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【精品】第六章
二阶线性常微分方程的幂级数解法
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二阶线性常微分方程的幂级数解法
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D12.11 微分方程的幂级数解法
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北京大学数学物理方法(上)课件_6 二阶线性常微分方程幂级数解法.pdf 14页
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二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶常微分方程的标准形式是
二阶线性常微分方程的常点和奇点
方程的常点和奇点
为二阶线性 常微分方程
点称为方程的常点
中至少有一个在
称为方程的奇点
超几何 方程
有两个奇点
是方程的奇点 其它点都是方程的常点
为方程的奇点
方程常点邻域 内的解
方程常点邻域 内的解
则在此 圆内常微分方程初值 问题
为任意常数 有唯一的解
在这个圆内单值解析
根据这个定理 可以用幂级数解法求方程常点邻域 内的解
根据定理 又可以把
在相同的邻域
由初值条件可得
将幂级数展开式一起代入微分方程 即可用待定系数法求出解的各个系数
点邻域 内的解 其 中
是一个参数
为方程奇点 所以
内解析 于是可以在
内找到方程的解析解
下一步若将方程系数
级数 则解的过程 比较繁 我们将方程仍写成
将幂级数解代入 有
左边第一项可写成
代入 整理 、和并后 得
各幂次的系数
得到系数之间的递推关系
反复利用递推关系
方程的解就是
二阶线性常微分方程通解的结构
以下设方程系数
首先 由于方程是线性齐次的 显然有
解的线性迭加性
内的两个解 则它们的任意一个线性组合
也是方程在此区域的解
内的两个线性无关的解 即若
必有复常数
则方程在 区域 内的通解为
方程的任意一个解都包含在通解 中
解的线性相关充要条件
内的两个解
上线性相关的充要条件是
内恒等于零
为方程的两个解
因此 只要在 区域 内任意一点
只要在 区域 内任意一点
方程在孤立奇点邻域 内的解的结构
是方程的孤立奇点 则
点可能是解的奇点
避开奇点 我们在
的邻域 内取一点
的邻域用幂级数解法 求出方程在常点
附近的解析解
幂级数的收敛半径为
收敛圆为圆盘
我们可用解析延拓的方法将
内的解析解延拓到更大的区域 内
的解的解析延拓仍为方程的解
是 方程 在
内的解 析 延 拓
内的解析函数
内恒为零 即
内满足方程
对于二阶线性微分方程
是方程的奇点 则
点可能是方程的解的奇点
可能为解的极点 本性奇点 如果解为多值函数 还
可以是解的枝点
是二 阶线性微分方程的孤立奇点
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常微分方程 §4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法
§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法常微分方程一、可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式:1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k&1)阶导数的方程是F (t , x, x ,?, x ) ? 0' (n)F (t , x ( k ) , x ( k ?1) ,?, x ( n ) ) ? 0若令x(k )(4.57))?0 (4.58) 若能求得(4.58)的通解 y ? ? (t , c1 ,?, cn ?k ) (k ) 即 x ? ? (t , c1 ,?, cn ? k ) F (t , y, y ,?, y'? y, 则可把方程化为y的n ? k阶方程( n ?k )对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解x ? ? (t , c1 ,?, cn ), 常微分方程 c1 ,?, cn为任常数 这里F (t , x ( k ) , x ( k ?1) ,?, x ( n ) ) ? 0解题步骤:(4.57)令x ( k ) ? y, 则方程化为 第一步:F (t , y, y ' ,?, y ( n ?k ) ) ? 0第二步: 即 求以上方程的通解y ? ? (t , c1 ,?, cn?k )x(k )? ? (t , c1 ,?, cn ?k )第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解x ? ? (t , c1 ,?, cn ), 这里c1 ,?, cn为任常数 常微分方程d 5x 1 d 4x ? 0的通解. 例1 求方程 5 ? 4 dt t dt d 4x 解 令 ? y, 则方程化为 4 dt dy 1 ? y?0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ? ct, d 4x 即有 ? ct, 4 dt对上式积分4次, 得原方程的通解为x ? c1t 5 ? c2t 3 ? c3t 2 ? c4t ? c5 , 常微分方程2 不显含自变量t的方程,一般形式:F ( x, x ,?, x ) ? 0,' (n)(4.59)此时以y ? x '作为新的未知函数, 而把x作为新的自变量,dx 因为 ? y, dt 2 d x dy dy dx dy ? ? ? y , 2 dt dt dx dt dx dy d ( y ) dx d 3x d d 2x d dy dx ? ? (y ) ? dt 3 dt dt 2 dt dx dt dx d2y dy 2 ? y2 2 , ? y( )
常微分方程 dx dx用数学归纳法易得:dy d y x 可用y, ,?, ( k ?1) (k ? n)来表达 dx dx(k )( k ?1)将这些表达式代入(4.59)可得:dy dy 2 2 d y F ( x, y, y , y ( ) ? y ,?) ? 0 2 dx dx dx即有新方程2dy d ( n ?1) y G ( x, y, , ?, ( n ?1) ) ? 0 dx dx它比原方程降低一阶 常微分方程解题步骤:第一步:令y ? x ' , 并y为新的未知函数, x为新的 自变量, 原方程化为 dy d ( n ?1) y G ( x, y, , ?, ( n ?1) ) ? 0 dx dx第二步:求以上方程的通解y ? ? ( x, c1 ,?, cn?1 )第三步: 解方程dx ? ? ( x, c1 ,?, cn ?1 ) dt常微分方程 即得原方程的通解d 2 x dx 2 例2 求方程x 2 ? ( ) ? 0的通解. dt dt dx 解 ? y, 并以x作为新的自变量, 令 dt dy 2 ?y ?0 则方程化为 xy dx dy y ? , 从而可得 y ? 0, 及 dx x 这两方程的全部解是 y ? c1 x, dx 再代回原来变量得到 ? c1 x, dt c1t 所以得原方程的通解为 x ? c2e , 常微分方程3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶(1) 设x ? x1 ? 0是二阶齐线性方程 d 2x dx ? p(t ) ? q(t ) x ? 0, 2 dt dt的非零解 令(4.69)x ? x1 y则x ? x1 y ? x y' ' ' 1x ? x1 y ? 2 x y ? x y'' '' ' 1 ' '' 1代入(4.69)得x1 y ? [2 x ? p(t ) x1 ] y ? [ x ? p(t ) x ? q(t ) x1 ] y ? 0'' ' 1 ' '' 1 ' 1即x1 y ? [2 x ? p(t ) x1 ] y ? 0'' ' 1 '常微分方程引入新的未知函数 z ? y ,'x1 y '' ? [2 x1' ? p(t ) x1 ] y ' ? 0dz x1 ? [2 x1' ? p(t ) x1 ]z ? 0 方程变为 dt是一阶线性方程,解之得 则 因而c ? ? p (t ) dt z? 2e , x11 ? ? p (t ) dt y ? c2 ? 2 e dt ? c1 , x1 1 ? ? p (t ) dt x ? x1[c1 ? c2 ? 2 e dt ], x1常微分方程(4.70)这里c1 , c2是任常数.令c1 ? 0, c2 =1得(4.69)的一个解:1 ? ? p (t ) dt x2 ? x1 ? 2 e dt , x1因它与x1之比不等于常数, 故x1 , x2线性无关因此 (4.69)的通解为1 ? ? p (t ) dt x ? x1[c1 ? c2 ? 2 e dt ], x1这里c1 , c2是任常数. 常微分方程(4.70)d 2x dx ? p(t ) ? q(t ) x ? 0, 2 dt dt 解题步骤: 第一步: 令x ? x1 y方程变为'' ' 1(4.69)x1 y ? 2[ x ? p(t ) x1 ] y ? 0 第二步: 令z ? y '方程变为 dz ' x1 ? 2[ x1 ? p(t ) x1 ]z ? 0 dt'解之得 即1 ? ? p (t ) dt x ? x1[c1 ? c2 常微分方程 dt ], ? x12 ec ? ? p (t ) dt z? 2e , x1(4.70)第三步: 令c1 ? 0, c2 =1得与x1线性无关一个解:1 ? ? p (t ) dt x2 ? x1 ? 2 e dt , x1第四步: (4.69)的通解为1 ? ? p (t ) dt x ? x1[c1 ? c2 ? 2 e dt ], x1这里c1 , c2是任常数.(4.70)注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)常微分方程sin t d 2 x 2 dx 是方程 2 ? ? x ? 0的解, 例3 已知x ? t dt t dt 试求方程的通解.2 sin t p(t ) ? , x1 ? 这里 t t 2 2 ? ? dt t 由(4.70)得 x ? sin t [c ? c e t dt ] 1 2? 2 sin t t sin t t2 1 ? [c1 ? c2 ? 2 2 dt ] t sin t t sin t ? [c1 ? c2 cot t ] t 1 ? [c1 sin t ? c2 cos t ] 这里c , c 是任常数.
常微分方程 1 2 t解常微分方程(2) 一般已知齐线性方程dnx d n ?1 x ? a1 (t ) n ?1 ? ? ? an (t ) x ? 0 n dt dt 的k个线性无关的解x1 , x2 ,?, xk ,(4.2)显然xi ? 0, i ? 1, 2,?, k , 令x ? xk y, 则x ? xk y ? x y' ' ' k ' '' x'' ? xk y '' ? 2 xk y ' ? xk y ??? n(n ? 1) '' ( n?2) (n) ' ( n ?1) ( n) ? xk y ? nxk y ? xk y ? ? ? xk y 2x(n)代入(4.2)得常微分方程xk y(n)? [nx ? a1 (t ) xk ] y' k( n ?1)???[ x'(n) k? a1 (t ) x( n ?1) k? ? ? an xk ] y ? 0因xk 为(4.2)的解, 故y的系数恒为零, 即化为不含y的方程,令z ? y , 则在xk ? 0的区间上方程变为z( n ?1)? b1 (t ) z( n ?1)? ? ? bn ?1 (t ) z ? 0,(4.67)xi ' 且zi ? ( ) , i ? 1, 2,?, k ? 1是(4.67)的k ? 1个线性无关的解 xk事实上 由x1 , x2 ,?, xk ?1为(4.2)的解及以上变换知,x ' z ? ( ) 或x ? xk ? zdt 常微分方程 xk因此z1 , z2 ,?, zk ?1是(4.67)的解, 若?1 z1 ? ? 2 z2 ? ? ? ? k ?1 zk ?1 ? 0则 即x1 x2 xk-1 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? k ?1 ? ?? k xk xk xk?1 x1 ? ? 2 x2 ? ? ? ? k ?1 xk ?1 ? ? k xk ? 0由x1 , x2 ,?, xk 线性无关知, ?1 , ? 2 ?? k ?1 , ? k 全为0 故z1 , z2 ,?, zk ?1线性无关,因此,对(4.67)仿以上做法, 令z ? zk ?1 udt ,?则可把方程化为关于u的n - 2阶线性方程 常微分方程u ( n ?2) ? c1 (t )u ( n ?3) ? ? ? cn ?2 (t )u ? 0,且可(4.68)的k -2个线性无关的解,zi ' ui ? ( ) , i ? 1, 2,? , k ? 2 zk ?1(4.68)以上做法一直下去,可降低n - k阶.常微分方程二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程d2y dy ? p ( x) ? q ( x) y ? 0 2 dx dx用级数表示解? 下面考虑该方程及初始条件(4.72)其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.y ( x0 ) ? y0 , y ( x0 ) ? y 的情况' (1) 0(不失一般性,可设x0 ? 0) 常微分方程定理10 若方程(4.72)中系数p(x)和q(x)都可展成x的 幂级数,且收敛区间为 x ? R, 则方程(4.72)有形如y =? an x n ,n ?0?(4.73)的特解,也以 x ? R为级数的收敛区间.常微分方程定理11 若方程(4.72)中系数p(x) 和 (x) 都具有这样的 q性质,即xp ( ) 和 q2 x ) 均可展成x的幂级数,且收敛区 x x ( 间为 x ? R, 则方程(4.72) 有形如y ? x? ? an x n ? ? an x n ?? ,n ?0 n ?0??(4.75)的特解,这里a0 ? 0, ? 是一个待定常数,级数(4.75)也以 x ? R为收敛区间.常微分方程求方程y& ? 2 xy ' ? 4 y ? 0满足初始条件y (0) ? 0, 例4 y (0)=1的解.'解设级数y=a0 ? a1 x ? ? ? an x ? ?n为方程的解, 这里ai (i ? 1, 2,?)是一个待定常数, 由初始条件得: 因而a0 ? 0, a1 ? 1;2 ny =x ? a2 x ? ? ? an x ? ? y?=1 ? 2a2 x ? ? ? nan x n ?1 ? ?n?2y??=2a2 ? 3 ? 2a3 x ? ? ? n(n ? 1)an x??将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得 常微分方程2 a2 ? 0 3 ? 2a3 ? 2 ? 4 ? 0 4 ? 3a4 ? 4a2 ? 4a2 ? 0???n(n ? 1)an ? 2(n ? 2)an?2 ? 4an?2 ? 02 an ? 2 ,? 即 a2 ? 0, a3 ? 1, a4 ? 0, ?, an ? n ?1 1 1 1 因而 a5 ? , a6 ? 0, a7 ? , a8 ? 0, a9 ? , 2! 3! 4! 1 也即 a2 k ?1 ? , a2 k ? 0, k!
常微分方程 对一切正整数k成立;???故方程的解为x x y=x ? x ? ? ? ? ?? 2! k! x4 x2k 2 ? x(1 ? x ? ? ? ? ? ?) 2! k! x2 ? xe352 k ?1常微分方程例5求解n阶Bessel方程d y dy x ? x ? ( x 2 ? n 2 ) y ? 0 (4.74) dx 2 dx 这里n为非负常数.22解 将方程改写为 d 2 y 1 dy x 2 ? n 2 ? ? y?0 2 2 dx x dx x 易见,它满足定理11条件,且 xp( x) ? 1, x 2 q( x) ? x 2 ? n 2按x展成的幂级数收敛区间为 ? ? ? x ? ??,由定理11方程有形如 常微分方程y ? ? an x k ?? ,k ?0?(4.75)的解,这里a0 ? 0, ? 是一个待定常数,将(4.75)代入(4.74)中,得x2?(? +k)(? +k-1)a xk k ?0?k ?? ? 2? x ?(? +k)ak xk ?0?k ?? ?1?( x 2 ? n 2 )? ak x k ?? ? 0k ?0?比较x的同次幂系数得 常微分方程? a0 (? ? n ) ? 0 ? 2 2 ? a1[(? ? 1) ? n ] ? 0 ? 2 2 ? ak [(? ? k ) ? n ] ? ak ? 2 ? 0,2 2(4.76)k ? 2,3,?因为a0 ? 0, 则有? 2 ? n 2 ? 0, 从而? ? ?n,为确定起见暂令? ? n, 由(4.76)得ak ?2 , k ? 2,3,? a1 ? 0, ak ? ? k (2n ? k ) a2 k ?1 , 即 ? a2 k ?1 ? ? (2k ? 1)(2n ? 2k ? 1) ? k ? 1, 2,? ? a2 k ? 2 ? ,
a2 k ? ? 常微分方程 ? 2k (2n ? 2k )从而可得a2 k ?1 ? 0, k ? 1, 2,?a0 a2 k ? (?1) 2 k , k ? 1, 2,? 2 k !(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ) 因此在? ? n ? 0时, 得到Bessel方程的一个解ka0 y1 ? a0 x ? ? (?1) 2 k x 2 k ? n , (4.77) 2 k !(n ? 1)? (n ? k ) k ?1 若将任常数a0取为 1 a0 ? n 2 ?(n ? 1)n k 常微分方程 这里?( p) ? ? e- x x p?1dx,注意到时?( p ? 1) ? p?( p).??0因此(4.77)变为1 x 2k ?n y1 ? ? (?1) ( ) ? J n ( x), (4.77) k !?(n ? k ? 1) 2 k ?0 J n ( x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称k?为n阶Bessel函数.当? ? ?n时, 完全类可得a0 a2 k ? (?1) 2 k , 2 k !(?n ? 1)(?n ? 2)? (?n ? k )k 常微分方程a2 k ?1 ? 0, k ? 1, 2,?k ? 1, 2,?若取1 a0 ? ? n 2 ?(?n ? 1)则可得(4.74)的另一个特解1 x 2k ?n y2 ? ? (?1) ( ) ? J ? n ( x), (4.78) k !?(?n ? k ? 1) 2 k ?0 J ? n ( x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称k?为-n阶Bessel函数.由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.因此,当? 不等于非负整数时, J n ( x)和J - n ( x)都是 (4.74)的解,且线性无关.
常微分方程因而(4.74)的通解为y ? c1 J n ( x) ? c2 J ? n ( x), 这里c1 , c2为任常数. 当n等于正整数,而? ? ?n,不能从(4.76)确定a2k (k ? n)因此,不能象上面一样求得通解;但可用一3介绍的降阶法,求出与J n ( x)线性无关的解,1 ? ? 1 dx y ? J n ( x)[c1 ? c2 ? 2 e x dx], J n ( x) 1 ? J n ( x)[c1 ? c2 ? 2 dx], c1 , c2为任常数. xJ n ( x)
常微分方程因此,(4.74)的通解为例6 求方程x 2 y& ? xy ' ? (4 x 2 ? 9 ) y ? 0的通解.25 解 引入新变量t ? 2 x我们有dy dy dt dy ? ?2 dx dt dx dt d 2 y d dy dt d2y ? (2 ) ? 4 2 2 dx dt dt dx dt代入方程得d2y dy 9 2 2 t ? t ? (t ? ) y ? 0 2 dt dt 25 3
常微分方程 这是n ? 的Bessel方程, 故方程的通解为 5y ? c1 J 3 (t ) ? c2 J 3 (t ),5 ? 5代回原来的变量得原方程的通解为y ? c1 J 3 (2 x) ? c2 J 3 (2 x),5 ? 5c1 , c2为任常数.常微分方程作业? P165 ? P1652,5, 8,10常微分方程
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微分方程的幂级数解法
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