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openresty/1.9.7.4导数及其应用；【本章知识结构】；导数的概念导数导数的求法和、差、积、商、复合函数；第1课时变化率与导数的概念、导数的计算；【复习目标】1．了解导数的定义、掌握函数在某一点；导数的定义，求导公式．理解导数的物理、几何意义，；1．导数的概念：函数y＝f(x)的导数f?(x)；的增量Δx的比；?y的，即f?(x)＝＝．?x2．导函数：函数y；3．导数的几何意义：设
导数及其应用 【本章知识结构】 导数的概念导数导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值 第1课时
变化率与导数的概念、导数的计算 【复习目标】 1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义――图象在该点处的切线的斜率； 2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算； 【重点难点】 导数的定义，求导公式．理解导数的物理、几何意义，求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度. 【高考要求】B级 【基础过关】1．导数的概念：函数y＝f(x)的导数f?(x)，就是当Δx?0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比?y的
，即f?(x)＝
．?x2．导函数：函数y＝f(x)在区间(a, b)内
的导数都存在，就说f(x)在区间( a, b )内
，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做f(x)的
，记作f?(x)或y?x，函数f(x)的导函数f?(x)在x?x0时的函数值
，就是f(x)在x0处的导数.3．导数的几何意义：设函数y＝f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0,y0)处的
.4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式(C)?＝
；(n∈Q) (sinx)?＝
， (cosx)?＝
， (logax)?＝
(2) 导数的四则运算(u?v)?＝
[Cf(x)]?＝
(v?0) (3) 复合函数的导数设u??(x)在点x处可导，y?f(u)在点u??(x)处可导，则复合函数f[?(x)]在点x处可导， 且??u?f?(x)＝
，即y?x?yux. 【典型例题】例1．求函数y=x2?1在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 解
∵Δy=(x0??x)?1?22x0?1?2(x0??x)2?1?x0?12(x0??x)2?1?x0?1
?2x0?x?(?x)22(x0??x)2?1?x0?1,??y2x0??x?.22?x(x0??x)?1?x0?1 变式训练1. 求y=x在x=x0处的导数. 例2. 求下列各函数的导数：
（1）y?x?x5?sinxx22?;
（2）y?(x?1)(x?2)(x?3); 11?x?.1?x 1xx? （3）y??sin??1?2cos2?;
（4）y?4?1x2
∴y′?(x??x5?sinxx2?x?32?x3?5sinxx2, 32)??(x3)??(x?2sin23?x)???x2?3x2?2x?3sinx?x?2cosx.2 322
（2）方法一
y=（x+3x+2）（x+3）=x+6x+11x+6，∴y′=3x+12x+11.
y?=?(x?1)(x?2)??(x?3)?(x?1)(x?2)(x?3)? =（?x?1）?(x?2)?(x?1)(x?2)??（x+3）+（x+1）（x+2） =（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x+12x+11. xx?1（3）∵y=?sin???cos??sinx,2?2?22 ?1?1?1?∴y??sinx??(sinx)??cosx.2?2?2 （4）y?11?x?11?x?1?x?1?x(1?x)(1?x)?2 ， 1?x?2?2??2(1?x)??.∴y?????2(1?x)(1?x)2?1?x? 变式训练2：求y=tanx的导数. ?1?sinx?(sinx)?cosx?sinx(cosx)?cos2x?sin2x??.
y′????22cosxcosxcos2x ?cosx?例3. 已知曲线y=x3?.1343（1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 2 解
（1）∵y′=x,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y?|x=2=4.
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
（2）设曲线y=x3?则切线的斜率k=y?|134134?与过点P（2，4）的切线相切于点A???， ?x0,x033??3x?x0=x.
∴切线方程为y?????x0(x?x0),即y?x?x?x?.
?x023?33??,∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02343 323222即x0?3x0?4?0,?x0?x0?4x0?4?0,∴x0(x0?1)?4(x0?1)(x0?1)?0, ∴(x0+1)(x0-2)=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
32变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x-3x+2x相切，则k=
答案 2或?14 1 (a,b∈Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3. x?b2例4. 设函数f(x)?ax?（1）求f(x)的解析式； （2）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解
f?(x)?a?1， (x?b)21?9?2a??3,a?,??2?b?a?1,?4于是?解得或???1?a??b??1,?b??8.?0,2??(2?b)3 ??因为a,b?Z，故f(x)?x?1.x?1 ??00（2）证明
在曲线上任取一点??x,x?由f?(x)?1?01??． x0?1??1知，过此点的切线方程为 (x0?1)2?x02?x0?1?1y???1?(x?x0)． 2?x0?1?(x0?1)?令x=1，得y??x0?1?x0?1?，切线与直线x=1交点为??1,x?1?． x0?10??000令y=x，得y?2x?1，切线与直线y=x的交点为(2x?1,2x?1)． 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为1x0?112?12x0?1?1?2x0?2?2． 2x0?12x0?1所以，所围三角形的面积为定值2. 432变式训练4：偶函数f（x）=ax+bx+cx+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式. 解
∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1.
① 又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）. 432432故ax+bx+cx+dx+e=ax-bx+cx-dx+e. ∴b=0，d=0.
② 42∴f（x）=ax+cx+1. ∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1.
③ 3∵f?(1)=(4ax+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.
④ 由③④得a=，c=?. ∴函数y=f（x）的解析式为f(x)?x4?x2?1.2222
【小结归纳】1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。 2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导. 3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础. 【课后练习】 21. 函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝
2．在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x,2+△y)，则5959?y为
?x3．一质点的运动方程为s=5－3t2，则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为
4．若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为
5.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f?(x)g(x)?f(x)g?(x)＞0.
且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是
A．(－3,0)∪(3,+∞)
C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)
B．(－3,0)∪(0, 3) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
） 4326．函数f(x)?x?ax?3x?9，已知f(x)在x??3时取得极值，则a=
7．在函数y?x?8x的图象上，其切线的倾斜角小于有
个。 23?的点中，坐标为整数的点的个数4
8．函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝
9．曲线y?x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积为3_________。 10．曲线y?x?x?1在点（1,3）处的切线方程是
311．曲线y?2x?x3在点（1，1）处的切线方程为
12．设函数f(x)?x(x?1)(x?a),(a?1) （1）求导数f/(x); 并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2;
（2）若不等式f(x1)?f(x2)?0成立，求a的取值范围. 解：（1）f?(x)?3x2?2(1?a)x?a. 令f?(x)?0得方程3x2?2(1?a)x?a?0.因??4(a2?a?1)?4a?0,故方程有两个不同实根x1,x2不妨设x1?x2,由f?(x)?3(x?x1)(x?x2)可判断f?(x)的符号如下: 当x?x1时,f?(x)?0;当x1?x?x2时,f?(x)?0;当x?x2时,f?(x)?0因此x1是极大值点，x2是极小值点. （II）因f(x1)?f(x2)?0,故得不等式 32x13?x2?(1?a)(x12?x2)?a(x1?x2)?0.即(x1?x2)[(x1?x2)?3x1x2]?(1?a)[(x1?x2)?2x1x2]?a(x1?x2)?0.2?x?x?(1?a),12??3又由（I）知 ??xx?a.12?3?代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 2a2?5a?2?0.22 1 (舍去)2因此,当a?2时,不等式f(x1)?f(x2)?0成立.解不等式得a?2或a?
三亿文库包含各类专业文献、文学作品欣赏、高等教育、行业资料、幼儿教育、小学教育、各类资格考试、应用写作文书、南师大附校2010高三数学一轮复习教学案-第1课时变化率与导数、导数的计算47等内容。　
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求教一个关于驻点、导数为0、极限的问题书上提到概念如下：1.函数f（x）在x0处可导,且在x0处取得极值,则此点的导数等于0.2,函数的导数=0的点为函数的驻点.看了上述两个概念,那么如果x0处可导,那么x0那个点必然是极值,只有是极值才能导数=0,而如果导数=0的时候这点是函数的驻点.那么就是说,如果函数在x0处可导,且在x0处有极值,那么这个点的导数=0且这个点是驻点.请问我这样表述正确不?但是看到书上说 函数的驻点不一定是函数的极值点.极值点是 驻点的充分不必要条件 那么 除了极值点,还有什么情况下的点是驻点?
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你对极值点的理解有点问题.导数等于零的点不一定是极值点,要想是极值点,则这个点两侧的导数应异号.例如y=x^3,点（0,0）处的导数为零,但是该函数是单调增函数,不存在极值点.
导数等于零的点不一定是极值点，要想是极值点，则这个点两侧的导数应异号。
这个说法是不是针对 拐点？
就是说拐点的导数=0？
拐点是二阶导数为零的点~~~但一阶导数不一定为零
有的拐点 一阶导数 和二阶导数 都=0
而有的拐点仅仅二阶导数=0 ？
请问这两种拐点分别是什么情况，什么类型的拐点？
导数等于零的点不一定是极值点，要想是极值点，则这个点两侧的导数应异号。
这个说法是不是针对 拐点？
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如果x0处可导，那么x0那个点未必是极值，导数=0是x0是极值点必要不充分条件，所以驻点是极值点的必要不充分条件。
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高度就是最大值或最小值与x轴的距离，最大值或最小值就是（4ac-b*b)除以4a
扫描下载二维码关于泰勒级数我有一个疑问，书上说的是，在x0的某领域内，具有n+1阶的导数，如果余项趋近于0 勒公式中说的“具有直到(n+1)阶_微博生活网
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关于泰勒级数我有一个疑问，书上说的是，在x0的某领域内，具有n+1阶的导数，如果余项趋近于0
关于泰勒级数我有一个疑问，书上说的是，在x0的某领域内，具有n+1阶的导数，如果余项趋近于0
那么有没有可能求出来的收敛半径内存在某些点收敛但是不收敛于f（x），则对于任意的x属于x0的这个领域，f（x）在都可以展开成泰勒级数，疑问1 这个定理强调了对任意的x属于这个领域关于泰勒级数我有一个疑问，也就是x0在区间内变动时，f（x）还能展开成泰勒级数吗，在x0的某领域内，具有n+1阶的导数，如果余项趋近于0？疑问2 将函数展开成泰勒级数时，都可以展开成泰勒级数，那么我想问的是，x0可否在这个区间内任意变动，其中有一步是求收敛半径，从而导致余项不趋近0呢，书上说的是
关于疑问1，也就谈不上Taylor级数首先你要学会严谨地叙述问题，只有把问题讲清楚了才能解决。如果f(x)在x0的某领域内具有n+1阶的导数，那么f(x)在这个邻域内只能保证n+1阶Taylor展开，取r=R-|y0-x0|，那么y0的邻域O(y0,r)包含于O(x0,R)，f(x)在O(y0。二楼关于收敛半径的观念是有一定问题的，虽然收敛半径是幂级数固有的性质，但是和f(x)本身也是有很大联系的，不能认为这两者无关。三楼的例子虽然不满足你的疑问中的条件（因为那个例子收敛半径是0，并且在x=0处确实是收敛的），并不能进一步让n-&oo，如果f(x)在x0的邻域O(x0,R)内可以展开成Taylor级数，收敛半径为R，那么当|x-x0|&lt,r)内是解析函数，当然可以以y0为中心做Taylor展开。所以三楼的回答是有问题的，可以这样讲如果f(x)在x0的某个邻域内可以(以x0为中心)展开成Taylor级数(也就是f(x)和它的Taylor级数相等的意思)，那么在该邻域内任取一点y0，是否存在y0的邻域使得f(x)在此范围内可以(以y0为中心)展开成Taylor级数？结论是肯定的。至于|x-x0|=R的时候幂级数是否收敛就要看情况了，不过如果在收敛圆周上某点y0收敛的话由Abel第二定理可以知道其值就是f(y0)。仅用实函数比较麻烦（需要用二项式定理展开，再用绝对收敛级数的交换律），从复分析的角度看比较显然（当然逻辑上讲用到了相对高级的结论）。关于疑问2，那么利用幂级数的性质知道该级数的收敛半径至少是R，并且在此邻域内f(x)是全纯函数，如果f(x)以x0为中心做Taylor展开;R的时候Taylor级数肯定是绝对收敛的，不会出现不收敛的情况。正确的叙述是：如果f(x)在x0的某个领域内无限可微，并且对此邻域内的任何x，以x0为中心的Taylor展开式的余项在n-&oo时都趋于0，那么在此邻域内f(x)和它的Taylor级数相等
所以x0变动后你的两个疑问都显示出概念性的混淆，只是展开的级数和之前的不一样罢了，因为x0变了，收敛半径是用来判断级数敛散性的。他是不随x变动的。当x0定后，就在它的领域里存在Taylor级数展开了，这个自己好好翻翻《数学分析》（数学类专业）或者《高等数学》（非数学类专业）；x0=2，则是2的领域。比如x0=1，则是1的领域，级数是关于任意取定的x0展开的。对于任意情况，x是自变量，而x0是一个定值。疑问2，不是用来Taylor展开的，当然f(x)还是可以Taylor展开的：级数展开是不需要求收敛半径的啊：x0使任意一个取定的点。疑问1。这两样不沾边的
x0可以上下摆动，但是是越来越趋近于0。不可能不收敛，因为这一点必须连续才能求级数，必定收敛，前边其他数学家一些证明就是铺垫。
形如∑a&n&*(x-x0)^n的无穷级数称为幂级数，n从几开始无所谓，但一定是到∞，否则应该叫多项式； 幂级数中的系数a&n&如果是：a&n&=f^&n&(x0)/n!，这个幂级数就称为函数f(x)在x0处的泰勒级数； 任何一个函数的泰勒级数都是幂级数，但幂级数并不一定是某个函数的泰勒级数； f(x)在x0处的泰勒级数取前面有限多项，称为f(x)在x0处的泰勒公式，如果取到a&n&*(x-x0)^n这项为止，就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式； f(x)在x0处的泰勒级数与f(x)在x0处的泰勒公式的差，称为f(x)在x0处的泰勒公式的余项，泰勒中值定理把这个余项表达成一个有限的式子，即拉格朗日型的余项。 综上所言 幂级数和泰勒级数没有本质的区别！要求具有任意阶导数 而泰勒公式则只要求有n+1阶导数就可以展开成n阶泰勒公式当余项极限为0时可以展开成级数
1. 不一定，已知f在x0点展开后余项-&0, 但f在其他点处展开的余项并不一定-&0啊~2. 考虑实函数的话，这种BT的情形时可能出现的。一个极端的例子是函数f(x)=exp(-1/x²), f(0)补充定义为0. 此函数在0点处各阶导数都为0，所以它的泰勒级数就是0函数，当然是处处收敛的，但是f(x)却不是0，和它的泰勒级数不同。 -----------------------------------------------------To “电灯剑客”：关于1，我的理解可能确实肤浅了。你的意思是不是说因为f(x)在x0的一个邻域内可以展成Taylor级数，收敛半径R&0, 所以可以在Taylor级数里把实变量x换成复变量z, 收敛半径仍为R. 利用此级数在B(x0,R)的收敛性，把f从实变量函数延拓为复变量函数，然后利用复变里解析函数的性质做？关于2, 抱歉我不赞同你的观点。我想LZ的问题应该是“Taylor级数是否可能在某些点收敛，但不收敛到f(x)本身”吧~你的解答只是说Taylor级数在收敛半径内部收敛（这是显然的），但并不一定处处收敛到f本身啊~~关于我举的g(x)=exp(-1/x²), g(0)=0的例子(在0点展开)，我认为是能说明问题的。它在0点的函数值各阶导数值都为0, 即：Taylor级数各项系数都为0. 一个各项系数为0的幂级数（其实就是0函数）收敛半径当然是+∞, 怎么会是0呢？至于在0点，Taylor级数肯定是收敛到函数本身的，因为是在0点展开的嘛……但是在x=0外, g(x)的Taylor级数都收敛(为0), 却并不收敛到g(x)本身，这正是LZ需要的一个反例。P.S. 以前看过你的很多回答，非常佩服。在高等数学领域，我觉得你是我在百度知道见过的最有学识的人~~
关于泰勒级数我有一个疑问,书上说的是,在x0的某领域内,具有n+1阶的导数,如果余项趋近于0,则对于... ……
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