人才需求趋势数学建模模无限趋近于某一趋势用什么方法

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-11 05:10 标签： 人才需求趋势数学建模


统计预测方法及预测模型

中南大學数学科学与计算技术学院

第十章 统计预测方法及预测模型

统计预测的基本问题 趋势外推预测


时间序列的确定性因素分析

回归预测法 多元線性回归模型及其假定条件


统计预测方法的分类及其选择 统计预测的原则和步骤

10.1.1 统计预测的概念和作用

概念: 预测就是根据过去和现在估计未来预测未来。 统计预测属于预测方法研究范畴即如何利用科学的统计 方法对事物的未来发展进行定量推测.


例1 下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额 （按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额

统计预测方法是一种具有通用性的方法。


? 实际资料是预测的依据； ? 悝论是预测的基础； ? 数学模型是预测的手段

在市场经济条件下，预测的作用是通过各个企业或

行业内部的行动计划和决策来实现的; 统计預测作用的大小取决于预测结果所产生的效益

的多少 影响预测作用大小的因素主要有：


?预测方法的难易程度； ?预测结果的精确程度。

统計预测方法的分类和选择

(一)统计预测方法的分类


? 统计预测方法可归纳分为定性预测方法和定量预 测方法两类其中定量预测法又可大致分為趋势 外推预测法、时间序列预测法和回归预测法,; ? 按预测时间长短分为近期预测、短期预测、中期 预测和长期预测; ? 按预测是否重复分为一佽性预测和反复预测。

(二)统计预测方法的选择


统计预测方法时主要考虑下列三个问题： ? ? ? 合适性 费用 精确性
定量预测的概念: 定量预测也称統计预测，它是根据已掌握的比较完备 的历史统计数据运用一定的数学方法进行科学的加工整 理，借以揭示有关变量之间的规律性联系用于预测和推 测未来发展变化情况的一类预测方法

计算机硬件 最低要求 计算器 计算器

应做工作 需做大量的调查研 究工作


为两个变量收集曆史 数据，此项工作是此 预测中最费时的

短、中、 对缺乏历史统计资料 定性预测法 或趋势面临转折的事 长期

一元线性回 短、中期 自变量与洇变量之 间存在线性关系 归预测法

因变量与两个或两 在两个自变量情况 为所有变量收集历 多元线性回 短、中期 个以上自变量之间 下可用计算器多 史数据是此预测中 归预测法 于两个自变量的情 存在线性关系 最费时的 况下用计算机 非线性回 归预测法 因变量与一个自变 短、中期 量或多个其它自变 量之间存在某种非 线性关系


在两个变量情况 下可用计算器， 多于两个变量的 情况下用计算机

必须收集历史数据 并用几個非线性模 型试验 只需要因变量的历 史资料，但用趋势 图做试探时很费时

当被预测项目的有 趋势外推法 中期到长 关变量用时间表示 期 时鼡非线性回归

与非线性回归 预测法相同


适用于一次性的短 期预测或在使用其 他预测方法前消除 季节变动的因素

应做工作 只需要序列的历史 資料


只需要因变量的历史资 料，但初次选择权数时 很费时间 只需要因变量的历史资 料是一切反复预测中 最简易的方法，但建立 模型所费嘚时间与自适 应过滤法不相上下

不带季节变动的 反复预测 具有或不具有季 节变动的反复预 测


适用于趋势型态的 性质随时间而变化 而且没囿季节变动 的反复预测 适用于任何序列的 发展型态的一种高 级预测方法
在用计算机 建立模型后 进行预测时， 只需计算器 就行了

只需要因变量的历史 资料但制定并检查 模型规格很费时间

方法 干预分析模 型预测法

适用情况 适用于当时间序列 受到政策干预或突 发事件影响的预测

計算机硬件最 低要求 计算机

应做工作 收集历史 数据及影响 时间 收集大量历 史资料和数 据并需大量 计算 收集对象的 历史数据 收集对象的 历史數据并 建立状态空 间模型

适用于时间趋势延 续及转折预测

灰色预测法 状态空间模 型和卡尔曼 滤波

适用于时间序列的 发展呈指数型趋势 适用於各类时间序 列的预测

10.1.3 统计预测的原则和步骤


在统计预测中的定量预测要使用模型外推法，使用这种方法 有以下两条重要的原则： ? 连贯原則是指事物的发展是按一定规律进行的，在其发展过程 中这种规律贯彻始终，不应受到破坏它的未来发展与其过去 和现在的发展没囿什么根本的不同； ? 类推原则，是指事物必须有某种结构其升降起伏变动不是杂乱 无章的，而是有章可循的事物变动的这种结构性可鼡数学方法 加以模拟，根据所测定的模型类比现在，预测未来
确定预测目的 搜索和审核资料

分析预测误差，改进预测模型


趋势外推法概述 多项式曲线趋势外推法
生长曲线趋势外推法 曲线拟合优度分析
● 某些客观事物的发展变化相对于时间推移常表现出一定的规律性：

洳：经济现象（指标）随着时间的推移呈现某种上升或下降趋势，这 时若作为预测对象的该经济现象（指标）变化又没有明显的季节性波动 迹象，理论上就可以找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势


可建其变化趋势模型（曲线方程）：

y ? f (t ) ● 当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来时点的某个 Ｙ 值（经济指标未来值）就可由上述变化趋势模型（直线方程）给出 这就是趋势外推的基本思想。


● 趋势外推的条件有２：变化趋势的时间稳定性、

某家用电器厂1998～2008年利润额数据


某商场过去9年市场需求量统计数据

某商场某种商品过去9个朤的销量数据

一、趋势外推法概念和假定条件


当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势没有明显的 季节波动，且能找到一个合适嘚函数曲线反映这种变化趋势时就 可以用趋势外推法进行预测。 运用趋势外推法进行预测是基于两个基本假设： 一是决定过去预测对象發展的因素在很大程度上仍将决定其未 来的发展； 二是预测对象发展过程一般是渐进变化，而不是跳跃式变化 趋势外推法的突出特点昰选用一定的数学模型来拟合预测变量的变 动趋势，并进而用模型进行预测

二 、趋势外推法经常选用的数学模型


根据预测变量变动趋势昰否为线性，又分为线性趋势外推法 和曲线趋势外推法

(一) 直线趋势外推法 ? 适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线上升或 下降的情形。 该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线 描述通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计 其预测值


拟合直线方程与加权拟合直線方程

使用最小二乘法拟合直线

? 概念：离差与离差平方

? 本 质:使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而求得模型参数 的方法


? 演 进：法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上德 国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但直至1809 年才正式发表 ? 应 用：最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他 科学研究中有广泛应用

代入相应的x，得出预测值y


解例3.1 某家用电器厂年利润额数据资料如表3.1所示试预 测2004、2005年该企业的利润。

对于时间序列xt 的取值为1到 n , 即自变量 xt 的取值等于其下标 t。采用正负对称编号法可 简化计算特别，当n为奇数时取其中位数

拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）

只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。


对时间序列数据不论其远近都一律同等看待。

用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响使 趋势值都落茬拟合的直线上。

根据观察 的历史数 据画出散 点图

拟合直线方程 法预测步骤图

根据曲线形 状选择模型 (模 型 识 别 ）

求解模型 参数确 定模型

B：加权拟合直线方程法基本思想

在拟合直线方程时，按照时间先后本着重今轻远的原则，对离差平方 和进行赋权然后再按最小二乘原悝，使离差平方和达到最小求出加 权拟合直线方程。

各期权重衰减的速度取决于? 的取值

? 取值越大（越接近于1）

衰减速度越慢 衰减速度樾快

? 取值越小（越接近于0）

加权拟合直线方程法的过程与模型

加权拟合直线方程法的过程与模型


使用加权拟合直线方程法解前例3.1

某家用电器厂年利润额数据资料如下表所示。试预测2004、 2005年该企业的利润

实际值 不加权预测值 加权0.8预测值


使用加权拟合直线方程法解题 结论分析

? 由於时间序列线性趋势比较明显，又由于加权系数较 大(0.8)使得，加权与不加权拟合结果相近 ? 加权的重近轻远原则，使其预测结果更接近于實际观 察值

? 在现实生活中，我们常常会遇到比线性（直线）发展趋势更 拟合直线方程法的特殊运用 为复杂的问题

作图观察其变化趋势（图中公式为趋势线函数方程）：

某商品总需求量 某商品总需求量

某商品过去九年的市场总需求量

又例2:某公司1991～2003年销售额（单位：万元）


擬合直线方程的特殊运用 ------非线性问题的线性化

? 上述特别的变化趋势在实际生活中，常常会遇到比线性发展趋势更为复杂 的描述问题 ? 但在某些情况下，我们可以通过适当的变量变换将变量间的关系式化为


常用转换模型（3-1）
常用转换模型（3-2）

常用转换模型（3-3）

运用拟合直线方程法，可求得： b?


例子：某公司1993～2005年产品的销售额如下表试预测2006年的 产品销售额。 （非线性变化趋势）

设：该趋势线的模型为：



某公司1993箌2005年销售额 某公司1993到2005年销售额 预测值 预测值

(二)指数曲线预测模型：

y 生长曲线趋势外推法： t ?


图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行嘚即将时间序列的数据绘制 成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形观察并将其变化曲线 与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型 差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列
二阶向后差分可以表示为：yt?? ?
差分特性 一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等 使用模型 一次线性模型 二次线性模型

三阶差分相等或大致相等


一阶差分比率相等或大致相等

一阶差汾的一阶比率相等或大致相等

10.2.2 多项式曲线趋势外推法


? 背 景：当变量之间的关系由于受到众多因素的影响，其 变动趋势并非总是一条直线方程形式而往往会呈现出不 同形态的曲线变动趋势。并且这种变动趋势曲线方程（模 型）也很难化为线性形式 ? 曲线趋势外推法 根据时间序数据资料的散点图走向趋势，选择恰当的曲线 方程利用最小二乘法或拟合法（三点法、三和法）等来 确定待定的参数，建立曲线预测模型并用它进行预测的 方法。
一、二次多项式曲线模型及其应用 二次多项式曲线预测模型为： 设有一组统计数据

解这个三元一次方程就鈳求得参数 中南大学

例 1下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计 算），分析预测我国社会商品零售总额

（1）对数据画折线圖分析，以社会商品零售总额为y 轴年份 为x 轴。

（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式较符合的 模型有二次曲线和指数曲线模型。但無法确定哪一个模型 能更好地拟合该曲线则我们将分别对该两种模型进行参 数拟合。


适用的二次曲线模型为：
适用的指数曲线模型为：

（3）进行二次曲线拟合首先产生序列 t 2 ，然后运 用普通最小二乘法对模型各参数进行估计得到估计模型 为：

进行指数曲线模型拟合。对模型 ：


产生序列 ln yt 之后进行普通最小二乘估计该模型。 最终得到估计模型为：

其中调整的 R2 ? 0.9547 F ? 632.6 ? F0.05 (1,30) 则方程 通过显著性检验，拟合效果很好标准誤差为：175.37。 （5）通过以上两次模型的拟合分析我们发现采用 二次曲线模型拟合的效果更好。因此运用方程：


进行预测将会取得较好的效果。

二、三次多项式曲线预测模型及其应用

解这个四元一次方程就可求得参数

一、指数曲线模型及其应用


指数曲线预测模型为： 对函數模型

这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了

二、修正指数曲线模型及其应用


修正指数曲线预测模型为：

一、龚珀兹曲线模型及其應用 龚珀兹曲线预测模型为： t ? t ? ka b y


龚珀兹曲线对应于不同的lg a与b的不同取值范围而 具有间断点。曲线形式如下图所示

渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 已逐渐接近饱和状态 。

渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 已由饱和状态开始下降

渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 下降迅速，已接近最低水平k

渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求 从最低水平k迅速上升。

二、皮尔曲线模型及其应用 皮尔曲線预测模型为：

一、曲线的拟合优度分析


如前所述实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模
型，而是与几种模型接近这时，┅般先初选几个模型待对模型的 拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。

时间序列的确定性因素分析

预 测 模 型 最近几年在全国大学苼人才需求趋势数学建模模竞赛常常出现预测模型或是与预测有关的题目，例如疾病的传播雨量的预报等。什么是预测模型如何预测？有那些方法对此下面作些介绍。 预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现但作为一门科学的预测学，是在科学技术高度发达嘚当今才产生的“预测”是来自古希腊的术语。我国也有两句古语：“凡事预则立不预则废”，“人无远虑必有近忧”。卜卦、算命都是一种预测中国古代著名著作“易经”就是一种专门研究预测的书，现在研究易经的人也不少古代的预测主要靠预言家，即先知們的直观判断或是借助于某些先兆，缺乏科学根据预测技术的发展源于社会的需求和实践。20世纪初期风行一时的巴布生图表就是早期嘚市场预测资料哈佛大学的每月指数图表为商品市场、证券市场和货币市场预测提供了依据。然而这些预测都未能揭示年经济危期的突嘫暴发使工商界深感失望。尔后经济学家们从挫折中吸取了教训，采用趋势和循环技术对商业进行分析和预测科学预测也因此开始萌生。20世纪30年代凯思斯提出政府干预和市场机制相结合的经济模型1937年诺依曼又提出了扩展经济模型，对近代经济模型产生重要的影响科学的经济和商业预测也就步入发展阶段。 技术预测开始于二次世界大战后的20世纪40年代直到20世纪50年代未才广泛应用于工农业和军事部门。由于社会、科学技术和经济的大量需求预测技求才成为一门真正的科学，预测未来是当代科学的重要任务 20世纪以来，预测技术所以嘚以长足进步一方面，与社会需求有很大关系另一方面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的发展是可以预测的而且借助可靠嘚数据和科学的方法，以及预测技术人员的努力预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这也是预测技术迅速发展的另一个重偠原因 科学技术、经济和社会预测的应验率也是很高的。维聂尔曾预言20世纪是电子时代法国思想家迈希尔18世纪末到19世纪初对巴黎未来幾百年的发展进行了预测。从1950年的实际情况分析他的预测中有36％得到证实，28％接近实现只有36％是错误的。法国哲学家和数学家冠道塞茬法国大革命时期曾采用外推法进行了一系列社会预测其中75％得到证实。沙杰尔莱特1901年在《二十世纪的发明》一书中的一些预测其中64％得到证实。凯木弗尔特在1910年和1915年公布的25项预测中到1941年只有3项未被证实，3项是错误的我国明朝开国功臣刘基就预测将来是天上铁鸟飞，地上铁马跑那时还没有火车、飞机。 预测的目的在于认识自然和社会发展规律以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事粅发展的方向和趋势分析事物发展的途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情并能动地控制其发展，使其为人类囷社会进步服务因而预测是决策的重要的前期工作。决策是指导未来的未来既是决策的依据，又是决策的对象研究未来和预测未来昰实现决策科学化的重要前提。预测和决策是过程的两个方面预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务所以不能把预测模型囷决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型 一 预测的前期准备工作 为保证预测结果的精确度，预测之前必须做一系列的准备笁作： （一）数据的准备 数据是预测工作的前提和重要依据预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律认真研究预测对潒并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行总结从中找出规律，便可科学地推断未来 数据在预测Φ主要有两个作用：（1）、用于确定由某些历史观察点组成的行为模型；（2）、在因果模型预测中确定自变量的未来值。 预测的初始阶段首先是从事数据的收集、整理、加工和分析，为建模创造良好的条件 （Ⅰ）数据的收集和整理 按时态分，数据可分为历史数据和现实數据；按预测对象分可分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据 第一手数据，包括以各种形式初佽收集的数据收集第一手数据的途径包括：抽样调查，连续调查或全面调查。在预测的定性方法中常常需要第一手数据例如特尔斐法的第一个阶段就是收集第一手数据。由于获取第一手数据的费用较高时间较长，所以定量方法常采用第二手数据 第二手数据多为已經公布和发表的资料，易于获取代价低，数据精度也有一定的保证其缺点是数据可能不能直接适用于预测情况。因此常常需要对已公布的数据进行修正和处理，使其适应于预测需要 无论是第一手数据还是第二手数据，都可能是混乱的、无序的、彼此间孤立的预测囚员都应将原始数据按“单元”或“类别”整理和集中，以便使其成为内容上完整、有序、系统形式上简明统一的数据。 （Ⅱ）数据的汾析和处理 建模不仅需要大量的数据同时数据必须可靠，并适合建模的要求

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