方程为：(x－1)2＋y2＝1，圆 心为(1,0)．∴两点间距离为 3.答案：D课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是 A．一条平行于极轴的直线 B．一条垂直于极轴的直线 C．圆心在极轴上的圆 D．过极点的圆解析：ρcosθ＝4化为直角坐标方程为x＝4 答案：B()课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）4．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是 ( A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线)解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0可得ρ＝1或θ＝π. ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，故选C.答案：C课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）5．(2012年陕西)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长 为________．解析：将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别 1 为x＝ ，(x－1)2＋y2＝1. 2 所求的弦长等于2 12?1? －?2?2＝ ? ?3.答案： 3课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）6．若x2＋y2＝4，则x－y的取值范围是________．解析：令x＝2cosθ，y＝2sinθ，则x－y＝2cosθ－2sinθ＝ 2 2cos(θ＋φ)∈[－2 2，2 2]答案：－2 2≤x－y≤2 2课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(对应学生用书P235)极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件： ①极点与原点重合； ②极轴与x轴正方向重合； ③取相同的单位长度．课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点 P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用 两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(1)(2011年江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋ 4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系， 则该曲线的直角坐标方程为________．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)(2012年上海，改编)如图，在极坐标系中，过点M(2,0) π 的直线l与极轴的夹角α＝ 6 .若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的 形式，则f(θ)＝______.在直角坐标系下的方程为______．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话? ?x＝ρcosθ 【解析】(1)∵? ? ?y＝ρsinθ.高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）∴x2＋y2＝ρ2.∵ρ＝2sinθ＋4cosθ， ∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2＝2y＋4x. 即(x－2)2＋(y－1)2＝5. ∴x2＋y2－4x－2y＝0 即(x－2)2＋(y－1)2＝5.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)法一：由点斜式得直线的直角坐标方程为? ?1 ? ?x＝ρcosθ， 3 3 ? y＝ (x－2)．由? 得ρ? cosθ－ sinθ? ?＝1， 3 2 2 ? ? ? ?y＝ρsinθ1 即ρ＝ ?π ?. sin?6－θ? ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）法二：设直线上任意一点P(ρ，θ)，在△POM中，由正弦 ρ 2 1 定理得 ＝ ? ，即ρ＝ ? . 5 π ? π ? ? －θ? sin π sin? －θ? sin 6 ?6 ? ?6 ??π ? 1 由ρ＝ ? 得ρcos?6－θ?＝1 ? π ? ? ? ? cos 6－θ ? ?1 2 2ρsinθ－ 2 ρsinθ＝1 ∴x－ 2y－2＝0课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）【答案】 (1)x2＋y2－4x－2y＝0(答(x－2)2＋(y－1)2＝5也 1 对) (2) ? ，x－ 2y－2＝0 π ? sin?6－θ? ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）在本例(2)中法一是由我们熟悉的直角坐标系下求出直线 方程再化为极坐标方程，因为化归到直角坐标系下，不易出 错．而法二是在极坐标系下研究直线，用到极角和长度(极径) 所以用到解三角形的知识，需有一定的基础知识．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）? π? (1)求极坐标方程ρcos?θ－6?＝1所表示的直角坐标方程__． ? ?(2)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为? ?x＝t＋1， π 极轴建立极坐标系．已知射线θ＝ 4 与曲线 ? 2 (t为参数) ? ?y＝?t－1?相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为______．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）? π? 解析：(1)由ρcos?θ－6?＝1，化为 ? ?3 1 2 ρcosθ＋2ρsinθ＝1，3 y 将ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入上式，得 2 x＋2＝1， 即 3x＋y－2＝0.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)将射线与曲线的方程化为普通方程并联立得? ?y＝x， ? 2 ? ?y＝?x－2? ，x1＋x2 5 ∴x －5x＋4＝0，∴ 2 ＝2，2?5 5? ∴AB中点的直角坐标为?2，2?. ? ?答案：(1) 3x＋y－2＝0?5 5? (2)?2，2? ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接 利用极坐标求解，求解时可与数形结合思想结合在一起应 用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解，使用后一种 时应注意若结果要求是极坐标，还应将直角坐标化为极坐 标．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2012年宿迁模拟)在极坐标系中，已知点P为圆ρ2＋ 2ρsinθ－7＝0上任一点．求点P到直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0的距 离的最小值与最大值．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）【解】 圆ρ2＋2ρsinθ－7＝0的普通方程为 x2＋y2＋2y－7＝0， 直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0的普通方程为x＋y－7＝0， 设点P(2 2cosα，2 2sinα－1)， 则点到直线x＋y－7＝0的距离 |2 2cosα＋2 2sinα－8| d＝ ＝ 2? ? π? ? ?4sin?α＋ ?－8? 4? ? ? ?2，4 12 ∴dmin＝ ＝2 2；dmax＝ ＝6 2. 2 2课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）极坐标方程化为直角坐标方程是常见的解题策略．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4上任一点，Q 是圆C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一点，则|PQ|的最小值是_____．解析：直线l：p(cosθ＋sinθ)＝4，即x＋y－4＝0；圆C： ρ2＝4ρcosθ－3，即x2＋y2－4x＋3＝0，(x－2)2＋y2＝1.因此 |PQ|的最小值等于圆心(2,0)到直线l：x＋y－4＝0的距离减去 |2＋0－4| 圆半径，即等于 －1＝ 2－1. 2答案： 2－1课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）1.将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构 特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参 法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方 程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价 性，不要增解．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(1)(2012年广东，理)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和? ?x＝t， C2的参数方程分别为 ? ? ?y＝ t ? ?x＝ (t为参数)和 ? ? ?y＝2cosθ， (θ为 2sinθ参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为____． (2)(2012年湖南，理)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：? ?x＝t＋1， ? ? ?y＝1－2t ? ?x＝asinθ， (t为参数)与曲线C2：? ? ?y＝3cosθ(θ为参数，a&0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）【解析】(1)曲线C1的普通方程为y2＝x(y≥0)，曲线C2的 普通方程为x2＋y2＝2.2 ? ?y ＝x?y≥0?， 由? 2 2 ? ?x ＋y ＝2? ?x＝1， 解得? ? ?y＝1，即交点坐标为(1,1)．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)把曲线C1的参数方程化为普通方程为y＝－2x＋3，曲 x2 y2 线C2的普通方程为 2 ＋ ＝1，直线y＝－2x＋3与x轴的交点为 a 9?3 ? 3 ? ，0?，即a＝ . 2 ?2 ?3 【答案】 (1)(1,1) (2)2课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）将参数方程化为普通方程来研究是这类问题常用的方 法，不易出错．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(1)(2011年广东)已知两曲线参数方程分别为? ?x＝ 5cosθ， ? ? ?y＝sinθ52 ? ?x＝ t ， (0≤θ&π)和? 4 (t∈R)，它们的交点坐 ? ?y＝t标为________．? ?x＝2＋t， (2)(2012年北京)直线? ? ?y＝－1－t ? ?x＝3cosα， ? ? ?y＝3sinα(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）? ?x＝ 5cosθ 解析：(1)由? ? ?y＝sinθ(0≤θ&π)消去θ得x2 2 5 ＋y ＝1(－ 5&x≤ 5，0≤y≤1) 5 ? 2 ?x＝ t2 4 x 由? 4 (t∈R)消去θ得y2＝5x(x≥0)代入 5 ＋y2＝1 ? ?y＝t 消去y得x2＋4x－5＝0解得x＝1或x＝－5(舍)课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话2高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）4 2 5 当x＝1时y ＝ ，y＝± ，又0≤y≤1， 5 5 2 5 ∴y＝ 5? 2 5? ? ? 故两曲线交点坐标为?1， . 5 ? ? ?(2)直线方程可化为x＋y－1＝0，曲线方程可化为x2＋y2＝ 1 2 9，圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝ ＝ &3，∴直线 2 2 与圆有两个交点．? 2 5? ? ? 答案：(1)?1， 5 ? ? ?(2)2课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）1.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式? ?x＝x0＋tcosα， 为? ? ?y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上 任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|， 1 P1P2的中点对应的参数为2(t1＋t2)．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）? ?x＝x0＋at， 2．对于形如? ? ?y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题． 3．解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题 时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互 化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围 等．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2011年福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为? ?x＝ 3cosα， x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为? ? ?y＝sinα(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单 位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐? π? 标为?4，2?，判断点P与直线l的位置关系； ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的 最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P P(0,4)． 因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所 以点P在直线l上．? π? ?4， ? 2? ?化为直角坐标，得课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为( sinα)，从而点Q到直线l的距离为： | 3cosα－sinα＋4| d＝ ＝ 2 ＝? π? 2cos?α＋6?＋2 ? ? ? π? 2cos?α＋6?＋4 ? ?3 cosα，22， ＝－1时，d取得最小值，且最小值由此得，当cos 为 2.? π? ?α＋ ? 6? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）直线和圆、椭圆的参数方程是高考考查的重点，要熟悉 其中参数的几何意义．在掌握好这些基本问题的同时要熟练 掌握参数方程向普通方程的转化，优化解题过程．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）? 过点P ? ? ?10 ? ? 2 2 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x ＋ 2 y ＝1交于 ， 0 ? 2 ?点M、N，求|PM|? |PN|的最小值及相应的α的值．10 ? ?x＝ ＋tcosα 2 解：设直线的参数方程为? (t是参数)，代 ? ?y＝tsinα 3 入曲线方程并整理得(1＋sin α)t ＋( 10 cosα)t＋ 2 ＝0，设M、2 2N对应的参数分别为t1、t2，而由参数t的几何意义得 |PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）3 2 则|PM|? |PN|＝|t1t2|＝ ， 1＋sin2α π 3 所以，当sin α＝1，即α＝ 2 时，|PM|? |PN|有最小值 4 ，此2π 时α＝2.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线 等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解 决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转 化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范 围不同对应的曲线不同． 2．解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁， 代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式， 以便于寻找最佳化简途径．课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2012年哈尔滨九中三模)如图，已知点A( 3，0)，? ?x＝tcos φ， B(0,1)，圆C是以AB为直径的圆，直线l：? ? ?y＝－1＋tsinφ(t为参数)．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标 系，求圆C的极坐标方程； (2)过原点O作直线l的垂线，垂足为H，若动点M满足 → ＝3 OH → ，当φ变化时，求点M轨迹的参数方程，并指出它 2 OM 是什么曲线．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）【解】? (1)圆C的普通方程为? ?x－ ?? 1?2 3? ?2 ? ＋ y－2? ＝1， ? 2? ? ?? ? π?? π?? 极坐标方程为ρ＝2sin?θ＋3??或ρ＝2cos?θ－6??. ? ?? ? ??课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)直线l的普通方程为xsin φ－ycos φ－cos φ＝0，?1 点H?2sin ? ? 1 1 2φ，－2－2cos 2φ?. ??3 ? 3 3 → → 由于2OM＝3OH，则M?4sin 2φ，－4－4cos 2φ?， ? ?? 3 ?x＝4sin 2φ， 点M轨迹的参数方程为? ?y＝－3－3cos 2φ 4 4 ? 图形为圆．(φ为参数)，课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2011年课标卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为? ?x＝2cosα ? ? ?y＝2＋2sinα.(α为参数)→ ＝2OM → ，P点的轨迹为曲线C . M是C1上的动点，P点满足OP 2(1)求C2的方程； (2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射 π 线θ＝ 与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为 3 B，求|AB|.课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）解：(1)设P(x，y)，则由条件知M ?x ?2＝2cosα， 上，所以? ?y＝2＋2sinα. ?2 从而C2的参数方程为? ?x＝4cosα， ? ? ?y＝4＋4sinα.?x y ? ? ， ? ?2 2?，由于M点在C1? ?x＝4cosα， 即? ? ?y＝4＋4sinα.(α为参数)课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方 程为ρ＝8sinθ. π π 射线θ＝ 与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ， 3 3 π π 射线θ＝ 与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin . 3 3 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）(对应学生用书P238) 易错点 忽视极坐标系下点的极坐标不惟一? 2 ? 在极坐标系下，若点P(ρ，θ)的一个极坐标为 ?4，3π? ，求 ? ? ? ρ θ? 以?2，2?为坐标的不同的点的极坐标． ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）【错解】? 2 ? ? 错解一： ?4，3π? 化为直角坐标为 ??－2，2 ? ?? ? ? ? ? ?3??? ，故该点与原点的中点坐标为 －1，? 2π? 3 ，化为极坐标为?2， ?. 3? ?2π ρ θ π 错解二：∵ρ＝4，θ＝ 3 ，故2＝2，2 ＝3，因此所求极坐? π? 标为?2，3?. ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）【错因分析】 错解一中将直角坐标系的中点坐标公式应 用于极坐标系中的中点，事实上(ρ，θ)与 点(ρ，θ)与极点的中点为?ρ θ? ? ， ? ? 2 2?的关系并不是 应?ρ θ? ?ρ θ? ? ， ? ，从几何意义上讲点 ? ， ? ? 2 2? ? 2 2?? ρ θ? 1 1 满足该点的极角为θ的 2 ，极径为ρ的 2 .错解二中满足 ?2，2? 的 ? ?几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不惟一性，还应 就点(ρ，θ)的其他形式的极坐标进行讨论．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）【正确解答】? 2π? ∵?4， 3 ?为点P(ρ，θ)的一个极坐标． ? ?∴ρ＝4或ρ＝－4. 2 当ρ＝4时，θ＝2kπ＋ π(k∈Z)， 3 ρ θ π ∴2＝2，2＝kπ＋3(k∈Z)．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）5π 当ρ＝－4时，θ＝2kπ＋ (k∈Z)， 3 ρ θ 5π ∴2＝－2，2＝kπ＋ 6 (k∈Z)．? ρ θ? ∴?2，2?有四个不同的点： ? ? ? π? P1 ?2，2kπ＋3? ? ? ? 4 ? ，P2 ?2，2kπ＋3π? ? ? ? 5π? ，P3 ?－2，2kπ＋ 6 ? ? ?，? 11 ? P4?－2，2kπ＋ 6 π?(k∈Z)． ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）在极坐标系中，有序实数对的集合{(ρ，θ)|ρ，θ∈R}与平 面点集不是一一对应的．给出一个有序数对(ρ，θ)，在平面坐 标系中可以惟一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极 坐标不是惟一的，若点M不是极点，(ρ，θ)是它的一个极坐 标，那么M有无穷多个极坐标(ρ，θ＋2kπ)与(－ρ，θ＋(2k＋ 1)π)，k∈Z.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝ 4cosθ(ρ≥0)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．? ?ρcosθ＝3 解析：由? ? ?ρ＝4cosθ3 得4cos θ＝3，cosθ＝± 223 ∵ρ≥0 ∴cosθ＝ 2 ∴ρ＝4cosθ＝2 3.? 两曲线的交点为?2 ?π? ? π? 3，2kπ＋ ?或?2 3，2kπ－ ?，k∈Z. 6? ? 6?课前自主回顾 课堂互动探究 课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）? 答案：?2 ?π? ? π? 3，2kπ＋6?或?2 3，2kπ－6?，k∈Z ? ? ?课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）1．极坐标与直角坐标互化 (1)前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正向重 合；③取相同的单位长度． (2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点 P所在的象限，以便正确地求出角θ.课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）2．求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标 系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的 条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方 程． 3．参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌 握常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的一致性， 这一点最易忽视．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）4．根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如 下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2， 则弦长l＝|t1－t2|； (2)定点M0是弦M1M2的中点?t1＋t2＝0； t1＋t2 (3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝ (由 2 此可求|M2M|及中点坐标)．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）5．解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时， 要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解 决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．课前自主回顾课堂互动探究课时作业与名师对话高考总复习 ?课标版 ?A数学（文）课时作业(六十一)课前自主回顾课堂互动探究课时作业